06押浙江卷第17-19题（数式运算、解方程与不等式、统计综合）-2024年浙江省中考数学题号押题（含解析）
文档属性
| 名称 | 06押浙江卷第17-19题（数式运算、解方程与不等式、统计综合）-2024年浙江省中考数学题号押题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-19 11:00:45 | ||
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文档简介
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押题方向1：数式运算
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州、金华、台州、丽水卷第17题 实数混合运算 从近年浙江各地中考来看，实数混合运算、整式的运算、分式的运算都在解答题第1题进行考查，主要考查基本的运算能力，试题难度较低；预计2024年浙江卷还将继续考查这几个知识点，希望大家熟练掌握不要丢分哦！
2023年衢州、温州卷第17题 分式的加减
2023年宁波、舟山、嘉兴卷第17题 整式的运算
1．（2023 金华）计算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．
2．（2023 衢州）（1）计算：（a+2）（a﹣2）．
（2）化简：+2．
3．（2023 金华）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．
4．（2023 宁波）计算：
（1）（1+）0+|﹣2|﹣．
（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．
5．（2023 温州）计算：
（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；
（2）﹣．
6．（2023 浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
1、实数的混合运算主要考查零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、乘方、二次根式等，需要学生熟记相应的运算公式和值。
2、整式的运算主要考查多项式乘法、乘法公式、整式的加减，会运用多项式的乘法法则、乘法公式、合并同类项法则是解题的关键。
3、分式的运算主要考查分式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
1．先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（b2﹣3ab），其中a＝﹣1，b＝2．
2．观察以下等式：
第1个等式：2×2＝2+2，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请直接写出第6个等式．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
3．（1）．
（2）先化简，再求值：，其中．
4．观察下面的一列数：，，，．
（1）尝试：；a3﹣a2＝ ；a4﹣a3＝ ．
（2）归纳：an+1﹣an＝ ．
（3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
5．对于有理数a，b，定义新运算“△”，规则如下：a△b＝ab﹣a﹣b+4，如3△5＝3×5﹣3﹣5+4＝11．
（1）求3△（﹣4）的值．
（2）请你判断交换律在“△”运算中是否成立？并给出证明．
6．计算：
（1）；
（2）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中．
7．（1）计算：；
（2）化简：．
8．化简：（3n﹣4）﹣*（n﹣2）．
方方在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是4，请计算（3n﹣4）﹣4（n﹣2）．
（2）如果化简的结果是单项式，求被污染的数字．
9．计算：
（1）（2x+1）2+（3+2x）（3﹣2x）；
（2）．
10．先化简，再求值：÷（m+2﹣），其中m＝．
押题方向2：方程与不等式的解法
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年衢州卷第18题 解一元一次方程 从近几年浙江各地中考来看，方程（组）、不等式（组）的解法都放在解答题第1、2题，主要考查基本的运算能力，试题难度较低；预计2024年浙江卷还将继续考查这两个知识点，希望大家熟练掌握不要丢分哦！
2023年绍兴卷第17题 解一元一次不等式
2023年湖州卷第18题 解一元一次不等式组
2023年杭州卷第17题 一元二次方程的解法与根的判别式
2023年台州卷18题 解二元一次方程组
2023年舟山、嘉兴卷 第18题 解分式方程
1．（2023 衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：2×7x＝（4x﹣1）+1， …
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
（2）写出你的解答过程．
2．（2023 绍兴）解不等式：3x﹣2＞x+4．
3．（2023 台州）解方程组：．
4．（2023 杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
4．（2023 湖州）解一元一次不等式组．
5．（2023 浙江）小丁和小迪分别解方程﹣＝1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
6．（2023 丽水）解一元一次不等式组：．
1、解一元一次方程的步骤为： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1；
2、解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法；
3、一元二次方程的解法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法四种.
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根．
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根．
③当Δ＜0时，方程没有实数根．
4、解一元一次不等式不等式的基本步骤为： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
注意：一元一次不等式两边同乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变．
5、解不等式组：一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小则无解”．
6、分式方程的解法：
(1)基本思路：分式方程转化为整式方程．
(2)基本方法和步骤：①去分母：在方程两边同时都乘 最简公分母转化为整式方程；②解这个整式方程；③检验：把求得的根代入 最简公分母，使最简公分母≠0的就是原方程的根，使最简公分母＝0的就是增根，应舍去．有时需要把求得的根代入原分式方程左右两边进行检验．
1．解不等式．小明解答过程如表，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：3（x﹣1）﹣2（2x+1）≥1…① 去括号得：3x﹣3﹣4x+1≥1…② 移项得：3x﹣4x≥1+3﹣1…③ 合并同类项得：﹣x≥3…④ 两边都除以﹣1得：x≥﹣3…⑤
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x+2m﹣10＝0．
（1）求证：此一元二次方程总有实数根；
（2）已知△ABC两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长c＝3，若△ABC的周长为偶数，求m的值．
3．以下是亮亮解方程的解答过程．
解：去分母，得3x﹣1﹣1＝2x．
移项，得3x﹣2x＝1+1．
合并同类项，得x＝2．
亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
4．佳佳解方程的过程如图所示，问：佳佳的解答是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
5．（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
6．解方程（组）：
（1）；
（2）．
7．已知：关于x的方程2x2+kx+k﹣3＝0．
（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若k＝5，请解此方程．
8．关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0．
（1）如果方程有两个相等的实数根，求k的值；
（2）如果x1，x2是这个方程的两个根，且++3x1 x2＝25，求k的值．
9．观察以下二元一次方程组与对应的解：
二元一次方程组 …
解 …
（1）通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解．
（2）已知关于x，y的二元一次方程组（a≠b，a+b≠0）．
①猜想该方程组的解；
②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程．
10．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．
素材2 小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元．
素材3 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额．
问题解决
任务1 假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右边问题． 问：y＝ x+20 （用含x的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
任务3 【拟定设计方案】 请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．
押题方向3：统计综合问题
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年温州卷第19题 平均数、中位数、众数 从近几年浙江各地中考来看，统计综合总是占据一席之地，通常以解答题亮相，对于基础扎实的同学来说，这些题目无疑是送分的良机。主要考点为：统计图表相关知识、样本估计总体等；预计2024年浙江卷还将在解答题中考查统计相关知识。
2023年湖州卷第20题、杭州卷第18题、金华卷第19题 条形统计图
2023年衢州卷第20题，舟山、嘉兴卷第21题 扇形统计图
2023年绍兴卷第18题，丽水卷第20题 用样本估计总体
2023年台州卷第22题 统计量的选择
2023年宁波卷第20题 频数（率）分布直方图
1．（2023 丽水）为全面提升中小学生体质健康水平，我市开展了儿童青少年“正脊行动”．人民医院专家组随机抽取某校各年级部分学生进行了脊柱健康状况筛查．根据筛查情况，李老师绘制了两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生脊柱健康情况统计表
类别 检查结果 人数
A 正常 170
B 轻度侧弯 20
C 中度侧弯 7
D 重度侧弯 3
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）该校共有学生1600人，请估算脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数；
（3）为保护学生脊柱健康，请结合上述统计数据，提出一条合理的建议．
2．（2023 衢州）【数据的收集与整理】
根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为5‰．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为5.5‰，死亡率为8‰，人口自然增长率为﹣2.5‰，常住人口数为a人（‰表示千分号）．
（数据来源：衢州市统计局）
【数据分析】
（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系．
（2）已知本次调查的样本容量为11450，请推算a的值．
（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如图统计图．根据统计图分析：
①对图中信息作出评判（写出两条）．
②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议．
3．（2023 湖州）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
4．（2023 金华）为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图，请根据图表信息回答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙“课程的教室至少需要几间．
5．（2023 绍兴）某校兴趣小组通过调查，形成了如表调查报告（不完整）．
调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目 2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生
调查内容 调查你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A．篮球 B．乒乓球 C．足球 D．排球 E．羽毛球
调查结果
建议 …
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了多少名学生？
（2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数．
（3）假如你是小组成员，请向该校提一条合理建议．
6．（2023 宁波）宁波象山作为杭州亚运会分赛区，积极推进各项准备工作．某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从全校1200名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：合格（60≤x＜70），一般（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如下统计图（部分信息未给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为一般的学生人数，并补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）这次测试成绩的中位数是什么等级？
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有多少人？
7．（2023 温州）某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210km，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km）
B 216 215 220
C 227.5 227.5 225
（1）阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数；
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
8．（2023 杭州）某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图．
（3）已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．
9．（2023 台州）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
测试分数x 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 20＜x≤25
控制班A 28 9 9 3 1
实验班B 25 10 8 2 1
表2：后测数据
测试分数x 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 20＜x≤25
控制班A 14 16 12 6 2
实验班B 6 8 11 18 3
（1）A，B两班的学生人数分别是多少？
（2）请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．
（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．
两种统计图表结合的统计信息题：常通过同一分组内两个图表都能得到的已知信息找出突破口，通常从条形图或直方图得到某小组的数据，从扇形图得到该小组的百分比，从而得出数据总数.平均数、众数、中位数是从不同角度描述一组数据的集中趋势.在推断性统计中，用部分推断总体，是一种重要的思想方法,学会从多个图中了解同一个事项的统计数据.抓住统计图之间的信息互补的作用.
1．某校开展传统文化知识竞赛活动，500名七年级学生和600名八年级学生全部参赛．老师从两个年级中各随机抽取了10名学生的成绩，具体如下：
七年级：68，88，100，100，79，94，89，85，100，88．
八年级：69，97，100，89，98，100，66，100，95，100．
又对这些成绩进行了整理、分析（数据不完整）；
【整理数据】
分数段分组 七年级人数 人数
A 60≤x≤69 1 2
B 70≤x≤79 1 0
C 80≤x≤89 4 1
D 90≤x≤100 4 7
【分析数据】
项目 平均数 中位数 满分率
七年级 a 88.5 30%
八年级 91.4 b 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请完成条形统计图，并写出a，b的值．
（2）你估计八年级在本次测试中一共有多少人能取得满分？
（3）你认为哪个年级本次知识竞赛的总体水平更好，请说明理由．
2．学校为加强学生垃圾分类方面的知识普及，开设了垃圾分类臻善德育小课培训学．为了解培训效果，学校对七年级544名学生在学习前和培训后各进行一次垃圾分类知晓情况检测，两次检测项目相同，政教处依据同一标准进行问卷评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分．学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成如图的条形统计图：
（1）这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为 合格 ；（填“合格”、“良好”或“优秀”）
（2）求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？
（3）利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？
3．某报社为了了解市民“获取新闻的主要途径”，开展了一次抽样调查（参与问卷调查的市民只能从表格的五类中选择一类），并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图如下．
类别 A B C D E
获取新闻途径 电脑上网 手机上网 电视 报纸 其他
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次接受调查的市民共有 2000 人；
（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是 28.8° ，并补全条形统计图；
（3）若该市约有90万人，请估计选择“电视获取新闻”的人数．
4．今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如表：
八年级10个班成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
班级个数 1 3 a b 1
已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）a＝ 1 ，b＝ 4 ；
（2）八年级成绩的中位数为 8.5 分；
（3）若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”．
5．为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据，现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计：
七年级：7，6，8，7，4，7，6，10，7，8．
八年级：6，8，8，5，5，8，8，8，7，7．
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 7 7 7 2.2
