10押浙江卷第24题（圆的综合问题）-2024年浙江省中考数学题号押题（含解析）
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| 名称 | 10押浙江卷第24题（圆的综合问题）-2024年浙江省中考数学题号押题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-19 11:06:56 | ||
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文档简介
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押题方向：圆的综合问题
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年绍兴卷、湖州卷、、衢州卷第21题台州卷、杭州卷、金华卷第23题宁波卷、舟山、嘉兴卷、丽水卷第24题 圆的综合题 从近几年浙江各地中考来看，圆的综合问题经常出现在压轴题；预计2024年浙江卷还将重视圆综合问题（圆的相关概念与定理、相似、勾股、三角函数、三角形、四边形等）的考查。
1．（2023 杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
2．（2023 湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
（1）求证：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．
3．（2023 金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形ABOH为矩形．
（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．
4．（2023 绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．
5．（2023 台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长；
（2）如图2，当，时，求的值；
（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．
6．（2023 衢州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：BC＝BD．
（2）若OB＝OA，AE＝2．
①求半圆O的半径．
②求图中阴影部分的面积．
7．（2023 宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．
（1）求∠BGC的度数．
（2）①求证：AF＝BC．
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．
（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．
8．（2023 浙江）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．
（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；
（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD＝AD，求证：MH⊥CP．
9．（2023 丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若＝2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．
①若OF＝，求BC的长；
②若AH＝，求△ANB的周长；
③若HF AB＝88，求△BHC的面积．
1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；
2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；
3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等；
4）注意圆的相关知识和相似、特殊四边形、三角函数、全等三角形、勾股定理等结合解决相关计算问题。
1．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O上一点，点C，E分别位于直径AB异侧，连接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）求证：∠BAE＝2∠ABC；
（3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，若，求tan∠ABC的值．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C是直线AB上方的⊙O上一点．点M是△ABC的内心．连结AM，BM，CM，延长CM交⊙O于点D．
（1）若AB＝10，AC＝6，求BC的长．
（2）求∠AMB的度数．
（3）当点C在直线AB上方的⊙O上运动时，求证：．
3．在△ABC中，BC＝10，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝90°，BE：EC＝2：3，求DE的长．
（2）如图2，若∠ABC＜90°，AB与⊙O相交于点F，连接FD，当点E与圆心O重合时，
①求证：FD＝DC；
②四边形FBCD的周长有最大值吗？请说明理由．
4．（2024 宁波模拟）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连结AD，AO，分别交BC于点E，F，∠CAD＝∠BAO．
（1）如图1，求证：AD⊥BC．
（2）如图1，若AO∥CD，求证：CA＝CF．
（3）如图2，在（2）的条件下，
①若，求BC的长．
②若，求tan∠ACE的值．
5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．
（1）∠BCO+∠BAC＝ ；
（2）如图2，若半径OC∥AD．
①求证：AB＝AC；
②若OC：CD＝5：6，求tan∠ACD的值．
（3）如图3，过D作DF⊥BC于点H，交AC于点F，BO的延长线恰好经过点F，若AD＝5，，求OF的长．
6．如图，在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，点P为半圆上一点，连结AP并延长交BC边于点E，连结BP并延长交CD边于点F，连结CP．
（1）求证：AE＝BF．
（2）当AB＝1时，求CP的最小值．
（3）若CP＝CF，求BE：BC的值．
7．如图，在 ABCD中，∠B是锐角，，BC＝10．在射线BA上取一点P，过P作PE⊥BC于点E，过P，E，C三点作⊙O．
（1）当时，
①如图1，若AB与⊙O相切于点P，连结CP，求CP的长；
②如图2，若⊙O经过点D，求⊙O的半径长．
（2）如图3，已知⊙O与射线BA交于另一点F，将△BEF沿EF所在的直线翻折，点B的对应点记为B′，且B′恰好同时落在⊙O和边AD上，求此时PA的长．
8．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC交BD于点G，，点F在线段BD上，且AF＝AD．
（1）若∠ADB＝α，请用α的代数式表示∠ADC；
（2）求证：BF＝CD；
（3）如图2，延长AF交⊙O于点M，连结FC．
①若AM为⊙O的直径，AM＝13，tan∠DAC＝，求AF的长；
②若FG＝2GD，猜想∠AFC的度数，并证明你的结论．
9．如图1，⊙O为△ABC外接圆，点D、E分别为，中点，连结AD、AE、DE，DE分别与AB、AC交于点F、G．已知AF＝4．
（1）求证：AF＝AG．
（2）如图2，连结CD交AB于点M，连结BE交CD于点N，连结BD、CE．若∠BAC＝60°，求证：△NEC是等边三角形．
（3）在（2）的基础上，若，
①求DN的长；
②求．
10．定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图①，在四边形ABCD中，若S△ABC＝S△ADC，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形． √
②梯形是倍分四边形． ×
（2）如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB＝3，AD＝DC＝5，求BC；
（3）如图②，△ABC中BA＝BC，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形．
①求sinC；
②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E（如图③），若OF＝3，求DE．
11．如图，AB为⊙O的弦，点C在弧AB上，AB平分∠OBC，过点C作CE⊥OA于点E，交AB于点F，连结OF．
（1）求的值．
（2）求证：∠ECA＝∠BAO．
（3）当时，判断△OBF的形状，并说明理由．
12．已知，如图四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，，点T
在BC的延长线上．BE平分∠ABC交CD延长线于E，交⊙O于F，连接AE，AF，DF．
（1）求证：CD平分∠ACT；
（2）求∠AED的度数；
（3）若，△DEF的面积等于25，求AC的长．
13．【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角．
【概念理解】（1）当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数．
【性质探究】（2）如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，求证：
【拓展应用】（3）如图2，AB是⊙O的直径，且AB＝13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形．
①当BC＝5时，求AD的长．
②当△BCD是和美三角形时，直接写出的值．
14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在AB上，连结DF并延长交⊙O与点G，连结BG，CG，CG＝FG．
（1）如图1，求证：△BCG≌△BFG．
（2）如图2，BG与CD交于点N，过点F作BG的平行线交CD于点M，若NE＝a，求DM．（用含a的代数式表示）
（3）如图3，在（2）的条件下，连结GE，若△EFG与△DFM的面积相等，求cos∠ABC的值．
15．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的两条切线，点A，C为切点，延长PC，AB相交于点D，若BD＝1，CD＝3，点F为弧AB的中点，连接AC．
（1）连接OP交AC于点M，求证：∠ACB＝∠AMO；
（2）设∠OCB＝α，求tanα的值；
（3）若点G与点F关于圆心O对称，连接CG，求CG的长．
16．等腰三角形AFG中AF＝AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点（D在F、E之间），分别延长AD、AE交圆O于B、C两点（如图1），记∠BAF＝α，∠AFG＝β．
（1）求∠ACB的大小（用α，β表示）；
（2）连接CF，交AB于H（如图2）．若β＝45°，且BC×EF＝AE×CF．求证：∠AHC＝2∠BAC；
（3）在（2）的条件下，取CH中点M，连接OM、GM（如图3），若∠OGM＝2α﹣45°，
①求证：GM∥BC，GM＝BC；
②请直接写出的值．
17．已知△ABC内接于⊙O，点F是弧AC的中点，连接OF交AC于点H．
（1）如图1，求证：OF⊥AC；
（2）如图2，AD是△ABC的高，延长AD交⊙O于点K，若∠CAD＝2∠BAD，求证：AK＝AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长FO交BD于点E，连接EK，点M在CH上，连接OM．若∠OMH＝3∠DKE，BE＝OH，AM＝，
①请按步骤在图3中先作图：连结AO，并延长AO交BC于点P，再求证：EO＝EP；
②计算cos∠OEC；
③求HF的长．
18．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：AB＝AC；
（2）若∠E＝54°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF＝4，，E是的中点，求EG ED的值．
19．如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且A（﹣1，0）、E（1，0）．
（1）的度数为 120 °；
（2）如图2，连结PC，取PC中点G，连结OG，则OG的最大值为 2 ；
（3）如图3，连接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长；
（4）如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为O的直径，DE交AC于点F，交BC于点E，DE⊥AC．
（1）设∠DBC＝α，试用含α的代数式表示∠ADE；
（2）如图2，若BE＝3CE，求的值；
（3）在（2）的条件下，若AC，BD交于点G，设，cos∠BDE＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②若BC＝BD，求y的值．
答案与解析
押题方向：圆的综合问题
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年绍兴卷、湖州卷、、衢州卷第21题台州卷、杭州卷、金华卷第23题宁波卷、舟山、嘉兴卷、丽水卷第24题 圆的综合题 从近几年浙江各地中考来看，圆的综合问题经常出现在压轴题；预计2024年浙江卷还将重视圆综合问题（圆的相关概念与定理、相似、勾股、三角函数、三角形、四边形等）的考查。
1．（2023 杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
【点拨】（1）由垂径定理可得∠AED＝90°，结合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根据圆周角定理可得∠DAE＝∠BCD，进而可得∠BCD＝∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE，可得GE＝BE＝1；
（2）证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可得BC2＝BA BE，再根据AB＝2BO，BE＝BG，可证BC2＝BG BO；
（3）方法一：设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，可证a＝90°﹣β，∠OCF＝90﹣3α，通过SAS证明△COF≌△AOF，进而可得∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3a＝a，则∠CAD＝2a＝45°．方法二：延长FO交AC于点H，连接OC，证明△AFC是等腰直角三角形，即可解决问题．
【解析】（1）解：直径AB垂直弦CD，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE+∠D＝90°，
∵CF⊥AD，
∴∠FCD+∠D＝90°，
∴∠DAE＝∠FCD，
由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠FCD，
在△BCE和△GCE中，
，
∴△BCE≌△GCE（ASA），
∴GE＝BE＝1；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CEB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBE，
∴△ACB∽△CEB，
∴＝，
∴BC2＝BA BE，
由（1）知GE＝BE，
∴BE＝BG，
∵AB＝2BO，
∴BC2＝BA BE＝2BO BG＝BG BO；
（3）解：∠CAD＝45°，证明如下：
解法一：如图，连接OC，
∵FO＝FG，
∴∠FOG＝∠FGO，
∵直径AB垂直弦CD，
∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠CAE，
设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，
则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，
∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，
∴β+α＝90°，
∴α＝90°﹣β，
∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，
∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，
∴∠COF＝∠AOF，
在△COF和△AOF中，
，
∴△COF≌△AOF（SAS），
∴∠OCF＝∠OAF，
即90°﹣3α＝α，
∴α＝22.5°，
∴∠CAD＝2a＝45°．
解法二：
如图，延长FO交AC于点H，连接OC，
∵FO＝FG，
∴∠FOG＝∠FGO，
∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，
∴BC∥FH，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠AHO＝90°，
∵OA＝OC，
∴AH＝CH，
∴AF＝CF，
∵CF⊥AD，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°．
【点睛】本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证．
2．（2023 湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
（1）求证：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．
【点拨】（1）根据切线性质得到∠ODB＝∠OCB＝90°，再根据HL证明Rt△ODB≌Rt△OCB，从而得到结论；
（2）分别在Rt△OBC中，利用三角函数求出BC的长，和在Rt△ABC中，利用三角函数求出即可求出AB的长．
【解析】（1）证明 如图，连结OD，
∵半圆O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODB＝∠OCB＝90°，
在Rt△ODB和Rt△OCB中，
∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），
∴BD＝BC；
（2）解 如图，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵Rt△ODB≌Rt△OCB，
∴，
在Rt△OBC中，
∵OC＝1，
∴，
在Rt△ABC中，
．
【点睛】本题考查圆的切线性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，熟悉相关图形的性质是解题的关键．
3．（2023 金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形ABOH为矩形．
（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．
【点拨】（1）根据切线的性质得到AB⊥x轴根据垂直的定义得到∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，根据矩形的判定定理得到四边形AHOB是矩形；
（2）连接AD，根据矩形的性质得到AH＝OB＝，根据勾股定理得到DH＝＝＝3，根据垂径定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵⊙A与x轴相切于点B，
∴AB⊥x轴
又∵AH⊥CD，HO⊥OB，
∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，
∴四边形AHOB是矩形；
（2）解：连接AD，
∵四边形AHOB是矩形，
∴AH＝OB＝，
∵AD＝AB＝4，
∴DH＝＝＝3，
∵AH⊥CD，
∴CD＝2DH＝6．
【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确都作出辅助线是解题的关键．
4．（2023 绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．
【点拨】（1）由垂直的定义得到∠AEC＝90°，由三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数；
（2）由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理得到，代入有关数据，即可求出CE的长．
【解析】解：（1）∵AE⊥CD于点E，
∴∠AEC＝90°
∴∠ACD＝∠AEC+∠EAC＝90°+25°＝115°；
（2）∵CD是⊙O的切线，
∴半径OC⊥DE，
∴∠OCD＝90°，
∵OC＝OB＝2，BD＝1，
∴OD＝OB+BD＝3，
∴CD＝＝．
∵∠OCD＝∠AEC＝90°，
∴OC∥AE，
∴，
∴，
∴CE＝．
【点睛】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出∠ACD的度数，由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理即可求出CE的长．
5．（2023 台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长；
（2）如图2，当，时，求的值；
（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．
【点拨】（1）连接OP，设∠BOP的度数为n，可得＝π，n＝60，即∠BOP＝60°，故∠BAP＝30°，而直线l是⊙O的切线，有∠ABC＝90°，从而BC＝＝2；
（2）连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，求出cos∠BAQ＝＝，由＝，得∠BAC＝∠DAC，有CF＝BC，证明∠FCD＝∠BAQ，即得＝，故＝；
（3）连接BQ，证明△APQ∽△ADC，得＝①，证明△APB∽△ABC，得 ②，由BC＝CD，将①②两式相除得：＝，故＝．
【解析】解：（1）如图，连接OP，
设∠BOP的度数为n°，
∵AB＝6，长为π，
∴＝π，
∴n＝60，即∠BOP＝60°，
∴∠BAP＝30°，
∵直线l是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴BC＝tan30° AB＝2；
（2）如图，连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，
∵AB为⊙O直径，
∴∠BQA＝90°，
∴cos∠BAQ＝＝，
∵＝，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CF⊥AD，AB⊥BC，
∴CF＝BC，
∵∠BAQ+∠ADB＝90°，∠FCD+∠ADB＝90°，
∴∠FCD＝∠BAQ，
∴cos∠FCD＝cos∠BAQ＝，
∴＝，
∴＝；
（3）如图，连接BQ，
∵AB⊥BC，BQ⊥AD，
∴∠ABQ＝90°﹣∠QBD＝∠ADC，
∵∠ABQ＝∠APQ，
∴∠APQ＝∠ADC，
∵∠PAQ＝∠DAC，
∴△APQ∽△ADC，
∴＝①，
∵∠ABC＝90°＝∠APB，∠BAC＝∠PAB，
∴△APB∽△ABC，
∴②，
由BC＝CD，将①②两式相除得：
＝，
∵cos∠BAQ＝＝，
∴＝．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质及应用．
6．（2023 衢州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：BC＝BD．
（2）若OB＝OA，AE＝2．
①求半圆O的半径．
②求图中阴影部分的面积．
【点拨】（1）连结OD．由切线的性质得出∠ODB＝90°，证明Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），由全等三角形的性质得出BC＝BD．
（2）①证出∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°，由直角三角形的性质得出答案；
②由勾股定理求出AD＝2，∠AOD＝60°，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．
【解析】（1）证明：如图，连结OD．
∵BD是圆O的切线，D为切点，
∴∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，OC＝OD，OB＝OB，
∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），
∴BC＝BD．
（2）解：①∵OB＝OA，
∴∠OBD＝∠A，
∵Rt△ODB≌Rt△OCB，
∴∠OBD＝∠OBC，
∴∠OBD＝∠OBC＝∠A，
∵∠OBD+∠OBC+∠A＝90°，
∴∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°，
在Rt△ODA 中，sin∠A＝，
∴OD＝OA．
∵OD＝OE，
∴OE＝OA，
∴OE＝AE＝2，
∴半圆O的半径为2．
②在Rt△ODA中，OD＝2，OA＝4，
∴AD＝＝2，
∴S△OAD＝＝2，
∵∠A＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴S阴影部分＝S△ODA﹣S扇形ODE＝2﹣＝2﹣．
【点睛】此题考查了切线的性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
7．（2023 宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．
（1）求∠BGC的度数．
（2）①求证：AF＝BC．
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．
（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．
【点拨】（1）根据同弧圆周角相等得∠EBC＝∠EAC，然后利用直角三角形两个锐角互余即可解决问题；
（2）①证明△ACF≌△BGC（ASA），即可解决问题；
②过点C作CH⊥EG于点H，设AG＝DF＝2x，根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题；
（3）过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，分别证明△EBD≌△NCD（ASA），△COG≌△OBM（AAS），得BM＝OG＝1，设OB＝OC＝r，然后由△GON∽△GBE，对应边成比例，求出r的值，进而可求AC的长．
【解析】（1）解：∵BC平分∠EBG，
∴∠EBC＝∠CBG，
∵∠EBC＝∠EAC，
∴∠CBG＝∠EAC，
∵AC⊥FC，
∴∠AFC+∠EAC＝90°，
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠BCG+∠CBG＝90°，
∴∠BGC＝90°；
（2）①证明：∵∠BGC＝90°，D为BC中点，
∴GD＝CD，
∴∠DGC＝∠DCG，
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠DGC＝∠AFC，
∴CF＝CG，
∵∠ACF＝∠BGC＝90°，
∴△ACF≌△BGC（ASA），
∴AF＝BC；
②解：如图1，过点C作CH⊥EG于点H，
设AG＝DF＝2x，
∵△ACF≌△BGC，
∴AF＝BC＝2DG，
∴CD＝DG＝AG+DF＝4x，
∵CF＝CG，
∴HG＝HF＝3x，
∴DH＝x，AH＝5x，
∴CH＝＝＝x，
∴tan∠GBC＝tan∠CAF＝＝，
∴tan∠GBC的值为；
（3）解：如图2，过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，
∵OB＝OC，
∴∠CBE＝∠OBC＝∠OCB，
∴OC∥BE，
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDN，
∴△EBD≌△NCD（ASA），
∴BE＝CN，
∵OC∥BE，
∴∠GOC＝∠MBO，
∵∠CGO＝∠OMB＝90°，OC＝OB，
∴△COG≌△OBM（AAS），
∴BM＝OG＝1，
∵OM⊥BE，
∴CN＝BE＝2BM＝2，
设OB＝OC＝r，
∵OC∥BE，
∴△GON∽△GBE，
∴＝，
∴＝，
解得r＝或r＝（舍去），
由（2）知：△ACF≌△BGC，
∴AC＝BG＝BO+OG＝r+1＝．
∴AC的长为．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题．
8．（2023 浙江）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．
（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；
（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD＝AD，求证：MH⊥CP．
【点拨】（1）以A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，交点为G，连接OG，与⊙O交点为E，F，与AB交点为M，则OG⊥AB，分别以E，F为圆心，大于EF长为半径画弧，交点为N，连接ON，则ON∥AB，以O为圆心，OM长为半径画弧与ON交点为P，则OP＝OM，以P为圆心，OP长为半径，交直线ON于Q，以O，Q为圆心，大于OQ长为半径画弧，交点为R，连接PR，则PR⊥AB，PR与⊙O交点为C，D，与AB交点为H，即CD、点H即为所求；
（2）如图2，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，证明四边形OFHN是正方形，则可证△ACH是等腰直角三角形，则∠C＝45°，由，可知∠E＝∠C＝45°，由DE是⊙O的直径，可得∠EAD＝90°，则△ADE是等腰直角三角形，AD＝DE sin∠E＝；
（3）如图3，延长CD、FP，交点为G，由题意知MH是△APF的中位线，则MH∥PF，MH＝PF，由PD＝AD，可得MD＝PD，证明△MDH∽△PDG，则＝，即GP＝2MH＝PF，如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，由CP是∠HCF的平分线，可得∠GCP＝∠FCP，则GN＝NF，证明△GPN≌△FPN（SSS），则∠GPN＝∠FPN＝90°，即PF⊥CP，由MH∥PF，可得MH⊥CP，进而结论得证．
【解析】（1）解：如图1，CD、点H即为所求；
（2）当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度不变；
如图，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，则四边形OFHN是矩形，
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴OF＝ON，
∴四边形OFHN是正方形，
∴FH＝NH，
∴AF+FH＝CN+NH，即AH＝CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
∵，
∴∠E＝∠C＝45°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EAD＝90°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝AD，
∴AD＝DE sin∠E＝，
∴线段AD是定长，长度不发生变化，值为；
（3）证明：如图3，延长CD、FP，交点为G，
∵HF＝AH，
∴点H为AF的中点，
又∵点M为AP的中点，
∴MH是△APF的中位线，
∴MH∥PF，MH＝PF，
又∵PD＝AD，PM＝AM，
∴MD＝PD，
∵MH∥GP，
∴∠MHD＝∠PGD，
又∵∠MDH＝∠PDG，
∴△MDH∽△PDG，
∴，
即GP＝2MH＝PF，
如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，
∵CP是∠HCF的平分线，
∴∠GCP＝∠FCP，
∴GN＝NF，
∵GP＝PF，GN＝NF，PN＝PN，
∴△GPN≌△FPN（SSS），
∴∠GPN＝∠FPN＝90°，
∴PF⊥CP，
∵MH∥PF，
∴MH⊥CP．
证法二：过点P作PG⊥HF于G点，
由PG∥DH，
∴HG：AH＝PD：AD＝1：2，
∵AH＝HF，
∴HG：HF＝1：2，即G是HF中点，
∴PH＝PF，
∵CP平分∠DCF，过点P作PK⊥CH于点K，PE⊥CF于点E，
∴∠KPE＝135°，PK＝PE，
∴△PHK≌△PFE（HL），∴∠HPF＝135°，∠PFG＝22.5，
在△CPF中，由内角和推得∠CPF＝90°，
∴MH⊥CP．
【点睛】本题考查了作垂线，同弧或等弧所对的圆周角相等，正弦，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．（2023 丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若＝2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．
①若OF＝，求BC的长；
②若AH＝，求△ANB的周长；
③若HF AB＝88，求△BHC的面积．
【点拨】（1）根据题意可得，再由HC是⊙O的切线，即可求证．
（2）先证明△CAG≌△FAG（ASA），设出CG，根据勾股定理即可求解．
（3）①根据题意，求出AG的长，再由即可求解．
②根据题意可求得，再由勾股定理及相似三角形的性质即可求解．
③作出辅助线，设出CG，利用勾股定理及相似三角形的性质可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，进而可求得S△CHA＝8，再证明△CHA∽△BHC，即可解答．
【解析】（1）证明：∵点C，D是的三等分点，
∴．
由CE是⊙O的直径可得CE⊥AD，
∵HC是⊙O的切线，
∴HC⊥CE，
∴AD∥HC．
（2）解：如图1，连接AO，
∵，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠AGC＝∠AGF＝90°，
∴△CAG≌△FAG（ASA），
∴CG＝FG，
设CG＝a，则FG＝a，
∵，
∴OG＝2a，AO＝CO＝3a．
在Rt△AOG中，AO2＝AG2+OG2，
∴（3a）2＝AG2+（2a）2，
∴，
∴．
答：tan∠FAG的值为．
（3）解：①如图1，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵CE⊥AD，
∴AD＝2AG＝，
∵，
∴，
∴．
答：BC的长为．
②如图2，连接CD，
∵AD∥HC，FG＝CG，
∴AH＝AF，
∵∠HCF＝90°，
∴，
设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝AC2﹣CG2，
即25﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，
解得x＝1，
∴AG＝3，AD＝6，
∵，
∴∠DAC＝∠BCD，
∵∠CDN＝∠ADC，
∴△CDN∽△ADC，
∴，
∴，
∵∠BAD＝∠DAC，∠ABN＝∠ADC，
∴△ANB∽△ACD，
∴＝．
答：△ANB的周长为．
③如图3，过点O作OM⊥AB于点M，则，
设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，OF＝5﹣2x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝25﹣（5﹣x）2，
AF2＝AG2+FG2＝10x﹣x2+x2＝10x，
∵AD∥HC，FG＝CG，
∴，
∴，
∴，
∵∠AGF＝∠OMF＝90°，∠AFG＝∠OFM，
∴△AFG∽△OFM，
∴，
∴AF FM＝OF GF，
∴AF AM＝AF （AF+FM）＝AF2+AF FM＝AF2+OF GF＝22，
可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，
解得x1＝2，x2＝5.5（舍去），
∴CG＝FG＝2，
∴OG＝3，
∴AG＝4，
∴，
∴S△CHA＝8，
∵AD∥HC，
∴∠CAD＝∠ACH，
∵，
∴∠B＝∠CAD，
∴∠B＝∠ACH，
∵∠H＝∠H，
∴△CHA∽△BHC，
∴．
答：△BHC的面积为．
【点睛】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形解答．
1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；
2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；
