07押浙江卷第20-21题（一次函数与反比例函数、三角形、解直角三角形）-2024年浙江省中考数学题号押题（含解析）
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| 名称 | 07押浙江卷第20-21题（一次函数与反比例函数、三角形、解直角三角形）-2024年浙江省中考数学题号押题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-19 11:02:01 | ||
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文档简介
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押题方向1：三角形及作图
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州卷第19题 三角形中位线定理 从近几年浙江中考来看，三角形与格点作图的有关问题在解答题中经常出现，主要考查三角形的有关性质、全等三角形的性质与判定、特殊三角形的性质及格点作图，预计2024年浙江卷还将重视三角形有关性质与判定及格点作图的考查。
2023年衢州卷第19题 全等三角形的判定
2023年金华卷第21题 勾股定理
2023年宁波卷、温州卷第18题 作图-旋转变换
1．（2023 湖州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．
2．（2023 衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
3．（2023 金华）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格，在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法（如图） 结论
①在CB上取点P1，使CP1＝4． ∠P1OA＝45°，点P1表示45°．
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2． ∠P2OA＝30°，点P2表示30°．
③分别以O，P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连接EF与BC相交于点P3． …
④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB于点P4． …
（1）分别求点P3，P4表示的度数．
（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．
4．（2023 温州）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形；
（2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．
5．（2023 宁波）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的△P′A′B′．
（2）将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C．
1．掌握三角形的基本性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理是解决三角形相关问题的关键。
2．在方格纸做格点三角形关键是借助格点中存在的位置关系和数量关系.
1．如图，在四边形ACBD中，AC＝BC，∠ACB＝∠BDC＝∠AED＝90°．
（1）求证：CE＝BD．
（2）若，求BD的长．
2．如图，已知△ABC，∠C＝50°，将AB沿射线BC的方向平移至A′B′，使B′为BC的中点，连结AA′，记A′B′与AC的交点为O．
（1）求证：△AOA′≌△COB′；
（2）若AC平分∠BAA′，求∠B的度数．
3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连结AE，DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．
（1）求证：AD＝CE．
（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．
4．已知：如图，∠ADC＝90°，DC∥AB，BA＝BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点．
（1）求证：BF⊥AC；
（2）求证：△ADC≌△AEC；
（3）连结DE，若CD＝5，AD＝12，求DE的长．
5．如图，在下列4×4的正方形网格中，按要求作图．
（1）在图①②③中，分别画一条线段，使各网格为轴对称图形（要求所画图形互不相同）；
（2）在图④中，画一条线段，使整个网格为中心对称图形．
6．如图是由边长为1的小正方形构成的6×5网格，点A，B均在格点上．
（1）请在图1中，画出一个格点△ABC，使△ABC为轴对称图形．
（2）请在图2中，画出一个格点四边形ABDE，使四边形ABDE为中心对称图形．（注：格点多边形，即多边形的每个顶点均在格点上．）
7．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点△ABC和格点O（格点为网格线的交点）．
（1）以O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向左平移3个单位长度得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
押题方向2：一次函数与反比例函数
20233年浙江真题 考点 命题趋势
2023年温州卷、绍兴卷第20题 一次函数图象的性质 从近几年浙江各地中考来看，反比例函数与一次函数的图象与性质主要考查函数的增减性、交点问题、大小比较、一次函数与反比例函数的实际应用等，试题以填空题形式呈现，难度中等；预计2024年浙江卷还将继续重视对反比例函数或一次函数的图象与性质及其应用的考查。
2023年丽水卷第21题金华卷、宁波卷第22题、台州卷第23题 一次函数的应用
2023年杭州卷第21题 反比例函数与一次函数的交点问题
2023年台州卷第20题 反比例函数的应用
1．（2023 温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．
2．（2023 宁波）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．
（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
3．（2023 台州）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
4．（2023 丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二y关于x的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
5．（2023 金华）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．
6．（2023 绍兴）一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）求OA所在直线的表达式；
（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．
7．（2023 台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．
8．（2023 杭州）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4．
（1）求k1，k2的值．
（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．
1、一次函数的k值决定函数的增减性，若k＞0，y随x的增大而增大；若k＜0，y随x的增大而减小；
2、一次函数的b值决定直线和y轴的交点，若b＞0，与y轴正半轴相交；若b＜0，与y轴负半轴相交；当b＝0时，图象过原点.
3、反比例函数，当k＞0，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
4、大小比较问题的呈现方式主要以不等式的解集的求解来进行呈现，而满足条件的不等式的左右两边为一次函数或反比例函数的形式来存在，所以我们可以通过这类型不等式的左右两边的函数图像来进行判定是大于小于的情况，从而通过其函数的交点来确定图像的位置，满足的解集。
1．食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示，
（1）求a的值．
（2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数．
（3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？
2．星期日上午9：00，小明从家里出发步行前往离家2.4km的镇海书城参加读书会活动，他以75m/min的速度步行了12min后发现忘带入场券，于是他停下来．打电话给家里的爸爸寻求帮助.9：15，爸爸骑着自行车从家里出发，沿着同一路线以375m/min的速度行进，同一时刻小明继续按原速步行赶往目的地．爸爸追上小明后载上他以相同的车速前往书城（停车载人时间忽略不计），到达书城后爸爸原速返回家．爸爸和小明离家的路程s（m）与小明所用时间t（min）的函数关系如图所示．
（1）求爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式及a的值．
（2）爸爸出发后多长时间追上小明？此时距离镇海书城还有多远？
3．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y＝mx+4的图象分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）直线y＝a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF＝1时，求a的值．
4．高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，接满700ml的水杯，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题：
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度．生活经验：饮水最佳温度是35﹣38℃（包括35℃与38℃），这一温度最接近人体体温．
（1）若先接温水26秒，求再接开水的时间．
（2）设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为y℃．
①若y＝50，求x的值．
②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的取值范围．
5．已知反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0，k是常数）的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当k＝2，b＝﹣1时，求x1+x2的值．
（2）若x1+x2＝0，求y1+y2的值．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2分别与xy轴交于点B、A点，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，OE＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OD，求△OBD的面积
（3）当反比例函数值大于一次函数值时，请直接写出满足题意的x的取值范围．
7．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，一个100g的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长12cm时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），求y关于x的函数表达式，并求出y的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
8．设函数，y2＝k2x（k1，k2是常数，k1≠0，k2≠0），点A（2，4）在函数y2的图象上，且两个函数图象的一个交点B的坐标为（1，m）．
（1）求函数y1的表达式；
（2）若点C在函数y2的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求点C的坐标．
9．如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数≠0）的图象交于点C（﹣4，﹣2），D（2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）结合图象，请直接写出不等式的解集．
10．在一项科学实验中，研究人员对不同形状的物体进行了压力测试，这些物体的质量相同，但形状各异．研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上，并记录了测试平台受到的压力（单位：Pa）与受力面积（单位：m2）之间的关系，结果如表所示．
桌面所受压强P（Pa） 50 100 200 400
受力面积S（m2） 2 1 0.5 0.25
（1）根据如表数据，求桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数表达式．
（2）现将相同质量，且棱长为0.2m的正方体放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
押题方向3：解直角三角形的应用
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年绍兴卷丽水卷台州卷第19题、宁波卷第21题舟山嘉兴卷第22题温州卷第23题 解直角三角形的应用 从近几年浙江各地中考来看，解直角三角形的实际应用是常考题目，试题以解答题形式呈现，整体难度中等；预计2024年浙江卷还将考查，大家一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。
1．（2023 丽水）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的总长．
2．（2023 舟山、嘉兴）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
3．（2023 绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
4．（2023 宁波）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β．
（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
10．（2023 温州）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背景素材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点 A 和点 B（答案不唯一） ．
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度MN．
任务3 换算高度 楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．
解直角三角形实际应用的一般步骤：
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解。
1．图1是一个跷跷板的实物图，图2是其示意图．已知跷板AB长为2.6米，点O为跷板AB的中点，支柱OC与地面垂直．当跷板一端着地时，跷板AB与支柱OC形成的∠BOC＝118°．
（1）求点B到地面DE的距离．
（2）假设AB绕点O沿铅垂方向转动，当跷板AB的一端从最高点B转动到最低点B′时，求跷板AB扫过的区域面积．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，π≈3）
2．如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）．经测量，∠ADC可在20°和160°之间发生变化（包含20°和160°），AD＝40cm．
（1）当∠ADC＝120°时，求此时BD的长；
（2）当∠ADC从20°变为160°时，这个千斤顶升高了多少cm？（sin80°＝0.98，cos80°＝0.17，tan80°＝5.67 ）
3．图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°，求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
4．光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．明明制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点A按固定角度从空气射入液面（介质），如图2，装入某液体（介质），使光线折射后恰好落到点C，直线GH为法线．已知∠1＝53°，液面高度CF为12cm，正方形ABCD的边长为30cm．
（参考数据：，，，，，
（1）求PE的长；
（2）求该液体（介质）的折射率n．
5．根据以下素材，探索完成任务：
测算雷峰塔的高度
素材1 如图1，雷峰塔前有一斜坡AB，长为10米，坡度为3：4，高为AC
素材2 利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D的仰角为51.1°，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为45°（其中点C，B，E在同一直线上，如图2）
素材3 查阅锐角三角函数表 sin51.1°≈0.778，cos51.1°≈0.628，tan51.1°≈1.240
任务1 获取数据 计算斜坡的高度AC
任务2 分析计算 通过观察，计算雷峰塔的高度（结果保留整数）
6．如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝6米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF．
（1）当水桶在井里时，∠AOD＝120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1m）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
7．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
（2）小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
8．图1是小明家电动单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转调整角度．“n°某某”模式时，表示∠ABC＝n°，如“140°看电视”模式时∠ABC＝140°．已知沙发靠背AB长为50cm，坐深BC长为54cm，BC与地面水平线平行，脚托CD长为40cm，∠DCD'＝∠ABC﹣80°，初始状态时CD⊥BC．
（1）求“125°阅读”模式下∠DCD'的度数．
（2）求当该沙发从初始位置调至“125°阅读”模式时，点D运动的路径长．
（3）小明将该沙发调至“150°听音乐”模式时，求点A，D′之间的水平距离（精确到个位）．（参考数据：≈1.7，sin70°≈0.9，cos70°≈0.3）
9．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O为摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接，杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为36°．
（1）求显示屏所在部分的宽度CM；
（2）求镜头A到地面的距离．
（参考数据：sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，结果保留一位小数）
10．综合与实践：测算校门所在斜坡的坡度．
【背景】如图1，某学校校门在一道斜坡上，该校兴趣小组想要测量斜坡的坡度．
【素材1】校门前的斜坡上铺着相同的长方形石砖，如图2，从测量杆AB到校门所在位置DE在斜坡上有15块地砖．
【素材2】在点A处测得仰角tan∠1＝，俯角tan∠2＝；在点B处直立一面镜子，光线BD反射至斜坡CE的点N处，测得点B的仰角tan∠3＝；测量杆上AB：BC＝5：8，斜坡CE上点N所在位置恰好是第9块地砖右边线．
【讨论】只需要在∠1，∠2，∠3中选择两个角，再通过计算，可得CE的坡度．
任务1 分析规划 选择两个测量角的正切值： 和 ．（填“∠1”，“∠2”或“∠3）
求NE：CN的值．
任务2 推理计算 求坡度tan∠ECM的值．
答案与解析
押题方向1：三角形及作图
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州卷第19题 三角形中位线定理 从近几年浙江中考来看，三角形与格点作图的有关问题在解答题中经常出现，主要考查三角形的有关性质、全等三角形的性质与判定、特殊三角形的性质及格点作图，预计2024年浙江卷还将重视三角形有关性质与判定及格点作图的考查。
2023年衢州卷第19题 全等三角形的判定
2023年金华卷第21题 勾股定理
2023年宁波卷、温州卷第18题 作图-旋转变换
1．（2023 湖州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．
【点拨】根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出AB＝13，
【解析】解∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
∵AD＝12，
∴，
∵E为AB的中点，D点为BC的中点，
∴．
【点睛】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（2023 衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
【点拨】（1）根据两三角形全等的判定定理，选择合适的条件即可．
（2）根据（1）中所选条件，进行证明即可．
【解析】解：（1）由题知，
选择的三个条件是：①②③；
或者选择的三个条件是：①③④．
证明：（2）当选择①②③时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
当选择①③④时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点睛】本题考查全等三角形的证明，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2023 金华）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格，在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法（如图） 结论
①在CB上取点P1，使CP1＝4． ∠P1OA＝45°，点P1表示45°．
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2． ∠P2OA＝30°，点P2表示30°．
③分别以O，P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连接EF与BC相交于点P3． …
④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB于点P4． …
（1）分别求点P3，P4表示的度数．
（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．
【点拨】（1）根据矩形的性质可求出∠OP2C 度数，根据线段垂直平分线的性质∠P2OP3度数，即可求出∠P3OA的度数，从而知道P3点表示度数；利用半径相等即可求出∠P2OD＝∠P2DO，再根据平行线的性质即可求出∠P2OD＝∠DOA，从而得P4表示度数；
（2）利用角平分线的性质作图即可求出答案．
【解析】解：①∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠OP2C＝∠P2OA＝30°，
由作图可知，EF是 OP2 的中垂线，
∴OP3＝P3P2；
∴∠P3OP2＝∠P3P2O＝30°，
∴∠P3OA＝∠P3OP2+∠P2OA＝60°，
∴点P3 表示 60°；
②作图可知，P2D＝P2O，
∴∠P2OD＝∠P2DO，
∵CB∥OA，
∴∠P2DO＝∠DOA；
∴，
∴点P4表示 15°；
答：点P3表示60°，点P4表示15°；
（2）作∠P3OP4 的角平分线交BC于P5，点P5即为所求作的点，如图：
∵点P3表示 60°，点P4表示 15°，
∴∠P3OP4＝60°﹣15°＝45°，
∴∠P3OP4+∠P4OA＝22.5°+15°＝37.5°，
∴P5 表示 37.5°．
【点睛】本题考查的是尺规作图的应用，涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性质、圆的相关性质，解题的关键需要正确理解题意，掌握用到的相关知识点．
4．（2023 温州）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形；
（2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．
【点拨】（1）根据题意作出图形即可；
（2）作等腰直角三角形PQR，可得结论．
【解析】解：（1）图形如图1所示（答案不唯一）；
（2）图形如图2所示（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握在旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
5．（2023 宁波）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的△P′A′B′．
（2）将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C．
【点拨】（1）根据等腰三角形的定义，平移变换的性质作出图形即可；
（2）根据旋转变换的性质作出图形即可．
【解析】解：（1）如图1，△P′A′B′即为所求；
（2）如图2，△A′B′C即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
1．掌握三角形的基本性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理是解决三角形相关问题的关键。
2．在方格纸做格点三角形关键是借助格点中存在的位置关系和数量关系.