八年级 7 a b c
（1）填空：a＝ 7.5 ，b＝ 8 ，c＝ 1.4 ；
（2）甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由；
（3）结合以上数据你认为那个年级的阅读情况较好，请说明理由．
6．中国人有在端午节这一天吃“粽子”的传统，寓意“祈福高中”．某粽子加工厂家为迎接端午的到来，组织了“浓情端午 粽叶飘香”员工包粽子比赛，规定所包粽子质量为（160±3）g时都符合标准，其中质量（160±1）g为优秀产品．现从甲乙两位员工所包粽子中各随机抽取10个进行评测，质量分别如下（单位：g）：
甲：157，157，159，159，160，161，161，161，162，163
乙：158，158，159，159，159，159，161，162，162，163
分析数据如表：
员工 平均数 中位数 众数 方差
甲 160 160.5 a 3.6
乙 b 159 159 c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）若比赛规则的评判标准里看重所包粽子质量是否符合标准以及粽子质量的稳定性，根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工更加优秀？请说明理由．
（3）在此次比赛中，甲员工共包了100个粽子，乙员工共包了104个粽子，请你估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，并判断若以此作为评判标准哪位员工更加优秀？请说明理由．
7．某校积极开展“学法、知法、守法”为主题的教育活动，全校1200名学生积极参与学习．为考查学生对法律知识的了解情况，学校组织全体学生参加了法律知识竞赛（笔试），随机抽取了部分学生的笔试成绩进行分析，并绘制了如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：
（1）填空：随机抽取的学生的总人数是 人，n＝ ；
（2）求样本中法律知识竞赛成绩良好的学生人数，并补全条形统计图；
（3）试估计该校这次法律知识竞赛成绩达到良好或优秀的学生总共有多少人？
8．网约车给人们的出行带来了便利．小明同学对A公司和B公司两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查．
【收集数据】小明收集了两家公司各10名司机月收入情况（单位：千元），数据如下：
A公司为4，5，9，10，4，5，5，5，4，9；
B公司为4，5，7，8，6，7，6，5，6，6．
【整理数据】绘制统计表和统计图
A公司网约车司机收入频数分布表
月收入 4千元 5千元 9千元 10千元
人数（个） 3 4 2 1
【分析数据】
平均月收入（千元） 中位数 众数 方差
A公司 a 5 5 5
B公司 6 b 6 1.2
根据上述信息，回答下列问题：
（1）a＝ 6 ，b＝ 6 ，m＝ 40 ．
（2）请求出扇形统计图中圆心角n的度数．
（3）小明的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你会建议叔叔选择哪家公司？请说明理由．
9．甲、乙两工厂为某公司生产同一款衬衫，质检员在两个工厂各抽查六次进行质检．每次随机抽取100件，获得数据后绘制成如图统计图，并对数据统计如表，公司规定合格率大于等于92%视作本次质检通过．
工厂 通过次数（次） 平均数（件） 中位数（件） 众数（件）
甲工厂 a c 94.5 97
乙工厂 b 94 d 94
（1）求a、b、c、d的值．
（2）公司打算从甲、乙两工厂中选择一个继续生产．请你以质检员的身份向公司推荐一家工厂，从多个角度分析数据，简述推荐理由．
10．某学校近期开展了“亮眼控肥”系列活动，旨在增强学生爱眼护眼和预防肥胖的意识，使学生在日常生活中保持良好的用眼，饮食和运动习惯．为了了解学生对于“亮眼控肥”知识的掌握情况，该学校采用随机抽样的调查方式，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）该学校抽样调查的学生人数是 人．
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数．
（3）若该学校共有学生1600人，请估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握情况为“合格”和“待合格”的总人数．
答案与解析
押题方向1：数式运算
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州、金华、台州、丽水卷第17题 实数混合运算 从近年浙江各地中考来看，实数混合运算、整式的运算、分式的运算都在解答题第1题进行考查，主要考查基本的运算能力，试题难度较低；预计2024年浙江卷还将继续考查这几个知识点，希望大家熟练掌握不要丢分哦！
2023年衢州、温州卷第17题 分式的加减
2023年宁波、舟山、嘉兴卷第17题 整式的运算
1．（2023 金华）计算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．
【点拨】先计算零次幂、化简二次根式，再代入特殊值的函数值算乘法并化简绝对值，最后算加减得结论．
【解析】解：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|
＝1+2﹣2×+5
＝1+2﹣1+5
＝7．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、绝对值的意义，二次根式的性质及特殊角的函数值等知识点是解决本题的关键．
2．（2023 衢州）（1）计算：（a+2）（a﹣2）．
（2）化简：+2．
【点拨】（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）根据分式的加法法则进行计算即可．
【解析】解：（1）（a+2）（a﹣2）
＝a2﹣22
＝a2﹣4；
（2）+2
＝
＝
＝
＝a．
【点睛】本题考查了分式的加法和平方差公式，能正确根据平方差公式进行计算是解（1）的关键，能正确根据分式的加法法则进行计算是解（2）的关键．
3．（2023 金华）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．
【点拨】先根据单项式乘以多项式的法则和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可
【解析】解：原式＝4x2﹣1+3x﹣4x2
＝3x﹣1
当时，原式＝3×﹣1＝0．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
4．（2023 宁波）计算：
（1）（1+）0+|﹣2|﹣．
（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．
【点拨】（1）根据零指数幂的定义、绝对值的代数意义以及二次根式的性质解答即可；
（2）根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解析】解：（1）（1+）0+|﹣2|﹣
＝1+2﹣3
＝0；
（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）
＝a2﹣9+a﹣a2
＝a﹣9．
【点睛】本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂的定义、平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则．
5．（2023 温州）计算：
（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；
（2）﹣．
【点拨】（1）直接利用立方根的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用分式的加减运算法则计算，再利用分式的性质化简得出答案．
【解析】解：（1）原式＝1﹣2+9+4
＝12；
（2）原式＝
＝
＝a﹣1．
【点睛】此题主要考查了实数的运算以及分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（2023 浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【点拨】（1）根据题目中的例子，可以写出192﹣172的结果；
（2）根据题目中给出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．
【解析】解：（1）∵17＝2×9﹣1，
∴192﹣172＝8×9＝72；
（2）由题意可得，
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点．
1、实数的混合运算主要考查零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、乘方、二次根式等，需要学生熟记相应的运算公式和值。
2、整式的运算主要考查多项式乘法、乘法公式、整式的加减，会运用多项式的乘法法则、乘法公式、合并同类项法则是解题的关键。
3、分式的运算主要考查分式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
1．先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（b2﹣3ab），其中a＝﹣1，b＝2．
【点拨】利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解析】解：（2a﹣b）2﹣（b2﹣3ab）
＝4a2﹣4ab+b2﹣b2+3ab
＝4a2﹣ab，
当a＝﹣1，b＝2时，
原式＝4×（﹣1）2﹣（﹣1）×2
＝4+2
＝6．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．观察以下等式：
第1个等式：2×2＝2+2，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请直接写出第6个等式．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【点拨】（1）观察上述等式，可知第6个等式为：7×＝7；
（2）根据题意，猜想为：（n+1）×＝（n+1）；再证明等式左边＝等式右边即可．
【解析】解：（1）观察上述等式，可得：
第6个等式为：7×＝7；
（2）猜想：第n个等式为：（n+1）×＝（n+1）；
证明：（n+1）×＝＝＝＝（n+1），等式成立．
【点睛】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出式子之间的变化规律是解题的关键．
3．（1）．
（2）先化简，再求值：，其中．
【点拨】（1）根据实数和指数幂的运算法则计算即可；
（2）根据分式的化简求值运算法则计算即可．
【解析】解：（1）原式＝0﹣2+9﹣＝；
（2）原式＝
＝
＝，
将a＝代入，
原式＝＝﹣1．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，实数和指数幂的运算，掌握其运算法则是解题的关键．
4．观察下面的一列数：，，，．
（1）尝试：；a3﹣a2＝ ；a4﹣a3＝ ．
（2）归纳：an+1﹣an＝ ．
（3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
【点拨】（1）根据题意进行计算即可；
（2）根据（1）的计算结果，可得：an+1﹣an＝；
（3）根据题意分别求出an+1和an，即可验证推理的正确性．
【解析】解：（1）∵，，，，
∴a3﹣a2＝1﹣1＝；a4﹣a3＝2﹣1＝，
故答案为：；．
（2）根据（1）可得：an+1﹣an＝，
故答案为：．
（3）证明：∵an＝++ ＝＝＝，
同理可得an+1＝，
∴an+1﹣an＝＝．
【点睛】本题考查的是数字的变化规律和多项式，从题目中找出式子之间的变化规律是解题的关键．
5．对于有理数a，b，定义新运算“△”，规则如下：a△b＝ab﹣a﹣b+4，如3△5＝3×5﹣3﹣5+4＝11．
（1）求3△（﹣4）的值．
（2）请你判断交换律在“△”运算中是否成立？并给出证明．
【点拨】（1）根据a△b＝ab﹣a﹣b+4，可以计算出所求式子的值；
（2）先判断，然后根据a△b＝ab﹣a﹣b+4，可以得到b△a＝ab﹣b﹣a+4，即可说明判断的正确性．
【解析】解：（1）∵a△b＝ab﹣a﹣b+4，
∴3△（﹣4）
＝3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）+4
＝﹣12+（﹣3）+4+4
＝﹣7；
（2）交换律在“△”运算中成立，
理由：由题意可得，a△b＝ab﹣a﹣b+4，b△a＝ab﹣b﹣a+4，
∴a△b＝b△a，
∴交换律在“△”运算中成立．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．计算：
（1）；
（2）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中．
【点拨】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解析】解：（1）
＝1+9×﹣
＝1+1﹣
＝；
（2）（1+x）（1﹣x）+x（x+2）
＝1﹣x2+x2+2x
＝1+2x，
当时，原式＝1+2×＝1+1＝2．
【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．（1）计算：；
（2）化简：．
【点拨】（1）根据去绝对值、特殊角的三角函数及负整数指数幂的运算法则进行计算即可；
（2）先变成同分母的分式，再进行计算即可．
【解析】解：（1）原式＝﹣1﹣2×+9
＝﹣1﹣+9
＝8；
（2）原式＝﹣
＝
＝
＝
＝a+1．
【点睛】本题主要考查分式的加减运算、特殊角的三角函数及负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
8．化简：（3n﹣4）﹣*（n﹣2）．
方方在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是4，请计算（3n﹣4）﹣4（n﹣2）．
（2）如果化简的结果是单项式，求被污染的数字．
【点拨】（1）根据单项式乘多项式和去括号法则，去掉括号，再合并同类项即可；
（2）分两种情况讨论：①化简结果是不含有n的单项式，②若化简结果是含有n的单项式，进行解答即可．
【解析】解：（1）（3n﹣4）﹣4（n﹣2）
＝3n﹣4﹣4n+8
＝3n﹣4n+8﹣4
＝﹣n+4；
（2）分两种情况：
①若化简结果是不含有n的单项式，则被污染的数字为3，
（3n﹣4）﹣3（n﹣2）
＝3n﹣4﹣3n+2
＝3n﹣3n+2﹣4
＝﹣2，
②若化简结果是含有n的单项式，则被污染数字为2，
（3n﹣4）﹣2（n﹣2）
＝3n﹣4﹣2n+4
＝3n﹣2n+4﹣4
＝n，
∴如果化简的结果是单项式，被污染的数字是3或2．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．
9．计算：
（1）（2x+1）2+（3+2x）（3﹣2x）；
（2）．
【点拨】（1）利用完全平方公式及平方差公式计算即可；
（2）利用算术平方根的定义，绝对值的性质，零指数幂计算即可．
【解析】解：（1）（2x+1）2+（3+2x）（3﹣2x）
＝4x2+4x+1+9﹣4x2
＝4x+10；
（2）﹣|﹣2|+（1+）0
＝2﹣2+1
＝1．
【点睛】本题考查完全平方公式，平方差公式及实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
10．先化简，再求值：÷（m+2﹣），其中m＝．
【点拨】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝，接着把已知条件变形得到m2+3m＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】解：原式＝÷
＝
＝
＝，
∵m＝，
∴2m+3＝，
∴（2m+3）2＝（）2，
即4m2+12m+9＝5，
∴m2+3m＝﹣1，
∴原式＝＝＝﹣．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
押题方向2：方程与不等式的解法
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年衢州卷第18题 解一元一次方程 从近几年浙江各地中考来看，方程（组）、不等式（组）的解法都放在解答题第1、2题，主要考查基本的运算能力，试题难度较低；预计2024年浙江卷还将继续考查这两个知识点，希望大家熟练掌握不要丢分哦！
2023年绍兴卷第17题 解一元一次不等式
2023年湖州卷第18题 解一元一次不等式组
2023年杭州卷第17题 一元二次方程的解法与根的判别式
2023年台州卷18题 解二元一次方程组
2023年舟山、嘉兴卷 第18题 解分式方程
1．（2023 衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：2×7x＝（4x﹣1）+1， …
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
（2）写出你的解答过程．
【点拨】（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．
【解析】解：（1）如图：
（2）去分母：2×7x＝（4x﹣1）+6，
去括号：14x＝4x﹣1+6，
移项：14x﹣4x＝﹣1+6，
合并同类项：10x＝5，
系数化1：x＝．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
2．（2023 绍兴）解不等式：3x﹣2＞x+4．
【点拨】利用解一元一次不等式的方法进行求解即可．
【解析】解：3x﹣2＞x+4，
移项得：3x﹣x＞4+2，
即：2x＞6，
系数化为1，得：x＞3，
∴原不等式的解集是：x＞3．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，实数的运算，解答的关键是对相应的知识的掌握．
3．（2023 台州）解方程组：．
【点拨】利用加减消元法求解即可．
【解析】解：，
①+②得3x＝9，
解得x＝3，
把x＝3代入①，得3+y＝7，
解得y＝4，
∴方程组的解是．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
4．（2023 杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【点拨】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在②③中选取，然后求解方程即可．
【解析】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，
∴②③均可，
选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝．
【点睛】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．
4．（2023 湖州）解一元一次不等式组．
【点拨】先解每一个不等式，再求它们的公共部分．
【解析】解：解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x＜2，
所以原不等式组的解集是﹣1＜x＜2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式是解题的关键。
5．（2023 浙江）小丁和小迪分别解方程﹣＝1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【点拨】根据解分式方程的步骤进行计算并判断即可．
【解析】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下：
﹣＝1，
两边同乘（x﹣2），去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，
移项，合并同类项得：x＝1，
检验：将x＝1代入（x﹣2）中可得：1﹣2＝﹣1≠0，
则x＝1是分式方程的解，
故原分式方程的解是x＝1．
【点睛】本题考查解分式方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（2023 丽水）解一元一次不等式组：．
【点拨】利用一元一次不等式的解法的一般步骤分别求得求得两个不等式的解集，最后确定不等式组的解集即可．
【解析】解：，
解不等式①，得：x＞1，
解不等式②，得：x＜3，
∴原不等式组的解集为：1＜x＜3．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法的一般步骤是解题的关键．
1、解一元一次方程的步骤为： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1；
2、解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法；
3、一元二次方程的解法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法四种.