3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等；
4）注意圆的相关知识和相似、特殊四边形、三角函数、全等三角形、勾股定理等结合解决相关计算问题。
1．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O上一点，点C，E分别位于直径AB异侧，连接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）求证：∠BAE＝2∠ABC；
（3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，若，求tan∠ABC的值．
【点拨】（1）根据AB是⊙O的直径，AD为⊙O的切线，得AD⊥AB，∠AEB＝90°，则∠ADB+∠ABD＝90°，∠AEC+∠CEB＝90°，再根据∠ABD＝∠AEC得∠ADB＝∠CEB，进而再由∠ADB＝∠DBE得∠CEB＝∠DBE，据此可得出结论；
（2）连接CO并延长交BE于H，则∠AOC＝2∠ABC，由（1）的结论可知CE＝CB，则，由垂径定理得AH⊥BE，再根据AB是⊙O的直径得∠AEB＝90°，由此可得AE∥CH，则∠BAE＝∠AOC，据此可得出结论
（3）证△ABE和△OCF相似得AE：OF＝BE：CF＝AB：OC＝2，则AE＝2OF，BE＝2CF，设⊙O的半径为r，OF＝x，则AE＝2x，BF＝OB+OF＝r+x，由得，由此解出x＝，则BF＝r+x＝，然后在Rt△OCF中，由勾股定理求出CF＝，最后再根据锐角三角形的定义可得tan∠ABC的值．
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AD为⊙O的切线，
∴AD⊥AB，∠AEB＝90°，
∴∠ADB+∠ABD＝90°，∠AEC+∠CEB＝90°，
∵∠ABD＝∠AEC，
∴∠ADB＝∠CEB，
∵∠ADB＝∠DBE，
∴∠CEB＝∠DBE，
∴CE＝CB；
（2）证明：连接CO并延长交BE于H，如下图所示：
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠AOC＝∠ABC+∠OCB＝2∠ABC，
由（1）的结论可知：CE＝CB，
∴，
∴AH⊥BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
即AE⊥BE，
∴AE∥CH，
∴∠BAE＝∠AOC，
∴∠BAE＝2∠ABC；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB，
∴∠BEA＝∠CFO＝90°，AB＝2OC，
又∵AE∥CH，
∴∠BAE＝∠AOC，
∴△ABE∽△OCF，
∴AE：OF＝BE：CF＝AB：OC＝2，
∴AE＝2OF，BE＝2CF，
设⊙O的半径为r，OF＝x，
则AE＝2x，BF＝OB+OF＝r+x，
∴S△BCF＝BF CF＝（r+x） CF，S△ABE＝AE BE＝×2x 2CF＝2x CF，
∵，
∴，
即，
解得：x＝，
∴BF＝r+x＝r+＝，
在Rt△OCF中，OF＝x＝，OC＝r，
由勾股定理得：CF＝，
∴tan∠ABC＝＝＝．
【点睛】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，理解切线的性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数是解决问题的关键．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C是直线AB上方的⊙O上一点．点M是△ABC的内心．连结AM，BM，CM，延长CM交⊙O于点D．
（1）若AB＝10，AC＝6，求BC的长．
（2）求∠AMB的度数．
（3）当点C在直线AB上方的⊙O上运动时，求证：．
【点拨】（1）由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而AB＝10，AC＝6，则BC＝＝8；
（2）因为点M是△ABC的内心，所以∠MAB＝∠CAB，∠MBA＝∠CBA，则∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，即可根据三角形内角和定理求得∠AMB＝135°；
（3）连结AD、BD，则∠ADB＝90°，因为CM平分∠ACB，所以∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，则＝，所以AD＝BD，由勾股定理得AB＝AD，由∠DAB+∠MAB＝∠ACD+∠MAC，得∠DAM＝∠DMA，则DM＝AD，所以AB＝DM，即可证明DM＝AB．
【解析】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∴BC的长为8．
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵点M是△ABC的内心，
∴AM平分∠CAB，BM平分∠CBA，
∴∠MAB＝∠CAB，∠MBA＝∠CBA，
∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135°，
∴∠AMB的度数为135°．
（3）证明：连结AD、BD，则∠ADB＝90°，
∵点M是△ABC的内心，∠ACB＝90°，
∴CM平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
∴＝，
∴AD＝BD，
∴AB＝＝＝AD，
∵∠DAB＝∠ACD＝45°，∠MAB＝∠MAC，
∴∠DAB+∠MAB＝∠ACD+∠MAC，
∵∠DAM＝∠DAB+∠MAB，∠DMA＝∠ACD+∠MAC，
∴∠DAM＝∠DMA，
∴DM＝AD，
∴AB＝DM，
∴DM＝AB．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、三角形的内心的定义和性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
3．（2024 临安区一模）在△ABC中，BC＝10，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝90°，BE：EC＝2：3，求DE的长．
（2）如图2，若∠ABC＜90°，AB与⊙O相交于点F，连接FD，当点E与圆心O重合时，
①求证：FD＝DC；
②四边形FBCD的周长有最大值吗？请说明理由．
【点拨】（1）连接BD，在直角三角形BCD中，由射影定理可得DE2＝BE CE，求出BC、CE即可求DE；
（2）①连接OF，根据平行线的性质推导出∠FOD＝∠COD，可得＝，即可证明FD＝CD；
②先求AB＝2OD＝10，设BF＝x，DF＝y，再由（2y）2﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，推导出x＝10﹣y2，则四边形FBCD的周长＝﹣（y﹣5）2+25，当y＝5时，四边形FBCD的周长有最大值为25．
【解析】（1）解：连接BD，
∵BE：EC＝2：3，BC＝10，
∴BE＝4，CE＝6，
∵BC是圆O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴DE2＝BE CE，
∴DE＝2；
（2）①证明：连接OF，
∵OD∥AB，
∴∠DOC＝∠ABO，∠BFO＝∠FOD，
∵BO＝OF，
∴∠FBO＝∠OFB，
∴∠FOD＝∠COD，
∴＝，
∴FD＝CD；
②四边形FBCD的周长有最大值，理由如下：
∵BC是圆O的直径，
∴∠BFC＝90°，
∵DF＝CD，
∴AD＝CD，
∵OD＝5，
∴AB＝2OD＝10，
设BF＝x，DF＝y，
∴AF＝10﹣x，AC＝2y，
∴（2y）2﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，
∴x＝10﹣y2，
∴四边形FBCD的周长＝10+x+2y＝10+10﹣y2+2y＝﹣（y﹣5）2+25，
∴当y＝5时，四边形FBCD的周长有最大值为25．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握直角三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，射影定理，二次函数的图象及性质是解题的关键．
4．（2024 宁波模拟）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连结AD，AO，分别交BC于点E，F，∠CAD＝∠BAO．
（1）如图1，求证：AD⊥BC．
（2）如图1，若AO∥CD，求证：CA＝CF．
（3）如图2，在（2）的条件下，
①若，求BC的长．
②若，求tan∠ACE的值．
【点拨】（1）延长AO交⊙O于点M，连结CM，利用圆周角定理，三角形外角的性质和垂直的定义解答即可；
（2）利用平行线的性质，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
（3）①利用相似三角形的判定与性质得到，设AC＝5a，则AF＝a，设CE＝x，则EF＝5k﹣x，利用勾股定理求得x，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；
②连结DO并延长交BC于点K，连结AK，利用全等三角形的判定与性质得到CE＝EK，∠DCK＝∠DKC，再利用线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质得到AK＝BK＝AC＝CF，CK＝BF，设BF＝b，则CK＝b，，CF＝kb，利用勾股定理和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．
【解析】（1）证明：延长AO交⊙O于点M，连结CM，如图，
∵AM为⊙O的直径，
∴∠ACM＝90°，
∴∠CAM+∠M＝90°．
∵∠CAD＝∠BAO，
∴∠CAD+∠DAM＝∠BAO+∠DAM，
∴∠CAM＝∠BAD．
又∠M＝∠B，
∴∠BAD+∠B＝90°，
即∠AEB＝90°，
∴AD⊥BC．
（2）证明：∵AO∥CD，
∴∠FAE＝∠D，
∵∠D＝∠B，
∴∠FAE＝∠B．
∵∠CAF＝∠CAE+∠FAE，∠FAB+∠B＝∠AFC，
∴∠CAF＝∠AFC，
∴CA＝CF．
（3）①∵∠CAD＝∠FAB，∠D＝∠B，
∴△ACD∽△AFB，
∴．
设AC＝5a，则AF＝a，
由（2）知：CF＝CA，
∴CF＝5a．
设CE＝x，则EF＝5k﹣x，
∵AE2＝AC2﹣CE2，AE2＝AF2﹣EF2，
∴AC2﹣CE2＝AF2﹣EF2，
∴，
∴x＝4a，
∴CE＝4a，EF＝a，
∴AE＝＝3a．
∵∠FAE＝∠B，∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴，
∴AE2＝EF EB，
即，
∴，
∴CF＝5a＝，
∴．
②连结DO并延长交BC于点K，连结AK，如图，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AO∥CD，
∴∠OAD＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠ODA．
在△CDE和△KDE中，
，
∴△CDE≌△KDE（ASA），
∴CE＝EK，∠DCK＝∠DKC．
∵AO∥CD，
∴∠DCK＝∠AFC，
∵∠AFC＝∠OFK，
∴∠OFK＝∠DKC，
∴OF＝OK，
∵CE＝EK，AD⊥BC，
∴AD为CK的垂直平分线，
∴AC＝AK，
∴△ACK为等腰三角形，
∵AE⊥CK，
∴∠CAD＝∠KAD，
∵∠CAD＝∠BAO，
∴∠KAD＝∠BAO，
∴∠OAD＝∠BAK，
∴∠BAK＝∠ODA＝∠CDA＝∠B，
∴AK＝BK．
∴AK＝BK＝AC＝CF，
∴CF+FK＝BK+FK．
即CK＝BF．
设BF＝b，则CK＝b，，CF＝kb，
即AC＝AK＝KB＝bk，
∴AE＝＝．
∵∠AEC＝90°，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，恰当的添加辅助线和利用勾股定理列出方程解答是解题的关键．
5．（2024 北仑区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．
（1）∠BCO+∠BAC＝ 90° ；
（2）如图2，若半径OC∥AD．
①求证：AB＝AC；
②若OC：CD＝5：6，求tan∠ACD的值．
（3）如图3，过D作DF⊥BC于点H，交AC于点F，BO的延长线恰好经过点F，若AD＝5，，求OF的长．
【点拨】（1）连接BO，根据2∠BCO+2∠BAC＝180°，可推导出∠BCO+∠BAC＝90°；
（2）①推导出∠ABC＝∠ACB，即可证明；
②连接OD，连接AO延长交BC于点M，证明△ABC∽△OCD，可推导出AB：BC＝5：6，设AB＝5k，则BC＝6k，BM＝3k，分别求出BE＝，AE＝，即可得tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝；
（3）过点O作OI⊥BC交于I点，先证明△ABE≌△FBE，可得∠ABD＝∠FBD，再证明△BHF≌△BEF，得HF＝EF，从而证明△HFC≌△EFD≌△EAD，设AE＝x，ED＝y，则HD＝5+x，HC＝y，由方程组，求出，求出EC＝9，ED＝3，tan∠ECD＝，再求BH＝12，BC＝15，BF＝4，可得BI＝BC＝，根据OI∥HF，求得BO＝，即可求OF＝BF﹣BO＝．
【解析】（1）解：如图1，连接BO，
∵＝，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵2∠BCO+2∠BAC＝180°，
∴∠BCO+∠BAC＝90°，
故答案为：90°；
（2）①证明：∵OC∥AD，
∴∠ACO＝∠CAD，
∴∠ACO+∠ABC＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠CBD+∠ACB＝90°，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CAD+∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
②解：如图2，连接OD，连接AO延长交BC于点M，
∴AM⊥BC，
∵∠BCO+∠BAC＝90°，∠DBA+∠BAC＝90°，
∴∠BCO＝∠DBA＝∠DCA，
∴∠ACO+∠DCA＝∠ACO+∠BCO，
∴∠BCA＝∠OCD，
∵AB＝AC，OC＝OD，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠OCD＝∠ODC，
∴△ABC∽△OCD，
∴AB：BC＝OC：CD，
∵OC：CD＝5：6，
∴AB：BC＝5：6，
设AB＝5k，则BC＝6k，BM＝3k，
在Rt△AMB中，AM＝＝4k，
∵2S△ABC＝BC AM＝AC BE，
∴BE＝，
在Rt△ABE中，AE＝＝，
∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝；
（3）解：如图3，过点O作OI⊥BC交于I点，
∵AC⊥BD，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，∠EDF+∠EFD＝90°，
∵DH⊥BC，
∴∠HFC+∠HCF＝90°，
∵∠HCF＝∠EDA，∠HFC＝∠EFD，
∴∠DAF＝∠HFC＝∠DFA，
∴AD＝FD，
∴AE＝EF，
∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEF，
∴△ABE≌△FBE，
∴∠ABD＝∠FBD，
同（2）可得，∠CBO＝∠ABD＝∠ACD＝∠FBD，
∵∠BEF＝∠BHF＝90°，BF＝BF，
∴△BHF≌△BEF，
∴HF＝EF，
∴△HFC≌△EFD≌△EAD，
设AE＝x，ED＝y，则HD＝5+x，HC＝y，
在△AED和△DHC中，
，
解得，
∴EC＝9，ED＝3，tan∠ECD＝，
∵∠OBC＝∠ECD，HF＝4，
∴BH＝＝12，BC＝15，BF＝4，
∴BI＝BC＝，
∵OI∥HF，
∴BI：BH＝BO：BF，
∴BO＝，
∴OF＝BF﹣BO＝．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的圆心角与圆周角的关系，垂径定理，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
6．如图，在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，点P为半圆上一点，连结AP并延长交BC边于点E，连结BP并延长交CD边于点F，连结CP．
（1）求证：AE＝BF．
（2）当AB＝1时，求CP的最小值．
（3）若CP＝CF，求BE：BC的值．
【点拨】（1）由正方形的性质得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，由AB是⊙O的直径，得∠APB＝90°，可证明∠BAE＝∠CBF，进而证明△ABE≌△BCF，得AE＝BF；
（2）连接OP、OC，由AB＝1，得OP＝OB＝，AB＝BC＝1，则OC＝＝，由CP+OP≥OC，得CP+≥，则CP≥，所以CP的最小值为；
（3）取EF的中点I，以IE为半径作⊙I，连接IP、IC，则IP＝IC＝IF＝IE＝EF，所以P、E、C、F四点都在⊙I上，而CP＝CF，则∠CEF＝∠CPF＝∠BFC，可证明∠CEF＝∠AEB，CF＝BE，则＝tan∠CEF＝tan∠AEB＝，所以＝，则BE＝BC，求得BE：BC的值为．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF＝90°﹣∠ABP，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF．
（2）解：如图1，连接OP、OC，
∵AB是⊙O的直径，且AB＝1，
∴OP＝OB＝AB＝，AB＝BC＝1，
∴OC＝＝＝，
∵CP+OP≥OC，
∴CP+≥，
∴CP≥，
∴CP的最小值为．
（3）如图2，取EF的中点I，以IE为半径作⊙I，连接IP、IC，
∵∠EPF＝∠ECF＝90°，
∴IP＝IC＝IF＝IE＝EF，
∴P、E、C、F四点都在⊙I上，
∵CP＝CF，
∴∠CEF＝∠CPF＝∠BFC，
由（1）得△ABE≌△BCF，
∴∠AEB＝∠BFC，CF＝BE，
∴∠CEF＝∠AEB，
∴＝tan∠CEF＝tan∠AEB＝，
∴＝，
整理得BE2+BC BE﹣BC2＝0，
∴BE＝BC或BE＝BC（不符合题意，舍去），
∴＝，
∴BE：BC的值为．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
7．（2024 湖州一模）如图，在 ABCD中，∠B是锐角，，BC＝10．在射线BA上取一点P，过P作PE⊥BC于点E，过P，E，C三点作⊙O．
（1）当时，
①如图1，若AB与⊙O相切于点P，连结CP，求CP的长；