1．如图，在四边形ACBD中，AC＝BC，∠ACB＝∠BDC＝∠AED＝90°．
（1）求证：CE＝BD．
（2）若，求BD的长．
【点拨】（1）由∠ACB＝∠BDC＝∠AED＝90°，得∠ACE＝∠B＝90°﹣∠BCD，∠CEA＝∠BDC＝90°，而AC＝CB，即可根据“AAS”证明△ACE≌△CBD，得CE＝BD；
（2）根据等腰三角形的“三线合一”得CE＝DE，则AE＝CD＝2CE＝2BD，所以AC＝＝BD＝2，求得BD＝2．
【解析】（1）证明：∵∠ACB＝∠BDC＝∠AED＝90°，
∴∠ACE＝∠B＝90°﹣∠BCD，∠CEA＝∠BDC＝90°，
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴CE＝BD．
（2）解：∵AC＝AD＝2，AE⊥CD，
∴CE＝DE，
∴AE＝CD＝2CE＝2BD，
∴AC＝＝＝BD，
∴BD＝2，
∴BD＝2，
∴BD的长为2．
【点睛】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理等知识，证明△ACE≌△CBD是解题的关键．
2．如图，已知△ABC，∠C＝50°，将AB沿射线BC的方向平移至A′B′，使B′为BC的中点，连结AA′，记A′B′与AC的交点为O．
（1）求证：△AOA′≌△COB′；
（2）若AC平分∠BAA′，求∠B的度数．
【点拨】（1）利用三角形中位线定理得出OA＝OC，进而利用SAS证明△AOA′≌△COB′即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠A'AO的度数，进而利用三角形的内角和定理解答即可．
【解析】（1）证明：由平移可知，AB＝A'B'，AB∥A'B'，
∵B′为BC的中点，
∴OB'是△ABC的中位线，
∴OA＝OC，OB'＝AB，
∴OB'＝A'B'，
即A'O＝OB'，
在△AOA'与△COB'中，
，
∴△AOA′≌△COB′（SAS）；
（2）解：∵△AOA′≌△COB′，
∴∠A'AO＝∠C＝50°，
∵AC平分∠BAA′，
∴∠BAC＝∠OAA'＝50°，
∴∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用SAS证明△AOA′≌△COB′解答．
3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连结AE，DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．
（1）求证：AD＝CE．
（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．
【点拨】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到CD＝AD＝AB，根据线段垂直平分线的选择得到CE＝CD，于是得到结论．
（2）根据直角三角形斜边中线的性质得到AB＝2AD＝10，由勾股定理得到BC＝＝8，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝AB，
∵CF⊥DE，DF＝EF．
∴CE＝CD，
∴AD＝CE．
（2）解：由（1）知，CE＝CD＝AB＝5，
∴AB＝10，
在Rt△ABC中，BC＝＝8，
∴BE＝BC+EC＝13，
∴S△AEB＝BE AC＝．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
4．（2024 拱墅区一模）已知：如图，∠ADC＝90°，DC∥AB，BA＝BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点．
（1）求证：BF⊥AC；
（2）求证：△ADC≌△AEC；
（3）连结DE，若CD＝5，AD＝12，求DE的长．
【点拨】（1）由BA＝BC，F是AC的中点，根据等腰三角形的三线合一，可得BF⊥AC；
（2）由DC∥AB，BA＝BC，根据等边对等角，证得∠ECA＝∠CAB，即可根据AAS证得△ADC≌△AEC；
（3）由全等三角形的性质得CD＝CE，AD＝AE，得到AC垂直平分线DE，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出DG，即可求出答案．
【解析】（1）证明：∵BA＝BC，F是AC的中点，
∴BF⊥AC（等腰三角形的三线合一）；
（2）证明：∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠AEC，
∵DC∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵BA＝BC，
∴∠ECA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠ECA，
在△ADC和△AEC中，
，
∴△ADC≌△AEC（AAS）；
（3）解：设DE，AC交于G，
由（2）知△ADC≌△AEC，
∴CD＝CE，AD＝AE，
∴AC垂直平分线DE，
∴DG＝EG，
在Rt△ACD中，
AC＝＝＝13，
∵S△ACD＝AD CD＝DG AC，
∴DG＝＝＝，
∴DE＝．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，平行线的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
5．如图，在下列4×4的正方形网格中，按要求作图．
（1）在图①②③中，分别画一条线段，使各网格为轴对称图形（要求所画图形互不相同）；
（2）在图④中，画一条线段，使整个网格为中心对称图形．
【点拨】（1）根据轴对称图形的定义画图即可．
（2）根据中心对称图形的定义画图即可．
【解析】解：（1）如图①②③所示．
（2）如图④所示．
【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，熟练掌握轴对称图形、中心对称图形的定义是解答本题的关键．
6．如图是由边长为1的小正方形构成的6×5网格，点A，B均在格点上．
（1）请在图1中，画出一个格点△ABC，使△ABC为轴对称图形．
（2）请在图2中，画出一个格点四边形ABDE，使四边形ABDE为中心对称图形．（注：格点多边形，即多边形的每个顶点均在格点上．）
【点拨】（1）利用网格，画等腰三角形即可．
（2）利用网格，画平行四边形即可．
【解析】解：（1）如图1，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2，四边形ABDE即为所求（答案不唯一）．
【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，熟练掌握轴对称图形、中心对称图形的定义是解答本题的关键．
7．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点△ABC和格点O（格点为网格线的交点）．
（1）以O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向左平移3个单位长度得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【点拨】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）根据平移的性质作图即可．
【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
押题方向2：一次函数与反比例函数
20233年浙江真题 考点 命题趋势
2023年温州卷、绍兴卷第20题 一次函数图象的性质 从近几年浙江各地中考来看，反比例函数与一次函数的图象与性质主要考查函数的增减性、交点问题、大小比较、一次函数与反比例函数的实际应用等，试题以填空题形式呈现，难度中等；预计2024年浙江卷还将继续重视对反比例函数或一次函数的图象与性质及其应用的考查。
2023年丽水卷第21题金华卷、宁波卷第22题、台州卷第23题 一次函数的应用
2023年杭州卷第21题 反比例函数与一次函数的交点问题
2023年台州卷第20题 反比例函数的应用
1．（2023 温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．
【点拨】（1）将A点代入直线解析式，求出m．利用待定系数法解出AB直线函数解析式；
（2）分别用t表示出y1和y2，列出y1﹣y2，的函数解析式，找出y随t的变化，利用t的最值求出答案．
【解析】解：（1）把点A（2，m）代入y＝2x﹣中，得m＝；
设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b，把A（2，），B（0，3）代入得：
，解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+3．
（2）∵点P（t，y1）在线段AB上，
∴y1＝﹣t+3（0≤t≤2），
∵点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，
∴y2＝2（t﹣1）﹣＝2t﹣，
∴y1﹣y2＝﹣t+3﹣（2t﹣）＝﹣t+，
∵﹣＜0，
∴y1﹣y2随t的增大而减小，
∴当t＝0，y1﹣y2的最大值为．
【点睛】本题以一次函数为背景考查了一次函数图象的性质，考查学生对待定系数法的运用能力，题目难度不大，解决问题的关键是求出y1﹣y2的表达式，利用t的最值求出答案．
2．（2023 宁波）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．
（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【点拨】（1）求出大巴速度为＝40（km/h），即得s＝20+40t；令s＝100得a＝2；
（2）求出军车速度为60÷1＝60（km/h），设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为x h，可得：60（2﹣x）＝100，即可解得答案．
【解析】解：（1）由函数图象可得，大巴速度为＝40（km/h），
∴s＝20+40t；
当s＝100时，100＝20+40t，
解得t＝2，
∴a＝2；
∴大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s＝20+40t，a的值为2；
（2）由函数图象可得，军车速度为60÷1＝60（km/h），
设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为x h，
根据题意得：60（2﹣x）＝100，
解得：x＝，
答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为h．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
3．（2023 台州）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
【点拨】任务1：依表计算即可；
任务2：根据待定系法确定关系式即可；
任务3：（1）根据题意计算即可；（2）设h＝kt+30，代入w计算化简，利用二次函数性质求w的最小值即可；
任务4：按照上一问题中的结论设计即可．
【解析】解：任务1：
变化量分别为：29﹣30＝﹣1（cm）；28.1﹣29＝﹣0.9（cm）；27﹣28.1＝﹣1.1（cm）；25.8﹣27＝﹣1.2（cm），
∴每隔10min水面高度观察值的变化量为：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2．
任务2：
设水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝kt+b，
∵t＝0 时，h＝30；t＝10时，h＝29；
∴，
解得：，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝﹣0.1t+30；
任务3：
（1）w＝（30﹣30）2+（29﹣29）2+（28﹣28.1）2+（27﹣27）2+（26﹣25.8）2
＝0.05．
（2）设：h＝kt+30，
∴w＝（0 k+30﹣30）2+（10k+30﹣29）2+（20k+30﹣28.1）2+（30k+30﹣27）2+（40k+30﹣25.8）2
＝3000（k+0.102）2+0.038，
∴当k＝﹣0.102时，w的最小值为0.038．
任务4：
将零刻度放在水位最高处，在容器外壁每隔1.02cm标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了10分钟．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，充分理解题意是解题关键．
4．（2023 丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二y关于x的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
【点拨】（1）根据图图象的交点回答即可；
（2）设方案二的函数图象解析式为y＝kx+b，将点（0，600）、点（30，1200）代入即可；
（3）对生产件数的范围进行讨论，从而得出正确的方案．
【解析】解：（1）观察图象得：
方案一与方案二相交于点（30，1200），
∴员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）设方案二的函数图象解析式为y＝kx+b，
将点（0，600）、点（30，1200）代入解析式中：
，
解得：，
即方案二y关于x的函数表达式：y＝20x+600；
（3）由两方案的图象交点（30，1200）可知：
若生产件数x的取值范围为0≤x＜30，则选择方案二，
若生产件数x＝30，则选择两个方案都可以，
若生产件数x的取值范围为x＞30，则选择方案一．
【点睛】本题考查的是求解一次函数解析式以及一次函数的实际应用，解题关键是会看图，理解横轴与纵轴表示的实际意义，掌握用待定系数法求函数解析式．
5．（2023 金华）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．
【点拨】（1）由A（8，800）可知哥哥的速度．
（2）①根据时间＝路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可．
②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论．
【解析】解：（1）由A（8，800）可知哥哥的速度为：800÷8＝100（m/min）．
（2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
∴妹妹所用时间t为：800÷200＝4（min）．
∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
∴a＝8+2﹣4＝6．
②由（1）可知：哥哥的速度为100m/min，
∴设BC所在直线为s1＝100t+b，
将B（17，800）代入得：800＝100×17+b，
解得b＝﹣900．
∴BC所在直线为：s1＝100t﹣900．
当s1＝1900时，t哥哥＝28．
∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，
∴妹妹的速度是160米/分．
∴设妹妹返回时的解析式为s2＝160t+b，
将F（20，800）代入得800＝160×20+b，
解得b＝﹣2400，
∴s2＝160t﹣2400．
令s1＝s2，则有100t﹣900＝160t﹣2400，
解得t＝25＜28，
∴妹妹能追上哥哥，
此时哥哥所走得路程为：800+（25﹣17）×100＝1600（米）．
兄妹俩离家还有1900﹣1600＝300（米），
即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家300米远．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，观察图象以及利用待定系数法求解析式是解决该类问题的关键．
6．（2023 绍兴）一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）求OA所在直线的表达式；
（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．
【点拨】（1）利用待定系数法，将（5，1000）代入解析式中，求出答案；
（2）俩机器人相向而行，同时出发，相遇时两人路程应为MN的长度，列出方程即可；
（3）设甲到P地时间为t分钟，乙到P地时间为（t+1）分钟，分别求出两人到P地时，与M的距离，列出方程，解出答案．
【解析】解：（1）由图象可知，OA所在直线为正比例函数，
∴设y＝kx，
∵A（5，1000），
1000＝5k，k＝200，
∴OA所在直线的表达式为y＝200x．
（2）由图可知甲机器人速度为：1000÷5＝200（米/分钟），
乙机器人速度为：1000÷10＝100（米/分钟），
两人相遇时：＝（分钟），
答：出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇．
（3）设甲机器人行走t分钟时到P地，P地与M地距离为200t，
则乙机器人（t+1）分钟后到P地，P地与M地距离1000﹣100（t+1），
由200t＝1000﹣100（t+1），解得t＝3，
∴200t＝600，
答：P，M两地间的距离为600米．
【点睛】本题以一次函数综合运用为背景，考查了学生在函数中数形结合的能力，此类题目的关键是弄懂题意，求出每个人的速度，明确相向而行时相遇时两人的路程和等于总路程，进而求解．
7．（2023 台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．
【点拨】（1）设h关于ρ的函数解析式为 ，把ρ＝1，h＝20代入解析式，解方程即可得到结论；
（2）把 h＝25 代入 ，求得ρ＝0.8，于是得到结论．
【解析】解：（1）设h关于ρ的函数解析式为 ，
把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，
∴h关于ρ的函数解析式为 ；
（2）把 h＝25 代入 ，得 ，
解得：ρ＝0.8，
答：该液体的密度ρ为 0.8g/cm3．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
8．（2023 杭州）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4．
（1）求k1，k2的值．
（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．
【点拨】（1）首先将点A的横坐标代入y2＝k2（x﹣2）+5 求出点A的坐标，然后代入 求出k1＝10 然后将点B的纵坐标代入 求出，然后代入y2＝k2（x﹣2）+5，即可求出k2＝2；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出CD所在直线的表达式，进而求解即可．
【解析】（1）解：∵点A的横坐标是2，
∴将x＝2代入y2＝k2（x﹣2）+5＝5，
∴A（2，5），
∴将A（2，5）代入 得：k1＝10，
∴，
∵点B的纵坐标是﹣4，
∴将y＝﹣4代入 得，，
∴B（﹣，﹣4）．
∴将B（﹣，﹣4）代入y2＝k2（x﹣2）+5得：，
解得：k2＝2．
∴y2＝2（x﹣2）+5＝2x+1．
（2）证明：如图所示，
由题意可得：C（，5），D（2，﹣4），
设CD所在直线的表达式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴CD所在直线的表达式为y＝﹣2x，
∴当x＝0时，y＝0，
∴直线CD经过原点．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
1、一次函数的k值决定函数的增减性，若k＞0，y随x的增大而增大；若k＜0，y随x的增大而减小；
2、一次函数的b值决定直线和y轴的交点，若b＞0，与y轴正半轴相交；若b＜0，与y轴负半轴相交；当b＝0时，图象过原点.