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根．
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根．
③当Δ＜0时，方程没有实数根．
4、解一元一次不等式不等式的基本步骤为： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
注意：一元一次不等式两边同乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变．
5、解不等式组：一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小则无解”．
6、分式方程的解法：
(1)基本思路：分式方程转化为整式方程．
(2)基本方法和步骤：①去分母：在方程两边同时都乘 最简公分母转化为整式方程；②解这个整式方程；③检验：把求得的根代入 最简公分母，使最简公分母≠0的就是原方程的根，使最简公分母＝0的就是增根，应舍去．有时需要把求得的根代入原分式方程左右两边进行检验．
1．解不等式．小明解答过程如表，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：3（x﹣1）﹣2（2x+1）≥1…① 去括号得：3x﹣3﹣4x+1≥1…② 移项得：3x﹣4x≥1+3﹣1…③ 合并同类项得：﹣x≥3…④ 两边都除以﹣1得：x≥﹣3…⑤
【点拨】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，逐一判断即可解答．
【解析】解：错误步骤：①②⑤，
正确的解答过程如下：
，
3（x﹣1）﹣2（2x+1）≥6，
3x﹣3﹣4x﹣2≥6，
3x﹣4x≥6+3+2，
﹣x≥11
x≤﹣11．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x+2m﹣10＝0．
（1）求证：此一元二次方程总有实数根；
（2）已知△ABC两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长c＝3，若△ABC的周长为偶数，求m的值．
【点拨】（1）由根的判别式进行求解即可；
（2）由根与系数的关系可得：a+b＝m﹣3，ab＝2m﹣10，再结合三角形的三边关系进行求解即可．
【解析】证明：（1）Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（2m﹣10）
＝﹣m﹣14m+4y
＝（m﹣7）2，
∵无论m为何实数，（m﹣7）≥0，即△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意得：a+b＝m﹣3，ab＝2m﹣10，
设a＞b，则：，
据题意得：a﹣b＞3，则有：|m﹣7|＞3，
解得：6＜m＜10，
∵△ABC的周长：a+b+c＝m﹣3+3＝m，
∵周长m为偶数，
∴m＝8．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
3．以下是亮亮解方程的解答过程．
解：去分母，得3x﹣1﹣1＝2x．
移项，得3x﹣2x＝1+1．
合并同类项，得x＝2．
亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【点拨】根据一元一次方程的解题步骤检查并求解即可．
【解析】解：亮亮的解答过程有错误．正确的解答过程如下：
去分母，得3x﹣1﹣2＝2x，
移项，得3x﹣2x＝1+2，
合并同类项，得x＝3．
【点睛】本题考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是本题的关键．
4．佳佳解方程的过程如图所示，问：佳佳的解答是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【点拨】根据解分式方程的步骤进行判断即可．
【解析】解：×，正确步骤如下：
原方程去分母得：2﹣x＝﹣2+x﹣3，
整理得：2﹣x＝x﹣5，
解得：x＝3.5，
检验：当x＝3.5时，x﹣3≠0，
故原方程的解为x＝3.5．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
5．（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
【点拨】（1）分别求出不等式组中两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集及不等式组的最小整数解；
（2）方程两边同时乘以2（x﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
【解析】解：（1）解不等式①得：x 2，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴原不等式组的解集为﹣1＜x 2；
（2），
去分母得：2＝3+2（x﹣1），
解得：，
当时，2（x﹣1）≠0，
∴原分式方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的一般步骤，解分式方程的一般步骤是解决问题的关键．
6．解方程（组）：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）方程去分母，去括号，移项合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解；
（2）方程组利用代入消元法求解即可．
【解析】解：（1），
去分母，得：9x﹣12＝12x﹣（8x﹣3），
去括号得：9x﹣12＝12x﹣8x+3，
移项合并同类项得：5x＝15，
系数化为1得：x＝3；
（2），
解：将①代入②中，得12y﹣y＝11，
解得y＝1，
将y＝1代入①，得x+1＝6，
解得x＝5，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，二元一次方程组，掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解方程组的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数是解题的关键．
7．已知：关于x的方程2x2+kx+k﹣3＝0．
（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若k＝5，请解此方程．
【点拨】（1）由Δ＝k2﹣4×2（k﹣3）＝k2﹣8k+24＝（k﹣4）2+8＞0可得结论；
（2）将k＝5代入方程得2x2+5x+2＝0，利用配方法解方程即可．
【解析】解：（1）∵Δ＝k2﹣4×2（k﹣3）＝k2﹣8k+24＝（k﹣4）2+8＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k＝5时，原方程为：2x2+5x+2＝0，
∴（2x+1）（x+2）＝0，
∴，x2＝﹣2．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了配方法解一元二次方程．
8．关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0．
（1）如果方程有两个相等的实数根，求k的值；
（2）如果x1，x2是这个方程的两个根，且++3x1 x2＝25，求k的值．
【点拨】（1）根据方程有两个相等的实数根可知Δ＝0，求出k的值即可；
（2）求出x1 x2与x1+x2的值，代入代数式进行计算即可．
【解析】解：（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即Δ＝（﹣6）2﹣4k＝0，
解得k＝9；
（2）∵x1，x2是方程x2﹣6x+k＝0的两个根，
∴x1 x2＝k，x1+x2＝6，
∵++3x1 x2＝25，
∴++3x1 x2
＝（x1+x2）2﹣2x1x2+3x1x2
＝（x1+x2）2+x1x2
＝62+k，
∴62+k＝25，
解得k＝﹣11．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解题的关键．
9．观察以下二元一次方程组与对应的解：
二元一次方程组 …
解 …
（1）通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解．
（2）已知关于x，y的二元一次方程组（a≠b，a+b≠0）．
①猜想该方程组的解；
②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程．
【点拨】（1）根据表中数据总结规律即可求得答案；
（2）①根据所得规律即可求得答案；
②将①中所得的解分别代入方程中计算即可．
【解析】解：（1）由表格数据可得方程中两个未知数的解是相同的，它们的分子是等号右边的常数，分母是各方程中两个未知数系数的和，
则x＝y＝＝2024，
即原方程组的解为；
（2）①由（1）中规律可得该方程组的解为；
②将代入ax+by＝m，
左边＝a×+b×＝＝m＝右边；
将代入bx+ay＝m，
左边＝b×+a×＝＝m＝右边；
则是原方程组的解．
【点睛】本题考查规律探索问题及二元一次方程组的解，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
10．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．
素材2 小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元．
素材3 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额．
问题解决
任务1 假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右边问题． 问：y＝ x+20 （用含x的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
任务3 【拟定设计方案】 请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．
【点拨】任务1：根据一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，得y＝x+20；
任务2：根据小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，得x+4（x+20）＝130，可解得答案；
任务3：设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n张，得：30×0.8m+10n＝600，由m，n是非负整数，可求出m，n的值，再计算每种方案商家的利润，比较可得答案．
【解析】解：任务1：
∵一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，
∴y＝x+20；
故答案为：x+20；
任务2：
∵小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，
∴x+4（x+20）＝130，
解得x＝10，
∴x+20＝10+20＝30，
答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元；
任务3：
设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n张，
根据题意得：30×0.8m+10n＝600，
∴n＝，
∵m，n是非负整数，
∴或或或或或，
∵吉祥物钥匙扣每件利润为30×0.8﹣18＝6（元），明信片每张利润为10﹣5＝5（元），
∴购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60张，商家获利300元；
购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48张，商家获利270元；
购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36张，商家获利240元；
购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24张，商家获利210元；
购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12张，商家获利180元；
购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0张，商家获利150元；
答：可行的购买方案有：购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60张或购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48张，或购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36张或购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24张或购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12张或购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0张；其中购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60张商家获利最高．
【点睛】本题考查一元一次方程，二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题．
押题方向3：统计综合问题
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年温州卷第19题 平均数、中位数、众数 从近几年浙江各地中考来看，统计综合总是占据一席之地，通常以解答题亮相，对于基础扎实的同学来说，这些题目无疑是送分的良机。主要考点为：统计图表相关知识、样本估计总体等；预计2024年浙江卷还将在解答题中考查统计相关知识。
2023年湖州卷第20题、杭州卷第18题、金华卷第19题 条形统计图
2023年衢州卷第20题，舟山、嘉兴卷第21题 扇形统计图
2023年绍兴卷第18题，丽水卷第20题 用样本估计总体
2023年台州卷第22题 统计量的选择
2023年宁波卷第20题 频数（率）分布直方图
1．（2023 丽水）为全面提升中小学生体质健康水平，我市开展了儿童青少年“正脊行动”．人民医院专家组随机抽取某校各年级部分学生进行了脊柱健康状况筛查．根据筛查情况，李老师绘制了两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生脊柱健康情况统计表
类别 检查结果 人数
A 正常 170
B 轻度侧弯 20
C 中度侧弯 7
D 重度侧弯 3
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）该校共有学生1600人，请估算脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数；
（3）为保护学生脊柱健康，请结合上述统计数据，提出一条合理的建议．
【点拨】（1）从所取样本中根据正常的人数和所占比例求出样本总数；
（2）由扇形统计图可直接求脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数；
（3）根据数据提出一条建议即可．
【解析】解：（1）抽取的学生总人数是：170÷85%＝200（人），
200×10%＝20（人），
200×（1﹣10%﹣85%）﹣7
＝200×5%﹣7
＝10﹣7
＝3（人），
∴共有170+20+7+3＝200（人），
答：所抽取的学生总人数为200人．
故答案为：20，3；
（2）由扇形统计图可得，脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数为：
1600×（1﹣10%﹣85%）
＝1600×5%
＝80（人）．
答：估计脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数是80人；
（3）答案不唯一，例如：该校学生脊柱侧弯人数占15%，说明该校学生脊柱侧弯情况较为严重，建议学校要每天组织学生做护脊操等．
【点睛】本题考查扇形统计图、统计表以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．
2．（2023 衢州）【数据的收集与整理】
根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为5‰．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为5.5‰，死亡率为8‰，人口自然增长率为﹣2.5‰，常住人口数为a人（‰表示千分号）．
（数据来源：衢州市统计局）
【数据分析】
（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系．
（2）已知本次调查的样本容量为11450，请推算a的值．
（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如图统计图．根据统计图分析：
①对图中信息作出评判（写出两条）．
②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议．
【点拨】（1）根据自然增长率与出生率、死亡率的数值即可推测它们之间的关系；
（2）根据样本容量＝总体×抽样比例求出a的值即可；
（3）①根据统计图进行解答，合理即可；
②根据目前人口自然增长率的趋势，提出建议改善现状，合理即可．
【解析】解：（1）根据题意可知，人口自然增长率＝出生率﹣死亡率．
（2）5‰a＝11450，解得a＝2290000．
（3）①近5年来，我市及全国人口自然增长率逐年下降；自2021年起，我市人口呈现负增长（答案不唯一，合理即可）；
②建议国家加大政策优惠力度和补贴力度，降低生育成本，鼓励人们多生育（答案不唯一，合理即可）．
【点睛】本题考查总体、个体、样本、样本容量，理解并掌握它们的概念是本题的关键．
3．（2023 湖州）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
【点拨】（1）将其他类人数除以其所占的比即可求出被抽查的人数；将科技类人数除以被抽查的人数化成百分数，即可求出m的值；
（2）先求出艺术类人数，再补全条形统计图即可；
（3）将1200乘以样本中最喜欢“文学类”书籍所占的比例即可估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
【解析】解：（1）被抽查的学生人数是 40÷20%＝200（人），
∵，
∴扇形统计图中m的值是40，
答：被抽查的学生人数为200人，扇形统计图中m的值为40；
（2）200﹣60﹣80﹣40＝20（人），
补全的条形统计图如图所示．
（3）∵（人），
∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有360人．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
4．（2023 金华）为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图，请根据图表信息回答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙“课程的教室至少需要几间．
【点拨】（1）从两个统计图可知，样本中选择“包粽子”的学生有18人，占被调查人数的36%，根据频率＝进行计算即可，求出选择“采艾叶”的学生人数即可补全条形统计图；
（2）求出样本中，选择“折纸龙”的学生所占的百分比，进而估计总体中选择“折纸龙”所占的百分比，再根据频率＝即可求出总体中选择“折纸龙”的学生人数，进而求出所需要的教室的数量．
【解析】解：（1）18÷36%＝50（人），
选择“采艾叶”的学生人数为：50﹣8﹣18﹣10＝14（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）1000×＝160（人），160÷30≈6（间），
答：开设“折纸龙“课程的教室至少需要6间．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率＝是正确解答的前提．
5．（2023 绍兴）某校兴趣小组通过调查，形成了如表调查报告（不完整）．
调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目 2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生
调查内容 调查你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A．篮球 B．乒乓球 C．足球 D．排球 E．羽毛球
调查结果
建议 …
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了多少名学生？
（2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数．
（3）假如你是小组成员，请向该校提一条合理建议．
【点拨】（1）根据乒乓球的人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）用900乘样本中最喜爱篮球项目的人数所占比例即可；
（3）根据最喜爱的球类运动项目所占百分比解答即可（答案不唯一）．
【解析】解：（1）30÷30%＝100（名），
答：本次调查共抽查了100名学生．
（2）被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：100×5%＝5（名），
∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：100﹣30﹣10﹣15﹣5＝40（名），
＝360（名），
答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360名．
（3）答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
6．（2023 宁波）宁波象山作为杭州亚运会分赛区，积极推进各项准备工作．某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从全校1200名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：合格（60≤x＜70），一般（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如下统计图（部分信息未给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为一般的学生人数，并补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）这次测试成绩的中位数是什么等级？
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有多少人？
【点拨】（1）由优秀人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出一般等级人数，从而补全图形；
（2）用360°乘以样本中“良好”等级人数所占比例即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）用总人数乘以样本中良好和优秀人数和所占比例即可．
【解析】解：（1）被调查的总人数为40÷20%＝200（人），
测试成绩为一般的学生人数为200﹣（30+40+70）＝60（人），
补全图形如下：
（2）360°×＝126°，
答：扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为126°；
（3）这组数据的中位数是第100、101个数据的平均数，而这2个数据均落在良好等级，
所以这次测试成绩的中位数是良好；
（4）1200×＝660（人），
答：估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有660人．
【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是计算出抽取的人数，利用数形结合的思想解答．
7．（2023 温州）某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210km，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km）
B 216 215 220
C 227.5 227.5 225
（1）阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数；
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
【点拨】（1）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解；
（2）根据平均数、中位数、众数的意义，结合往返行程为210km，三种型号电动汽车出租的每辆车每天的费用即可作出判断．
【解析】解：（1）A型号汽车的平均里程为：＝200（km），
20个数据按从小到大的顺序排列，第10，11个数据均为200km，所以中位数为200km；
205km出现了六次，次数最多，所以众数为205km；
（2）选择B型号汽车．理由如下：
A型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于210km，且只有10%的车辆能达到行程要求，故不建议选择；B，C型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过210km，其中B型号汽车有90%符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠，故建议选择B型号汽车．
【点睛】本题考查的是折线统计图，平均数、众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握定义是解题的关键．
8．（2023 杭州）某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图．
（3）已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．
【点拨】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）结合（1）的结论求出B类的人数，进而补全条形统计图；
（3）总人数乘以样本中B类别人数所占比例．
【解析】解：（1）60÷30%＝200（名），
答：在这次抽样调查中，共调查了200名学生；
（2）样本中B类的人数为：200﹣60﹣10﹣10＝120（名），
补全条形统计图如下：
（3）1000×＝600（名），
答：估计B类的学生人数约600名．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
9．（2023 台州）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
测试分数x 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 20＜x≤25
控制班A 28 9 9 3 1
实验班B 25 10 8 2 1
表2：后测数据
测试分数x 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 20＜x≤25
控制班A 14 16 12 6 2
实验班B 6 8 11 18 3
（1）A，B两班的学生人数分别是多少？
（2）请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．
（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．
【点拨】（1）将表格中A、B班各等级人数分别相加即可得出答案；
（2）分别计算出A、B班级成绩的平均数，再从平均数、中位数和百分率方面求解即可；
（3）计算出前测A、B班级成绩的平均数，再与后测的平均数、中位数及百分率分析求解即可．
【解析】解：（1）A班的人数：28+9+9+3+1＝50（人），
B班的人数：25+10+8+2+1＝46（人），
答：A，B两班的学生人数分别是50人，46人．
（2）＝＝9.1，
＝≈12.9，
从平均数看，B班成绩好于A班成绩．
从中位数看，A班中位数在5＜x≤10这一范围，B班中位数在10＜x≤15这一范围，B班成绩好于A班成绩．
从百分率看，A班15分以上的人数占16%，B班15分以上的人数约占46%，B班成绩好于A班成绩．
（3）前测结果中：
，
．4，
从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从中位数看，两班前测中位数均在0＜x≤5这一范围，后测A班中位数在5＜x≤10这一范围，B班中位数在10＜x≤15这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从百分率看，A班15分上的人数增加了100%，B班15分以上的人数增加了600%，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握加权平均数、中位数的定义和意义．
两种统计图表结合的统计信息题：常通过同一分组内两个图表都能得到的已知信息找出突破口，通常从条形图或直方图得到某小组的数据，从扇形图得到该小组的百分比，从而得出数据总数.平均数、众数、中位数是从不同角度描述一组数据的集中趋势.在推断性统计中，用部分推断总体，是一种重要的思想方法,学会从多个图中了解同一个事项的统计数据.抓住统计图之间的信息互补的作用.