②如图2，若⊙O经过点D，求⊙O的半径长．
（2）如图3，已知⊙O与射线BA交于另一点F，将△BEF沿EF所在的直线翻折，点B的对应点记为B′，且B′恰好同时落在⊙O和边AD上，求此时PA的长．
【点拨】（1）①利用圆周角定理和切线的性质定理得到PC⊥PB，利用直角三角形的边角关系定理得到BP，再利用勾股定理解答即可得出结论；
②连接CP，PD，利用圆周角定理和平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠PAD＝∠B，利用直角三角形的边角关系定理求得AP，再利用勾股定理求得PD，PC，则结论可求；
（2）过点F作FM⊥AD，交DA的延长线于点M，连接CF，CP，设PE与AD交于点N，利用轴对称的性质，圆周角定理和垂直的定义得到∠B＝∠FPE＝45°，则△BFC为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得线段MB′，AB′，设PN＝AN＝x，则PE＝x+6，NB′＝6﹣x，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论．
【解析】解：（1）①∵PE⊥BC，
∴∠PEB＝∠PEC＝90°，
∴PC为⊙O的直径，
∵AB与⊙O相切于点P，
∴PC⊥PB．
∵，
∴＝，
∴BP＝BC＝6，
∴CP＝＝＝8；
②连接CP，PD，如图，
∵PE⊥BC，
∴∠PEB＝∠PEC＝90°，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PDC＝90°．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠PAD＝∠B，
∴∠APD+∠PDC＝180°，cos∠PAD＝cos∠B＝，
∴∠APD＝90°．
∵cos∠PAD＝，
∴AP＝6，
∴PD＝＝8．
∴PC＝＝＝2，
∴⊙O的半径长为PC＝．
（2）过点F作FM⊥AD，交DA的延长线于点M，连接CF，CP，设PE与AD交于点N，如图，
由题意得：∠B＝∠FB′E，
∵∠FB′E＝∠FPE，
∴∠FPE＝∠B．
∵PE⊥BE，
∴∠B＝∠FPE＝45°．
∵PE⊥BC，
∴∠PEB＝∠PEC＝90°，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PFC＝90°，
∴△BFC为等腰直角三角形，
∴BF＝FC＝BC＝5，
∴AF＝AB﹣BF＝．
∵AD∥BC，
∴∠MAF＝∠B＝45°，
∴MF＝MA＝AF＝1，
∵FB＝FB′＝5，
∴MB′＝＝7，
∴AB′＝MB′﹣MA＝6．
∵AD∥BC，PE⊥BC，
∴PN⊥AD．
∵EN为平行四边形ABCD的高，
∴NE＝AB sin∠B＝6＝6，
∵△PAN为等腰直角三角形，
∴设PN＝AN＝x，则PE＝x+6，NB′＝6﹣x．
∵PE＝BE＝B′E，
∴B′E＝x+6．
在Rt△NB′E中，
∵NB′2+NE2＝B′E2，
∴（6﹣x）2+62＝（x+6）2，
∴x＝．
∴PN＝AN＝，
∴PA＝PN＝．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，平行四边形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的有关性质和恰当的添加辅助线是解题的关键．
8．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC交BD于点G，，点F在线段BD上，且AF＝AD．
（1）若∠ADB＝α，请用α的代数式表示∠ADC；
（2）求证：BF＝CD；
（3）如图2，延长AF交⊙O于点M，连结FC．
①若AM为⊙O的直径，AM＝13，tan∠DAC＝，求AF的长；
②若FG＝2GD，猜想∠AFC的度数，并证明你的结论．
【点拨】（1）根据等弧所对的圆周角相等得∠ABC＝∠ADB＝α，再由圆内接四边形的性质可得结论．
（2）分别证明∠AFB＝∠ADC，∠ABD＝∠ACD，再证明△ABF≌△ACD（AAS）即可得到结论．
（3）①连接BM，MC，Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），得∠DAC＝∠BAM＝∠CAM＝∠CBM，tan∠DAC＝，得，，求得BP＝6，MP＝4，AP＝9，即可求得AF的长．②连接BM，CM，过点F作FQ∥BM交MC于点Q，证明△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP，得，，求得MP＝2PF，证明△BFP∽△CMP，四边形BMQF是平行四边形，可得四边形BMQF是菱形，进一步可求得结论．
【解析】（1）解：∵．
∴∠ABC＝∠ADB＝α．
∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠ABC+∠ADC＝180°．
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣α．
（2）证明：∵AF＝AD．
∴∠AFD＝∠ADB＝α．
∴∠AFB＝180°﹣∠AFD＝180°﹣α．
∴∠AFB＝∠ADC．
∵∠ABD，∠ACD是所对的圆周角．
∴∠ABD＝∠ACD．
又AF＝AD．
∴△ABF≌△ACD（AAS）．
∴BF＝CD．
（3）①解：如图2，连接BM，MC．
．
∵AM是直径．
∴∠ABM＝∠ACM＝90°．
∵△ABF≌△ACD（AAS）．
∴∠BAM＝∠CAD，AB＝AC．
又AM＝AM．
∴Rt△ABM≌Rt△ACM（HL）．
∴BM＝CM，∠BAM＝∠CAM．
∴∠DAC＝∠BAM＝∠CAM＝∠CBM．
∵AB＝AC．
∴AM⊥BC且AM平分BC．
∵tan∠DAC＝，AM＝13．
∴，．
∴BP＝6，MP＝4，AP＝9．
∴PF＝MP＝4．
∴AF＝AP﹣PF＝9﹣4＝5．
②猜想：∠AFC＝90°．
如图，连接BM，CM，过点F作FQ∥BM交MC于点Q．
．
∵AB＝AC，AF＝AD．
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠5＝∠7．
∵∠3，∠6是所对的圆周角．
∴∠3＝∠6．
∴△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP．
∴，．
∵FG＝2GD．
∴MP＝2PF．
∵∠2＝∠7．
∴BD∥MC．
∴△BFP∽△CMP，四边形BMQF是平行四边形．
∴．
∵∠4＝∠5．
∴BM＝BF．
∴四边形BMQF是菱形．
∴BF＝MQ＝FQ．
∴MQ＝FQ＝QC．
∴∠7＝∠MFQ，∠MCF＝∠QFC．
∵∠7+∠MFQ+∠MCF+∠QFC＝180°．
∴∠MFC＝90°．
∴∠AFC＝90°．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的意义等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
9．如图1，⊙O为△ABC外接圆，点D、E分别为，中点，连结AD、AE、DE，DE分别与AB、AC交于点F、G．已知AF＝4．
（1）求证：AF＝AG．
（2）如图2，连结CD交AB于点M，连结BE交CD于点N，连结BD、CE．若∠BAC＝60°，求证：△NEC是等边三角形．
（3）在（2）的基础上，若，
①求DN的长；
②求．
【点拨】（1）由D、E分别为，中点，得出，，由圆周角定理可得∠AED＝∠DAB，∠ADE＝∠CAE，进而得到∠AFG＝∠AGF即可求证；
（2）先证明△ADE≌△NDE，得到AE＝NE＝CE，即可求证；
（3）①过A点作AH⊥DE于点H，由三角函数得到HE＝，GE＝，再证明△AFD∽△EGA，根据勾股定理可得AD＝2，再由△ADE≌△NDE即可求解；
②由△BDN∽△ECN，可得，设S△ECN＝4S，则S△BNC＝S△END＝6S，S△BND＝9S，分别表示出S△CBE和S四边形ADBE即可求解．
【解析】（1）证明：∵D、E分别为，中点，
∴，，
∴∠AED＝∠DAB，∠ADE＝∠CAE，
∵∠AFG＝∠DAB+EAD，∠AGF＝∠AED+CAE，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG；
（2）证明：∵D、E分别为，中点，
∴，，
∴∠ADE＝∠NDE，∠AED＝∠NED，AE＝EC，
∵DE＝DE，
∴△ADE≌△NDE（ASA），
∴AE＝NE＝CE，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BEC＝∠BAC＝60°，
∴△NEC是等边三角形；
（3）①∵AF＝AG．∠BAC＝60°，
∴△AFG为等边三角形，
过A点作AH⊥DE于点H，如图：
∵AF＝4，
∴FH＝HG＝AF＝2．AH＝＝2．
∴tan∠DEA＝tan∠DAF＝＝，
∴HE＝，
∴GE＝HE﹣HG＝，
由（1）知，∠AEG＝∠DAF，∠ADF＝∠EAG，
∴△AFD∽△EGA，
∴，即，
∴DF＝6，
∴AD＝＝＝2，
∵△ADE≌△NDE，
∴DN＝AD＝2；
②∵DN＝AD＝BD，∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴△BDN为等边三角形，
∵△CEN为等边三角形，
∴∠BDC＝∠CEB＝60°，
∴BD∥CE，△BDN∽△ECN，
∴＝（）2＝＝＝＝，
设S△ECN＝4S，则S△BNC＝S△END＝6S，S△BND＝9S，S△CBE＝S△ECN+S△BNC＝10S，
∵△ADE≌△NDE，
∴S△ADE＝S△NDE＝6S，
∴S四边形ADBE＝6S+6S+9S＝21S，
∴＝＝．
【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键，
10．定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图①，在四边形ABCD中，若S△ABC＝S△ADC，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形． √
②梯形是倍分四边形． ×
（2）如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB＝3，AD＝DC＝5，求BC；
（3）如图②，△ABC中BA＝BC，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形．
①求sinC；
②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E（如图③），若OF＝3，求DE．
【点拨】（1）①平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，可判断①是真命题；
②梯形的对角线不平分梯形的面积，可判断②是假命题；
（2）过D作DE⊥AC于E，根据AC是四边形ABCD的倍分线，AC⊥AB，可得DE＝AB＝3，故AE＝＝4，AC＝2AE＝8，故BC＝＝；
（3）①连接BM，CN，OM，设CN交OM于H，由BA＝BC，得AM＝CM，故S△BCM＝S△BAM＞S△BNM，可知倍分四边形BCMN中，CN是倍分线，即S△BCN＝S△MCN，而∠ANC＝90°，AM＝CM，有MN＝AM＝CM＝AC，从而＝，知OM⊥CN，NH＝CH，设OH＝m，由S△BCN＝S△MCN，有MH＝BN＝2m，可得OC＝OM＝3m，BC＝2OC＝6m，根据勾股定理可得BM＝2m，即得sin∠ACB＝＝；
②连接OM交CN于H，作MF中点P，连接DP，由F为OC的中点，得OC＝2OF＝6，BC＝2OC＝12，BF＝9，则BM＝BC sin∠ACB＝4，CM＝＝4，证明△BDN≌△MDH（AAS），得DM＝BD＝BM＝2，故CD＝＝6，而DP是△MBF的中位线，可得DP＝BF＝，DP∥BC，故△DPE∽△CFE，即得DE＝CD＝×6＝．
【解析】解：（1）①平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，故平行四边形是倍分四边形，①是真命题；
故答案为：√；
②梯形的对角线不平分梯形的面积，故梯形不是倍分四边形，②是假命题；
故答案为：×；
（2）过D作DE⊥AC于E，如图：
∵AC是四边形ABCD的倍分线，AC⊥AB，
∴AB AC＝DE AC，
∴DE＝AB＝3，
在Rt△ADE中，
AE＝＝＝4，
∵AD＝DC，DE⊥AC，
∴AC＝2AE＝8，
在Rt△ABC中，
BC＝＝＝，
∴BC的长为；
（3）①连接BM，CN，OM，设CN交OM于H，如图：
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BNC＝∠BMC＝90°，
∵BA＝BC，
∴AM＝CM，
∴S△BCM＝S△BAM＞S△BNM，
∴倍分四边形BCMN中，CN是倍分线，即S△BCN＝S△MCN，
∵∠ANC＝180°﹣∠BNC＝90°，AM＝CM，
∴MN＝AM＝CM＝AC，
∴＝，
∴OM⊥CN，NH＝CH，
设OH＝m，则BN＝2m，
∵S△BCN＝S△MCN，
∴BN CN＝MH CN，
∴MH＝BN＝2m，
∴OM＝OH+MH＝3m，
∴OC＝OM＝3m，BC＝2OC＝6m，
在Rt△OCH中，CH2＝OC2﹣OH2＝8m2，
在Rt△CMH中，CM＝＝＝2m，
在Rt△BMC中，BM＝＝＝2m，
∴sin∠ACB＝＝＝；
②连接OM交CN于H，作MF中点P，连接DP，如图：
∵F为OC的中点，
∴OC＝2OF＝6，BC＝2OC＝12，BF＝9，
在Rt△BCM中，BM＝BC sin∠ACB＝12×＝4，
∴CM＝＝＝4，
由①知，BN＝MH，
∵∠BND＝∠MHD＝90°，∠BND＝∠MDH，
∴△BDN≌△MDH（AAS），
∴DM＝BD＝BM＝2，
∴CD＝＝＝6，
∵P为MF的中点，
∴DP是△MBF的中位线，
∴DP＝BF＝，DP∥BC，
∴△DPE∽△CFE，
∴＝＝＝，
∴DE＝CD＝×6＝．
【点睛】本题考圆的综合应用，涉及新定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
11．如图，AB为⊙O的弦，点C在弧AB上，AB平分∠OBC，过点C作CE⊥OA于点E，交AB于点F，连结OF．
（1）求的值．
（2）求证：∠ECA＝∠BAO．
（3）当时，判断△OBF的形状，并说明理由．
【点拨】（1）连结BC，OC．过点O作OD⊥BC于点D，则BC＝2BD＝2CD，由AB平分∠OBC，可得∠OBA＝∠ABC，又由∠OBA＝∠OAB，可得BC∥OA，可证明四边形OECD为矩形，得出CD＝OE，再求解即可：
（2）由OB＝OC，可得∠OBC＝∠BCO，再由∠CBA＝∠OBA，可得∠BOC＝180°﹣4∠CBA．再求解可得结论；
（3）过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N．先证明△BCF∽△AEF，可得＝，设BF＝2x，则AF＝3x，AB＝5x，再证明△AFC∽△ACB，可得AC＝x，最后再通过勾股定理求解即可．
【解析】（1）解：连结BC，OC．过点O作OD⊥BC于点D，
则BC＝2BD＝2CD，
∵AB平分∠OBC，
∴∠OBA＝∠ABC，
∵∠OBA＝∠OAB．
∴BC∥OA．
∵CE⊥OA，
∴四边形OECD为矩形，
∴CD＝OE．
∴BC＝2OE，即＝；
（2）证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠BCO，
∵∠CBA＝∠OBA，
∴∠BOC＝180°﹣4∠CBA．
∠BAC＝∠BOC＝90°﹣2∠CBA，
∠ECA＝90°﹣∠OAC
＝90°﹣∠OAB﹣∠BAC
＝90°﹣∠OAB﹣（90°﹣2∠CBA）
＝2∠CBA﹣∠OAB
＝∠BAO；
（3）解：△OBF是等腰三角形，理由如下：
由（1）可知＝，且，
∴，
∵BC∥OA，
∴△BCF∽△AEF，
∴，
过点O分别作AC，AB的垂线，垂足为M，N，如图，
设BF＝2x，则AF＝3x，AB＝5x，
由垂径定理得AN＝、FN＝，
∵∠ECA＝∠BAO．∠ABC＝∠BAO．
∴∠ECA＝∠ABC，
∵∠BAC＝∠CAF，
∴△AFC∽△ACB，
∴，即，
∴AC＝x，
∴AM＝AC＝，
∵CE⊥AO，
∴∠ACE∠AOM＝∠OAB，
∵∠NOM＝∠MAN，
∴∠NOA＝∠MAO，
∵∠ANO＝∠OMA＝90°，AO＝OA，
∴△AOM≌△OAN（AAS），
∴ON＝AM＝，
在Rt△ONF中，OF＝＝2x．
∴OF＝BF，
∴△OBF是等腰三角形．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确作出辅助线是解题关键．
12．已知，如图四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，，点T
在BC的延长线上．BE平分∠ABC交CD延长线于E，交⊙O于F，连接AE，AF，DF．
（1）求证：CD平分∠ACT；
（2）求∠AED的度数；
（3）若，△DEF的面积等于25，求AC的长．
【点拨】（1）可推出∠DCT＝∠BAD＝∠ACD，从而得出结论；
（2）连接BD，设∠FBD＝α，可推出∠BAD＝∠ACD＝∠ABD＝∠ABF+∠FBD＝45°+α，∠CAD＝90°﹣∠ACD＝45°﹣α，∠BDC＝∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝（45°+α）﹣（45°﹣α）＝2α，进而得出∠BED＝∠FBD＝α，从而得出BD＝DE，进一步得出结果；
（3）设AD的延长线交BC的延长线于T，作EG⊥DF，交DF的延长线于点G，可推出AC＝CT，＝，从而得出从而sin∠ACD＝，从而得出sin∠EFG＝sin∠BFD＝sin∠ACD＝，tan∠EFG＝＝，可设DE＝AD＝4x，则AC＝5x，解△DEF，进而得出结果．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DCT＝∠BAD，
∵，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CD平分∠ACT；
（2）解：如图1，
连接BD，设∠FBD＝α，
∵，
∴AD＝BD，∠BAD＝∠ABD＝∠ACD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADE＝∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝45°，
∴∠BAD＝∠ACD＝∠ABD＝∠ABF+∠FBD＝45°+α，
∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝45°﹣α，
∴∠BDC＝∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝（45°+α）﹣（45°﹣α）＝2α，
∴∠BED＝∠BDC﹣∠FBD＝2α﹣α＝α，
∴∠BED＝∠FBD，
∴BD＝DE，
∴AD＝DE，
∴∠AED＝∠DAE＝45°；
（3）解：如图2，