3、反比例函数，当k＞0，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
4、大小比较问题的呈现方式主要以不等式的解集的求解来进行呈现，而满足条件的不等式的左右两边为一次函数或反比例函数的形式来存在，所以我们可以通过这类型不等式的左右两边的函数图像来进行判定是大于小于的情况，从而通过其函数的交点来确定图像的位置，满足的解集。
1．食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示，
（1）求a的值．
（2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数．
（3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？
【点拨】（1）a分钟新增40a人，由图象可得400+40a﹣15×4a＝320，据此可得答案；
（2）运用待定系数法求直线BC的解析式，再把x＝7代入计算即可；
（3）根据题意列不等式求解．
【解析】解：（1）根据“等候购餐的人数＝开餐时排队人数+前a分钟新增排队人数﹣购餐后离开的人数”，得400+40a﹣15×4a＝320，
解得a＝4，
∴a的值是4．
（2）当4≤x≤10时，设排队等候购餐的人数y与开餐时间x的关系为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标B（4，320）和C（10，0）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y＝﹣x+（4≤x≤10）．
当x＝7时，y＝﹣×7+＝160，
∴开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候160人；
（3）设同时开放x个窗口，则7×15x≥400+4×40+[60×6﹣320]×，解得x≥5，
所以至少需同时开放6个售票窗口．
【点睛】本题考查了一次函数的应用：建立一次函数函数模型，应用一次函数的性质解决问题．
2．星期日上午9：00，小明从家里出发步行前往离家2.4km的镇海书城参加读书会活动，他以75m/min的速度步行了12min后发现忘带入场券，于是他停下来．打电话给家里的爸爸寻求帮助.9：15，爸爸骑着自行车从家里出发，沿着同一路线以375m/min的速度行进，同一时刻小明继续按原速步行赶往目的地．爸爸追上小明后载上他以相同的车速前往书城（停车载人时间忽略不计），到达书城后爸爸原速返回家．爸爸和小明离家的路程s（m）与小明所用时间t（min）的函数关系如图所示．
（1）求爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式及a的值．
（2）爸爸出发后多长时间追上小明？此时距离镇海书城还有多远？
【点拨】（1）根据爸爸行驶的路程和爸爸的速度，求出爸爸到达书城所用时间，再根据待定系数法求函数解析式，再求出a的值；
（2）设爸爸出发后x分钟追上小明，根据两人路程相等列出方程，解方程求出x，并求出距离书城的距离．
【解析】解：（1）爸爸到达达镇海书城所用时间为＝6.4（min），
设爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式为s＝kt+b，
把（15，0），（21.4，2400）代入s＝kt+b，
得：，
解得，
∴爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式为s＝375t﹣5625；
∵爸爸的速度不变，
∴他返回家的时间和到达书城的时间均为6.4min，
∴a＝15+2×6.4＝27.8；
（2）设爸爸出发后x分钟追上小明，
则375x＝75（12+x），
解得x＝3，
此时，2400﹣375×3＝1275（m），
答：爸爸出发后3分钟追上小明，此时距离镇海书城还有1275米．
【点睛】本题考查一次函数的应用以及路程、速度、时间之间关系的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y＝mx+4的图象分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）直线y＝a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF＝1时，求a的值．
【点拨】（1）利用y＝x+4求得A的坐标，进一步求得点C的坐标，然后用待定系数法即可求解；
（2）当y＝a时，即y＝2x+4＝a，y＝x+4＝a，则x＝，x＝a﹣4，则|a﹣4﹣|＝1，即可求解．
【解析】解：（1）令y＝x+4＝0，则x＝﹣4，即点A（﹣4，0），
∵C为AO中点，则点C（﹣2，0），
将点C的坐标代入y＝mx+4得：0＝﹣2m+4，
解得：m＝2，
即直线l2的函数解析式为：y＝2x+4；
（2）当y＝a时，即y＝2x+4＝a，y＝x+4＝a，
则x＝，x＝a﹣4，
则|a﹣4﹣|＝1，
则a＝6或2．
【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
4．高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，接满700ml的水杯，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题：
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度．生活经验：饮水最佳温度是35﹣38℃（包括35℃与38℃），这一温度最接近人体体温．
（1）若先接温水26秒，求再接开水的时间．
（2）设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为y℃．
①若y＝50，求x的值．
②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的取值范围．
【点拨】（1）设接开水的时间为t秒，根据“小明先接温水后再接开水，接满700ml的水杯”，结合图2中开水和温水的水流速度，列出等量关系式，即可求解；
（2）①根据物理知识中等量关系，列式，即可求解；
②根据物理知识中等量关系，列出y关于x的函数，根据增减性，即可求解．
【解析】解：（1）设接开水的时间的时间为t秒，
根据题意得：20×26+15t＝700，
解得t＝12，
答：接开水的时间为12秒；
（2）①由题意知，温水体积20x ml，开水体积为（700﹣20x）ml，
则20x （50﹣30）＝（700﹣20x）（100﹣50），
解得x＝25；
②由①得：20x（y﹣30）＝（700﹣20x）（100﹣y），
化简，得y＝﹣2x+100，
∵35≤y≤38，
∴31≤x≤32.5，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣2x+100，达到最佳水温时x的取值范围为31≤x≤32.5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是：读懂题意列出关系式．
5．已知反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0，k是常数）的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当k＝2，b＝﹣1时，求x1+x2的值．
（2）若x1+x2＝0，求y1+y2的值．
【点拨】（1）由题意可知，x1，x2是方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根，利用根与系数的关系即可求得；
（2）由题意可知，x1，x2是方程＝kx+b的两个根，方程＝kx+b整理得kx2+bx﹣1＝0，利用根与系数的关系，由x1+x2＝0求得b＝0，则y＝kx正比例函数，利用正比例函数与反比例函数的中心对称性即可求得y1+y2＝0．
【解析】解：（1）当k＝2，b＝﹣1时，一次函数为y＝2x﹣1，
令＝2x﹣1，整理得2x2﹣x﹣1＝0，
∵反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0，k是常数）的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1，x2是方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝；
（2）∵反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0，k是常数）的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1，x2是方程＝kx+b的两个根，
方程＝kx+b整理得kx2+bx﹣1＝0，
∵x1+x2＝0，
∴﹣＝0，
∴b＝0，
∴一次函数为y＝kx（k≠0，k是常数），
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）关于原点对称，
∴y1+y2＝0．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，把函数转化为方程是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2分别与xy轴交于点B、A点，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，OE＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OD，求△OBD的面积
（3）当反比例函数值大于一次函数值时，请直接写出满足题意的x的取值范围．
【点拨】（1）根据已知条件求出C点坐标，用待定系数法求出反比例的函数解析式；
（2）根据直线的解析式求得B的坐标，然后根据一次函数和反比例函数的解析式求得D的坐标，进而根据三角形的面积公式求得即可．
（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．
【解析】解：（1）∵OE＝2，CE⊥x轴于点E．
∴C的横坐标为﹣2，
把x＝﹣2代入y＝﹣x+2得，y＝﹣×（﹣2）+2＝3，
∴点C的坐标为C（﹣2，3）．
将点C的坐标代入反比例函数y＝（k≠0），得3＝．
∴k＝﹣6．
∴该反比例函数的解析式为y＝﹣．
（2）由直线y＝﹣x+2可知B（4，0），
解得或，
∴D（6，﹣1），
∴S△OBD＝×4×1＝2．
（3）由图象可知：当反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞6．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及一次函数和反比例函数的交点问题，根据已知条件求得交点的坐标是解题的关键．
7．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，一个100g的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长12cm时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），求y关于x的函数表达式，并求出y的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
【点拨】任务1：根据左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP，把相关数值代入后整理可得y与x的关系式，根据OP也就是x的取值范围可得y的取值范围；
任务2：设空瓶的质量为a g，两次加水的质量均为b g，根据左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP列出二元一次方程组求解即可得到空瓶的质量．
【解析】解：任务1：∵左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP，右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），砝码的质量是100g，OA＝12cm，
∴100×12＝xy．
∴y＝．
∵OC＝12cm，BC＝28cm，
∴OB＝40cm．
∵点P可以在横梁BC段滑动，
∴12≤OP≤40．
即12≤x≤40．
∴30≤y≤100．
答：y关于x的函数表达式为：y＝（30≤y≤100）；
任务2：设空瓶的重量为a g，两次加水的重量均为b g，根据题意，得：
．
解得：．
答：这个空矿泉水瓶的重量为10 g．
【点睛】本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键．
8．设函数，y2＝k2x（k1，k2是常数，k1≠0，k2≠0），点A（2，4）在函数y2的图象上，且两个函数图象的一个交点B的坐标为（1，m）．
（1）求函数y1的表达式；
（2）若点C在函数y2的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求点C的坐标．
【点拨】（1）先根据点A坐标求出函数y2的表达式，再由y2的表达式求出点B坐标，再把点B坐标代入函数中，求出k1即可；
（2）点C坐标为（a，2a），然后根据平移的性质求出点D坐标，再代入y2解析式求出a即可．
【解析】解：（1）∵点A（2，4）在函数y2的图象上，
∴2k2＝4，
解得k2＝2，
∴y2＝2x，
∵点B（1，m）在y2的图象上，
∴m＝2，
∴点B（1，2），
∵点B（1，2）在函数的图象上，
∴2＝，
∴k1＝2，
∴函数y1的表达式为y1＝；
（2）设点C坐标为（a，2a），
将点C先向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得点D
∴点D坐标为（a﹣3，2a﹣3），
∵点D恰好落在函数y1的图象上，
∴（a﹣3）（2a﹣3）＝2，
解得a＝1或a＝，
∴点C坐标为（1，2）或（，7）．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，关键是掌握一次函数和反比例函数的性质．
9．如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数≠0）的图象交于点C（﹣4，﹣2），D（2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）结合图象，请直接写出不等式的解集．
【点拨】（1）将C、D两点代入一次函数的解析式中即可求出一次函数的解析式，然后将点D代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式；
（2）根据图象即可求出该不等式的解集．
【解析】解：（1）∵反比例函数≠0）的图象交于点C（﹣4，﹣2），D（2，m）．
∴k2＝﹣4×（﹣2）＝2m，
∴m＝4，k2＝8，
∴反比例函数的解析式为：y2＝，
∵一次函数y1＝k1x+b的图象经过点C（﹣4，﹣2），D（2，4），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）由图象可知，不等式不等式的解集为x＜﹣4或0＜x＜2．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练运用待定系数法以及数形结合的思想，本题属于中等题型．
10．在一项科学实验中，研究人员对不同形状的物体进行了压力测试，这些物体的质量相同，但形状各异．研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上，并记录了测试平台受到的压力（单位：Pa）与受力面积（单位：m2）之间的关系，结果如表所示．
桌面所受压强P（Pa） 50 100 200 400
受力面积S（m2） 2 1 0.5 0.25
（1）根据如表数据，求桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数表达式．
（2）现将相同质量，且棱长为0.2m的正方体放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
【点拨】（1）根据表格中的数据，可以发现压强P和受力面积S的乘积是一个定值，从而可以得到桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）符合反比例关系，然后求出这个函数解析式即可；
（2）先求出S，再根据（1）中的解析式求出P，再与5000比较大小即可．
【解析】解：（1）由表格中的数据可知：压强P和受力面积S的乘积是一个定值，故桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）符合反比例关系，
设桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）的函数解析式为P＝，
当P＝50时，S＝2，则50＝，
解得k＝100，
即桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）函数关系式是P＝；
（2）这种摆放方式安全，
理由：S＝0.2×0.2＝0.04，
当S＝0.04时，P＝＝2500，
∵2500＜5000，
∴这种摆放方式安全．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
押题方向3：解直角三角形的应用
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年绍兴卷丽水卷台州卷第19题、宁波卷第21题舟山嘉兴卷第22题温州卷第23题 解直角三角形的应用 从近几年浙江各地中考来看，解直角三角形的实际应用是常考题目，试题以解答题形式呈现，整体难度中等；预计2024年浙江卷还将考查，大家一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。
1．（2023 丽水）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的总长．
【点拨】过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得BE＝CD＝4m，则AE＝7m，再由锐角三角函数定义求出AD＝14m，即可解决问题．
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，
∴BE＝CD＝4m，
∴AE＝AB﹣BE＝11﹣4＝7（m），
∵∠A＝60°，
∴cosA＝＝cos60°＝，
∴AD＝2AE＝2×7＝14（m），
∴AD+CD＝14+4＝18（m），
即管道A﹣D﹣C的总长为18m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及锐角三角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．（2023 舟山、嘉兴）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【点拨】（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义得到EF＝AF tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），根据全等三角形的性质得到结论；
（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P，根据三角函数的定义得到MP＝AP tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），根据全等三角形的性质得到PN＝MP＝54.0cm，于是得到结论．
【解析】解：（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，
在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，
∴EF＝AF tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），
∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，
∴△ADF≌△AEF（ASA），
∴EF＝DF＝35.1cm，
∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），
∴小杜最少需要下蹲208﹣195.1＝12.9厘米才能被识别；
（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
∴MP＝AP tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），
∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，
∴△AMP≌△ANP（ASA），
∴PN＝MP＝54.0cm，
∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm），
∴小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3＝123（cm），
∴小若头顶超出点N的高度为：123﹣106.0＝17.0（cm）＞15cm，
∴踮起脚尖小若能被识别．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题关键．
3．（2023 绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
【点拨】（1）根据垂直定义可得∠ACG＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
（2）延长OA，ED交于点M，根据垂直定义可得∠AOB＝90°，从而利用平行线的性质可得∠DMA＝∠AOB＝90°，再根据对顶角相等可得∠DAM＝∠GAC＝58°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ADM＝32°，然后在Rt△ADM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，从而利用线段的和差关系求出MO的长，比较即可解答．
【解析】解：（1）∵CG⊥CD，
∴∠ACG＝90°，
∵∠AGC＝32°，
∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝90°﹣32°＝58°，
∴∠GAC的度数为58°；
（2）该运动员能挂上篮网，
理由如下：延长OA，ED交于点M，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵DE∥OB，
∴∠DMA＝∠AOB＝90°，
∵∠GAC＝58°，
∴∠DAM＝∠GAC＝58°，
∴∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°，
在Rt△ADM中，AD＝0.8米，
∴AM＝AD sin32°≈0.8×0.53＝0.42（米），
∴OM＝OA+AM＝2.5+0.424＝2.924（米），
∵2.924米＜3米，
∴该运动员能挂上篮网．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．（2023 宁波）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β．
（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【点拨】（1）由已知直接可得答案；
（2）设AD＝x m，可得CD＝AD＝x m，BD＝（20+x）m，而tan∠ABD＝，有0.75＝，即可解得答案．
【解析】解：（1）根据题意得：β＝90°﹣α；
（2）设AD＝x m，
∵∠ACD＝45°，∠ADB＝90°，
∴CD＝AD＝x m，
∵BC＝20m，
∴BD＝（20+x）m，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴tan37°＝，即0.75＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是分式方程的解，
∴AD＝60（m），
答：气球A离地面的高度AD是60m．
【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
5．（2023 台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）
【答案】AC的长约为80cm．
【点拨】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解析】解：在Rt△ABC中，AB＝120cm，∠BAC＝90°，∠B＝33.7°，
∴tanB＝，
∴AC＝AB tan33.7°≈120×0.67＝80.4≈80（cm），
∴AC的长约为80cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．（2023 温州）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背景素材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点 A 和点 B（答案不唯一） ．
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度MN．
任务3 换算高度 楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．
【点拨】通过作垂线，构造直角三角形，依据直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解析】解：任务1：【分析规划】选择点A和点B（答案不唯一），
故答案为：A、B（答案不唯一）；
【获取数据】tan∠FAN＝，tan∠MAF＝，tan∠MBG＝，测得图上AB＝4mm；
任务2：如图1，过点A作AF⊥MN于点F，过点B作BG⊥MN于点G，则FG＝AB＝4mm，
设MF＝x mm，则MG＝（x+4）mm，
∵tan∠MAF＝＝，
tan∠MBG＝＝，
∴AF＝4x，BG＝3x+12，
∵AF＝BG，即4x＝3x+12，
∴x＝12，
即MF＝12mm，
∴AF＝BG＝4x＝48（mm），
∵tan∠FAN＝＝，
∴FN＝6mm，
∴MN＝MF+FN＝12+6＝18（mm），
任务3：测得图上DE＝5mm，设发射塔的实际高度为h m，由题意得，
＝，
解得h＝43.2（m），
∴发射塔的实际高度为43.2m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提
解直角三角形实际应用的一般步骤：
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解。
1．图1是一个跷跷板的实物图，图2是其示意图．已知跷板AB长为2.6米，点O为跷板AB的中点，支柱OC与地面垂直．当跷板一端着地时，跷板AB与支柱OC形成的∠BOC＝118°．
（1）求点B到地面DE的距离．
（2）假设AB绕点O沿铅垂方向转动，当跷板AB的一端从最高点B转动到最低点B′时，求跷板AB扫过的区域面积．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，π≈3）
【点拨】（1）作BM⊥DE于点M，根据sin∠BAC＝求解即可；
（2）跷板AB扫过的区域就是OA扫过的区域与OB扫过的区域之和，OA扫过的区域与OB扫过的区域的面积是相等的，根据扇形的面积公式计算即可．
【解析】解：（1）作BM⊥DE于点M，如图，
∵支柱OC与地面垂直，
∴∠OCA＝90°．
∵∠BOC＝118°，
∴∠BAC＝∠BOC﹣∠OCA＝28°．
在Rt△ABM中，BM＝AB sin∠BAC＝2.6×sin28°≈1.2（米）．
答：点B到地面DE的距离是1.2米；
（2）跷板AB扫过的区域就是OA扫过的区域与OB扫过的区域之和，OA扫过的区域与OB扫过的区域的面积是相等的，
∵AB长为2.6米，点O为跷板AB的中点，
∴OA＝OB＝OB′＝1.3（米）．
∴∠OAC＝∠OB′C，
∴∠B′OB＝2∠AOC＝56°．
∴跷板OB扫过的区域面积为：≈0.8（m2）．
∴跷板AB扫过的区域面积为：0.8×2＝1.6（m2）．
答：跷板AB扫过的区域面积约为1.6m2．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，扇形的面积公式的应用．构造直角三角形是解题的关键．
2．如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）．经测量，∠ADC可在20°和160°之间发生变化（包含20°和160°），AD＝40cm．
（1）当∠ADC＝120°时，求此时BD的长；
（2）当∠ADC从20°变为160°时，这个千斤顶升高了多少cm？（sin80°＝0.98，cos80°＝0.17，tan80°＝5.67 ）
【点拨】（1）连接AC，与BD相交于点O．由菱形的性质可知AC⊥BD，再利用三角函数求解．
（2）利用三角函数分别求出当∠ADC从20变为160°两种情况下AC的值再相减即可．
【解析】解：（1）如图，连接AC，与BD相交于点O．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，∠ADB＝∠CDB，BD＝2OD．
当∠ADC＝120°时，∠ADO＝60°．
∴OD＝AD cos∠ADO
＝40×
＝20．
∴BD＝40；
（2）∵四边形ABCD为菱形．
∴AC⊥BD，∠ADB＝∠CDB，AC＝2AO
当∠ADC＝20°时，∠ADO＝10°，
则∠DAO＝80°．
∴AO＝AD cos∠ADO
≈40×0.17
＝6.8（cm）．
∴AC＝13.6cm．
当∠ADC＝160°时，∠ADO＝80°．
∴AC＝2AO
＝2AD sin∠ADO
≈2×40×0.98
＝78.4（cm）．
∴增加的高度为：78.4﹣13.6＝64.8（cm），
答：这个千斤顶升高约64.8cm．
【点睛】本题考查了三角函数的实际应用和菱形性质，构造直角三角形是解决问题的关键．
3．图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°，求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
【点拨】过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CF⊥BE，垂足为F，过点C作CG⊥AD，垂足为G，根据题意可得：EF＝CG，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长和∠ABE＝30°，从而求出∠CBE＝20°，最后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出EF的长，即可解答．
【解析】解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CF⊥BE，垂足为F，过点C作CG⊥AD，垂足为G，
由题意得：EF＝CG，
在Rt△ABE中，AB＝24cm，∠BAD＝60°，
∴BE＝AB sin60°＝24×＝12（cm），
∠ABE＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝20°，
在Rt△BCF中，BC＝10cm，
∴BF＝BC cos20°≈10×0.940＝9.4（cm），
∴EF＝BE﹣BF＝12﹣9.4≈11.4（cm），
∴CG＝EF＝11.4cm，
∴点C到AD的距离约为11.4cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．明明制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点A按固定角度从空气射入液面（介质），如图2，装入某液体（介质），使光线折射后恰好落到点C，直线GH为法线．已知∠1＝53°，液面高度CF为12cm，正方形ABCD的边长为30cm．
（参考数据：，，，，，
（1）求PE的长；
（2）求该液体（介质）的折射率n．
【点拨】（1）根据题目条件，先说明各个小四边形都是矩形，AG＝EP，在Rt△AGP中，利用直角三角形的边角间关系求出AG；
（2）先利用线段的和差关系求出PF，再在Rt△CHP中利用直角三角形的边角间关系求出∠2的正弦，最后利用求折射率的公式得结论．
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为30cm，
∴AD＝CD＝30cm．
由题意知：液面平行于底垂直于AB、CD两边，法线垂直于液面，
∴四边形AEGP、DGPF、CFPH、EPHB都是矩形．
∴PE＝AG，GP＝CD﹣CF＝30﹣12＝18（cm）．
（1）在Rt△AGP中，
∵tan∠APG＝，
∴PE＝AG＝tan∠APG GP
＝tan53° 18
≈×18
＝24（cm）．
（2）∵四边形AEGP、DGPF、CFPH、EPHB都是矩形，
∴CH＝GD＝AD﹣AG＝6（cm），
在Rt△PCH中，
∵CP＝
＝
＝6．
∴sin∠2＝
＝
＝．
∴n＝
≈
＝．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、正方形的性质、矩形的性质和判定等知识点是解决本题的关键．
5．根据以下素材，探索完成任务：
测算雷峰塔的高度
素材1 如图1，雷峰塔前有一斜坡AB，长为10米，坡度为3：4，高为AC
素材2 利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D的仰角为51.1°，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为45°（其中点C，B，E在同一直线上，如图2）
素材3 查阅锐角三角函数表 sin51.1°≈0.778，cos51.1°≈0.628，tan51.1°≈1.240
任务1 获取数据 计算斜坡的高度AC
任务2 分析计算 通过观察，计算雷峰塔的高度（结果保留整数）
【点拨】（1）根据题意可得：AC⊥BC，再根据已知可设设AC＝3x米，则BC＝4x米，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）过点A作AF⊥DE，垂足为F，根据题意可得：EF＝AC＝6米，AF＝CE，然后设BE＝y米，则AF＝CE＝（y+8）米，再在Rt△BDE和Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DE和DF的长，从而列出关于y的方程进行计算，即可解答．
【解析】解：任务1．由题意得：AC⊥BC，
∵斜坡AB，长为10米，坡度为3：4，
∴＝，AB＝10米，
∴设AC＝3x米，则BC＝4x米，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝5x（米），
∴5x＝10，
解得：x＝2，
∴AC＝6米，CE＝8米，
∴斜坡的高AC为6米；
任务2．过点A作AF⊥DE，垂足为F，
由题意得：EF＝AC＝6米，AF＝CE，
设BE＝y米，
∵BC＝8米，
∴AF＝CE＝BC+BE＝（y+8）米，
在Rt△BDE中，∠DBE＝51.1°，
∴DE＝BE tan51.1°≈1.24y（米），
在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，
∴DF＝AF tan45°＝（y+8）米，
∵EF+DF＝DE，
∴6+y+8＝1.24y，
解得：y＝，
∴DE＝1.24y≈72（米），
∴雷峰塔的高度约为72米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝6米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF．
（1）当水桶在井里时，∠AOD＝120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1m）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【点拨】（1）过点O作OG⊥AC，垂足为G，根据垂直定义可得∠AGO＝90°，再根据题意可得：AC∥OD，从而可得∠DOG＝∠AGO＝90°，进而可得∠AOG＝30°，然后根据线段的中点定义可得OA＝3米，从而在Rt△AOG中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）设OG交A1C1于点H，根据题意可得：OG⊥A1C1，OD∥A1C1，OA1＝OA＝3米，从而可得∠A1＝37°，然后在RtΔOA1H中，利用锐角三角函数的定义求出A1H的长，最后进行计算即可解答．
【解析】解：（1）过点O作OG⊥AC，垂足为G，
∴∠AGO＝90°，
由题意得：AC∥OD，
∴∠DOG＝∠AGO＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°，
∵O为AB的中点，
∴OA＝AB＝3（米），
在Rt△AOG中，
∴AG＝AO＝1.5（米），OG＝AG＝1.5≈2.6（米），
∴此时支点O到小竹竿AC的距离约为2.6米；
（2）设OG交A1C1于点H，
由题意得：OG⊥A1C1，OD∥A1C1，OA1＝OA＝3米，
∴∠A1＝180°﹣∠A1OD＝180°﹣143°＝37°，
在RtΔOA1H中，A1H＝OA1 cos37°＝3×0.8≈2.4（米），
∵AG＝1.5米，
∴A1H﹣AG＝2.4﹣1.5＝0.9（米），
∴点A上升的高度约为0.9米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；
押题方向1：三角形及作图
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州卷第19题 三角形中位线定理 从近几年浙江中考来看，三角形与格点作图的有关问题在解答题中经常出现，主要考查三角形的有关性质、全等三角形的性质与判定、特殊三角形的性质及格点作图，预计2024年浙江卷还将重视三角形有关性质与判定及格点作图的考查。
2023年衢州卷第19题 全等三角形的判定
2023年金华卷第21题 勾股定理
2023年宁波卷、温州卷第18题 作图-旋转变换
1．（2023 湖州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．
2．（2023 衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
3．（2023 金华）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格，在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法（如图） 结论
①在CB上取点P1，使CP1＝4． ∠P1OA＝45°，点P1表示45°．
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2． ∠P2OA＝30°，点P2表示30°．
③分别以O，P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连接EF与BC相交于点P3． …
④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB于点P4． …
（1）分别求点P3，P4表示的度数．
（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．
4．（2023 温州）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形；
（2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．
5．（2023 宁波）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的△P′A′B′．
（2）将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C．
1．掌握三角形的基本性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理是解决三角形相关问题的关键。
2．在方格纸做格点三角形关键是借助格点中存在的位置关系和数量关系.