1．某校开展传统文化知识竞赛活动，500名七年级学生和600名八年级学生全部参赛．老师从两个年级中各随机抽取了10名学生的成绩，具体如下：
七年级：68，88，100，100，79，94，89，85，100，88．
八年级：69，97，100，89，98，100，66，100，95，100．
又对这些成绩进行了整理、分析（数据不完整）；
【整理数据】
分数段分组 七年级人数 人数
A 60≤x≤69 1 2
B 70≤x≤79 1 0
C 80≤x≤89 4 1
D 90≤x≤100 4 7
【分析数据】
项目 平均数 中位数 满分率
七年级 a 88.5 30%
八年级 91.4 b 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请完成条形统计图，并写出a，b的值．
（2）你估计八年级在本次测试中一共有多少人能取得满分？
（3）你认为哪个年级本次知识竞赛的总体水平更好，请说明理由．
【点拨】（1）根据频数分布表中的数据即可补全条形统计图，根据平均数、中位数的计算方法求出样本中七年级10名学生成绩的平均数，八年级10名学生成绩的中位数即可；
（2）求出样本中八年级学生得分为100分的学生所占的百分比，进而估计总体中100分学生所占的百分比，利用频率＝进行计算即可；
（3）从平均数，中位数以及满分率的大小进行判断即可．
【解析】解：（1）由频数统计表中的数据可知，七年级分数段C组，即80≤x≤89的人数为4人，
因此补全条形统计图如图所示：
七年级学生成绩的平均数a＝＝89.1（分），
将样本中八年级10名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝99（分），
所以八年级10名学生的成绩的中位数是99，即b＝99；
（2）600×＝240（人），
答：估计八年级在本次测试中约有240人能取得满分；
（3）八年级的学生成绩较好，
理由：不论是学生成绩的平均数、中位数，还是满分率八年级的学生均比七年级的学生的高，
所以八年级学生成绩较好．
【点睛】本题考查频数分布表，条形统计图，中位数、平均数，掌握平均数、中位数的计算方法以及频率＝是正确解答的关键．
2．学校为加强学生垃圾分类方面的知识普及，开设了垃圾分类臻善德育小课培训学．为了解培训效果，学校对七年级544名学生在学习前和培训后各进行一次垃圾分类知晓情况检测，两次检测项目相同，政教处依据同一标准进行问卷评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分．学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成如图的条形统计图：
（1）这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为 合格 ；（填“合格”、“良好”或“优秀”）
（2）求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？
（3）利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？
【点拨】（1）中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；
（2）根据加权平均数的计算公式计算即可；
（3）用样本估计总体即可．
【解析】解：（1）由题意得，这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为合格，
故答案为：合格；
（2）培训前的平均分为：（25×2+5×6+2×8）÷32＝3（分），
培调后的平均分为：（8×2+16×6+8×8）÷32＝5.5（分），
培训后比培训前的平均分提高2.5分；
（3）样本中培训后“良好”的比例为：，
样本中培训后“优秀”的比例为：＝0.25，
∴培训后考分等级为“良好”与“优秀”的学生共有544×（0.5+0.25）＝408（名）．
答：培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和大约是408名．
【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
3．某报社为了了解市民“获取新闻的主要途径”，开展了一次抽样调查（参与问卷调查的市民只能从表格的五类中选择一类），并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图如下．
类别 A B C D E
获取新闻途径 电脑上网 手机上网 电视 报纸 其他
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次接受调查的市民共有 2000 人；
（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是 28.8° ，并补全条形统计图；
（3）若该市约有90万人，请估计选择“电视获取新闻”的人数．
【点拨】（1）根据电脑上网的人数除以电脑上网所占的百分比，可得答案；
（2）用360°乘以“E”人数所占比例，可得答案；用总人数乘25%可得“D”的人数，即可补全图形；
（3）根据样本估计总体，可得答案．
【解析】解：（1）本次接受调查的市民共有300÷15%＝2000（人），
故答案为：2000；
（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是 360°×，
选D类的人数为2000×25%＝500（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：28.8°；
（3）90×40%＝36（万人），
答：估计选择“电视获取新闻”的人数约36万人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体．
4．今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如表：
八年级10个班成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
班级个数 1 3 a b 1
已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）a＝ 1 ，b＝ 4 ；
（2）八年级成绩的中位数为 8.5 分；
（3）若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”．
【点拨】（1）根据八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数和表格中的数据，可以得到a、b的值；
（2）根据表格中的数据，可以得到八年级成绩的中位数；
（3）先计算出八年级成绩的平均数，再与8.5比较大小即可．
【解析】解：（1）∵八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数，
∴b＝4，则a＝10﹣1﹣3﹣4﹣1＝1，
故答案为：1，4；
（2）由表格可得，
八年级的中位数为：（8+9）÷2＝17÷2＝8.5（分），
故答案为：8.5；
（3）由表格可得，
八年级的平均分为：（6×1+7×3+8×1+9×4+10×1）÷10＝8.1（分），
∵8.1＜8.5，
∴本次活动八年级不能获得“优秀组织奖”．
【点睛】本题考查众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的数据．
5．为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据，现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计：
七年级：7，6，8，7，4，7，6，10，7，8．
八年级：6，8，8，5，5，8，8，8，7，7．
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 7 7 7 2.2
八年级 7 a b c
（1）填空：a＝ 7.5 ，b＝ 8 ，c＝ 1.4 ；
（2）甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由；
（3）结合以上数据你认为那个年级的阅读情况较好，请说明理由．
【点拨】（1）根据中位数、众数和方差的定义即可求出答案；
（2）根据中位数的定义即可求出答案；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【解析】解：（1）把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：5，5，6，7，7，8，8，8，8，8，
所以中位数为a＝＝7.5，众数b＝8，
方差c＝×[2×（5﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+5×（8﹣7）2]＝1.4；
故答案为：7.5，8，1.4；
（2）甲的说法不对，
理由：八年级的中位数7.5大于7.2，所以甲位于年级中下水平；
（3）八年级的阅读情况较好，
理由：因为七、八年级的平均数相等，但是八年级的中位数、众数都大于七年级的，方差小于七年级的方差，所以八年级的阅读情况较好．
【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
6．中国人有在端午节这一天吃“粽子”的传统，寓意“祈福高中”．某粽子加工厂家为迎接端午的到来，组织了“浓情端午 粽叶飘香”员工包粽子比赛，规定所包粽子质量为（160±3）g时都符合标准，其中质量（160±1）g为优秀产品．现从甲乙两位员工所包粽子中各随机抽取10个进行评测，质量分别如下（单位：g）：
甲：157，157，159，159，160，161，161，161，162，163
乙：158，158，159，159，159，159，161，162，162，163
分析数据如表：
员工 平均数 中位数 众数 方差
甲 160 160.5 a 3.6
乙 b 159 159 c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ 161 ，b＝ 160 ，c＝ 3 ．
（2）若比赛规则的评判标准里看重所包粽子质量是否符合标准以及粽子质量的稳定性，根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工更加优秀？请说明理由．
（3）在此次比赛中，甲员工共包了100个粽子，乙员工共包了104个粽子，请你估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，并判断若以此作为评判标准哪位员工更加优秀？请说明理由．
【点拨】（1）将乙的数据加和再除以10算出平均数，再利用方差计算公式计算乙的方差，根据众数的定义求出甲的众数即可；
（2）比较两者方差的大小即可；
（3）利用样本估计总体求出两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，求出两位员工各自所包粽子的优秀率，即可得出答案．
【解析】解：（1）由题意得a＝161，
b＝×（158+158+159+159+159+159+161+162+162+163）＝160，
c＝×[2×（160﹣158）2+4×（160﹣159）2+（160﹣161）2+2×（160﹣162）2+（160﹣163）2]＝3，
故答案为：161，160，3；
（2）乙员工更加优秀，理由如下：
因为乙的方差小于甲的方差，
所以乙所包粽子质量质量比较稳定；
（3）100×＝60（个），
104×＝52（个），
∵甲员工所包粽子的优秀率为＝60%，
乙员工所包粽子的优秀率为＝50%，
甲员工所包粽子的优秀率大于乙员工所包粽子的优秀率，
∴甲员工更加优秀．
【点睛】本题考查了平均数、方差的意义，解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．也考查了平均数与方差的计算．
7．某校积极开展“学法、知法、守法”为主题的教育活动，全校1200名学生积极参与学习．为考查学生对法律知识的了解情况，学校组织全体学生参加了法律知识竞赛（笔试），随机抽取了部分学生的笔试成绩进行分析，并绘制了如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：
（1）填空：随机抽取的学生的总人数是 40 人，n＝ 30 ；
（2）求样本中法律知识竞赛成绩良好的学生人数，并补全条形统计图；
（3）试估计该校这次法律知识竞赛成绩达到良好或优秀的学生总共有多少人？
【点拨】（1）利用类别为C的人数除其所占百分比即得出总人数；利用类别为A的人数除总人数即可求出n的值；
（2）利用总人数减去其它已知类别的人数，即得出样本中法律知识竞赛成绩良好的学生人数，再补全统计图即可；
（3）用总人数乘良好或优秀的学生所占百分比即可．
【解析】解：（1）10÷25%＝40（人），
∴随机抽取的学生的总人数是40人；
12÷40×100%＝30%，
∴n＝30．
故答案为：40，30；
（2）40﹣12﹣10﹣2＝16（人），
∴法律知识竞赛成绩良好的学生人数为16人．
补全条形统计图如下：
（3）（人），
答：估计该校这次法律知识竞赛成绩达到良好或优秀的学生总共有840人．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图相关联，用样本估计总体．由条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键．
8．网约车给人们的出行带来了便利．小明同学对A公司和B公司两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查．
【收集数据】小明收集了两家公司各10名司机月收入情况（单位：千元），数据如下：
A公司为4，5，9，10，4，5，5，5，4，9；
B公司为4，5，7，8，6，7，6，5，6，6．
【整理数据】绘制统计表和统计图
A公司网约车司机收入频数分布表
月收入 4千元 5千元 9千元 10千元
人数（个） 3 4 2 1
【分析数据】
平均月收入（千元） 中位数 众数 方差
A公司 a 5 5 5
B公司 6 b 6 1.2
根据上述信息，回答下列问题：
（1）a＝ 6 ，b＝ 6 ，m＝ 40 ．
（2）请求出扇形统计图中圆心角n的度数．
（3）小明的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你会建议叔叔选择哪家公司？请说明理由．
【点拨】（1）根据平均数公式或加权平均数公式计算即可求出a的值；根据中位数的确定方法即可确定b的值；将样本中B公司月收入为6千元的人数除以10，再乘以100即可求出m；
（2）将样本中B公司月收入为7千元的人数除以10，再乘以360°即可求出n；
（3）根据平均数，中位数，众数，方差的意义可提出建议，说明理由．
【解析】解：（1）a＝＝6；
∵将B公司数据由小到大排列为：4，5，5，6，6，6，6，7，7，8，
∴b＝（6+6）÷2＝6；
m＝×100＝40，
故答案为：6，6，40；
（2）n＝×360°＝72°，
答：扇形统计图中圆心角n的度数为72°；
（3）建议叔叔选择B公司．
理由：因为两家出租车公司平均月收入相同，但B公司的中位数和众数分别高于A公司的中位数和众数，B公司的方差小于A公司的方差，说明B公司收入波动比A公司收入波动小，故选B公司．
【点睛】本题考查扇形统计图，频数分布表，平均数，中位数，众数，明确相关统计量的意义是解题的关键．
9．甲、乙两工厂为某公司生产同一款衬衫，质检员在两个工厂各抽查六次进行质检．每次随机抽取100件，获得数据后绘制成如图统计图，并对数据统计如表，公司规定合格率大于等于92%视作本次质检通过．
工厂 通过次数（次） 平均数（件） 中位数（件） 众数（件）
甲工厂 a c 94.5 97
乙工厂 b 94 d 94
（1）求a、b、c、d的值．
（2）公司打算从甲、乙两工厂中选择一个继续生产．请你以质检员的身份向公司推荐一家工厂，从多个角度分析数据，简述推荐理由．
【点拨】（1）根据合格数量和平均数中位数的定义解答即可；
（2）根据合格数量和平均数、中位数、众数的意义解答即可．
【解析】解：（1）由图可知a＝4，b＝5，
c＝＝94，
d＝＝94；
（2）推荐甲工厂．
理由：虽然甲工厂的质检通过次数比乙少一次，但是平均数与乙相同，中位数、众数均大于乙，并且从折线统计图看，甲工厂在质检中衬衫的合格数量越来越多，而乙越来越少．
【点睛】本题考查了中位数、众数以及平均数，解题的关键是掌握相关的概念并灵活运用．
10．某学校近期开展了“亮眼控肥”系列活动，旨在增强学生爱眼护眼和预防肥胖的意识，使学生在日常生活中保持良好的用眼，饮食和运动习惯．为了了解学生对于“亮眼控肥”知识的掌握情况，该学校采用随机抽样的调查方式，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）该学校抽样调查的学生人数是 80 人．
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数．
（3）若该学校共有学生1600人，请估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握情况为“合格”和“待合格”的总人数．
【点拨】（1）由“优秀”的有36人，占45%，可求被抽样调查的学生人数；
（2）由（1）可求出“良好”的人数，继而补全条形统计图；根据被抽样调查的学生人数和求“合格”人数可得扇形统计图中“合格”部分所对应扇形的圆心角；
（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
【解析】解：（1）被抽样调查的学生人数是：36÷45%＝80（人），
故答案为：80；
（2）“良好”的人数：80﹣36﹣16﹣4＝24（人），
补全图形如下：
360°×＝72°，
∴扇形统计图中“合格”部分所对应的圆心角的度数为72度；
（3）估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的人数为：
1600×＝1600×＝400（人），
答：估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的总人数为400人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
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押题方向1：数式运算
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州、金华、台州、丽水卷第17题 实数混合运算 从近年浙江各地中考来看，实数混合运算、整式的运算、分式的运算都在解答题第1题进行考查，主要考查基本的运算能力，试题难度较低；预计2024年浙江卷还将继续考查这几个知识点，希望大家熟练掌握不要丢分哦！
2023年衢州、温州卷第17题 分式的加减
2023年宁波、舟山、嘉兴卷第17题 整式的运算
1．（2023 金华）计算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．
2．（2023 衢州）（1）计算：（a+2）（a﹣2）．
（2）化简：+2．
3．（2023 金华）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．
4．（2023 宁波）计算：
（1）（1+）0+|﹣2|﹣．
（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．
5．（2023 温州）计算：
（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；
（2）﹣．
6．（2023 浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
1、实数的混合运算主要考查零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、乘方、二次根式等，需要学生熟记相应的运算公式和值。
2、整式的运算主要考查多项式乘法、乘法公式、整式的加减，会运用多项式的乘法法则、乘法公式、合并同类项法则是解题的关键。
3、分式的运算主要考查分式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
1．先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（b2﹣3ab），其中a＝﹣1，b＝2．
2．观察以下等式：
第1个等式：2×2＝2+2，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请直接写出第6个等式．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
3．（1）．
（2）先化简，再求值：，其中．
4．观察下面的一列数：，，，．
（1）尝试：；a3﹣a2＝ ；a4﹣a3＝ ．
（2）归纳：an+1﹣an＝ ．
（3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
5．对于有理数a，b，定义新运算“△”，规则如下：a△b＝ab﹣a﹣b+4，如3△5＝3×5﹣3﹣5+4＝11．
（1）求3△（﹣4）的值．
（2）请你判断交换律在“△”运算中是否成立？并给出证明．
6．计算：
（1）；
（2）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中．
7．（1）计算：；
（2）化简：．
8．化简：（3n﹣4）﹣*（n﹣2）．
方方在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是4，请计算（3n﹣4）﹣4（n﹣2）．
（2）如果化简的结果是单项式，求被污染的数字．
9．计算：
（1）（2x+1）2+（3+2x）（3﹣2x）；
（2）．
10．先化简，再求值：÷（m+2﹣），其中m＝．
押题方向2：方程与不等式的解法
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年衢州卷第18题 解一元一次方程 从近几年浙江各地中考来看，方程（组）、不等式（组）的解法都放在解答题第1、2题，主要考查基本的运算能力，试题难度较低；预计2024年浙江卷还将继续考查这两个知识点，希望大家熟练掌握不要丢分哦！
2023年绍兴卷第17题 解一元一次不等式
2023年湖州卷第18题 解一元一次不等式组
2023年杭州卷第17题 一元二次方程的解法与根的判别式
2023年台州卷18题 解二元一次方程组
2023年舟山、嘉兴卷 第18题 解分式方程
1．（2023 衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：2×7x＝（4x﹣1）+1， …
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
（2）写出你的解答过程．
2．（2023 绍兴）解不等式：3x﹣2＞x+4．
3．（2023 台州）解方程组：．
4．（2023 杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
4．（2023 湖州）解一元一次不等式组．
5．（2023 浙江）小丁和小迪分别解方程﹣＝1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
6．（2023 丽水）解一元一次不等式组：．
1、解一元一次方程的步骤为： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1；
2、解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法；
3、一元二次方程的解法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法四种.