设AD的延长线交BC的延长线于T，作EG⊥DF，交DF的延长线于点G，
由（1）（2）得：∠ABC＝∠ADC＝∠CDT＝90°，∠ACD＝∠DCT＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠CTD，△CDT∽△ABT，
∴AC＝CT，＝，
∴，
∴
∴sin∠ACD＝，
∵，
∴∠BFD＝∠ACD，
∴sin∠EFG＝sin∠BFD＝sin∠ACD＝，
∴tan∠EFG＝＝，
设DE＝AD＝4x，则AC＝5x，
∵四边形CBFD内接于⊙O，
∴∠EDF＝∠CBE＝45°，
∴DG＝EG＝DE sin∠EDF＝4x ＝2，
∴FG＝，
∴DF＝DG﹣FG＝2＝，
由DF EG＝S△DEF得，
，
∴x1＝5，x2＝﹣5（舍去），
∴AC＝5x＝25．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形．
13．【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角．
【概念理解】（1）当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数．
【性质探究】（2）如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，求证：
【拓展应用】（3）如图2，AB是⊙O的直径，且AB＝13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形．
①当BC＝5时，求AD的长．
②当△BCD是和美三角形时，直接写出的值．
【点拨】（1）设和美角的度数为x，利用和美三角形的定义和三角形的内角和定理列出方程解答即可；
（2）过点B作BD⊥AB，交AC于点D，利用和美三角形的定义得到∠DBC＝∠A，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用直角三角形的边角关系定理得到tanA＝，则结论可得；
（3）利用圆周角定理和勾股定理得到AC的长度，利用分类讨论的数学方法分两种情况讨论解答：Ⅰ．当∠EAC为和美角时，过点C作CF⊥AB于点F，利用（2）的结论和相似三角形的判定与性质得到EC＝BC，再利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；Ⅱ．当∠ACE为和美角时，过点D作CH⊥AB于点H，利用（2）的结论和相似三角形的判定与性质得到DE＝AD，利用圆周角定理和等腰三角形的判定定理解答即可；
（4）利用分类讨论的数学方法，依据和美三角形的定义和相似三角形的判定与性质，类比（3）的方法解答即可．
【解析】（1）解：设和美角的度数为x，则钝角的度数为90°+x，
∴x+x+90°+x＝180°，
∴x＝30°．
∴当和美三角形是等腰三角形时，和美角的度数为30°．
（2）证明：过点B作BD⊥AB，交AC于点D，如图，
则∠ABD＝90°，
∵△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，
∴∠ABC＝90°+∠A，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝90°+∠DBC，
∴∠DBC＝∠A．
∵∠C＝∠C，
∴△CDB∽△CBA，
∴．
在Rt△ABD中，
tanA＝，
∴；
（3）解：①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝13，BC＝5，
∴AC＝＝12．
Ⅰ．当∠EAC为和美角时，过点C作CF⊥AB于点F，如图，
由（2）知：tan∠EAC＝，
在Rt△ABC中，tan∠EAC＝，
∴，
∴EC＝5．
∴EC＝BC．
∴∠CEB＝∠CBA．
∵∠CBA＝∠CDA，∠AED＝∠CEB，
∴∠CDA＝∠AED，
∴AD＝AE．
∵CE＝CB，CF⊥AB，
∴BF＝EF＝BE．
∵∠ACB＝90°，CF⊥AB，
∴△BCF∽△BAC，
∴，
∴，
∴BF＝，
∴BE＝2BF＝，
∴AD＝AE＝AB﹣BE＝；
Ⅱ．当∠ACE为和美角时，过点D作CH⊥AB于点H，如图，
由（2）知：tan∠ACE＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACE＝∠ABD，
∴tan∠ACE＝tan∠ABD＝．
∵∠CAB＝∠CDB，∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB，
∴，
∴，
∴DE＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA．
∵∠AED＝∠CEB，∠DAE＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠CEB，
∴BE＝BC＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝13﹣5＝8．
∵DE＝AD，CH⊥AB，
∴AH＝AE＝4．
∵∠ADB＝90°，CH⊥AB，
∴△ADH∽△ABD，
∴，
∴，
∴AD＝＝2．
综上，AD的长2或；
②当△BCD是和美三角形时，的值为或．理由：
设∠CAB＝α，
Ⅰ．当∠CAB与∠CDB为和美角时，如图，
则∠ACD＝∠BCD＝45°，CE＝CB，α＝22.5°，
∴；
Ⅱ．当∠CAB与∠DCB为和美角时，如图，
则∠CEA＝90°+α，∠ACE＝90°﹣2α，∠DCB＝2α，∠CBD＝90°+2α，
∵△BDC的内角和为180°，
∴α＝18°．
∴；
Ⅲ．当∠ACD与∠CDB为和美角时，如图，
则∠CEA＝135°﹣0.5α，∠ACE＝45°﹣0.5α，∠DCB＝45°+0.5α，∠CBD＝90°+α，
∵△BDC的内角和为180°，
∴α＝18°．
∴；
Ⅳ．当∠ACE与∠DCB为和美角时，如图，
则∠CEA＝135°﹣0.5α，∠ACE＝45°﹣0.5α，∠DCB＝45°+0.5α，
∵∠ACB＝90°，
∴α＝0°，这种情况不存在．
综上，的值为或．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．
14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在AB上，连结DF并延长交⊙O与点G，连结BG，CG，CG＝FG．
（1）如图1，求证：△BCG≌△BFG．
（2）如图2，BG与CD交于点N，过点F作BG的平行线交CD于点M，若NE＝a，求DM．（用含a的代数式表示）
（3）如图3，在（2）的条件下，连结GE，若△EFG与△DFM的面积相等，求cos∠ABC的值．
【点拨】（1）根据垂径定理求出BC＝BD，根据圆周角定理求出∠BGC＝∠BGF，利用SAS即可证明△BCG≌△BFG；
（2）连结CF与BG交于点H，利用SAS证明△HCG≌△HFG，根据全等三角形的性质得出CH＝FH，根据平行线分线段成比例定理求出CM＝2CN，根据垂径定理求出CD＝2CE，根据线段和差求解即可；
（3）由△EFG与△DFM的面积相等，推出GP＝DM＝2EN，设BC＝k，cos∠ABC＝x，则BE＝PE＝kx，根据等腰三角形的性质、平行线的性质、线段的和差求出AB＝BF+PF+AP＝4kx﹣k，由三角函数定义求出BC2＝BE AB，代入求解即可．
【解析】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴BC＝BD，
∴∠BGC＝∠BGF，
在△BCG和△BFG中，
，
∴△BCG≌△BFG（SAS）；
（2）解：如图2，连结CF与BG交于点H，
∵∠BGC＝∠BGF，CG＝FG，HG＝HG，
∴△HCG≌△HFG（SAS），
∴CH＝FH，
∵FM∥BG，
∴CM＝2CN，
∵OB⊥CD，
∴CD＝2CE，
∴DM＝CD﹣CM＝2CE﹣2CN＝2NE＝2a；
（3）解：连结AG，AC，作GP⊥AB于点P，
∵△EFG与△DFM的面积相等，
∴EF GP＝EF DM，
∴GP＝DM＝2EN，
∵NE⊥AB，GP⊥AB，
∴NE∥GP，
∴＝＝，
∴BE＝BP，
∴BE＝PE，
设BC＝k，cos∠ABC＝x，
∵cos∠ABC＝，
∴BE＝PE＝kx，
∵BC＝BF＝k，
∴PF＝2kx﹣k，
∵∠GBC＝∠GBA，
∴CG＝AG＝GF，
∴AP＝PF＝2kx﹣k，
∴AB＝BF+PF+AP＝4kx﹣k，
∵AB为⊙O的直径，
∴cos∠ABC＝＝，
∴BC2＝BE AB，
∴k2＝kx （4kx﹣k），
∴4x2﹣x﹣1＝0，
∴x＝或x＝（舍去），
∴cos∠ABC＝x＝．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理、垂径定理、平行线分线段成比例定理等知识，正确作出辅助线，利用参数构建方程解决问题是解题的关键．
15．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的两条切线，点A，C为切点，延长PC，AB相交于点D，若BD＝1，CD＝3，点F为弧AB的中点，连接AC．
（1）连接OP交AC于点M，求证：∠ACB＝∠AMO；
（2）设∠OCB＝α，求tanα的值；
（3）若点G与点F关于圆心O对称，连接CG，求CG的长．
【点拨】（1）根据切线性质得出PA＝PC，由OA＝OB，得出点O、P在线段AC的垂直平分线上，证明∠AMO＝90°，根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB＝90°，证明∠ACB＝∠AMO；
（2）证明△DCA∽△DBC，得出，求出tan∠OCB＝tan∠OBC＝tanα＝＝3即可；
（3）连接CF，FG，由△DCA∽△DBC，得出，求出AB＝8，根据，设BC＝k，AC＝3k，根据BC2+AC2＝AB2列出方程，求出，得出，，过点A作AH⊥CF，垂足为H，连接AF，BF，求出CF＝CH+FH＝＝，最后根据勾股定理求出结果即可．
【解析】（1）证明：∵PA，PC是⊙O的两条切线，
∴AB⊥AP，OC⊥CP，PA＝PC，
∵OA＝OB，
∴点O、P在线段AC的垂直平分线上，
∴OP垂直平分AC，即∠AMO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠AMO．
（2）解：∵∠ACB＝90°，∠OCD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACO＝∠OAC，
∵∠D＝∠D，
∴△DCA∽△DBC，
∴，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴．
（3）解：连接CF，FG，如图所示：
∵点G与点F关于圆心O对称，
∴GF过圆心，且为⊙O的直径，
∴∠GCF＝90°，
由（2）得△DCA∽△DBC，
∴，
即，
∴AB＝8，
又∵，
∴设BC＝k，AC＝3k，由BC2+AC2＝AB2得，
∴k2+（3k）2＝82，
即10k2＝64，
∴（舍去负值），
即，，
如图，过点A作AH⊥CF，垂足为H，连接AF，BF，如图所示：
∵点F为AB的中点，
∴AF＝BF，∠ACF＝∠BCF＝45°，
∴，
∴，
，
∴，
在Rt△CFG中，，
∴（负值舍去）．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合，三角形相似的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判断，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质和定理，灵活应用．
16．（2024 杭州模拟）等腰三角形AFG中AF＝AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点（D在F、E之间），分别延长AD、AE交圆O于B、C两点（如图1），记∠BAF＝α，∠AFG＝β．
（1）求∠ACB的大小（用α，β表示）；
（2）连接CF，交AB于H（如图2）．若β＝45°，且BC×EF＝AE×CF．求证：∠AHC＝2∠BAC；
（3）在（2）的条件下，取CH中点M，连接OM、GM（如图3），若∠OGM＝2α﹣45°，
①求证：GM∥BC，GM＝BC；
②请直接写出的值．
【点拨】（1）如图1中，连接CF．利用圆周角定理求解；
（2）证明∠BAC＝45°，∠AHC＝90°，可得结论；
（3）①如图3中，连接CG，延长GM交AB于点I．证明△MHI≌△MCG，推出MI＝MG，HI＝CG，再证明HI＝IB，可得结论；
②连接FI，FB．设HI＝BI＝m，则FH＝2m，FI＝m，设AH＝CH＝n，利用勾股定理求出m，n之间的关系，可得结论．
【解析】（1）解：如图1中，连接CF．
∵AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF＝α，
∴∠ACF＝∠AGF＝α，
∵∠∠FAB＝β，
∴∠ACB＝∠ACF+∠FCB＝α+β；
（2）证明：如图2中，
∵AF＝AG，
∴∠AFG＝∠G＝∠ACH＝45，
∵∠EAF＝∠FAC，
∴△EAF∽△FAC，
∴＝，
∴AE×CF＝EF×FA，
∵BC×EF＝AE×CF，
∴BC×EF＝EF×AF，
∴BC＝AF，
∴＝，
∴∠BAC＝∠AGF＝45°，
∴∠AHC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴∠AHC＝2∠BAC；
（3）①证明：如图3中，连接CG，延长GM交AB于点I．
∵∠OGM＝2α﹣45°，∠AGF＝45°，
∴∠AGM＝2α，
∵∠FAG＝90°，
∴FG是直径，
∴∠FCG＝90°，
∵∠AHC＝90°，
∴∠AHC+∠GCH＝180°，
∴AB∥CG，
∴∠MHI＝∠MCG，
∵MH＝MC，∠HMI＝∠CMG，
∴△MHI≌△MCG（ASA），
∴MI＝MG，HI＝CG，
∵BI∥CG，IG∥CB，
∴四边形BIGC是平行四边形，
∴∠ABC＝∠MGC，GM∥BC，
∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠GMC+∠MGC＝90°，
∴∠MGC+∠BCH＝90°，
∴∠BCH+∠FCG+∠MGC＝180°，
∴∠BCG+∠MGC＝180°，
∵BC∥IG，CM＝MH，
∴HI＝IB，
∴MI＝BC，
∴MG＝BC，MG∥BC；
②解：连接FI，FB．
∵＝＝，
又∵OF＝OG．MG＝MI，
∴OM＝FI，
∵△HMI≌△CMG，
∴HI＝CG，
∵∠AHC＝90°，
∴∠FHB＝90°，
∵∠ACF＝∠ABF＝45°，
∴FH＝BH，
设HI＝BI＝m，则FH＝2m，FI＝m，设AH＝CH＝n，
∴OM＝FI＝m，BC＝AF＝AG＝，
∴FG2＝8m2+2n2，
∵FG2＝CF2+CG2，
∴8m2+2n2＝（2m+n）2+m2，
整理得n2﹣4nm+3m2＝0，
∴n＝m或n＝3m，
∴＝＝＝或．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
17．（2024 鄞州区模拟）已知△ABC内接于⊙O，点F是弧AC的中点，连接OF交AC于点H．
（1）如图1，求证：OF⊥AC；
（2）如图2，AD是△ABC的高，延长AD交⊙O于点K，若∠CAD＝2∠BAD，求证：AK＝AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长FO交BD于点E，连接EK，点M在CH上，连接OM．若∠OMH＝3∠DKE，BE＝OH，AM＝，
①请按步骤在图3中先作图：连结AO，并延长AO交BC于点P，再求证：EO＝EP；
②计算cos∠OEC；
③求HF的长．
【点拨】（1）利用垂径定理的推论解答即可；
（2）连接KC，利用圆周角定理，直角三角形的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
（3）①过点O作OG⊥AK于点G，利用圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理，角平分线的性质定理得到OA平分∠DAC，再利用三角形的内角和定理，直角三角形的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
②过点O作ON⊥BC于点N，过点C作CQ⊥AB于点Q，利用矩形的判定与性质得到BE＝DN＝OG＝OH，设BE＝m，DE＝n，利用m，n的代数式表示出线段BD，BC，CE，BN，利用全等三角形的判定与性质得到BD＝PD＝m+n，进而得EN，EH，利用直角三角形的边角关系定理得出cos∠OEC＝，，则m＝2n；代入求得线段EN＝3n，OE＝PE＝4n，利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
③利用关系式m＝2n和②这的结论，用含n的代数式求得线段AH，AC，AK，BC，BD，AQ，CQ的长度，再利用相似三角形的判定与性质得到AM的长度，利用已知条件求得n值，利用勾股定理求得圆的半径，则HF＝OF﹣OH．
【解析】（1）证明：∵点F是弧AC的中点，
∴，
∵OF为⊙O的半径，
∴OF⊥AC；
（2）证明：连接KC，如图，
设∠BAD＝α，则∠CAD＝2α．
∵∠BAD＝∠BCK，
∴∠BCK＝α．
∵AD是△ABC的高，
∴∠B＝90°﹣α，ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣2α，
∴∠K＝∠B＝90°﹣α，∠ACK＝∠BCK+∠ACD＝90°﹣2α+α＝90°﹣α，
∴∠K＝∠ACK，
∴AK＝AC；
（3）解：①连结AO，并延长AO交BC于点P，如图，
过点O作OG⊥AK于点G，
则AG＝GK＝AK，BN＝CN＝BC．
由（2）知：AK＝AC，
∵OG⊥AK，OH⊥AC，
∴OG＝OH，
∴OA平分∠DAC，
∴∠DAP＝∠PAC＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠DAP＝∠CAP＝α，
∴∠APE＝90°﹣∠DAP＝90°﹣α，
∵∠ACD＝90°﹣2α，
∴∠HEC＝90°﹣∠ACD＝2α．
∴∠EOP＝180°﹣∠HEC﹣∠APE＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠EOP＝∠APE＝90°﹣α，
∴EO＝EP；
②过点O作ON⊥BC于点N，过点C作CQ⊥AB于点Q，
∵OG⊥AK，ON⊥BC，AD⊥BC，
∴四边形OGDN为矩形，
∴OG＝DN，ON＝GD．
∵BE＝OH，
∴BE＝DN＝OG＝OH，
设BE＝m，DE＝n，
∴BD＝m+n，BE＝DN＝OG＝OH＝m，BN＝BD+DN＝2m+n，
∴BC＝2BN＝4m+2n，
∴EC＝BC﹣BE＝3m+2n，EN＝BN﹣BE＝m+n，
在△ABD和△APD中，
，
∴△ABD≌△APD（AAS），
∴BD＝PD＝m+n，
∴PE＝PD+ED＝m+2n，
∴OE＝PE＝m+2n，
∴EH＝EO+OH＝2m+2n，
∵cos∠OEC＝，
∴，
∴m＝2n，
∴EN＝3n，OE＝PE＝4n．