1．如图，在四边形ACBD中，AC＝BC，∠ACB＝∠BDC＝∠AED＝90°．
（1）求证：CE＝BD．
（2）若，求BD的长．
2．如图，已知△ABC，∠C＝50°，将AB沿射线BC的方向平移至A′B′，使B′为BC的中点，连结AA′，记A′B′与AC的交点为O．
（1）求证：△AOA′≌△COB′；
（2）若AC平分∠BAA′，求∠B的度数．
3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连结AE，DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．
（1）求证：AD＝CE．
（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．
4．已知：如图，∠ADC＝90°，DC∥AB，BA＝BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点．
（1）求证：BF⊥AC；
（2）求证：△ADC≌△AEC；
（3）连结DE，若CD＝5，AD＝12，求DE的长．
5．如图，在下列4×4的正方形网格中，按要求作图．
（1）在图①②③中，分别画一条线段，使各网格为轴对称图形（要求所画图形互不相同）；
（2）在图④中，画一条线段，使整个网格为中心对称图形．
6．如图是由边长为1的小正方形构成的6×5网格，点A，B均在格点上．
（1）请在图1中，画出一个格点△ABC，使△ABC为轴对称图形．
（2）请在图2中，画出一个格点四边形ABDE，使四边形ABDE为中心对称图形．（注：格点多边形，即多边形的每个顶点均在格点上．）
7．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点△ABC和格点O（格点为网格线的交点）．
（1）以O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向左平移3个单位长度得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
押题方向2：一次函数与反比例函数
20233年浙江真题 考点 命题趋势
2023年温州卷、绍兴卷第20题 一次函数图象的性质 从近几年浙江各地中考来看，反比例函数与一次函数的图象与性质主要考查函数的增减性、交点问题、大小比较、一次函数与反比例函数的实际应用等，试题以填空题形式呈现，难度中等；预计2024年浙江卷还将继续重视对反比例函数或一次函数的图象与性质及其应用的考查。
2023年丽水卷第21题金华卷、宁波卷第22题、台州卷第23题 一次函数的应用
2023年杭州卷第21题 反比例函数与一次函数的交点问题
2023年台州卷第20题 反比例函数的应用
1．（2023 温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．
2．（2023 宁波）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．
（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
3．（2023 台州）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
4．（2023 丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二y关于x的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
5．（2023 金华）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．
6．（2023 绍兴）一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）求OA所在直线的表达式；
（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．
7．（2023 台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．
8．（2023 杭州）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4．
（1）求k1，k2的值．
（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．
1、一次函数的k值决定函数的增减性，若k＞0，y随x的增大而增大；若k＜0，y随x的增大而减小；
2、一次函数的b值决定直线和y轴的交点，若b＞0，与y轴正半轴相交；若b＜0，与y轴负半轴相交；当b＝0时，图象过原点.
3、反比例函数，当k＞0，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
4、大小比较问题的呈现方式主要以不等式的解集的求解来进行呈现，而满足条件的不等式的左右两边为一次函数或反比例函数的形式来存在，所以我们可以通过这类型不等式的左右两边的函数图像来进行判定是大于小于的情况，从而通过其函数的交点来确定图像的位置，满足的解集。
1．食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示，
（1）求a的值．
（2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数．
（3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？
2．星期日上午9：00，小明从家里出发步行前往离家2.4km的镇海书城参加读书会活动，他以75m/min的速度步行了12min后发现忘带入场券，于是他停下来．打电话给家里的爸爸寻求帮助.9：15，爸爸骑着自行车从家里出发，沿着同一路线以375m/min的速度行进，同一时刻小明继续按原速步行赶往目的地．爸爸追上小明后载上他以相同的车速前往书城（停车载人时间忽略不计），到达书城后爸爸原速返回家．爸爸和小明离家的路程s（m）与小明所用时间t（min）的函数关系如图所示．
（1）求爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式及a的值．
（2）爸爸出发后多长时间追上小明？此时距离镇海书城还有多远？
3．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y＝mx+4的图象分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）直线y＝a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF＝1时，求a的值．
4．高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，接满700ml的水杯，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题：
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度．生活经验：饮水最佳温度是35﹣38℃（包括35℃与38℃），这一温度最接近人体体温．
（1）若先接温水26秒，求再接开水的时间．
（2）设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为y℃．
①若y＝50，求x的值．
②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的取值范围．
5．已知反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0，k是常数）的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当k＝2，b＝﹣1时，求x1+x2的值．
（2）若x1+x2＝0，求y1+y2的值．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2分别与xy轴交于点B、A点，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，OE＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OD，求△OBD的面积
（3）当反比例函数值大于一次函数值时，请直接写出满足题意的x的取值范围．
7．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，一个100g的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长12cm时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），求y关于x的函数表达式，并求出y的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
8．设函数，y2＝k2x（k1，k2是常数，k1≠0，k2≠0），点A（2，4）在函数y2的图象上，且两个函数图象的一个交点B的坐标为（1，m）．
（1）求函数y1的表达式；
（2）若点C在函数y2的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求点C的坐标．
9．如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数≠0）的图象交于点C（﹣4，﹣2），D（2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）结合图象，请直接写出不等式的解集．
10．在一项科学实验中，研究人员对不同形状的物体进行了压力测试，这些物体的质量相同，但形状各异．研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上，并记录了测试平台受到的压力（单位：Pa）与受力面积（单位：m2）之间的关系，结果如表所示．
桌面所受压强P（Pa） 50 100 200 400
受力面积S（m2） 2 1 0.5 0.25
（1）根据如表数据，求桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数表达式．
（2）现将相同质量，且棱长为0.2m的正方体放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
押题方向3：解直角三角形的应用
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年绍兴卷丽水卷台州卷第19题、宁波卷第21题舟山嘉兴卷第22题温州卷第23题 解直角三角形的应用 从近几年浙江各地中考来看，解直角三角形的实际应用是常考题目，试题以解答题形式呈现，整体难度中等；预计2024年浙江卷还将考查，大家一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。
1．（2023 丽水）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的总长．
2．（2023 舟山、嘉兴）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
3．（2023 绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
4．（2023 宁波）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β．
（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
10．（2023 温州）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背景素材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点 A 和点 B（答案不唯一） ．
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度MN．
任务3 换算高度 楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．
解直角三角形实际应用的一般步骤：
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解。
1．图1是一个跷跷板的实物图，图2是其示意图．已知跷板AB长为2.6米，点O为跷板AB的中点，支柱OC与地面垂直．当跷板一端着地时，跷板AB与支柱OC形成的∠BOC＝118°．
（1）求点B到地面DE的距离．
（2）假设AB绕点O沿铅垂方向转动，当跷板AB的一端从最高点B转动到最低点B′时，求跷板AB扫过的区域面积．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，π≈3）
2．如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）．经测量，∠ADC可在20°和160°之间发生变化（包含20°和160°），AD＝40cm．
（1）当∠ADC＝120°时，求此时BD的长；
（2）当∠ADC从20°变为160°时，这个千斤顶升高了多少cm？（sin80°＝0.98，cos80°＝0.17，tan80°＝5.67 ）
3．图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°，求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
4．光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．明明制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点A按固定角度从空气射入液面（介质），如图2，装入某液体（介质），使光线折射后恰好落到点C，直线GH为法线．已知∠1＝53°，液面高度CF为12cm，正方形ABCD的边长为30cm．
（参考数据：，，，，，
（1）求PE的长；
（2）求该液体（介质）的折射率n．
5．根据以下素材，探索完成任务：
测算雷峰塔的高度
素材1 如图1，雷峰塔前有一斜坡AB，长为10米，坡度为3：4，高为AC
素材2 利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D的仰角为51.1°，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为45°（其中点C，B，E在同一直线上，如图2）
素材3 查阅锐角三角函数表 sin51.1°≈0.778，cos51.1°≈0.628，tan51.1°≈1.240
任务1 获取数据 计算斜坡的高度AC
任务2 分析计算 通过观察，计算雷峰塔的高度（结果保留整数）
6．如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝6米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF．
（1）当水桶在井里时，∠AOD＝120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1m）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
7．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
（2）小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
8．图1是小明家电动单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转调整角度．“n°某某”模式时，表示∠ABC＝n°，如“140°看电视”模式时∠ABC＝140°．已知沙发靠背AB长为50cm，坐深BC长为54cm，BC与地面水平线平行，脚托CD长为40cm，∠DCD'＝∠ABC﹣80°，初始状态时CD⊥BC．
（1）求“125°阅读”模式下∠DCD'的度数．
（2）求当该沙发从初始位置调至“125°阅读”模式时，点D运动的路径长．
（3）小明将该沙发调至“150°听音乐”模式时，求点A，D′之间的水平距离（精确到个位）．（参考数据：≈1.7，sin70°≈0.9，cos70°≈0.3）
9．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O为摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接，杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为36°．
（1）求显示屏所在部分的宽度CM；
（2）求镜头A到地面的距离．
（参考数据：sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，结果保留一位小数）
10．综合与实践：测算校门所在斜坡的坡度．
【背景】如图1，某学校校门在一道斜坡上，该校兴趣小组想要测量斜坡的坡度．
【素材1】校门前的斜坡上铺着相同的长方形石砖，如图2，从测量杆AB到校门所在位置DE在斜坡上有15块地砖．
【素材2】在点A处测得仰角tan∠1＝，俯角tan∠2＝；在点B处直立一面镜子，光线BD反射至斜坡CE的点N处，测得点B的仰角tan∠3＝；测量杆上AB：BC＝5：8，斜坡CE上点N所在位置恰好是第9块地砖右边线．
【讨论】只需要在∠1，∠2，∠3中选择两个角，再通过计算，可得CE的坡度．
任务1 分析规划 选择两个测量角的正切值： 和 ．（填“∠1”，“∠2”或“∠3）
求NE：CN的值．
任务2 推理计算 求坡度tan∠ECM的值．
答案与解析
押题方向1：三角形及作图
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年湖州卷第19题 三角形中位线定理 从近几年浙江中考来看，三角形与格点作图的有关问题在解答题中经常出现，主要考查三角形的有关性质、全等三角形的性质与判定、特殊三角形的性质及格点作图，预计2024年浙江卷还将重视三角形有关性质与判定及格点作图的考查。
2023年衢州卷第19题 全等三角形的判定
2023年金华卷第21题 勾股定理
2023年宁波卷、温州卷第18题 作图-旋转变换
1．（2023 湖州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．
【点拨】根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出AB＝13，
【解析】解∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
∵AD＝12，
∴，
∵E为AB的中点，D点为BC的中点，
∴．
【点睛】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（2023 衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
【点拨】（1）根据两三角形全等的判定定理，选择合适的条件即可．
（2）根据（1）中所选条件，进行证明即可．
【解析】解：（1）由题知，
选择的三个条件是：①②③；
或者选择的三个条件是：①③④．
证明：（2）当选择①②③时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
当选择①③④时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点睛】本题考查全等三角形的证明，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2023 金华）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格，在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法（如图） 结论
①在CB上取点P1，使CP1＝4． ∠P1OA＝45°，点P1表示45°．
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2． ∠P2OA＝30°，点P2表示30°．
③分别以O，P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连接EF与BC相交于点P3． …
④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB于点P4． …
（1）分别求点P3，P4表示的度数．
（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．
【点拨】（1）根据矩形的性质可求出∠OP2C 度数，根据线段垂直平分线的性质∠P2OP3度数，即可求出∠P3OA的度数，从而知道P3点表示度数；利用半径相等即可求出∠P2OD＝∠P2DO，再根据平行线的性质即可求出∠P2OD＝∠DOA，从而得P4表示度数；
（2）利用角平分线的性质作图即可求出答案．
【解析】解：①∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠OP2C＝∠P2OA＝30°，
由作图可知，EF是 OP2 的中垂线，
∴OP3＝P3P2；
∴∠P3OP2＝∠P3P2O＝30°，
∴∠P3OA＝∠P3OP2+∠P2OA＝60°，
∴点P3 表示 60°；
②作图可知，P2D＝P2O，
∴∠P2OD＝∠P2DO，
∵CB∥OA，
∴∠P2DO＝∠DOA；
∴，
∴点P4表示 15°；
答：点P3表示60°，点P4表示15°；
（2）作∠P3OP4 的角平分线交BC于P5，点P5即为所求作的点，如图：
∵点P3表示 60°，点P4表示 15°，
∴∠P3OP4＝60°﹣15°＝45°，
∴∠P3OP4+∠P4OA＝22.5°+15°＝37.5°，
∴P5 表示 37.5°．
【点睛】本题考查的是尺规作图的应用，涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性质、圆的相关性质，解题的关键需要正确理解题意，掌握用到的相关知识点．
4．（2023 温州）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形；
（2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．
【点拨】（1）根据题意作出图形即可；
（2）作等腰直角三角形PQR，可得结论．
【解析】解：（1）图形如图1所示（答案不唯一）；
（2）图形如图2所示（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握在旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
5．（2023 宁波）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的△P′A′B′．
（2）将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C．
【点拨】（1）根据等腰三角形的定义，平移变换的性质作出图形即可；
（2）根据旋转变换的性质作出图形即可．
【解析】解：（1）如图1，△P′A′B′即为所求；
（2）如图2，△A′B′C即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
1．掌握三角形的基本性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理是解决三角形相关问题的关键。
2．在方格纸做格点三角形关键是借助格点中存在的位置关系和数量关系.