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根．
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根．
③当Δ＜0时，方程没有实数根．
4、解一元一次不等式不等式的基本步骤为： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
注意：一元一次不等式两边同乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变．
5、解不等式组：一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小则无解”．
6、分式方程的解法：
(1)基本思路：分式方程转化为整式方程．
(2)基本方法和步骤：①去分母：在方程两边同时都乘 最简公分母转化为整式方程；②解这个整式方程；③检验：把求得的根代入 最简公分母，使最简公分母≠0的就是原方程的根，使最简公分母＝0的就是增根，应舍去．有时需要把求得的根代入原分式方程左右两边进行检验．
1．解不等式．小明解答过程如表，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：3（x﹣1）﹣2（2x+1）≥1…① 去括号得：3x﹣3﹣4x+1≥1…② 移项得：3x﹣4x≥1+3﹣1…③ 合并同类项得：﹣x≥3…④ 两边都除以﹣1得：x≥﹣3…⑤
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x+2m﹣10＝0．
（1）求证：此一元二次方程总有实数根；
（2）已知△ABC两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长c＝3，若△ABC的周长为偶数，求m的值．
3．以下是亮亮解方程的解答过程．
解：去分母，得3x﹣1﹣1＝2x．
移项，得3x﹣2x＝1+1．
合并同类项，得x＝2．
亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
4．佳佳解方程的过程如图所示，问：佳佳的解答是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
5．（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
6．解方程（组）：
（1）；
（2）．
7．已知：关于x的方程2x2+kx+k﹣3＝0．
（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若k＝5，请解此方程．
8．关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0．
（1）如果方程有两个相等的实数根，求k的值；
（2）如果x1，x2是这个方程的两个根，且++3x1 x2＝25，求k的值．
9．观察以下二元一次方程组与对应的解：
二元一次方程组 …
解 …
（1）通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解．
（2）已知关于x，y的二元一次方程组（a≠b，a+b≠0）．
①猜想该方程组的解；
②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程．
10．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．
素材2 小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元．
素材3 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额．
问题解决
任务1 假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右边问题． 问：y＝ x+20 （用含x的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
任务3 【拟定设计方案】 请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．
押题方向3：统计综合问题
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年温州卷第19题 平均数、中位数、众数 从近几年浙江各地中考来看，统计综合总是占据一席之地，通常以解答题亮相，对于基础扎实的同学来说，这些题目无疑是送分的良机。主要考点为：统计图表相关知识、样本估计总体等；预计2024年浙江卷还将在解答题中考查统计相关知识。
2023年湖州卷第20题、杭州卷第18题、金华卷第19题 条形统计图
2023年衢州卷第20题，舟山、嘉兴卷第21题 扇形统计图
2023年绍兴卷第18题，丽水卷第20题 用样本估计总体
2023年台州卷第22题 统计量的选择
2023年宁波卷第20题 频数（率）分布直方图
1．（2023 丽水）为全面提升中小学生体质健康水平，我市开展了儿童青少年“正脊行动”．人民医院专家组随机抽取某校各年级部分学生进行了脊柱健康状况筛查．根据筛查情况，李老师绘制了两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生脊柱健康情况统计表
类别 检查结果 人数
A 正常 170
B 轻度侧弯 20
C 中度侧弯 7
D 重度侧弯 3
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）该校共有学生1600人，请估算脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数；
（3）为保护学生脊柱健康，请结合上述统计数据，提出一条合理的建议．
2．（2023 衢州）【数据的收集与整理】
根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为5‰．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为5.5‰，死亡率为8‰，人口自然增长率为﹣2.5‰，常住人口数为a人（‰表示千分号）．
（数据来源：衢州市统计局）
【数据分析】
（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系．
（2）已知本次调查的样本容量为11450，请推算a的值．
（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如图统计图．根据统计图分析：
①对图中信息作出评判（写出两条）．
②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议．
3．（2023 湖州）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
4．（2023 金华）为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图，请根据图表信息回答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙“课程的教室至少需要几间．
5．（2023 绍兴）某校兴趣小组通过调查，形成了如表调查报告（不完整）．
调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目 2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生
调查内容 调查你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A．篮球 B．乒乓球 C．足球 D．排球 E．羽毛球
调查结果
建议 …
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了多少名学生？
（2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数．
（3）假如你是小组成员，请向该校提一条合理建议．
6．（2023 宁波）宁波象山作为杭州亚运会分赛区，积极推进各项准备工作．某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从全校1200名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：合格（60≤x＜70），一般（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如下统计图（部分信息未给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为一般的学生人数，并补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）这次测试成绩的中位数是什么等级？
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有多少人？
7．（2023 温州）某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210km，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km）
B 216 215 220
C 227.5 227.5 225
（1）阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数；
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
8．（2023 杭州）某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图．
（3）已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．
9．（2023 台州）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
测试分数x 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 20＜x≤25
控制班A 28 9 9 3 1
实验班B 25 10 8 2 1
表2：后测数据
测试分数x 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 20＜x≤25
控制班A 14 16 12 6 2
实验班B 6 8 11 18 3
（1）A，B两班的学生人数分别是多少？
（2）请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．
（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．
两种统计图表结合的统计信息题：常通过同一分组内两个图表都能得到的已知信息找出突破口，通常从条形图或直方图得到某小组的数据，从扇形图得到该小组的百分比，从而得出数据总数.平均数、众数、中位数是从不同角度描述一组数据的集中趋势.在推断性统计中，用部分推断总体，是一种重要的思想方法,学会从多个图中了解同一个事项的统计数据.抓住统计图之间的信息互补的作用.
1．某校开展传统文化知识竞赛活动，500名七年级学生和600名八年级学生全部参赛．老师从两个年级中各随机抽取了10名学生的成绩，具体如下：
七年级：68，88，100，100，79，94，89，85，100，88．
八年级：69，97，100，89，98，100，66，100，95，100．
又对这些成绩进行了整理、分析（数据不完整）；
【整理数据】
分数段分组 七年级人数 人数
A 60≤x≤69 1 2
B 70≤x≤79 1 0
C 80≤x≤89 4 1
D 90≤x≤100 4 7
【分析数据】
项目 平均数 中位数 满分率
七年级 a 88.5 30%
八年级 91.4 b 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请完成条形统计图，并写出a，b的值．
（2）你估计八年级在本次测试中一共有多少人能取得满分？
（3）你认为哪个年级本次知识竞赛的总体水平更好，请说明理由．
2．学校为加强学生垃圾分类方面的知识普及，开设了垃圾分类臻善德育小课培训学．为了解培训效果，学校对七年级544名学生在学习前和培训后各进行一次垃圾分类知晓情况检测，两次检测项目相同，政教处依据同一标准进行问卷评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分．学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成如图的条形统计图：
（1）这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为 合格 ；（填“合格”、“良好”或“优秀”）
（2）求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？
（3）利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？
3．某报社为了了解市民“获取新闻的主要途径”，开展了一次抽样调查（参与问卷调查的市民只能从表格的五类中选择一类），并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图如下．
类别 A B C D E
获取新闻途径 电脑上网 手机上网 电视 报纸 其他
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次接受调查的市民共有 2000 人；
（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是 28.8° ，并补全条形统计图；
（3）若该市约有90万人，请估计选择“电视获取新闻”的人数．
4．今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如表：
八年级10个班成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
班级个数 1 3 a b 1
已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）a＝ 1 ，b＝ 4 ；
（2）八年级成绩的中位数为 8.5 分；
（3）若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”．
5．为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据，现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计：
七年级：7，6，8，7，4，7，6，10，7，8．
八年级：6，8，8，5，5，8，8，8，7，7．
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 7 7 7 2.2
八年级 7 a b c
（1）填空：a＝ 7.5 ，b＝ 8 ，c＝ 1.4 ；
（2）甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由；
（3）结合以上数据你认为那个年级的阅读情况较好，请说明理由．
6．中国人有在端午节这一天吃“粽子”的传统，寓意“祈福高中”．某粽子加工厂家为迎接端午的到来，组织了“浓情端午 粽叶飘香”员工包粽子比赛，规定所包粽子质量为（160±3）g时都符合标准，其中质量（160±1）g为优秀产品．现从甲乙两位员工所包粽子中各随机抽取10个进行评测，质量分别如下（单位：g）：
甲：157，157，159，159，160，161，161，161，162，163
乙：158，158，159，159，159，159，161，162，162，163
分析数据如表：
员工 平均数 中位数 众数 方差
甲 160 160.5 a 3.6
乙 b 159 159 c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）若比赛规则的评判标准里看重所包粽子质量是否符合标准以及粽子质量的稳定性，根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工更加优秀？请说明理由．
（3）在此次比赛中，甲员工共包了100个粽子，乙员工共包了104个粽子，请你估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，并判断若以此作为评判标准哪位员工更加优秀？请说明理由．
7．某校积极开展“学法、知法、守法”为主题的教育活动，全校1200名学生积极参与学习．为考查学生对法律知识的了解情况，学校组织全体学生参加了法律知识竞赛（笔试），随机抽取了部分学生的笔试成绩进行分析，并绘制了如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：
（1）填空：随机抽取的学生的总人数是 人，n＝ ；
（2）求样本中法律知识竞赛成绩良好的学生人数，并补全条形统计图；
（3）试估计该校这次法律知识竞赛成绩达到良好或优秀的学生总共有多少人？
8．网约车给人们的出行带来了便利．小明同学对A公司和B公司两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查．
【收集数据】小明收集了两家公司各10名司机月收入情况（单位：千元），数据如下：
A公司为4，5，9，10，4，5，5，5，4，9；
B公司为4，5，7，8，6，7，6，5，6，6．
【整理数据】绘制统计表和统计图
A公司网约车司机收入频数分布表
月收入 4千元 5千元 9千元 10千元
人数（个） 3 4 2 1
【分析数据】
平均月收入（千元） 中位数 众数 方差
A公司 a 5 5 5
B公司 6 b 6 1.2
根据上述信息，回答下列问题：
（1）a＝ 6 ，b＝ 6 ，m＝ 40 ．
（2）请求出扇形统计图中圆心角n的度数．
（3）小明的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你会建议叔叔选择哪家公司？请说明理由．
9．甲、乙两工厂为某公司生产同一款衬衫，质检员在两个工厂各抽查六次进行质检．每次随机抽取100件，获得数据后绘制成如图统计图，并对数据统计如表，公司规定合格率大于等于92%视作本次质检通过．