∴cos∠OEC＝；
③∵m＝2n，
∴EC＝3m+2n＝8n，EH＝2m+2n＝6n，
∴CH＝＝2n．
∴AH＝CH＝2n，AC＝2CH＝4n，
∴AK＝AC＝4n．
∵BC＝4m+2n＝10n，BD＝PD＝m+n＝3n，
∴CD＝BC﹣BD＝7n，
∴AD＝＝3n，
∴AB＝＝6n，
∵BC AD＝AB CQ，
∴CQ＝n，
∴AQ＝＝n．
∴DK＝AK﹣AD＝n．
∵DE＝n，
∴，
∵∠EDK＝∠BDA＝90°，
∴△EDK∽△BDA，
∴∠DKE＝∠BAD＝α，
∵∠OMH＝3∠DKE，
∴∠OMH＝3α，
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝3α，
∴∠OMH＝∠BAC，
∵∠OHM＝∠CQA＝90°，
∴△OHM∽△CQA，
∴，
∴，
∴HM＝n，
∴AM＝AH+HM＝n．
∵AM＝，
∴n＝2．
∴OH＝4，AH＝4，
∴OA＝＝8，
∴OF＝OA＝8，
∴HF＝OF﹣OH＝8﹣4．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：AB＝AC；
（2）若∠E＝54°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF＝4，，E是的中点，求EG ED的值．
【点拨】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB＝AC；
（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD＝180°﹣∠E，进而得出∠BDF＝∠C+∠CFD，即可得出答案；
（3）根据cosB＝，得出AB的长，即可求出AE的长，再判断△AEG∽△DEA，求出EG ED的值．
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC；
（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°﹣∠E，
又∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝54°，
又∵∠E＝∠C＝54°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝108°；
（3）解：连接OE，
∵∠CFD＝∠E＝∠C，
∴FD＝CD＝BD＝4，
在Rt△ABD中，cosB＝，BD＝4，
∴AB＝6，
∵E是的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE＝90°，
∵AO＝OE＝3，
∴AE＝3，
∵E是的中点，
∴∠ADE＝∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴＝，
即EG ED＝AE2＝18．
【点睛】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键．
19．如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且A（﹣1，0）、E（1，0）．
（1）的度数为 120 °；
（2）如图2，连结PC，取PC中点G，连结OG，则OG的最大值为 2 ；
（3）如图3，连接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长；
（4）如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
【点拨】（1）由已知条件可以得到CD垂直平分AE，所以CA＝CE，由于CE＝AE，所以可以证得三角形ACE为等边三角形，得到∠CEB＝120°；
（2）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到O是CD的中点，又G是CP的中点，连接PD，则OG∥PD，OG＝，要求OG最大值，只需要求PD最大值，由于P是劣弧上的一动点，故当P，E，D三点共线，即PD为直径时，PD最大，此时OG最大；
（3）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到，所以∠ACD＝∠CPA，又CQ平分∠DCP，所以∠PCQ＝∠DCQ，可以证明∠ACQ＝∠AQC，所以AC＝AQ，由（1）可得，AC＝AE＝2，所以AQ＝2；
（4）由直径AB⊥CD，可以得到AB垂直平分CD，所以AC＝AD，∠CAD＝2∠CAE＝120°，将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM，可以证明M，D，P三点共线，所以PC+PD＝PM，可以证明△PAM是顶角为120°的等腰三角形，过A做AG⊥PM于G，由于∠APM＝30°，可以通过勾股定理或者三角函数证明PM＝PA，所以＝．
【解析】解：（1）连接AC，CE，
∵A（﹣1，0）、E（1，0），
∴OA＝OE＝1，
∵OC⊥AE，
∴AC＝CE，
∵AE＝CE，
∴AC＝CE＝AE，
∴∠CAE＝60°，
∴∠BEC＝2∠CAB＝120°，
∴的度数为120°，
故答案为：120；
（2）由题可得，AB为⊙E直径，且AB⊥CD，
由垂径定理可得，CO＝OD，
连接PD，如图2，
又∵G为PC的中点，
∴OG∥PD，且OG＝，
当D，E，P三点共线时，此时DP取得最大值，
且DP＝AB＝2AE＝4，
∴OG的最大值为2，
故答案为：2；
（3）连接AC，BC，
∵直径AB⊥CD，
∴，
∴∠ACD＝∠CPA，
∵CQ平分∠DCP，
∴∠DCQ＝∠PCQ，
∴∠ACD+∠DCQ＝∠CPA+∠PCQ，
∴∠ACQ＝∠AQC，
∴AQ＝AC，
∵∠CAO＝60°，AO＝1，
∴AC＝2，
∴AQ＝2；
（4）由题可得，直径AB⊥CD，
∴AB垂直平分CD，
如图4，连接AC，AD，则AC＝AD，
由（1）得，∠DAC＝120°，
将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM，
∴△ACP≌△ADM，
∴∠ACP＝∠ADM，PC＝DM，
∵四边形ACPD为圆内接四边形，
∴∠ACP+∠ADP＝180°，
∴∠ADM+∠ADP＝180°，
∴M、D、P三点共线，
∴PD+PC＝PD+DM＝PM，
过A作 AG⊥PM于G，则 PM＝2PG，
∠APM＝∠ACD＝30°，
在 Rt△APG 中，∠APM＝30°，
设AG＝x，则AP＝2x，
∴，
∴
∴，
∴
∴ 为定值．
【点睛】本题是一道圆的综合题，重点考查了垂径定理在圆中的应用，最后一问由“共顶点，等线段”联想到旋转，是此题的突破口，同时，要注意顶角为120度的等腰三角形腰和底边比是固定值．
20．（2024 浙江模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为O的直径，DE交AC于点F，交BC于点E，DE⊥AC．
（1）设∠DBC＝α，试用含α的代数式表示∠ADE；
（2）如图2，若BE＝3CE，求的值；
（3）在（2）的条件下，若AC，BD交于点G，设，cos∠BDE＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②若BC＝BD，求y的值．
【点拨】（1）可推出∠DAC＝∠DBC＝α，从而得出∠ADE＝90°﹣∠DAC＝90°﹣α；
（2）可证得△DCE∽△BCD，从而，由BE＝3CE设CE＝a，BE＝3a，则BC＝4a，从而求得CD＝2a，进一步得出结果；
（3）①）①作GH∥DE，交BC于H，可得出△CEF∽△CHG，△BGH∽△BDE，从而∴＝，，从而可以表示出EF＝，＝，进而得出GH＝，BG＝，DG＝BD﹣BG＝ BD，EF＝，进一步得出结果；
②作EW⊥BD于W，可得出DE＝CD，不妨设CE＝1，则DE＝CD＝2，BE＝3，BD＝4，设DW＝x，则BW＝4﹣x，由WE2＝BE2﹣BW2＝DE2﹣DW2得32﹣（4﹣x）2＝22﹣x2，求得x的值，进一步得出结果．
【解析】解：（1）∵，
∴∠DAC＝∠DBC＝α，
∵DE⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAC＝90°﹣α；
（2）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
∵∠AFD＝90°，
∴∠DAC+∠ADF＝90°，
∴∠DAC＝∠CDF，
∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠CDF＝∠DBC，
∵∠DCE＝∠BCD，
∴△DCE∽△BCD，
∴，
由BE＝3CE设CE＝a，BE＝3a，则BC＝4a，
∴，
∴CD＝2a，
∴；
（3）①如图1，
作GH∥DE，交BC于H，
∴△CEF∽△CHG，△BGH∽△BDE，
∴＝，，
∵，BC＝4CE，
∴，
∴EF＝，＝，
∴GH＝，BG＝，
∴DG＝BD﹣BG＝ BD，EF＝，
∴DF＝DE﹣EF＝ DE，
∵，
∴cos∠BDE＝＝＝，
∴y＝；
②如图2，
作EW⊥BD于W，
∵BC＝CD，BC＝2CD，BD＝2DE，
∴DE＝CD，
不妨设CE＝1，则DE＝CD＝2，BE＝3，BD＝4，
设DW＝x，则BW＝4﹣x，
由WE2＝BE2﹣BW2＝DE2﹣DW2得，
32﹣（4﹣x）2＝22﹣x2，
∴x＝，
∴cos∠BDE＝，
∴y＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
10 押浙江卷第24题
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押题方向：圆的综合问题
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年绍兴卷、湖州卷、、衢州卷第21题台州卷、杭州卷、金华卷第23题宁波卷、舟山、嘉兴卷、丽水卷第24题 圆的综合题 从近几年浙江各地中考来看，圆的综合问题经常出现在压轴题；预计2024年浙江卷还将重视圆综合问题（圆的相关概念与定理、相似、勾股、三角函数、三角形、四边形等）的考查。
1．（2023 杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
2．（2023 湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
（1）求证：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．
3．（2023 金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形ABOH为矩形．
（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．
4．（2023 绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．
5．（2023 台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长；
（2）如图2，当，时，求的值；
（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．
6．（2023 衢州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：BC＝BD．
（2）若OB＝OA，AE＝2．
①求半圆O的半径．
②求图中阴影部分的面积．
7．（2023 宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．
（1）求∠BGC的度数．
（2）①求证：AF＝BC．
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．
（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．
8．（2023 浙江）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．
（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；
（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD＝AD，求证：MH⊥CP．
9．（2023 丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若＝2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．
①若OF＝，求BC的长；
②若AH＝，求△ANB的周长；
③若HF AB＝88，求△BHC的面积．
1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；
2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；
3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等；
4）注意圆的相关知识和相似、特殊四边形、三角函数、全等三角形、勾股定理等结合解决相关计算问题。
1．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O上一点，点C，E分别位于直径AB异侧，连接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）求证：∠BAE＝2∠ABC；
（3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，若，求tan∠ABC的值．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C是直线AB上方的⊙O上一点．点M是△ABC的内心．连结AM，BM，CM，延长CM交⊙O于点D．
（1）若AB＝10，AC＝6，求BC的长．
（2）求∠AMB的度数．
（3）当点C在直线AB上方的⊙O上运动时，求证：．
3．在△ABC中，BC＝10，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝90°，BE：EC＝2：3，求DE的长．
（2）如图2，若∠ABC＜90°，AB与⊙O相交于点F，连接FD，当点E与圆心O重合时，
①求证：FD＝DC；
②四边形FBCD的周长有最大值吗？请说明理由．
4．（2024 宁波模拟）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连结AD，AO，分别交BC于点E，F，∠CAD＝∠BAO．
（1）如图1，求证：AD⊥BC．
（2）如图1，若AO∥CD，求证：CA＝CF．
（3）如图2，在（2）的条件下，
①若，求BC的长．
②若，求tan∠ACE的值．
5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．
（1）∠BCO+∠BAC＝ ；
（2）如图2，若半径OC∥AD．
①求证：AB＝AC；
②若OC：CD＝5：6，求tan∠ACD的值．
（3）如图3，过D作DF⊥BC于点H，交AC于点F，BO的延长线恰好经过点F，若AD＝5，，求OF的长．
6．如图，在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，点P为半圆上一点，连结AP并延长交BC边于点E，连结BP并延长交CD边于点F，连结CP．
（1）求证：AE＝BF．
（2）当AB＝1时，求CP的最小值．
（3）若CP＝CF，求BE：BC的值．
7．如图，在 ABCD中，∠B是锐角，，BC＝10．在射线BA上取一点P，过P作PE⊥BC于点E，过P，E，C三点作⊙O．
（1）当时，
①如图1，若AB与⊙O相切于点P，连结CP，求CP的长；
②如图2，若⊙O经过点D，求⊙O的半径长．
（2）如图3，已知⊙O与射线BA交于另一点F，将△BEF沿EF所在的直线翻折，点B的对应点记为B′，且B′恰好同时落在⊙O和边AD上，求此时PA的长．
8．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC交BD于点G，，点F在线段BD上，且AF＝AD．
（1）若∠ADB＝α，请用α的代数式表示∠ADC；
（2）求证：BF＝CD；
（3）如图2，延长AF交⊙O于点M，连结FC．
①若AM为⊙O的直径，AM＝13，tan∠DAC＝，求AF的长；
②若FG＝2GD，猜想∠AFC的度数，并证明你的结论．
9．如图1，⊙O为△ABC外接圆，点D、E分别为，中点，连结AD、AE、DE，DE分别与AB、AC交于点F、G．已知AF＝4．
（1）求证：AF＝AG．
（2）如图2，连结CD交AB于点M，连结BE交CD于点N，连结BD、CE．若∠BAC＝60°，求证：△NEC是等边三角形．
（3）在（2）的基础上，若，
①求DN的长；
②求．
10．定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图①，在四边形ABCD中，若S△ABC＝S△ADC，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形． √
②梯形是倍分四边形． ×
（2）如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB＝3，AD＝DC＝5，求BC；
（3）如图②，△ABC中BA＝BC，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形．
①求sinC；
②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E（如图③），若OF＝3，求DE．
11．如图，AB为⊙O的弦，点C在弧AB上，AB平分∠OBC，过点C作CE⊥OA于点E，交AB于点F，连结OF．
（1）求的值．
（2）求证：∠ECA＝∠BAO．
（3）当时，判断△OBF的形状，并说明理由．
12．已知，如图四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，，点T
在BC的延长线上．BE平分∠ABC交CD延长线于E，交⊙O于F，连接AE，AF，DF．
（1）求证：CD平分∠ACT；
（2）求∠AED的度数；
（3）若，△DEF的面积等于25，求AC的长．
13．【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角．
【概念理解】（1）当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数．
【性质探究】（2）如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，求证：
【拓展应用】（3）如图2，AB是⊙O的直径，且AB＝13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形．