1．如图，在四边形ACBD中，AC＝BC，∠ACB＝∠BDC＝∠AED＝90°．
（1）求证：CE＝BD．
（2）若，求BD的长．
【点拨】（1）由∠ACB＝∠BDC＝∠AED＝90°，得∠ACE＝∠B＝90°﹣∠BCD，∠CEA＝∠BDC＝90°，而AC＝CB，即可根据“AAS”证明△ACE≌△CBD，得CE＝BD；
（2）根据等腰三角形的“三线合一”得CE＝DE，则AE＝CD＝2CE＝2BD，所以AC＝＝BD＝2，求得BD＝2．
【解析】（1）证明：∵∠ACB＝∠BDC＝∠AED＝90°，
∴∠ACE＝∠B＝90°﹣∠BCD，∠CEA＝∠BDC＝90°，
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴CE＝BD．
（2）解：∵AC＝AD＝2，AE⊥CD，
∴CE＝DE，
∴AE＝CD＝2CE＝2BD，
∴AC＝＝＝BD，
∴BD＝2，
∴BD＝2，
∴BD的长为2．
【点睛】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理等知识，证明△ACE≌△CBD是解题的关键．
2．如图，已知△ABC，∠C＝50°，将AB沿射线BC的方向平移至A′B′，使B′为BC的中点，连结AA′，记A′B′与AC的交点为O．
（1）求证：△AOA′≌△COB′；
（2）若AC平分∠BAA′，求∠B的度数．
【点拨】（1）利用三角形中位线定理得出OA＝OC，进而利用SAS证明△AOA′≌△COB′即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠A'AO的度数，进而利用三角形的内角和定理解答即可．
【解析】（1）证明：由平移可知，AB＝A'B'，AB∥A'B'，
∵B′为BC的中点，
∴OB'是△ABC的中位线，
∴OA＝OC，OB'＝AB，
∴OB'＝A'B'，
即A'O＝OB'，
在△AOA'与△COB'中，
，
∴△AOA′≌△COB′（SAS）；
（2）解：∵△AOA′≌△COB′，
∴∠A'AO＝∠C＝50°，
∵AC平分∠BAA′，
∴∠BAC＝∠OAA'＝50°，
∴∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用SAS证明△AOA′≌△COB′解答．
3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连结AE，DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．
（1）求证：AD＝CE．
（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．
【点拨】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到CD＝AD＝AB，根据线段垂直平分线的选择得到CE＝CD，于是得到结论．
（2）根据直角三角形斜边中线的性质得到AB＝2AD＝10，由勾股定理得到BC＝＝8，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝AB，
∵CF⊥DE，DF＝EF．
∴CE＝CD，
∴AD＝CE．
（2）解：由（1）知，CE＝CD＝AB＝5，
∴AB＝10，
在Rt△ABC中，BC＝＝8，
∴BE＝BC+EC＝13，
∴S△AEB＝BE AC＝．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
4．（2024 拱墅区一模）已知：如图，∠ADC＝90°，DC∥AB，BA＝BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点．
（1）求证：BF⊥AC；
（2）求证：△ADC≌△AEC；
（3）连结DE，若CD＝5，AD＝12，求DE的长．
【点拨】（1）由BA＝BC，F是AC的中点，根据等腰三角形的三线合一，可得BF⊥AC；
（2）由DC∥AB，BA＝BC，根据等边对等角，证得∠ECA＝∠CAB，即可根据AAS证得△ADC≌△AEC；
（3）由全等三角形的性质得CD＝CE，AD＝AE，得到AC垂直平分线DE，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出DG，即可求出答案．
【解析】（1）证明：∵BA＝BC，F是AC的中点，
∴BF⊥AC（等腰三角形的三线合一）；
（2）证明：∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠AEC，
∵DC∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵BA＝BC，
∴∠ECA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠ECA，
在△ADC和△AEC中，
，
∴△ADC≌△AEC（AAS）；
（3）解：设DE，AC交于G，
由（2）知△ADC≌△AEC，
∴CD＝CE，AD＝AE，
∴AC垂直平分线DE，
∴DG＝EG，
在Rt△ACD中，
AC＝＝＝13，
∵S△ACD＝AD CD＝DG AC，
∴DG＝＝＝，
∴DE＝．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，平行线的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
5．如图，在下列4×4的正方形网格中，按要求作图．
（1）在图①②③中，分别画一条线段，使各网格为轴对称图形（要求所画图形互不相同）；
（2）在图④中，画一条线段，使整个网格为中心对称图形．
【点拨】（1）根据轴对称图形的定义画图即可．
（2）根据中心对称图形的定义画图即可．
【解析】解：（1）如图①②③所示．
（2）如图④所示．
【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，熟练掌握轴对称图形、中心对称图形的定义是解答本题的关键．
6．如图是由边长为1的小正方形构成的6×5网格，点A，B均在格点上．
（1）请在图1中，画出一个格点△ABC，使△ABC为轴对称图形．
（2）请在图2中，画出一个格点四边形ABDE，使四边形ABDE为中心对称图形．（注：格点多边形，即多边形的每个顶点均在格点上．）
【点拨】（1）利用网格，画等腰三角形即可．
（2）利用网格，画平行四边形即可．
【解析】解：（1）如图1，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2，四边形ABDE即为所求（答案不唯一）．
【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，熟练掌握轴对称图形、中心对称图形的定义是解答本题的关键．
7．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点△ABC和格点O（格点为网格线的交点）．
（1）以O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向左平移3个单位长度得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【点拨】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）根据平移的性质作图即可．
【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
押题方向2：一次函数与反比例函数
20233年浙江真题 考点 命题趋势
2023年温州卷、绍兴卷第20题 一次函数图象的性质 从近几年浙江各地中考来看，反比例函数与一次函数的图象与性质主要考查函数的增减性、交点问题、大小比较、一次函数与反比例函数的实际应用等，试题以填空题形式呈现，难度中等；预计2024年浙江卷还将继续重视对反比例函数或一次函数的图象与性质及其应用的考查。
2023年丽水卷第21题金华卷、宁波卷第22题、台州卷第23题 一次函数的应用
2023年杭州卷第21题 反比例函数与一次函数的交点问题
2023年台州卷第20题 反比例函数的应用
1．（2023 温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．
（1）求m的值和直线AB的函数表达式；
（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．
【点拨】（1）将A点代入直线解析式，求出m．利用待定系数法解出AB直线函数解析式；
（2）分别用t表示出y1和y2，列出y1﹣y2，的函数解析式，找出y随t的变化，利用t的最值求出答案．
【解析】解：（1）把点A（2，m）代入y＝2x﹣中，得m＝；
设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b，把A（2，），B（0，3）代入得：
，解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+3．
（2）∵点P（t，y1）在线段AB上，
∴y1＝﹣t+3（0≤t≤2），
∵点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，
∴y2＝2（t﹣1）﹣＝2t﹣，
∴y1﹣y2＝﹣t+3﹣（2t﹣）＝﹣t+，
∵﹣＜0，
∴y1﹣y2随t的增大而减小，
∴当t＝0，y1﹣y2的最大值为．
【点睛】本题以一次函数为背景考查了一次函数图象的性质，考查学生对待定系数法的运用能力，题目难度不大，解决问题的关键是求出y1﹣y2的表达式，利用t的最值求出答案．
2．（2023 宁波）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．
（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．
（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【点拨】（1）求出大巴速度为＝40（km/h），即得s＝20+40t；令s＝100得a＝2；
（2）求出军车速度为60÷1＝60（km/h），设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为x h，可得：60（2﹣x）＝100，即可解得答案．
【解析】解：（1）由函数图象可得，大巴速度为＝40（km/h），
∴s＝20+40t；
当s＝100时，100＝20+40t，
解得t＝2，
∴a＝2；
∴大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s＝20+40t，a的值为2；
（2）由函数图象可得，军车速度为60÷1＝60（km/h），
设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为x h，
根据题意得：60（2﹣x）＝100，
解得：x＝，
答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为h．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
3．（2023 台州）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；
（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；
【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
【点拨】任务1：依表计算即可；
任务2：根据待定系法确定关系式即可；
任务3：（1）根据题意计算即可；（2）设h＝kt+30，代入w计算化简，利用二次函数性质求w的最小值即可；
任务4：按照上一问题中的结论设计即可．
【解析】解：任务1：
变化量分别为：29﹣30＝﹣1（cm）；28.1﹣29＝﹣0.9（cm）；27﹣28.1＝﹣1.1（cm）；25.8﹣27＝﹣1.2（cm），
∴每隔10min水面高度观察值的变化量为：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2．
任务2：
设水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝kt+b，
∵t＝0 时，h＝30；t＝10时，h＝29；
∴，
解得：，
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝﹣0.1t+30；
任务3：
（1）w＝（30﹣30）2+（29﹣29）2+（28﹣28.1）2+（27﹣27）2+（26﹣25.8）2
＝0.05．
（2）设：h＝kt+30，
∴w＝（0 k+30﹣30）2+（10k+30﹣29）2+（20k+30﹣28.1）2+（30k+30﹣27）2+（40k+30﹣25.8）2
＝3000（k+0.102）2+0.038，
∴当k＝﹣0.102时，w的最小值为0.038．
任务4：
将零刻度放在水位最高处，在容器外壁每隔1.02cm标记一次刻度，这样水面每降低一个刻度，就代表时间经过了10分钟．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，充分理解题意是解题关键．
4．（2023 丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二y关于x的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
【点拨】（1）根据图图象的交点回答即可；
（2）设方案二的函数图象解析式为y＝kx+b，将点（0，600）、点（30，1200）代入即可；
（3）对生产件数的范围进行讨论，从而得出正确的方案．
【解析】解：（1）观察图象得：
方案一与方案二相交于点（30，1200），
∴员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）设方案二的函数图象解析式为y＝kx+b，
将点（0，600）、点（30，1200）代入解析式中：
，
解得：，
即方案二y关于x的函数表达式：y＝20x+600；
（3）由两方案的图象交点（30，1200）可知：
若生产件数x的取值范围为0≤x＜30，则选择方案二，
若生产件数x＝30，则选择两个方案都可以，
若生产件数x的取值范围为x＞30，则选择方案一．
【点睛】本题考查的是求解一次函数解析式以及一次函数的实际应用，解题关键是会看图，理解横轴与纵轴表示的实际意义，掌握用待定系数法求函数解析式．
5．（2023 金华）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分，图2中的图象分别表示两人离学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．
（1）求哥哥步行的速度．
（2）已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，说明理由．
【点拨】（1）由A（8，800）可知哥哥的速度．
（2）①根据时间＝路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可．
②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论．
【解析】解：（1）由A（8，800）可知哥哥的速度为：800÷8＝100（m/min）．
（2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
∴妹妹所用时间t为：800÷200＝4（min）．
∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
∴a＝8+2﹣4＝6．
②由（1）可知：哥哥的速度为100m/min，
∴设BC所在直线为s1＝100t+b，
将B（17，800）代入得：800＝100×17+b，
解得b＝﹣900．
∴BC所在直线为：s1＝100t﹣900．
当s1＝1900时，t哥哥＝28．
∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，
∴妹妹的速度是160米/分．
∴设妹妹返回时的解析式为s2＝160t+b，
将F（20，800）代入得800＝160×20+b，
解得b＝﹣2400，
∴s2＝160t﹣2400．
令s1＝s2，则有100t﹣900＝160t﹣2400，
解得t＝25＜28，
∴妹妹能追上哥哥，
此时哥哥所走得路程为：800+（25﹣17）×100＝1600（米）．
兄妹俩离家还有1900﹣1600＝300（米），
即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家300米远．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，观察图象以及利用待定系数法求解析式是解决该类问题的关键．
6．（2023 绍兴）一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行．图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）求OA所在直线的表达式；
（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．
【点拨】（1）利用待定系数法，将（5，1000）代入解析式中，求出答案；
（2）俩机器人相向而行，同时出发，相遇时两人路程应为MN的长度，列出方程即可；
（3）设甲到P地时间为t分钟，乙到P地时间为（t+1）分钟，分别求出两人到P地时，与M的距离，列出方程，解出答案．
【解析】解：（1）由图象可知，OA所在直线为正比例函数，
∴设y＝kx，
∵A（5，1000），
1000＝5k，k＝200，
∴OA所在直线的表达式为y＝200x．
（2）由图可知甲机器人速度为：1000÷5＝200（米/分钟），
乙机器人速度为：1000÷10＝100（米/分钟），
两人相遇时：＝（分钟），
答：出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇．
（3）设甲机器人行走t分钟时到P地，P地与M地距离为200t，
则乙机器人（t+1）分钟后到P地，P地与M地距离1000﹣100（t+1），
由200t＝1000﹣100（t+1），解得t＝3，
∴200t＝600，
答：P，M两地间的距离为600米．
【点睛】本题以一次函数综合运用为背景，考查了学生在函数中数形结合的能力，此类题目的关键是弄懂题意，求出每个人的速度，明确相向而行时相遇时两人的路程和等于总路程，进而求解．
7．（2023 台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．
【点拨】（1）设h关于ρ的函数解析式为 ，把ρ＝1，h＝20代入解析式，解方程即可得到结论；
（2）把 h＝25 代入 ，求得ρ＝0.8，于是得到结论．
【解析】解：（1）设h关于ρ的函数解析式为 ，
把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，
∴h关于ρ的函数解析式为 ；
（2）把 h＝25 代入 ，得 ，
解得：ρ＝0.8，
答：该液体的密度ρ为 0.8g/cm3．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
8．（2023 杭州）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4．
（1）求k1，k2的值．
（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．
【点拨】（1）首先将点A的横坐标代入y2＝k2（x﹣2）+5 求出点A的坐标，然后代入 求出k1＝10 然后将点B的纵坐标代入 求出，然后代入y2＝k2（x﹣2）+5，即可求出k2＝2；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出CD所在直线的表达式，进而求解即可．
【解析】（1）解：∵点A的横坐标是2，
∴将x＝2代入y2＝k2（x﹣2）+5＝5，
∴A（2，5），
∴将A（2，5）代入 得：k1＝10，
∴，
∵点B的纵坐标是﹣4，
∴将y＝﹣4代入 得，，
∴B（﹣，﹣4）．
∴将B（﹣，﹣4）代入y2＝k2（x﹣2）+5得：，
解得：k2＝2．
∴y2＝2（x﹣2）+5＝2x+1．
（2）证明：如图所示，
由题意可得：C（，5），D（2，﹣4），
设CD所在直线的表达式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴CD所在直线的表达式为y＝﹣2x，
∴当x＝0时，y＝0，
∴直线CD经过原点．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
1、一次函数的k值决定函数的增减性，若k＞0，y随x的增大而增大；若k＜0，y随x的增大而减小；
2、一次函数的b值决定直线和y轴的交点，若b＞0，与y轴正半轴相交；若b＜0，与y轴负半轴相交；当b＝0时，图象过原点.