工厂 通过次数（次） 平均数（件） 中位数（件） 众数（件）
甲工厂 a c 94.5 97
乙工厂 b 94 d 94
（1）求a、b、c、d的值．
（2）公司打算从甲、乙两工厂中选择一个继续生产．请你以质检员的身份向公司推荐一家工厂，从多个角度分析数据，简述推荐理由．
10．某学校近期开展了“亮眼控肥”系列活动，旨在增强学生爱眼护眼和预防肥胖的意识，使学生在日常生活中保持良好的用眼，饮食和运动习惯．为了了解学生对于“亮眼控肥”知识的掌握情况，该学校采用随机抽样的调查方式，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）该学校抽样调查的学生人数是 人．
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数．
（3）若该学校共有学生1600人，请估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握情况为“合格”和“待合格”的总人数．
答案与解析
押题方向1：数式运算
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州、金华、台州、丽水卷第17题 实数混合运算 从近年浙江各地中考来看，实数混合运算、整式的运算、分式的运算都在解答题第1题进行考查，主要考查基本的运算能力，试题难度较低；预计2024年浙江卷还将继续考查这几个知识点，希望大家熟练掌握不要丢分哦！
2023年衢州、温州卷第17题 分式的加减
2023年宁波、舟山、嘉兴卷第17题 整式的运算
1．（2023 金华）计算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．
【点拨】先计算零次幂、化简二次根式，再代入特殊值的函数值算乘法并化简绝对值，最后算加减得结论．
【解析】解：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|
＝1+2﹣2×+5
＝1+2﹣1+5
＝7．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、绝对值的意义，二次根式的性质及特殊角的函数值等知识点是解决本题的关键．
2．（2023 衢州）（1）计算：（a+2）（a﹣2）．
（2）化简：+2．
【点拨】（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）根据分式的加法法则进行计算即可．
【解析】解：（1）（a+2）（a﹣2）
＝a2﹣22
＝a2﹣4；
（2）+2
＝
＝
＝
＝a．
【点睛】本题考查了分式的加法和平方差公式，能正确根据平方差公式进行计算是解（1）的关键，能正确根据分式的加法法则进行计算是解（2）的关键．
3．（2023 金华）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．
【点拨】先根据单项式乘以多项式的法则和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可
【解析】解：原式＝4x2﹣1+3x﹣4x2
＝3x﹣1
当时，原式＝3×﹣1＝0．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
4．（2023 宁波）计算：
（1）（1+）0+|﹣2|﹣．
（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．
【点拨】（1）根据零指数幂的定义、绝对值的代数意义以及二次根式的性质解答即可；
（2）根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解析】解：（1）（1+）0+|﹣2|﹣
＝1+2﹣3
＝0；
（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）
＝a2﹣9+a﹣a2
＝a﹣9．
【点睛】本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂的定义、平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则．
5．（2023 温州）计算：
（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；
（2）﹣．
【点拨】（1）直接利用立方根的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用分式的加减运算法则计算，再利用分式的性质化简得出答案．
【解析】解：（1）原式＝1﹣2+9+4
＝12；
（2）原式＝
＝
＝a﹣1．
【点睛】此题主要考查了实数的运算以及分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（2023 浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【点拨】（1）根据题目中的例子，可以写出192﹣172的结果；
（2）根据题目中给出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．
【解析】解：（1）∵17＝2×9﹣1，
∴192﹣172＝8×9＝72；
（2）由题意可得，
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点．
1、实数的混合运算主要考查零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、乘方、二次根式等，需要学生熟记相应的运算公式和值。
2、整式的运算主要考查多项式乘法、乘法公式、整式的加减，会运用多项式的乘法法则、乘法公式、合并同类项法则是解题的关键。
3、分式的运算主要考查分式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
1．先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（b2﹣3ab），其中a＝﹣1，b＝2．
【点拨】利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解析】解：（2a﹣b）2﹣（b2﹣3ab）
＝4a2﹣4ab+b2﹣b2+3ab
＝4a2﹣ab，
当a＝﹣1，b＝2时，
原式＝4×（﹣1）2﹣（﹣1）×2
＝4+2
＝6．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．观察以下等式：
第1个等式：2×2＝2+2，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请直接写出第6个等式．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【点拨】（1）观察上述等式，可知第6个等式为：7×＝7；
（2）根据题意，猜想为：（n+1）×＝（n+1）；再证明等式左边＝等式右边即可．
【解析】解：（1）观察上述等式，可得：
第6个等式为：7×＝7；
（2）猜想：第n个等式为：（n+1）×＝（n+1）；
证明：（n+1）×＝＝＝＝（n+1），等式成立．
【点睛】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出式子之间的变化规律是解题的关键．
3．（1）．
（2）先化简，再求值：，其中．
【点拨】（1）根据实数和指数幂的运算法则计算即可；
（2）根据分式的化简求值运算法则计算即可．
【解析】解：（1）原式＝0﹣2+9﹣＝；
（2）原式＝
＝
＝，
将a＝代入，
原式＝＝﹣1．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，实数和指数幂的运算，掌握其运算法则是解题的关键．
4．观察下面的一列数：，，，．
（1）尝试：；a3﹣a2＝ ；a4﹣a3＝ ．
（2）归纳：an+1﹣an＝ ．
（3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
【点拨】（1）根据题意进行计算即可；
（2）根据（1）的计算结果，可得：an+1﹣an＝；
（3）根据题意分别求出an+1和an，即可验证推理的正确性．
【解析】解：（1）∵，，，，
∴a3﹣a2＝1﹣1＝；a4﹣a3＝2﹣1＝，
故答案为：；．
（2）根据（1）可得：an+1﹣an＝，
故答案为：．
（3）证明：∵an＝++ ＝＝＝，
同理可得an+1＝，
∴an+1﹣an＝＝．
【点睛】本题考查的是数字的变化规律和多项式，从题目中找出式子之间的变化规律是解题的关键．
5．对于有理数a，b，定义新运算“△”，规则如下：a△b＝ab﹣a﹣b+4，如3△5＝3×5﹣3﹣5+4＝11．
（1）求3△（﹣4）的值．
（2）请你判断交换律在“△”运算中是否成立？并给出证明．
【点拨】（1）根据a△b＝ab﹣a﹣b+4，可以计算出所求式子的值；
（2）先判断，然后根据a△b＝ab﹣a﹣b+4，可以得到b△a＝ab﹣b﹣a+4，即可说明判断的正确性．
【解析】解：（1）∵a△b＝ab﹣a﹣b+4，
∴3△（﹣4）
＝3×（﹣4）﹣3﹣（﹣4）+4
＝﹣12+（﹣3）+4+4
＝﹣7；
（2）交换律在“△”运算中成立，
理由：由题意可得，a△b＝ab﹣a﹣b+4，b△a＝ab﹣b﹣a+4，
∴a△b＝b△a，
∴交换律在“△”运算中成立．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．计算：
（1）；
（2）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中．
【点拨】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解析】解：（1）
＝1+9×﹣
＝1+1﹣
＝；
（2）（1+x）（1﹣x）+x（x+2）
＝1﹣x2+x2+2x
＝1+2x，
当时，原式＝1+2×＝1+1＝2．
【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．（1）计算：；
（2）化简：．
【点拨】（1）根据去绝对值、特殊角的三角函数及负整数指数幂的运算法则进行计算即可；
（2）先变成同分母的分式，再进行计算即可．
【解析】解：（1）原式＝﹣1﹣2×+9
＝﹣1﹣+9
＝8；
（2）原式＝﹣
＝
＝
＝
＝a+1．
【点睛】本题主要考查分式的加减运算、特殊角的三角函数及负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
8．化简：（3n﹣4）﹣*（n﹣2）．
方方在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是4，请计算（3n﹣4）﹣4（n﹣2）．
（2）如果化简的结果是单项式，求被污染的数字．
【点拨】（1）根据单项式乘多项式和去括号法则，去掉括号，再合并同类项即可；
（2）分两种情况讨论：①化简结果是不含有n的单项式，②若化简结果是含有n的单项式，进行解答即可．
【解析】解：（1）（3n﹣4）﹣4（n﹣2）
＝3n﹣4﹣4n+8
＝3n﹣4n+8﹣4
＝﹣n+4；
（2）分两种情况：
①若化简结果是不含有n的单项式，则被污染的数字为3，
（3n﹣4）﹣3（n﹣2）
＝3n﹣4﹣3n+2
＝3n﹣3n+2﹣4
＝﹣2，
②若化简结果是含有n的单项式，则被污染数字为2，
（3n﹣4）﹣2（n﹣2）
＝3n﹣4﹣2n+4
＝3n﹣2n+4﹣4
＝n，
∴如果化简的结果是单项式，被污染的数字是3或2．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．
9．计算：
（1）（2x+1）2+（3+2x）（3﹣2x）；
（2）．
【点拨】（1）利用完全平方公式及平方差公式计算即可；
（2）利用算术平方根的定义，绝对值的性质，零指数幂计算即可．
【解析】解：（1）（2x+1）2+（3+2x）（3﹣2x）
＝4x2+4x+1+9﹣4x2
＝4x+10；
（2）﹣|﹣2|+（1+）0
＝2﹣2+1
＝1．
【点睛】本题考查完全平方公式，平方差公式及实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
10．先化简，再求值：÷（m+2﹣），其中m＝．
【点拨】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝，接着把已知条件变形得到m2+3m＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】解：原式＝÷
＝
＝
＝，
∵m＝，
∴2m+3＝，
∴（2m+3）2＝（）2，
即4m2+12m+9＝5，
∴m2+3m＝﹣1，
∴原式＝＝＝﹣．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
押题方向2：方程与不等式的解法
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年衢州卷第18题 解一元一次方程 从近几年浙江各地中考来看，方程（组）、不等式（组）的解法都放在解答题第1、2题，主要考查基本的运算能力，试题难度较低；预计2024年浙江卷还将继续考查这两个知识点，希望大家熟练掌握不要丢分哦！
2023年绍兴卷第17题 解一元一次不等式
2023年湖州卷第18题 解一元一次不等式组
2023年杭州卷第17题 一元二次方程的解法与根的判别式
2023年台州卷18题 解二元一次方程组
2023年舟山、嘉兴卷 第18题 解分式方程
1．（2023 衢州）小红在解方程时，第一步出现了错误：
解：2×7x＝（4x﹣1）+1， …
（1）请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
（2）写出你的解答过程．
【点拨】（1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断；
（2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解．
【解析】解：（1）如图：
（2）去分母：2×7x＝（4x﹣1）+6，
去括号：14x＝4x﹣1+6，
移项：14x﹣4x＝﹣1+6，
合并同类项：10x＝5，
系数化1：x＝．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
2．（2023 绍兴）解不等式：3x﹣2＞x+4．
【点拨】利用解一元一次不等式的方法进行求解即可．
【解析】解：3x﹣2＞x+4，
移项得：3x﹣x＞4+2，
即：2x＞6，
系数化为1，得：x＞3，
∴原不等式的解集是：x＞3．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，实数的运算，解答的关键是对相应的知识的掌握．
3．（2023 台州）解方程组：．
【点拨】利用加减消元法求解即可．
【解析】解：，
①+②得3x＝9，
解得x＝3，
把x＝3代入①，得3+y＝7，
解得y＝4，
∴方程组的解是．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
4．（2023 杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【点拨】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在②③中选取，然后求解方程即可．
【解析】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，
∴②③均可，
选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝．
【点睛】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．
4．（2023 湖州）解一元一次不等式组．
【点拨】先解每一个不等式，再求它们的公共部分．
【解析】解：解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x＜2，
所以原不等式组的解集是﹣1＜x＜2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式是解题的关键。
5．（2023 浙江）小丁和小迪分别解方程﹣＝1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【点拨】根据解分式方程的步骤进行计算并判断即可．
【解析】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下：
﹣＝1，
两边同乘（x﹣2），去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，
移项，合并同类项得：x＝1，
检验：将x＝1代入（x﹣2）中可得：1﹣2＝﹣1≠0，
则x＝1是分式方程的解，
故原分式方程的解是x＝1．
【点睛】本题考查解分式方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（2023 丽水）解一元一次不等式组：．
【点拨】利用一元一次不等式的解法的一般步骤分别求得求得两个不等式的解集，最后确定不等式组的解集即可．
【解析】解：，
解不等式①，得：x＞1，
解不等式②，得：x＜3，
∴原不等式组的解集为：1＜x＜3．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法的一般步骤是解题的关键．
1、解一元一次方程的步骤为： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1；
2、解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法；
3、一元二次方程的解法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法四种.
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根．
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根．
③当Δ＜0时，方程没有实数根．
4、解一元一次不等式不等式的基本步骤为： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.