①当BC＝5时，求AD的长．
②当△BCD是和美三角形时，直接写出的值．
14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在AB上，连结DF并延长交⊙O与点G，连结BG，CG，CG＝FG．
（1）如图1，求证：△BCG≌△BFG．
（2）如图2，BG与CD交于点N，过点F作BG的平行线交CD于点M，若NE＝a，求DM．（用含a的代数式表示）
（3）如图3，在（2）的条件下，连结GE，若△EFG与△DFM的面积相等，求cos∠ABC的值．
15．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的两条切线，点A，C为切点，延长PC，AB相交于点D，若BD＝1，CD＝3，点F为弧AB的中点，连接AC．
（1）连接OP交AC于点M，求证：∠ACB＝∠AMO；
（2）设∠OCB＝α，求tanα的值；
（3）若点G与点F关于圆心O对称，连接CG，求CG的长．
16．等腰三角形AFG中AF＝AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点（D在F、E之间），分别延长AD、AE交圆O于B、C两点（如图1），记∠BAF＝α，∠AFG＝β．
（1）求∠ACB的大小（用α，β表示）；
（2）连接CF，交AB于H（如图2）．若β＝45°，且BC×EF＝AE×CF．求证：∠AHC＝2∠BAC；
（3）在（2）的条件下，取CH中点M，连接OM、GM（如图3），若∠OGM＝2α﹣45°，
①求证：GM∥BC，GM＝BC；
②请直接写出的值．
17．已知△ABC内接于⊙O，点F是弧AC的中点，连接OF交AC于点H．
（1）如图1，求证：OF⊥AC；
（2）如图2，AD是△ABC的高，延长AD交⊙O于点K，若∠CAD＝2∠BAD，求证：AK＝AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长FO交BD于点E，连接EK，点M在CH上，连接OM．若∠OMH＝3∠DKE，BE＝OH，AM＝，
①请按步骤在图3中先作图：连结AO，并延长AO交BC于点P，再求证：EO＝EP；
②计算cos∠OEC；
③求HF的长．
18．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：AB＝AC；
（2）若∠E＝54°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF＝4，，E是的中点，求EG ED的值．
19．如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且A（﹣1，0）、E（1，0）．
（1）的度数为 120 °；
（2）如图2，连结PC，取PC中点G，连结OG，则OG的最大值为 2 ；
（3）如图3，连接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长；
（4）如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为O的直径，DE交AC于点F，交BC于点E，DE⊥AC．
（1）设∠DBC＝α，试用含α的代数式表示∠ADE；
（2）如图2，若BE＝3CE，求的值；
（3）在（2）的条件下，若AC，BD交于点G，设，cos∠BDE＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②若BC＝BD，求y的值．
答案与解析
押题方向：圆的综合问题
2023年浙江真题 考点 命题趋势
2023年绍兴卷、湖州卷、、衢州卷第21题台州卷、杭州卷、金华卷第23题宁波卷、舟山、嘉兴卷、丽水卷第24题 圆的综合题 从近几年浙江各地中考来看，圆的综合问题经常出现在压轴题；预计2024年浙江卷还将重视圆综合问题（圆的相关概念与定理、相似、勾股、三角函数、三角形、四边形等）的考查。
1．（2023 杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
【点拨】（1）由垂径定理可得∠AED＝90°，结合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根据圆周角定理可得∠DAE＝∠BCD，进而可得∠BCD＝∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE，可得GE＝BE＝1；
（2）证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可得BC2＝BA BE，再根据AB＝2BO，BE＝BG，可证BC2＝BG BO；
（3）方法一：设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，可证a＝90°﹣β，∠OCF＝90﹣3α，通过SAS证明△COF≌△AOF，进而可得∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3a＝a，则∠CAD＝2a＝45°．方法二：延长FO交AC于点H，连接OC，证明△AFC是等腰直角三角形，即可解决问题．
【解析】（1）解：直径AB垂直弦CD，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE+∠D＝90°，
∵CF⊥AD，
∴∠FCD+∠D＝90°，
∴∠DAE＝∠FCD，
由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠FCD，
在△BCE和△GCE中，
，
∴△BCE≌△GCE（ASA），
∴GE＝BE＝1；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CEB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBE，
∴△ACB∽△CEB，
∴＝，
∴BC2＝BA BE，
由（1）知GE＝BE，
∴BE＝BG，
∵AB＝2BO，
∴BC2＝BA BE＝2BO BG＝BG BO；
（3）解：∠CAD＝45°，证明如下：
解法一：如图，连接OC，
∵FO＝FG，
∴∠FOG＝∠FGO，
∵直径AB垂直弦CD，
∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠CAE，
设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，
则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，
∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，
∴β+α＝90°，
∴α＝90°﹣β，
∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，
∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，
∴∠COF＝∠AOF，
在△COF和△AOF中，
，
∴△COF≌△AOF（SAS），
∴∠OCF＝∠OAF，
即90°﹣3α＝α，
∴α＝22.5°，
∴∠CAD＝2a＝45°．
解法二：
如图，延长FO交AC于点H，连接OC，
∵FO＝FG，
∴∠FOG＝∠FGO，
∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，
∴BC∥FH，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠AHO＝90°，
∵OA＝OC，
∴AH＝CH，
∴AF＝CF，
∵CF⊥AD，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°．
【点睛】本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证．
2．（2023 湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
（1）求证：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．
【点拨】（1）根据切线性质得到∠ODB＝∠OCB＝90°，再根据HL证明Rt△ODB≌Rt△OCB，从而得到结论；
（2）分别在Rt△OBC中，利用三角函数求出BC的长，和在Rt△ABC中，利用三角函数求出即可求出AB的长．
【解析】（1）证明 如图，连结OD，
∵半圆O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODB＝∠OCB＝90°，
在Rt△ODB和Rt△OCB中，
∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），
∴BD＝BC；
（2）解 如图，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵Rt△ODB≌Rt△OCB，
∴，
在Rt△OBC中，
∵OC＝1，
∴，
在Rt△ABC中，
．
【点睛】本题考查圆的切线性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，熟悉相关图形的性质是解题的关键．
3．（2023 金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形ABOH为矩形．
（2）已知⊙A的半径为4，OB＝，求弦CD的长．
【点拨】（1）根据切线的性质得到AB⊥x轴根据垂直的定义得到∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，根据矩形的判定定理得到四边形AHOB是矩形；
（2）连接AD，根据矩形的性质得到AH＝OB＝，根据勾股定理得到DH＝＝＝3，根据垂径定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵⊙A与x轴相切于点B，
∴AB⊥x轴
又∵AH⊥CD，HO⊥OB，
∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，
∴四边形AHOB是矩形；
（2）解：连接AD，
∵四边形AHOB是矩形，
∴AH＝OB＝，
∵AD＝AB＝4，
∴DH＝＝＝3，
∵AH⊥CD，
∴CD＝2DH＝6．
【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确都作出辅助线是解题的关键．
4．（2023 绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．
【点拨】（1）由垂直的定义得到∠AEC＝90°，由三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数；
（2）由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理得到，代入有关数据，即可求出CE的长．
【解析】解：（1）∵AE⊥CD于点E，
∴∠AEC＝90°
∴∠ACD＝∠AEC+∠EAC＝90°+25°＝115°；
（2）∵CD是⊙O的切线，
∴半径OC⊥DE，
∴∠OCD＝90°，
∵OC＝OB＝2，BD＝1，
∴OD＝OB+BD＝3，
∴CD＝＝．
∵∠OCD＝∠AEC＝90°，
∴OC∥AE，
∴，
∴，
∴CE＝．
【点睛】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出∠ACD的度数，由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理即可求出CE的长．
5．（2023 台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长；
（2）如图2，当，时，求的值；
（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．
【点拨】（1）连接OP，设∠BOP的度数为n，可得＝π，n＝60，即∠BOP＝60°，故∠BAP＝30°，而直线l是⊙O的切线，有∠ABC＝90°，从而BC＝＝2；
（2）连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，求出cos∠BAQ＝＝，由＝，得∠BAC＝∠DAC，有CF＝BC，证明∠FCD＝∠BAQ，即得＝，故＝；
（3）连接BQ，证明△APQ∽△ADC，得＝①，证明△APB∽△ABC，得 ②，由BC＝CD，将①②两式相除得：＝，故＝．
【解析】解：（1）如图，连接OP，
设∠BOP的度数为n°，
∵AB＝6，长为π，
∴＝π，
∴n＝60，即∠BOP＝60°，
∴∠BAP＝30°，
∵直线l是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴BC＝tan30° AB＝2；
（2）如图，连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，
∵AB为⊙O直径，
∴∠BQA＝90°，
∴cos∠BAQ＝＝，
∵＝，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CF⊥AD，AB⊥BC，
∴CF＝BC，
∵∠BAQ+∠ADB＝90°，∠FCD+∠ADB＝90°，
∴∠FCD＝∠BAQ，
∴cos∠FCD＝cos∠BAQ＝，
∴＝，
∴＝；
（3）如图，连接BQ，
∵AB⊥BC，BQ⊥AD，
∴∠ABQ＝90°﹣∠QBD＝∠ADC，
∵∠ABQ＝∠APQ，
∴∠APQ＝∠ADC，
∵∠PAQ＝∠DAC，
∴△APQ∽△ADC，
∴＝①，
∵∠ABC＝90°＝∠APB，∠BAC＝∠PAB，
∴△APB∽△ABC，
∴②，
由BC＝CD，将①②两式相除得：
＝，
∵cos∠BAQ＝＝，
∴＝．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质及应用．
6．（2023 衢州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E．
（1）求证：BC＝BD．
（2）若OB＝OA，AE＝2．
①求半圆O的半径．
②求图中阴影部分的面积．
【点拨】（1）连结OD．由切线的性质得出∠ODB＝90°，证明Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），由全等三角形的性质得出BC＝BD．
（2）①证出∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°，由直角三角形的性质得出答案；
②由勾股定理求出AD＝2，∠AOD＝60°，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．
【解析】（1）证明：如图，连结OD．
∵BD是圆O的切线，D为切点，
∴∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，OC＝OD，OB＝OB，
∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），
∴BC＝BD．
（2）解：①∵OB＝OA，
∴∠OBD＝∠A，
∵Rt△ODB≌Rt△OCB，
∴∠OBD＝∠OBC，
∴∠OBD＝∠OBC＝∠A，
∵∠OBD+∠OBC+∠A＝90°，
∴∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°，
在Rt△ODA 中，sin∠A＝，
∴OD＝OA．
∵OD＝OE，
∴OE＝OA，
∴OE＝AE＝2，
∴半圆O的半径为2．
②在Rt△ODA中，OD＝2，OA＝4，
∴AD＝＝2，
∴S△OAD＝＝2，
∵∠A＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴S阴影部分＝S△ODA﹣S扇形ODE＝2﹣＝2﹣．
【点睛】此题考查了切线的性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
7．（2023 宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．
（1）求∠BGC的度数．
（2）①求证：AF＝BC．
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．
（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．
【点拨】（1）根据同弧圆周角相等得∠EBC＝∠EAC，然后利用直角三角形两个锐角互余即可解决问题；
（2）①证明△ACF≌△BGC（ASA），即可解决问题；
②过点C作CH⊥EG于点H，设AG＝DF＝2x，根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题；
（3）过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，分别证明△EBD≌△NCD（ASA），△COG≌△OBM（AAS），得BM＝OG＝1，设OB＝OC＝r，然后由△GON∽△GBE，对应边成比例，求出r的值，进而可求AC的长．
【解析】（1）解：∵BC平分∠EBG，
∴∠EBC＝∠CBG，
∵∠EBC＝∠EAC，
∴∠CBG＝∠EAC，
∵AC⊥FC，
∴∠AFC+∠EAC＝90°，
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠BCG+∠CBG＝90°，
∴∠BGC＝90°；
（2）①证明：∵∠BGC＝90°，D为BC中点，
∴GD＝CD，
∴∠DGC＝∠DCG，
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠DGC＝∠AFC，
∴CF＝CG，
∵∠ACF＝∠BGC＝90°，
∴△ACF≌△BGC（ASA），
∴AF＝BC；
②解：如图1，过点C作CH⊥EG于点H，
设AG＝DF＝2x，
∵△ACF≌△BGC，
∴AF＝BC＝2DG，
∴CD＝DG＝AG+DF＝4x，
∵CF＝CG，
∴HG＝HF＝3x，
∴DH＝x，AH＝5x，
∴CH＝＝＝x，
∴tan∠GBC＝tan∠CAF＝＝，
∴tan∠GBC的值为；
（3）解：如图2，过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，
∵OB＝OC，
∴∠CBE＝∠OBC＝∠OCB，
∴OC∥BE，
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDN，
∴△EBD≌△NCD（ASA），
∴BE＝CN，
∵OC∥BE，
∴∠GOC＝∠MBO，
∵∠CGO＝∠OMB＝90°，OC＝OB，
∴△COG≌△OBM（AAS），