3、反比例函数，当k＞0，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
4、大小比较问题的呈现方式主要以不等式的解集的求解来进行呈现，而满足条件的不等式的左右两边为一次函数或反比例函数的形式来存在，所以我们可以通过这类型不等式的左右两边的函数图像来进行判定是大于小于的情况，从而通过其函数的交点来确定图像的位置，满足的解集。
1．食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示，
（1）求a的值．
（2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数．
（3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？
【点拨】（1）a分钟新增40a人，由图象可得400+40a﹣15×4a＝320，据此可得答案；
（2）运用待定系数法求直线BC的解析式，再把x＝7代入计算即可；
（3）根据题意列不等式求解．
【解析】解：（1）根据“等候购餐的人数＝开餐时排队人数+前a分钟新增排队人数﹣购餐后离开的人数”，得400+40a﹣15×4a＝320，
解得a＝4，
∴a的值是4．
（2）当4≤x≤10时，设排队等候购餐的人数y与开餐时间x的关系为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标B（4，320）和C（10，0）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y＝﹣x+（4≤x≤10）．
当x＝7时，y＝﹣×7+＝160，
∴开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候160人；
（3）设同时开放x个窗口，则7×15x≥400+4×40+[60×6﹣320]×，解得x≥5，
所以至少需同时开放6个售票窗口．
【点睛】本题考查了一次函数的应用：建立一次函数函数模型，应用一次函数的性质解决问题．
2．星期日上午9：00，小明从家里出发步行前往离家2.4km的镇海书城参加读书会活动，他以75m/min的速度步行了12min后发现忘带入场券，于是他停下来．打电话给家里的爸爸寻求帮助.9：15，爸爸骑着自行车从家里出发，沿着同一路线以375m/min的速度行进，同一时刻小明继续按原速步行赶往目的地．爸爸追上小明后载上他以相同的车速前往书城（停车载人时间忽略不计），到达书城后爸爸原速返回家．爸爸和小明离家的路程s（m）与小明所用时间t（min）的函数关系如图所示．
（1）求爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式及a的值．
（2）爸爸出发后多长时间追上小明？此时距离镇海书城还有多远？
【点拨】（1）根据爸爸行驶的路程和爸爸的速度，求出爸爸到达书城所用时间，再根据待定系数法求函数解析式，再求出a的值；
（2）设爸爸出发后x分钟追上小明，根据两人路程相等列出方程，解方程求出x，并求出距离书城的距离．
【解析】解：（1）爸爸到达达镇海书城所用时间为＝6.4（min），
设爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式为s＝kt+b，
把（15，0），（21.4，2400）代入s＝kt+b，
得：，
解得，
∴爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式为s＝375t﹣5625；
∵爸爸的速度不变，
∴他返回家的时间和到达书城的时间均为6.4min，
∴a＝15+2×6.4＝27.8；
（2）设爸爸出发后x分钟追上小明，
则375x＝75（12+x），
解得x＝3，
此时，2400﹣375×3＝1275（m），
答：爸爸出发后3分钟追上小明，此时距离镇海书城还有1275米．
【点睛】本题考查一次函数的应用以及路程、速度、时间之间关系的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y＝mx+4的图象分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）直线y＝a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF＝1时，求a的值．
【点拨】（1）利用y＝x+4求得A的坐标，进一步求得点C的坐标，然后用待定系数法即可求解；
（2）当y＝a时，即y＝2x+4＝a，y＝x+4＝a，则x＝，x＝a﹣4，则|a﹣4﹣|＝1，即可求解．
【解析】解：（1）令y＝x+4＝0，则x＝﹣4，即点A（﹣4，0），
∵C为AO中点，则点C（﹣2，0），
将点C的坐标代入y＝mx+4得：0＝﹣2m+4，
解得：m＝2，
即直线l2的函数解析式为：y＝2x+4；
（2）当y＝a时，即y＝2x+4＝a，y＝x+4＝a，
则x＝，x＝a﹣4，
则|a﹣4﹣|＝1，
则a＝6或2．
【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
4．高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图．小明先接温水后再接开水，接满700ml的水杯，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题：
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度．生活经验：饮水最佳温度是35﹣38℃（包括35℃与38℃），这一温度最接近人体体温．
（1）若先接温水26秒，求再接开水的时间．
（2）设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为y℃．
①若y＝50，求x的值．
②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的取值范围．
【点拨】（1）设接开水的时间为t秒，根据“小明先接温水后再接开水，接满700ml的水杯”，结合图2中开水和温水的水流速度，列出等量关系式，即可求解；
（2）①根据物理知识中等量关系，列式，即可求解；
②根据物理知识中等量关系，列出y关于x的函数，根据增减性，即可求解．
【解析】解：（1）设接开水的时间的时间为t秒，
根据题意得：20×26+15t＝700，
解得t＝12，
答：接开水的时间为12秒；
（2）①由题意知，温水体积20x ml，开水体积为（700﹣20x）ml，
则20x （50﹣30）＝（700﹣20x）（100﹣50），
解得x＝25；
②由①得：20x（y﹣30）＝（700﹣20x）（100﹣y），
化简，得y＝﹣2x+100，
∵35≤y≤38，
∴31≤x≤32.5，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣2x+100，达到最佳水温时x的取值范围为31≤x≤32.5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是：读懂题意列出关系式．
5．已知反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0，k是常数）的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当k＝2，b＝﹣1时，求x1+x2的值．
（2）若x1+x2＝0，求y1+y2的值．
【点拨】（1）由题意可知，x1，x2是方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根，利用根与系数的关系即可求得；
（2）由题意可知，x1，x2是方程＝kx+b的两个根，方程＝kx+b整理得kx2+bx﹣1＝0，利用根与系数的关系，由x1+x2＝0求得b＝0，则y＝kx正比例函数，利用正比例函数与反比例函数的中心对称性即可求得y1+y2＝0．
【解析】解：（1）当k＝2，b＝﹣1时，一次函数为y＝2x﹣1，
令＝2x﹣1，整理得2x2﹣x﹣1＝0，
∵反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0，k是常数）的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1，x2是方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝；
（2）∵反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0，k是常数）的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1，x2是方程＝kx+b的两个根，
方程＝kx+b整理得kx2+bx﹣1＝0，
∵x1+x2＝0，
∴﹣＝0，
∴b＝0，
∴一次函数为y＝kx（k≠0，k是常数），
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）关于原点对称，
∴y1+y2＝0．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，把函数转化为方程是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2分别与xy轴交于点B、A点，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，OE＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OD，求△OBD的面积
（3）当反比例函数值大于一次函数值时，请直接写出满足题意的x的取值范围．
【点拨】（1）根据已知条件求出C点坐标，用待定系数法求出反比例的函数解析式；
（2）根据直线的解析式求得B的坐标，然后根据一次函数和反比例函数的解析式求得D的坐标，进而根据三角形的面积公式求得即可．
（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．
【解析】解：（1）∵OE＝2，CE⊥x轴于点E．
∴C的横坐标为﹣2，
把x＝﹣2代入y＝﹣x+2得，y＝﹣×（﹣2）+2＝3，
∴点C的坐标为C（﹣2，3）．
将点C的坐标代入反比例函数y＝（k≠0），得3＝．
∴k＝﹣6．
∴该反比例函数的解析式为y＝﹣．
（2）由直线y＝﹣x+2可知B（4，0），
解得或，
∴D（6，﹣1），
∴S△OBD＝×4×1＝2．
（3）由图象可知：当反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞6．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及一次函数和反比例函数的交点问题，根据已知条件求得交点的坐标是解题的关键．
7．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，一个100g的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长12cm时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），求y关于x的函数表达式，并求出y的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
【点拨】任务1：根据左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP，把相关数值代入后整理可得y与x的关系式，根据OP也就是x的取值范围可得y的取值范围；
任务2：设空瓶的质量为a g，两次加水的质量均为b g，根据左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP列出二元一次方程组求解即可得到空瓶的质量．
【解析】解：任务1：∵左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP，右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），砝码的质量是100g，OA＝12cm，
∴100×12＝xy．
∴y＝．
∵OC＝12cm，BC＝28cm，
∴OB＝40cm．
∵点P可以在横梁BC段滑动，
∴12≤OP≤40．
即12≤x≤40．
∴30≤y≤100．
答：y关于x的函数表达式为：y＝（30≤y≤100）；
任务2：设空瓶的重量为a g，两次加水的重量均为b g，根据题意，得：
．
解得：．
答：这个空矿泉水瓶的重量为10 g．
【点睛】本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键．
8．设函数，y2＝k2x（k1，k2是常数，k1≠0，k2≠0），点A（2，4）在函数y2的图象上，且两个函数图象的一个交点B的坐标为（1，m）．
（1）求函数y1的表达式；
（2）若点C在函数y2的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求点C的坐标．
【点拨】（1）先根据点A坐标求出函数y2的表达式，再由y2的表达式求出点B坐标，再把点B坐标代入函数中，求出k1即可；
（2）点C坐标为（a，2a），然后根据平移的性质求出点D坐标，再代入y2解析式求出a即可．
【解析】解：（1）∵点A（2，4）在函数y2的图象上，
∴2k2＝4，
解得k2＝2，
∴y2＝2x，
∵点B（1，m）在y2的图象上，
∴m＝2，
∴点B（1，2），
∵点B（1，2）在函数的图象上，
∴2＝，
∴k1＝2，
∴函数y1的表达式为y1＝；
（2）设点C坐标为（a，2a），
将点C先向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得点D
∴点D坐标为（a﹣3，2a﹣3），
∵点D恰好落在函数y1的图象上，
∴（a﹣3）（2a﹣3）＝2，
解得a＝1或a＝，
∴点C坐标为（1，2）或（，7）．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，关键是掌握一次函数和反比例函数的性质．
9．如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数≠0）的图象交于点C（﹣4，﹣2），D（2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）结合图象，请直接写出不等式的解集．
【点拨】（1）将C、D两点代入一次函数的解析式中即可求出一次函数的解析式，然后将点D代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式；
（2）根据图象即可求出该不等式的解集．
【解析】解：（1）∵反比例函数≠0）的图象交于点C（﹣4，﹣2），D（2，m）．
∴k2＝﹣4×（﹣2）＝2m，
∴m＝4，k2＝8，
∴反比例函数的解析式为：y2＝，
∵一次函数y1＝k1x+b的图象经过点C（﹣4，﹣2），D（2，4），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）由图象可知，不等式不等式的解集为x＜﹣4或0＜x＜2．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是熟练运用待定系数法以及数形结合的思想，本题属于中等题型．
10．在一项科学实验中，研究人员对不同形状的物体进行了压力测试，这些物体的质量相同，但形状各异．研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上，并记录了测试平台受到的压力（单位：Pa）与受力面积（单位：m2）之间的关系，结果如表所示．
桌面所受压强P（Pa） 50 100 200 400
受力面积S（m2） 2 1 0.5 0.25
（1）根据如表数据，求桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数表达式．
（2）现将相同质量，且棱长为0.2m的正方体放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
【点拨】（1）根据表格中的数据，可以发现压强P和受力面积S的乘积是一个定值，从而可以得到桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）符合反比例关系，然后求出这个函数解析式即可；
（2）先求出S，再根据（1）中的解析式求出P，再与5000比较大小即可．
【解析】解：（1）由表格中的数据可知：压强P和受力面积S的乘积是一个定值，故桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）符合反比例关系，
设桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）的函数解析式为P＝，
当P＝50时，S＝2，则50＝，
解得k＝100，
即桌面所受压强P（Pa）与受力面积S（m2）函数关系式是P＝；
（2）这种摆放方式安全，
理由：S＝0.2×0.2＝0.04，
当S＝0.04时，P＝＝2500，
∵2500＜5000，
∴这种摆放方式安全．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
押题方向3：解直角三角形的应用
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年绍兴卷丽水卷台州卷第19题、宁波卷第21题舟山嘉兴卷第22题温州卷第23题 解直角三角形的应用 从近几年浙江各地中考来看，解直角三角形的实际应用是常考题目，试题以解答题形式呈现，整体难度中等；预计2024年浙江卷还将考查，大家一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。
1．（2023 丽水）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A﹣D﹣C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11m，CD＝4m，求管道A﹣D﹣C的总长．
【点拨】过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得BE＝CD＝4m，则AE＝7m，再由锐角三角函数定义求出AD＝14m，即可解决问题．
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，
∴BE＝CD＝4m，
∴AE＝AB﹣BE＝11﹣4＝7（m），
∵∠A＝60°，
∴cosA＝＝cos60°＝，
∴AD＝2AE＝2×7＝14（m），
∴AD+CD＝14+4＝18（m），