注意：一元一次不等式两边同乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变．
5、解不等式组：一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小则无解”．
6、分式方程的解法：
(1)基本思路：分式方程转化为整式方程．
(2)基本方法和步骤：①去分母：在方程两边同时都乘 最简公分母转化为整式方程；②解这个整式方程；③检验：把求得的根代入 最简公分母，使最简公分母≠0的就是原方程的根，使最简公分母＝0的就是增根，应舍去．有时需要把求得的根代入原分式方程左右两边进行检验．
1．解不等式．小明解答过程如表，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：3（x﹣1）﹣2（2x+1）≥1…① 去括号得：3x﹣3﹣4x+1≥1…② 移项得：3x﹣4x≥1+3﹣1…③ 合并同类项得：﹣x≥3…④ 两边都除以﹣1得：x≥﹣3…⑤
【点拨】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，逐一判断即可解答．
【解析】解：错误步骤：①②⑤，
正确的解答过程如下：
，
3（x﹣1）﹣2（2x+1）≥6，
3x﹣3﹣4x﹣2≥6，
3x﹣4x≥6+3+2，
﹣x≥11
x≤﹣11．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x+2m﹣10＝0．
（1）求证：此一元二次方程总有实数根；
（2）已知△ABC两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长c＝3，若△ABC的周长为偶数，求m的值．
【点拨】（1）由根的判别式进行求解即可；
（2）由根与系数的关系可得：a+b＝m﹣3，ab＝2m﹣10，再结合三角形的三边关系进行求解即可．
【解析】证明：（1）Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（2m﹣10）
＝﹣m﹣14m+4y
＝（m﹣7）2，
∵无论m为何实数，（m﹣7）≥0，即△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意得：a+b＝m﹣3，ab＝2m﹣10，
设a＞b，则：，
据题意得：a﹣b＞3，则有：|m﹣7|＞3，
解得：6＜m＜10，
∵△ABC的周长：a+b+c＝m﹣3+3＝m，
∵周长m为偶数，
∴m＝8．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
3．以下是亮亮解方程的解答过程．
解：去分母，得3x﹣1﹣1＝2x．
移项，得3x﹣2x＝1+1．
合并同类项，得x＝2．
亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【点拨】根据一元一次方程的解题步骤检查并求解即可．
【解析】解：亮亮的解答过程有错误．正确的解答过程如下：
去分母，得3x﹣1﹣2＝2x，
移项，得3x﹣2x＝1+2，
合并同类项，得x＝3．
【点睛】本题考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是本题的关键．
4．佳佳解方程的过程如图所示，问：佳佳的解答是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【点拨】根据解分式方程的步骤进行判断即可．
【解析】解：×，正确步骤如下：
原方程去分母得：2﹣x＝﹣2+x﹣3，
整理得：2﹣x＝x﹣5，
解得：x＝3.5，
检验：当x＝3.5时，x﹣3≠0，
故原方程的解为x＝3.5．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
5．（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
【点拨】（1）分别求出不等式组中两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集及不等式组的最小整数解；
（2）方程两边同时乘以2（x﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
【解析】解：（1）解不等式①得：x 2，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴原不等式组的解集为﹣1＜x 2；
（2），
去分母得：2＝3+2（x﹣1），
解得：，
当时，2（x﹣1）≠0，
∴原分式方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的一般步骤，解分式方程的一般步骤是解决问题的关键．
6．解方程（组）：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）方程去分母，去括号，移项合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解；
（2）方程组利用代入消元法求解即可．
【解析】解：（1），
去分母，得：9x﹣12＝12x﹣（8x﹣3），
去括号得：9x﹣12＝12x﹣8x+3，
移项合并同类项得：5x＝15，
系数化为1得：x＝3；
（2），
解：将①代入②中，得12y﹣y＝11，
解得y＝1，
将y＝1代入①，得x+1＝6，
解得x＝5，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，二元一次方程组，掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解方程组的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数是解题的关键．
7．已知：关于x的方程2x2+kx+k﹣3＝0．
（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若k＝5，请解此方程．
【点拨】（1）由Δ＝k2﹣4×2（k﹣3）＝k2﹣8k+24＝（k﹣4）2+8＞0可得结论；
（2）将k＝5代入方程得2x2+5x+2＝0，利用配方法解方程即可．
【解析】解：（1）∵Δ＝k2﹣4×2（k﹣3）＝k2﹣8k+24＝（k﹣4）2+8＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k＝5时，原方程为：2x2+5x+2＝0，
∴（2x+1）（x+2）＝0，
∴，x2＝﹣2．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了配方法解一元二次方程．
8．关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0．
（1）如果方程有两个相等的实数根，求k的值；
（2）如果x1，x2是这个方程的两个根，且++3x1 x2＝25，求k的值．
【点拨】（1）根据方程有两个相等的实数根可知Δ＝0，求出k的值即可；
（2）求出x1 x2与x1+x2的值，代入代数式进行计算即可．
【解析】解：（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即Δ＝（﹣6）2﹣4k＝0，
解得k＝9；
（2）∵x1，x2是方程x2﹣6x+k＝0的两个根，
∴x1 x2＝k，x1+x2＝6，
∵++3x1 x2＝25，
∴++3x1 x2
＝（x1+x2）2﹣2x1x2+3x1x2
＝（x1+x2）2+x1x2
＝62+k，
∴62+k＝25，
解得k＝﹣11．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解题的关键．
9．观察以下二元一次方程组与对应的解：
二元一次方程组 …
解 …
（1）通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解．
（2）已知关于x，y的二元一次方程组（a≠b，a+b≠0）．
①猜想该方程组的解；
②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程．
【点拨】（1）根据表中数据总结规律即可求得答案；
（2）①根据所得规律即可求得答案；
②将①中所得的解分别代入方程中计算即可．
【解析】解：（1）由表格数据可得方程中两个未知数的解是相同的，它们的分子是等号右边的常数，分母是各方程中两个未知数系数的和，
则x＝y＝＝2024，
即原方程组的解为；
（2）①由（1）中规律可得该方程组的解为；
②将代入ax+by＝m，
左边＝a×+b×＝＝m＝右边；
将代入bx+ay＝m，
左边＝b×+a×＝＝m＝右边；
则是原方程组的解．
【点睛】本题考查规律探索问题及二元一次方程组的解，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
10．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．
素材2 小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元．
素材3 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额．
问题解决
任务1 假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右边问题． 问：y＝ x+20 （用含x的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价．
任务3 【拟定设计方案】 请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．
【点拨】任务1：根据一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，得y＝x+20；
任务2：根据小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，得x+4（x+20）＝130，可解得答案；
任务3：设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n张，得：30×0.8m+10n＝600，由m，n是非负整数，可求出m，n的值，再计算每种方案商家的利润，比较可得答案．
【解析】解：任务1：
∵一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，
∴y＝x+20；
故答案为：x+20；
任务2：
∵小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，
∴x+4（x+20）＝130，
解得x＝10，
∴x+20＝10+20＝30，
答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元；
任务3：
设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n张，
根据题意得：30×0.8m+10n＝600，
∴n＝，
∵m，n是非负整数，
∴或或或或或，
∵吉祥物钥匙扣每件利润为30×0.8﹣18＝6（元），明信片每张利润为10﹣5＝5（元），
∴购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60张，商家获利300元；
购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48张，商家获利270元；
购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36张，商家获利240元；
购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24张，商家获利210元；
购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12张，商家获利180元；
购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0张，商家获利150元；
答：可行的购买方案有：购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60张或购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48张，或购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36张或购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24张或购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12张或购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0张；其中购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60张商家获利最高．
【点睛】本题考查一元一次方程，二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题．
押题方向3：统计综合问题
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年温州卷第19题 平均数、中位数、众数 从近几年浙江各地中考来看，统计综合总是占据一席之地，通常以解答题亮相，对于基础扎实的同学来说，这些题目无疑是送分的良机。主要考点为：统计图表相关知识、样本估计总体等；预计2024年浙江卷还将在解答题中考查统计相关知识。
2023年湖州卷第20题、杭州卷第18题、金华卷第19题 条形统计图
2023年衢州卷第20题，舟山、嘉兴卷第21题 扇形统计图
2023年绍兴卷第18题，丽水卷第20题 用样本估计总体
2023年台州卷第22题 统计量的选择
2023年宁波卷第20题 频数（率）分布直方图
1．（2023 丽水）为全面提升中小学生体质健康水平，我市开展了儿童青少年“正脊行动”．人民医院专家组随机抽取某校各年级部分学生进行了脊柱健康状况筛查．根据筛查情况，李老师绘制了两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生脊柱健康情况统计表
类别 检查结果 人数
A 正常 170
B 轻度侧弯 20
C 中度侧弯 7
D 重度侧弯 3
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）该校共有学生1600人，请估算脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数；
（3）为保护学生脊柱健康，请结合上述统计数据，提出一条合理的建议．
【点拨】（1）从所取样本中根据正常的人数和所占比例求出样本总数；
（2）由扇形统计图可直接求脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数；
（3）根据数据提出一条建议即可．
【解析】解：（1）抽取的学生总人数是：170÷85%＝200（人），
200×10%＝20（人），
200×（1﹣10%﹣85%）﹣7
＝200×5%﹣7
＝10﹣7
＝3（人），
∴共有170+20+7+3＝200（人），
答：所抽取的学生总人数为200人．
故答案为：20，3；
（2）由扇形统计图可得，脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数为：
1600×（1﹣10%﹣85%）
＝1600×5%
＝80（人）．
答：估计脊柱侧弯程度为中度和重度的总人数是80人；
（3）答案不唯一，例如：该校学生脊柱侧弯人数占15%，说明该校学生脊柱侧弯情况较为严重，建议学校要每天组织学生做护脊操等．
【点睛】本题考查扇形统计图、统计表以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．
2．（2023 衢州）【数据的收集与整理】
根据国家统计局统一部署，衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为5‰．根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为5.5‰，死亡率为8‰，人口自然增长率为﹣2.5‰，常住人口数为a人（‰表示千分号）．
（数据来源：衢州市统计局）
【数据分析】
（1）请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系．
（2）已知本次调查的样本容量为11450，请推算a的值．
（3）将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如图统计图．根据统计图分析：
①对图中信息作出评判（写出两条）．
②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议．
【点拨】（1）根据自然增长率与出生率、死亡率的数值即可推测它们之间的关系；
（2）根据样本容量＝总体×抽样比例求出a的值即可；
（3）①根据统计图进行解答，合理即可；
②根据目前人口自然增长率的趋势，提出建议改善现状，合理即可．
【解析】解：（1）根据题意可知，人口自然增长率＝出生率﹣死亡率．
（2）5‰a＝11450，解得a＝2290000．
（3）①近5年来，我市及全国人口自然增长率逐年下降；自2021年起，我市人口呈现负增长（答案不唯一，合理即可）；
②建议国家加大政策优惠力度和补贴力度，降低生育成本，鼓励人们多生育（答案不唯一，合理即可）．
【点睛】本题考查总体、个体、样本、样本容量，理解并掌握它们的概念是本题的关键．
3．（2023 湖州）4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值．
（2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
【点拨】（1）将其他类人数除以其所占的比即可求出被抽查的人数；将科技类人数除以被抽查的人数化成百分数，即可求出m的值；
（2）先求出艺术类人数，再补全条形统计图即可；
（3）将1200乘以样本中最喜欢“文学类”书籍所占的比例即可估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数．
【解析】解：（1）被抽查的学生人数是 40÷20%＝200（人），
∵，
∴扇形统计图中m的值是40，
答：被抽查的学生人数为200人，扇形统计图中m的值为40；
（2）200﹣60﹣80﹣40＝20（人），
补全的条形统计图如图所示．
（3）∵（人），
∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有360人．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键．
4．（2023 金华）为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图，请根据图表信息回答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙“课程的教室至少需要几间．
【点拨】（1）从两个统计图可知，样本中选择“包粽子”的学生有18人，占被调查人数的36%，根据频率＝进行计算即可，求出选择“采艾叶”的学生人数即可补全条形统计图；
（2）求出样本中，选择“折纸龙”的学生所占的百分比，进而估计总体中选择“折纸龙”所占的百分比，再根据频率＝即可求出总体中选择“折纸龙”的学生人数，进而求出所需要的教室的数量．
【解析】解：（1）18÷36%＝50（人），
选择“采艾叶”的学生人数为：50﹣8﹣18﹣10＝14（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）1000×＝160（人），160÷30≈6（间），
答：开设“折纸龙“课程的教室至少需要6间．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，掌握频率＝是正确解答的前提．
5．（2023 绍兴）某校兴趣小组通过调查，形成了如表调查报告（不完整）．
调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目 2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生
调查内容 调查你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A．篮球 B．乒乓球 C．足球 D．排球 E．羽毛球
调查结果
建议 …
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了多少名学生？
（2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数．
（3）假如你是小组成员，请向该校提一条合理建议．
【点拨】（1）根据乒乓球的人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）用900乘样本中最喜爱篮球项目的人数所占比例即可；
（3）根据最喜爱的球类运动项目所占百分比解答即可（答案不唯一）．
【解析】解：（1）30÷30%＝100（名），
答：本次调查共抽查了100名学生．
（2）被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：100×5%＝5（名），
∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：100﹣30﹣10﹣15﹣5＝40（名），
＝360（名），
答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360名．
（3）答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
6．（2023 宁波）宁波象山作为杭州亚运会分赛区，积极推进各项准备工作．某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从全校1200名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：合格（60≤x＜70），一般（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如下统计图（部分信息未给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为一般的学生人数，并补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）这次测试成绩的中位数是什么等级？
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有多少人？
【点拨】（1）由优秀人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出一般等级人数，从而补全图形；
（2）用360°乘以样本中“良好”等级人数所占比例即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）用总人数乘以样本中良好和优秀人数和所占比例即可．
【解析】解：（1）被调查的总人数为40÷20%＝200（人），
测试成绩为一般的学生人数为200﹣（30+40+70）＝60（人），
补全图形如下：
（2）360°×＝126°，
答：扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为126°；
（3）这组数据的中位数是第100、101个数据的平均数，而这2个数据均落在良好等级，
所以这次测试成绩的中位数是良好；
（4）1200×＝660（人），
答：估计该校测试成绩为良好和优秀的学生共有660人．
【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是计算出抽取的人数，利用数形结合的思想解答．
7．（2023 温州）某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210km，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km）
B 216 215 220
C 227.5 227.5 225
（1）阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数；
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
【点拨】（1）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解；
（2）根据平均数、中位数、众数的意义，结合往返行程为210km，三种型号电动汽车出租的每辆车每天的费用即可作出判断．
【解析】解：（1）A型号汽车的平均里程为：＝200（km），
20个数据按从小到大的顺序排列，第10，11个数据均为200km，所以中位数为200km；
205km出现了六次，次数最多，所以众数为205km；
（2）选择B型号汽车．理由如下：
A型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于210km，且只有10%的车辆能达到行程要求，故不建议选择；B，C型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过210km，其中B型号汽车有90%符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠，故建议选择B型号汽车．
【点睛】本题考查的是折线统计图，平均数、众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握定义是解题的关键．
8．（2023 杭州）某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图．
（3）已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．
【点拨】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）结合（1）的结论求出B类的人数，进而补全条形统计图；
（3）总人数乘以样本中B类别人数所占比例．
【解析】解：（1）60÷30%＝200（名），
答：在这次抽样调查中，共调查了200名学生；
（2）样本中B类的人数为：200﹣60﹣10﹣10＝120（名），
补全条形统计图如下：
（3）1000×＝600（名），
答：估计B类的学生人数约600名．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
9．（2023 台州）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
测试分数x 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 20＜x≤25
控制班A 28 9 9 3 1
实验班B 25 10 8 2 1
表2：后测数据
测试分数x 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 20＜x≤25
控制班A 14 16 12 6 2
实验班B 6 8 11 18 3
（1）A，B两班的学生人数分别是多少？
（2）请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．
（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．
【点拨】（1）将表格中A、B班各等级人数分别相加即可得出答案；
（2）分别计算出A、B班级成绩的平均数，再从平均数、中位数和百分率方面求解即可；
（3）计算出前测A、B班级成绩的平均数，再与后测的平均数、中位数及百分率分析求解即可．
【解析】解：（1）A班的人数：28+9+9+3+1＝50（人），
B班的人数：25+10+8+2+1＝46（人），
答：A，B两班的学生人数分别是50人，46人．
（2）＝＝9.1，
＝≈12.9，
从平均数看，B班成绩好于A班成绩．
从中位数看，A班中位数在5＜x≤10这一范围，B班中位数在10＜x≤15这一范围，B班成绩好于A班成绩．
从百分率看，A班15分以上的人数占16%，B班15分以上的人数约占46%，B班成绩好于A班成绩．
（3）前测结果中：
，
．4，
从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从中位数看，两班前测中位数均在0＜x≤5这一范围，后测A班中位数在5＜x≤10这一范围，B班中位数在10＜x≤15这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
从百分率看，A班15分上的人数增加了100%，B班15分以上的人数增加了600%，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．
【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握加权平均数、中位数的定义和意义．
两种统计图表结合的统计信息题：常通过同一分组内两个图表都能得到的已知信息找出突破口，通常从条形图或直方图得到某小组的数据，从扇形图得到该小组的百分比，从而得出数据总数.平均数、众数、中位数是从不同角度描述一组数据的集中趋势.在推断性统计中，用部分推断总体，是一种重要的思想方法,学会从多个图中了解同一个事项的统计数据.抓住统计图之间的信息互补的作用.
1．某校开展传统文化知识竞赛活动，500名七年级学生和600名八年级学生全部参赛．老师从两个年级中各随机抽取了10名学生的成绩，具体如下：
七年级：68，88，100，100，79，94，89，85，100，88．
八年级：69，97，100，89，98，100，66，100，95，100．
又对这些成绩进行了整理、分析（数据不完整）；
【整理数据】
分数段分组 七年级人数 人数
A 60≤x≤69 1 2
B 70≤x≤79 1 0
C 80≤x≤89 4 1
D 90≤x≤100 4 7
【分析数据】
项目 平均数 中位数 满分率
七年级 a 88.5 30%
八年级 91.4 b 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请完成条形统计图，并写出a，b的值．
（2）你估计八年级在本次测试中一共有多少人能取得满分？
（3）你认为哪个年级本次知识竞赛的总体水平更好，请说明理由．
【点拨】（1）根据频数分布表中的数据即可补全条形统计图，根据平均数、中位数的计算方法求出样本中七年级10名学生成绩的平均数，八年级10名学生成绩的中位数即可；
（2）求出样本中八年级学生得分为100分的学生所占的百分比，进而估计总体中100分学生所占的百分比，利用频率＝进行计算即可；
（3）从平均数，中位数以及满分率的大小进行判断即可．
【解析】解：（1）由频数统计表中的数据可知，七年级分数段C组，即80≤x≤89的人数为4人，
因此补全条形统计图如图所示：
七年级学生成绩的平均数a＝＝89.1（分），
将样本中八年级10名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝99（分），
所以八年级10名学生的成绩的中位数是99，即b＝99；
（2）600×＝240（人），
答：估计八年级在本次测试中约有240人能取得满分；
（3）八年级的学生成绩较好，
理由：不论是学生成绩的平均数、中位数，还是满分率八年级的学生均比七年级的学生的高，
所以八年级学生成绩较好．
【点睛】本题考查频数分布表，条形统计图，中位数、平均数，掌握平均数、中位数的计算方法以及频率＝是正确解答的关键．
2．学校为加强学生垃圾分类方面的知识普及，开设了垃圾分类臻善德育小课培训学．为了解培训效果，学校对七年级544名学生在学习前和培训后各进行一次垃圾分类知晓情况检测，两次检测项目相同，政教处依据同一标准进行问卷评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分．学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成如图的条形统计图：
（1）这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为 合格 ；（填“合格”、“良好”或“优秀”）
（2）求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？
（3）利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？
【点拨】（1）中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；
（2）根据加权平均数的计算公式计算即可；
（3）用样本估计总体即可．
【解析】解：（1）由题意得，这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为合格，
故答案为：合格；
（2）培训前的平均分为：（25×2+5×6+2×8）÷32＝3（分），
培调后的平均分为：（8×2+16×6+8×8）÷32＝5.5（分），
培训后比培训前的平均分提高2.5分；
（3）样本中培训后“良好”的比例为：，
样本中培训后“优秀”的比例为：＝0.25，
∴培训后考分等级为“良好”与“优秀”的学生共有544×（0.5+0.25）＝408（名）．
答：培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和大约是408名．
【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
3．某报社为了了解市民“获取新闻的主要途径”，开展了一次抽样调查（参与问卷调查的市民只能从表格的五类中选择一类），并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图如下．
类别 A B C D E
获取新闻途径 电脑上网 手机上网 电视 报纸 其他
根据以上统计图，解答下列问题：
（1）本次接受调查的市民共有 2000 人；
（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是 28.8° ，并补全条形统计图；
（3）若该市约有90万人，请估计选择“电视获取新闻”的人数．
【点拨】（1）根据电脑上网的人数除以电脑上网所占的百分比，可得答案；
（2）用360°乘以“E”人数所占比例，可得答案；用总人数乘25%可得“D”的人数，即可补全图形；
（3）根据样本估计总体，可得答案．
【解析】解：（1）本次接受调查的市民共有300÷15%＝2000（人），
故答案为：2000；
（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是 360°×，
选D类的人数为2000×25%＝500（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：28.8°；
（3）90×40%＝36（万人），
答：估计选择“电视获取新闻”的人数约36万人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体．
4．今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如表：
八年级10个班成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
班级个数 1 3 a b 1
已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）a＝ 1 ，b＝ 4 ；
（2）八年级成绩的中位数为 8.5 分；
（3）若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”．
【点拨】（1）根据八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数和表格中的数据，可以得到a、b的值；
（2）根据表格中的数据，可以得到八年级成绩的中位数；
（3）先计算出八年级成绩的平均数，再与8.5比较大小即可．
【解析】解：（1）∵八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数，
∴b＝4，则a＝10﹣1﹣3﹣4﹣1＝1，
故答案为：1，4；
（2）由表格可得，
八年级的中位数为：（8+9）÷2＝17÷2＝8.5（分），
故答案为：8.5；
（3）由表格可得，
八年级的平均分为：（6×1+7×3+8×1+9×4+10×1）÷10＝8.1（分），
∵8.1＜8.5，
∴本次活动八年级不能获得“优秀组织奖”．
【点睛】本题考查众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的数据．
5．为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据，现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计：
七年级：7，6，8，7，4，7，6，10，7，8．
八年级：6，8，8，5，5，8，8，8，7，7．
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 7 7 7 2.2
八年级 7 a b c
（1）填空：a＝ 7.5 ，b＝ 8 ，c＝ 1.4 ；
（2）甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由；
（3）结合以上数据你认为那个年级的阅读情况较好，请说明理由．
【点拨】（1）根据中位数、众数和方差的定义即可求出答案；
（2）根据中位数的定义即可求出答案；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【解析】解：（1）把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：5，5，6，7，7，8，8，8，8，8，
所以中位数为a＝＝7.5，众数b＝8，
方差c＝×[2×（5﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+5×（8﹣7）2]＝1.4；
故答案为：7.5，8，1.4；
（2）甲的说法不对，
理由：八年级的中位数7.5大于7.2，所以甲位于年级中下水平；
（3）八年级的阅读情况较好，
理由：因为七、八年级的平均数相等，但是八年级的中位数、众数都大于七年级的，方差小于七年级的方差，所以八年级的阅读情况较好．
【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
6．中国人有在端午节这一天吃“粽子”的传统，寓意“祈福高中”．某粽子加工厂家为迎接端午的到来，组织了“浓情端午 粽叶飘香”员工包粽子比赛，规定所包粽子质量为（160±3）g时都符合标准，其中质量（160±1）g为优秀产品．现从甲乙两位员工所包粽子中各随机抽取10个进行评测，质量分别如下（单位：g）：
甲：157，157，159，159，160，161，161，161，162，163
乙：158，158，159，159，159，159，161，162，162，163
分析数据如表：
员工 平均数 中位数 众数 方差
甲 160 160.5 a 3.6
乙 b 159 159 c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ 161 ，b＝ 160 ，c＝ 3 ．
（2）若比赛规则的评判标准里看重所包粽子质量是否符合标准以及粽子质量的稳定性，根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工更加优秀？请说明理由．
（3）在此次比赛中，甲员工共包了100个粽子，乙员工共包了104个粽子，请你估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，并判断若以此作为评判标准哪位员工更加优秀？请说明理由．
【点拨】（1）将乙的数据加和再除以10算出平均数，再利用方差计算公式计算乙的方差，根据众数的定义求出甲的众数即可；
（2）比较两者方差的大小即可；
（3）利用样本估计总体求出两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，求出两位员工各自所包粽子的优秀率，即可得出答案．
【解析】解：（1）由题意得a＝161，
b＝×（158+158+159+159+159+159+161+162+162+163）＝160，
c＝×[2×（160﹣158）2+4×（160﹣159）2+（160﹣161）2+2×（160﹣162）2+（160﹣163）2]＝3，
故答案为：161，160，3；
（2）乙员工更加优秀，理由如下：
因为乙的方差小于甲的方差，
所以乙所包粽子质量质量比较稳定；
（3）100×＝60（个），
104×＝52（个），
∵甲员工所包粽子的优秀率为＝60%，
乙员工所包粽子的优秀率为＝50%，
甲员工所包粽子的优秀率大于乙员工所包粽子的优秀率，
∴甲员工更加优秀．
【点睛】本题考查了平均数、方差的意义，解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．也考查了平均数与方差的计算．
7．某校积极开展“学法、知法、守法”为主题的教育活动，全校1200名学生积极参与学习．为考查学生对法律知识的了解情况，学校组织全体学生参加了法律知识竞赛（笔试），随机抽取了部分学生的笔试成绩进行分析，并绘制了如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：
（1）填空：随机抽取的学生的总人数是 40 人，n＝ 30 ；
（2）求样本中法律知识竞赛成绩良好的学生人数，并补全条形统计图；
（3）试估计该校这次法律知识竞赛成绩达到良好或优秀的学生总共有多少人？
【点拨】（1）利用类别为C的人数除其所占百分比即得出总人数；利用类别为A的人数除总人数即可求出n的值；
（2）利用总人数减去其它已知类别的人数，即得出样本中法律知识竞赛成绩良好的学生人数，再补全统计图即可；
（3）用总人数乘良好或优秀的学生所占百分比即可．
【解析】解：（1）10÷25%＝40（人），
∴随机抽取的学生的总人数是40人；
12÷40×100%＝30%，
∴n＝30．
故答案为：40，30；
（2）40﹣12﹣10﹣2＝16（人），
∴法律知识竞赛成绩良好的学生人数为16人．
补全条形统计图如下：
（3）（人），
答：估计该校这次法律知识竞赛成绩达到良好或优秀的学生总共有840人．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图相关联，用样本估计总体．由条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键．
8．网约车给人们的出行带来了便利．小明同学对A公司和B公司两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查．
【收集数据】小明收集了两家公司各10名司机月收入情况（单位：千元），数据如下：
A公司为4，5，9，10，4，5，5，5，4，9；
B公司为4，5，7，8，6，7，6，5，6，6．
【整理数据】绘制统计表和统计图
A公司网约车司机收入频数分布表
月收入 4千元 5千元 9千元 10千元
人数（个） 3 4 2 1
【分析数据】
平均月收入（千元） 中位数 众数 方差
A公司 a 5 5 5
B公司 6 b 6 1.2
根据上述信息，回答下列问题：
（1）a＝ 6 ，b＝ 6 ，m＝ 40 ．
（2）请求出扇形统计图中圆心角n的度数．
（3）小明的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你会建议叔叔选择哪家公司？请说明理由．
【点拨】（1）根据平均数公式或加权平均数公式计算即可求出a的值；根据中位数的确定方法即可确定b的值；将样本中B公司月收入为6千元的人数除以10，再乘以100即可求出m；
（2）将样本中B公司月收入为7千元的人数除以10，再乘以360°即可求出n；
（3）根据平均数，中位数，众数，方差的意义可提出建议，说明理由．
【解析】解：（1）a＝＝6；
∵将B公司数据由小到大排列为：4，5，5，6，6，6，6，7，7，8，
∴b＝（6+6）÷2＝6；
m＝×100＝40，
故答案为：6，6，40；
（2）n＝×360°＝72°，
答：扇形统计图中圆心角n的度数为72°；
（3）建议叔叔选择B公司．
理由：因为两家出租车公司平均月收入相同，但B公司的中位数和众数分别高于A公司的中位数和众数，B公司的方差小于A公司的方差，说明B公司收入波动比A公司收入波动小，故选B公司．
【点睛】本题考查扇形统计图，频数分布表，平均数，中位数，众数，明确相关统计量的意义是解题的关键．
9．甲、乙两工厂为某公司生产同一款衬衫，质检员在两个工厂各抽查六次进行质检．每次随机抽取100件，获得数据后绘制成如图统计图，并对数据统计如表，公司规定合格率大于等于92%视作本次质检通过．
工厂 通过次数（次） 平均数（件） 中位数（件） 众数（件）
甲工厂 a c 94.5 97
乙工厂 b 94 d 94
（1）求a、b、c、d的值．
（2）公司打算从甲、乙两工厂中选择一个继续生产．请你以质检员的身份向公司推荐一家工厂，从多个角度分析数据，简述推荐理由．
【点拨】（1）根据合格数量和平均数中位数的定义解答即可；
（2）根据合格数量和平均数、中位数、众数的意义解答即可．
【解析】解：（1）由图可知a＝4，b＝5，
c＝＝94，
d＝＝94；
（2）推荐甲工厂．
理由：虽然甲工厂的质检通过次数比乙少一次，但是平均数与乙相同，中位数、众数均大于乙，并且从折线统计图看，甲工厂在质检中衬衫的合格数量越来越多，而乙越来越少．
【点睛】本题考查了中位数、众数以及平均数，解题的关键是掌握相关的概念并灵活运用．
10．某学校近期开展了“亮眼控肥”系列活动，旨在增强学生爱眼护眼和预防肥胖的意识，使学生在日常生活中保持良好的用眼，饮食和运动习惯．为了了解学生对于“亮眼控肥”知识的掌握情况，该学校采用随机抽样的调查方式，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）该学校抽样调查的学生人数是 80 人．
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数．
（3）若该学校共有学生1600人，请估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握情况为“合格”和“待合格”的总人数．
【点拨】（1）由“优秀”的有36人，占45%，可求被抽样调查的学生人数；
（2）由（1）可求出“良好”的人数，继而补全条形统计图；根据被抽样调查的学生人数和求“合格”人数可得扇形统计图中“合格”部分所对应扇形的圆心角；
（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
【解析】解：（1）被抽样调查的学生人数是：36÷45%＝80（人），
故答案为：80；
（2）“良好”的人数：80﹣36﹣16﹣4＝24（人），
补全图形如下：
360°×＝72°，
∴扇形统计图中“合格”部分所对应的圆心角的度数为72度；
（3）估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的人数为：
1600×＝1600×＝400（人），
答：估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的总人数为400人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
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