即管道A﹣D﹣C的总长为18m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及锐角三角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．（2023 舟山、嘉兴）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【点拨】（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义得到EF＝AF tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），根据全等三角形的性质得到结论；
（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P，根据三角函数的定义得到MP＝AP tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），根据全等三角形的性质得到PN＝MP＝54.0cm，于是得到结论．
【解析】解：（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，
在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，
∴EF＝AF tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），
∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，
∴△ADF≌△AEF（ASA），
∴EF＝DF＝35.1cm，
∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），
∴小杜最少需要下蹲208﹣195.1＝12.9厘米才能被识别；
（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
∴MP＝AP tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），
∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，
∴△AMP≌△ANP（ASA），
∴PN＝MP＝54.0cm，
∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm），
∴小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3＝123（cm），
∴小若头顶超出点N的高度为：123﹣106.0＝17.0（cm）＞15cm，
∴踮起脚尖小若能被识别．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题关键．
3．（2023 绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
【点拨】（1）根据垂直定义可得∠ACG＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
（2）延长OA，ED交于点M，根据垂直定义可得∠AOB＝90°，从而利用平行线的性质可得∠DMA＝∠AOB＝90°，再根据对顶角相等可得∠DAM＝∠GAC＝58°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ADM＝32°，然后在Rt△ADM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，从而利用线段的和差关系求出MO的长，比较即可解答．
【解析】解：（1）∵CG⊥CD，
∴∠ACG＝90°，
∵∠AGC＝32°，
∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝90°﹣32°＝58°，
∴∠GAC的度数为58°；
（2）该运动员能挂上篮网，
理由如下：延长OA，ED交于点M，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵DE∥OB，
∴∠DMA＝∠AOB＝90°，
∵∠GAC＝58°，
∴∠DAM＝∠GAC＝58°，
∴∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°，
在Rt△ADM中，AD＝0.8米，
∴AM＝AD sin32°≈0.8×0.53＝0.42（米），
∴OM＝OA+AM＝2.5+0.424＝2.924（米），
∵2.924米＜3米，
∴该运动员能挂上篮网．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．（2023 宁波）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β．
（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【点拨】（1）由已知直接可得答案；
（2）设AD＝x m，可得CD＝AD＝x m，BD＝（20+x）m，而tan∠ABD＝，有0.75＝，即可解得答案．
【解析】解：（1）根据题意得：β＝90°﹣α；
（2）设AD＝x m，
∵∠ACD＝45°，∠ADB＝90°，
∴CD＝AD＝x m，
∵BC＝20m，
∴BD＝（20+x）m，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴tan37°＝，即0.75＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是分式方程的解，
∴AD＝60（m），
答：气球A离地面的高度AD是60m．
【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
5．（2023 台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）
【答案】AC的长约为80cm．
【点拨】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解析】解：在Rt△ABC中，AB＝120cm，∠BAC＝90°，∠B＝33.7°，
∴tanB＝，
∴AC＝AB tan33.7°≈120×0.67＝80.4≈80（cm），
∴AC的长约为80cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．（2023 温州）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背景素材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点 A 和点 B（答案不唯一） ．
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度MN．
任务3 换算高度 楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．
【点拨】通过作垂线，构造直角三角形，依据直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解析】解：任务1：【分析规划】选择点A和点B（答案不唯一），
故答案为：A、B（答案不唯一）；
【获取数据】tan∠FAN＝，tan∠MAF＝，tan∠MBG＝，测得图上AB＝4mm；
任务2：如图1，过点A作AF⊥MN于点F，过点B作BG⊥MN于点G，则FG＝AB＝4mm，
设MF＝x mm，则MG＝（x+4）mm，
∵tan∠MAF＝＝，
tan∠MBG＝＝，
∴AF＝4x，BG＝3x+12，
∵AF＝BG，即4x＝3x+12，
∴x＝12，
即MF＝12mm，
∴AF＝BG＝4x＝48（mm），
∵tan∠FAN＝＝，
∴FN＝6mm，
∴MN＝MF+FN＝12+6＝18（mm），
任务3：测得图上DE＝5mm，设发射塔的实际高度为h m，由题意得，
＝，
解得h＝43.2（m），
∴发射塔的实际高度为43.2m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提
解直角三角形实际应用的一般步骤：
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解。
1．图1是一个跷跷板的实物图，图2是其示意图．已知跷板AB长为2.6米，点O为跷板AB的中点，支柱OC与地面垂直．当跷板一端着地时，跷板AB与支柱OC形成的∠BOC＝118°．
（1）求点B到地面DE的距离．
（2）假设AB绕点O沿铅垂方向转动，当跷板AB的一端从最高点B转动到最低点B′时，求跷板AB扫过的区域面积．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，π≈3）
【点拨】（1）作BM⊥DE于点M，根据sin∠BAC＝求解即可；
（2）跷板AB扫过的区域就是OA扫过的区域与OB扫过的区域之和，OA扫过的区域与OB扫过的区域的面积是相等的，根据扇形的面积公式计算即可．
【解析】解：（1）作BM⊥DE于点M，如图，
∵支柱OC与地面垂直，
∴∠OCA＝90°．
∵∠BOC＝118°，
∴∠BAC＝∠BOC﹣∠OCA＝28°．
在Rt△ABM中，BM＝AB sin∠BAC＝2.6×sin28°≈1.2（米）．
答：点B到地面DE的距离是1.2米；
（2）跷板AB扫过的区域就是OA扫过的区域与OB扫过的区域之和，OA扫过的区域与OB扫过的区域的面积是相等的，
∵AB长为2.6米，点O为跷板AB的中点，
∴OA＝OB＝OB′＝1.3（米）．
∴∠OAC＝∠OB′C，
∴∠B′OB＝2∠AOC＝56°．
∴跷板OB扫过的区域面积为：≈0.8（m2）．
∴跷板AB扫过的区域面积为：0.8×2＝1.6（m2）．
答：跷板AB扫过的区域面积约为1.6m2．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，扇形的面积公式的应用．构造直角三角形是解题的关键．
2．如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）．经测量，∠ADC可在20°和160°之间发生变化（包含20°和160°），AD＝40cm．
（1）当∠ADC＝120°时，求此时BD的长；
（2）当∠ADC从20°变为160°时，这个千斤顶升高了多少cm？（sin80°＝0.98，cos80°＝0.17，tan80°＝5.67 ）
【点拨】（1）连接AC，与BD相交于点O．由菱形的性质可知AC⊥BD，再利用三角函数求解．
（2）利用三角函数分别求出当∠ADC从20变为160°两种情况下AC的值再相减即可．
【解析】解：（1）如图，连接AC，与BD相交于点O．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，∠ADB＝∠CDB，BD＝2OD．
当∠ADC＝120°时，∠ADO＝60°．
∴OD＝AD cos∠ADO
＝40×
＝20．
∴BD＝40；
（2）∵四边形ABCD为菱形．
∴AC⊥BD，∠ADB＝∠CDB，AC＝2AO
当∠ADC＝20°时，∠ADO＝10°，
则∠DAO＝80°．
∴AO＝AD cos∠ADO
≈40×0.17
＝6.8（cm）．
∴AC＝13.6cm．
当∠ADC＝160°时，∠ADO＝80°．
∴AC＝2AO
＝2AD sin∠ADO
≈2×40×0.98
＝78.4（cm）．
∴增加的高度为：78.4﹣13.6＝64.8（cm），
答：这个千斤顶升高约64.8cm．
【点睛】本题考查了三角函数的实际应用和菱形性质，构造直角三角形是解决问题的关键．
3．图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°，求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）
【点拨】过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CF⊥BE，垂足为F，过点C作CG⊥AD，垂足为G，根据题意可得：EF＝CG，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长和∠ABE＝30°，从而求出∠CBE＝20°，最后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出EF的长，即可解答．
【解析】解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CF⊥BE，垂足为F，过点C作CG⊥AD，垂足为G，
由题意得：EF＝CG，
在Rt△ABE中，AB＝24cm，∠BAD＝60°，
∴BE＝AB sin60°＝24×＝12（cm），
∠ABE＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝20°，
在Rt△BCF中，BC＝10cm，
∴BF＝BC cos20°≈10×0.940＝9.4（cm），
∴EF＝BE﹣BF＝12﹣9.4≈11.4（cm），
∴CG＝EF＝11.4cm，
∴点C到AD的距离约为11.4cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．明明制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点A按固定角度从空气射入液面（介质），如图2，装入某液体（介质），使光线折射后恰好落到点C，直线GH为法线．已知∠1＝53°，液面高度CF为12cm，正方形ABCD的边长为30cm．
（参考数据：，，，，，
（1）求PE的长；
（2）求该液体（介质）的折射率n．
【点拨】（1）根据题目条件，先说明各个小四边形都是矩形，AG＝EP，在Rt△AGP中，利用直角三角形的边角间关系求出AG；
（2）先利用线段的和差关系求出PF，再在Rt△CHP中利用直角三角形的边角间关系求出∠2的正弦，最后利用求折射率的公式得结论．
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为30cm，
∴AD＝CD＝30cm．
由题意知：液面平行于底垂直于AB、CD两边，法线垂直于液面，
∴四边形AEGP、DGPF、CFPH、EPHB都是矩形．
∴PE＝AG，GP＝CD﹣CF＝30﹣12＝18（cm）．
（1）在Rt△AGP中，
∵tan∠APG＝，
∴PE＝AG＝tan∠APG GP
＝tan53° 18
≈×18
＝24（cm）．
（2）∵四边形AEGP、DGPF、CFPH、EPHB都是矩形，
∴CH＝GD＝AD﹣AG＝6（cm），
在Rt△PCH中，
∵CP＝
＝
＝6．
∴sin∠2＝
＝
＝．
∴n＝
≈
＝．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、正方形的性质、矩形的性质和判定等知识点是解决本题的关键．
5．根据以下素材，探索完成任务：
测算雷峰塔的高度
素材1 如图1，雷峰塔前有一斜坡AB，长为10米，坡度为3：4，高为AC
素材2 利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D的仰角为51.1°，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为45°（其中点C，B，E在同一直线上，如图2）
素材3 查阅锐角三角函数表 sin51.1°≈0.778，cos51.1°≈0.628，tan51.1°≈1.240
任务1 获取数据 计算斜坡的高度AC
任务2 分析计算 通过观察，计算雷峰塔的高度（结果保留整数）
【点拨】（1）根据题意可得：AC⊥BC，再根据已知可设设AC＝3x米，则BC＝4x米，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）过点A作AF⊥DE，垂足为F，根据题意可得：EF＝AC＝6米，AF＝CE，然后设BE＝y米，则AF＝CE＝（y+8）米，再在Rt△BDE和Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DE和DF的长，从而列出关于y的方程进行计算，即可解答．
【解析】解：任务1．由题意得：AC⊥BC，
∵斜坡AB，长为10米，坡度为3：4，
∴＝，AB＝10米，
∴设AC＝3x米，则BC＝4x米，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝5x（米），
∴5x＝10，
解得：x＝2，
∴AC＝6米，CE＝8米，
∴斜坡的高AC为6米；
任务2．过点A作AF⊥DE，垂足为F，
由题意得：EF＝AC＝6米，AF＝CE，
设BE＝y米，
∵BC＝8米，
∴AF＝CE＝BC+BE＝（y+8）米，
在Rt△BDE中，∠DBE＝51.1°，
∴DE＝BE tan51.1°≈1.24y（米），
在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，
∴DF＝AF tan45°＝（y+8）米，
∵EF+DF＝DE，
∴6+y+8＝1.24y，
解得：y＝，
∴DE＝1.24y≈72（米），
∴雷峰塔的高度约为72米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝6米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF．
（1）当水桶在井里时，∠AOD＝120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1m）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【点拨】（1）过点O作OG⊥AC，垂足为G，根据垂直定义可得∠AGO＝90°，再根据题意可得：AC∥OD，从而可得∠DOG＝∠AGO＝90°，进而可得∠AOG＝30°，然后根据线段的中点定义可得OA＝3米，从而在Rt△AOG中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）设OG交A1C1于点H，根据题意可得：OG⊥A1C1，OD∥A1C1，OA1＝OA＝3米，从而可得∠A1＝37°，然后在RtΔOA1H中，利用锐角三角函数的定义求出A1H的长，最后进行计算即可解答．
【解析】解：（1）过点O作OG⊥AC，垂足为G，
∴∠AGO＝90°，
由题意得：AC∥OD，
∴∠DOG＝∠AGO＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°，
∵O为AB的中点，
∴OA＝AB＝3（米），
在Rt△AOG中，
∴AG＝AO＝1.5（米），OG＝AG＝1.5≈2.6（米），
∴此时支点O到小竹竿AC的距离约为2.6米；
（2）设OG交A1C1于点H，
由题意得：OG⊥A1C1，OD∥A1C1，OA1＝OA＝3米，
∴∠A1＝180°﹣∠A1OD＝180°﹣143°＝37°，
在RtΔOA1H中，A1H＝OA1 cos37°＝3×0.8≈2.4（米），
∵AG＝1.5米，
∴A1H﹣AG＝2.4﹣1.5＝0.9（米），
∴点A上升的高度约为0.9米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；
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