∴BM＝OG＝1，
∵OM⊥BE，
∴CN＝BE＝2BM＝2，
设OB＝OC＝r，
∵OC∥BE，
∴△GON∽△GBE，
∴＝，
∴＝，
解得r＝或r＝（舍去），
由（2）知：△ACF≌△BGC，
∴AC＝BG＝BO+OG＝r+1＝．
∴AC的长为．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题．
8．（2023 浙江）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．
（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；
（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD＝AD，求证：MH⊥CP．
【点拨】（1）以A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，交点为G，连接OG，与⊙O交点为E，F，与AB交点为M，则OG⊥AB，分别以E，F为圆心，大于EF长为半径画弧，交点为N，连接ON，则ON∥AB，以O为圆心，OM长为半径画弧与ON交点为P，则OP＝OM，以P为圆心，OP长为半径，交直线ON于Q，以O，Q为圆心，大于OQ长为半径画弧，交点为R，连接PR，则PR⊥AB，PR与⊙O交点为C，D，与AB交点为H，即CD、点H即为所求；
（2）如图2，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，证明四边形OFHN是正方形，则可证△ACH是等腰直角三角形，则∠C＝45°，由，可知∠E＝∠C＝45°，由DE是⊙O的直径，可得∠EAD＝90°，则△ADE是等腰直角三角形，AD＝DE sin∠E＝；
（3）如图3，延长CD、FP，交点为G，由题意知MH是△APF的中位线，则MH∥PF，MH＝PF，由PD＝AD，可得MD＝PD，证明△MDH∽△PDG，则＝，即GP＝2MH＝PF，如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，由CP是∠HCF的平分线，可得∠GCP＝∠FCP，则GN＝NF，证明△GPN≌△FPN（SSS），则∠GPN＝∠FPN＝90°，即PF⊥CP，由MH∥PF，可得MH⊥CP，进而结论得证．
【解析】（1）解：如图1，CD、点H即为所求；
（2）当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度不变；
如图，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，则四边形OFHN是矩形，
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴OF＝ON，
∴四边形OFHN是正方形，
∴FH＝NH，
∴AF+FH＝CN+NH，即AH＝CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
∵，
∴∠E＝∠C＝45°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EAD＝90°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝AD，
∴AD＝DE sin∠E＝，
∴线段AD是定长，长度不发生变化，值为；
（3）证明：如图3，延长CD、FP，交点为G，
∵HF＝AH，
∴点H为AF的中点，
又∵点M为AP的中点，
∴MH是△APF的中位线，
∴MH∥PF，MH＝PF，
又∵PD＝AD，PM＝AM，
∴MD＝PD，
∵MH∥GP，
∴∠MHD＝∠PGD，
又∵∠MDH＝∠PDG，
∴△MDH∽△PDG，
∴，
即GP＝2MH＝PF，
如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，
∵CP是∠HCF的平分线，
∴∠GCP＝∠FCP，
∴GN＝NF，
∵GP＝PF，GN＝NF，PN＝PN，
∴△GPN≌△FPN（SSS），
∴∠GPN＝∠FPN＝90°，
∴PF⊥CP，
∵MH∥PF，
∴MH⊥CP．
证法二：过点P作PG⊥HF于G点，
由PG∥DH，
∴HG：AH＝PD：AD＝1：2，
∵AH＝HF，
∴HG：HF＝1：2，即G是HF中点，
∴PH＝PF，
∵CP平分∠DCF，过点P作PK⊥CH于点K，PE⊥CF于点E，
∴∠KPE＝135°，PK＝PE，
∴△PHK≌△PFE（HL），∴∠HPF＝135°，∠PFG＝22.5，
在△CPF中，由内角和推得∠CPF＝90°，
∴MH⊥CP．
【点睛】本题考查了作垂线，同弧或等弧所对的圆周角相等，正弦，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．（2023 丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若＝2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．
①若OF＝，求BC的长；
②若AH＝，求△ANB的周长；
③若HF AB＝88，求△BHC的面积．
【点拨】（1）根据题意可得，再由HC是⊙O的切线，即可求证．
（2）先证明△CAG≌△FAG（ASA），设出CG，根据勾股定理即可求解．
（3）①根据题意，求出AG的长，再由即可求解．
②根据题意可求得，再由勾股定理及相似三角形的性质即可求解．
③作出辅助线，设出CG，利用勾股定理及相似三角形的性质可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，进而可求得S△CHA＝8，再证明△CHA∽△BHC，即可解答．
【解析】（1）证明：∵点C，D是的三等分点，
∴．
由CE是⊙O的直径可得CE⊥AD，
∵HC是⊙O的切线，
∴HC⊥CE，
∴AD∥HC．
（2）解：如图1，连接AO，
∵，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠AGC＝∠AGF＝90°，
∴△CAG≌△FAG（ASA），
∴CG＝FG，
设CG＝a，则FG＝a，
∵，
∴OG＝2a，AO＝CO＝3a．
在Rt△AOG中，AO2＝AG2+OG2，
∴（3a）2＝AG2+（2a）2，
∴，
∴．
答：tan∠FAG的值为．
（3）解：①如图1，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵CE⊥AD，
∴AD＝2AG＝，
∵，
∴，
∴．
答：BC的长为．
②如图2，连接CD，
∵AD∥HC，FG＝CG，
∴AH＝AF，
∵∠HCF＝90°，
∴，
设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝AC2﹣CG2，
即25﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，
解得x＝1，
∴AG＝3，AD＝6，
∵，
∴∠DAC＝∠BCD，
∵∠CDN＝∠ADC，
∴△CDN∽△ADC，
∴，
∴，
∵∠BAD＝∠DAC，∠ABN＝∠ADC，
∴△ANB∽△ACD，
∴＝．
答：△ANB的周长为．
③如图3，过点O作OM⊥AB于点M，则，
设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，OF＝5﹣2x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝25﹣（5﹣x）2，
AF2＝AG2+FG2＝10x﹣x2+x2＝10x，
∵AD∥HC，FG＝CG，
∴，
∴，
∴，
∵∠AGF＝∠OMF＝90°，∠AFG＝∠OFM，
∴△AFG∽△OFM，
∴，
∴AF FM＝OF GF，
∴AF AM＝AF （AF+FM）＝AF2+AF FM＝AF2+OF GF＝22，
可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，
解得x1＝2，x2＝5.5（舍去），
∴CG＝FG＝2，
∴OG＝3，
∴AG＝4，
∴，
∴S△CHA＝8，
∵AD∥HC，
∴∠CAD＝∠ACH，
∵，
∴∠B＝∠CAD，
∴∠B＝∠ACH，
∵∠H＝∠H，
∴△CHA∽△BHC，
∴．
答：△BHC的面积为．
【点睛】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形解答．
1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；
2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；
3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等；
4）注意圆的相关知识和相似、特殊四边形、三角函数、全等三角形、勾股定理等结合解决相关计算问题。
1．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A的切线交BC的延长线于点D，E是⊙O上一点，点C，E分别位于直径AB异侧，连接AE，BE，CE，且∠ADB＝∠DBE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）求证：∠BAE＝2∠ABC；
（3）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，若，求tan∠ABC的值．
【点拨】（1）根据AB是⊙O的直径，AD为⊙O的切线，得AD⊥AB，∠AEB＝90°，则∠ADB+∠ABD＝90°，∠AEC+∠CEB＝90°，再根据∠ABD＝∠AEC得∠ADB＝∠CEB，进而再由∠ADB＝∠DBE得∠CEB＝∠DBE，据此可得出结论；
（2）连接CO并延长交BE于H，则∠AOC＝2∠ABC，由（1）的结论可知CE＝CB，则，由垂径定理得AH⊥BE，再根据AB是⊙O的直径得∠AEB＝90°，由此可得AE∥CH，则∠BAE＝∠AOC，据此可得出结论
（3）证△ABE和△OCF相似得AE：OF＝BE：CF＝AB：OC＝2，则AE＝2OF，BE＝2CF，设⊙O的半径为r，OF＝x，则AE＝2x，BF＝OB+OF＝r+x，由得，由此解出x＝，则BF＝r+x＝，然后在Rt△OCF中，由勾股定理求出CF＝，最后再根据锐角三角形的定义可得tan∠ABC的值．
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AD为⊙O的切线，
∴AD⊥AB，∠AEB＝90°，
∴∠ADB+∠ABD＝90°，∠AEC+∠CEB＝90°，
∵∠ABD＝∠AEC，
∴∠ADB＝∠CEB，
∵∠ADB＝∠DBE，
∴∠CEB＝∠DBE，
∴CE＝CB；
（2）证明：连接CO并延长交BE于H，如下图所示：
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠AOC＝∠ABC+∠OCB＝2∠ABC，
由（1）的结论可知：CE＝CB，
∴，
∴AH⊥BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
即AE⊥BE，
∴AE∥CH，
∴∠BAE＝∠AOC，
∴∠BAE＝2∠ABC；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB，
∴∠BEA＝∠CFO＝90°，AB＝2OC，
又∵AE∥CH，
∴∠BAE＝∠AOC，
∴△ABE∽△OCF，
∴AE：OF＝BE：CF＝AB：OC＝2，
∴AE＝2OF，BE＝2CF，
设⊙O的半径为r，OF＝x，
则AE＝2x，BF＝OB+OF＝r+x，
∴S△BCF＝BF CF＝（r+x） CF，S△ABE＝AE BE＝×2x 2CF＝2x CF，
∵，
∴，
即，
解得：x＝，
∴BF＝r+x＝r+＝，
在Rt△OCF中，OF＝x＝，OC＝r，
由勾股定理得：CF＝，
∴tan∠ABC＝＝＝．
【点睛】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，理解切线的性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数是解决问题的关键．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C是直线AB上方的⊙O上一点．点M是△ABC的内心．连结AM，BM，CM，延长CM交⊙O于点D．
（1）若AB＝10，AC＝6，求BC的长．
（2）求∠AMB的度数．
（3）当点C在直线AB上方的⊙O上运动时，求证：．
【点拨】（1）由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而AB＝10，AC＝6，则BC＝＝8；
（2）因为点M是△ABC的内心，所以∠MAB＝∠CAB，∠MBA＝∠CBA，则∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，即可根据三角形内角和定理求得∠AMB＝135°；
（3）连结AD、BD，则∠ADB＝90°，因为CM平分∠ACB，所以∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，则＝，所以AD＝BD，由勾股定理得AB＝AD，由∠DAB+∠MAB＝∠ACD+∠MAC，得∠DAM＝∠DMA，则DM＝AD，所以AB＝DM，即可证明DM＝AB．
【解析】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∴BC的长为8．
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵点M是△ABC的内心，
∴AM平分∠CAB，BM平分∠CBA，
∴∠MAB＝∠CAB，∠MBA＝∠CBA，
∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135°，
∴∠AMB的度数为135°．
（3）证明：连结AD、BD，则∠ADB＝90°，
∵点M是△ABC的内心，∠ACB＝90°，
∴CM平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
∴＝，
∴AD＝BD，
∴AB＝＝＝AD，
∵∠DAB＝∠ACD＝45°，∠MAB＝∠MAC，
∴∠DAB+∠MAB＝∠ACD+∠MAC，
∵∠DAM＝∠DAB+∠MAB，∠DMA＝∠ACD+∠MAC，
∴∠DAM＝∠DMA，
∴DM＝AD，
∴AB＝DM，
∴DM＝AB．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、三角形的内心的定义和性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
3．（2024 临安区一模）在△ABC中，BC＝10，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E．
（1）如图1，若∠ABC＝90°，BE：EC＝2：3，求DE的长．
（2）如图2，若∠ABC＜90°，AB与⊙O相交于点F，连接FD，当点E与圆心O重合时，
①求证：FD＝DC；
②四边形FBCD的周长有最大值吗？请说明理由．
【点拨】（1）连接BD，在直角三角形BCD中，由射影定理可得DE2＝BE CE，求出BC、CE即可求DE；
（2）①连接OF，根据平行线的性质推导出∠FOD＝∠COD，可得＝，即可证明FD＝CD；
②先求AB＝2OD＝10，设BF＝x，DF＝y，再由（2y）2﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，推导出x＝10﹣y2，则四边形FBCD的周长＝﹣（y﹣5）2+25，当y＝5时，四边形FBCD的周长有最大值为25．
【解析】（1）解：连接BD，
∵BE：EC＝2：3，BC＝10，
∴BE＝4，CE＝6，
∵BC是圆O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴DE2＝BE CE，
∴DE＝2；
（2）①证明：连接OF，
∵OD∥AB，
∴∠DOC＝∠ABO，∠BFO＝∠FOD，
∵BO＝OF，
∴∠FBO＝∠OFB，
∴∠FOD＝∠COD，
∴＝，
∴FD＝CD；
②四边形FBCD的周长有最大值，理由如下：
∵BC是圆O的直径，
∴∠BFC＝90°，
∵DF＝CD，
∴AD＝CD，
∵OD＝5，
∴AB＝2OD＝10，
设BF＝x，DF＝y，
∴AF＝10﹣x，AC＝2y，
∴（2y）2﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，
∴x＝10﹣y2，
∴四边形FBCD的周长＝10+x+2y＝10+10﹣y2+2y＝﹣（y﹣5）2+25，
∴当y＝5时，四边形FBCD的周长有最大值为25．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握直角三角形的性质，同弧所对的圆周角相等，射影定理，二次函数的图象及性质是解题的关键．
4．（2024 宁波模拟）如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连结AD，AO，分别交BC于点E，F，∠CAD＝∠BAO．
（1）如图1，求证：AD⊥BC．
（2）如图1，若AO∥CD，求证：CA＝CF．
（3）如图2，在（2）的条件下，
①若，求BC的长．
②若，求tan∠ACE的值．
【点拨】（1）延长AO交⊙O于点M，连结CM，利用圆周角定理，三角形外角的性质和垂直的定义解答即可；
（2）利用平行线的性质，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
（3）①利用相似三角形的判定与性质得到，设AC＝5a，则AF＝a，设CE＝x，则EF＝5k﹣x，利用勾股定理求得x，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；
②连结DO并延长交BC于点K，连结AK，利用全等三角形的判定与性质得到CE＝EK，∠DCK＝∠DKC，再利用线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质得到AK＝BK＝AC＝CF，CK＝BF，设BF＝b，则CK＝b，，CF＝kb，利用勾股定理和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．
【解析】（1）证明：延长AO交⊙O于点M，连结CM，如图，
∵AM为⊙O的直径，
∴∠ACM＝90°，
∴∠CAM+∠M＝90°．
∵∠CAD＝∠BAO，
∴∠CAD+∠DAM＝∠BAO+∠DAM，
∴∠CAM＝∠BAD．
又∠M＝∠B，
∴∠BAD+∠B＝90°，
即∠AEB＝90°，
∴AD⊥BC．
（2）证明：∵AO∥CD，
∴∠FAE＝∠D，
∵∠D＝∠B，
∴∠FAE＝∠B．
∵∠CAF＝∠CAE+∠FAE，∠FAB+∠B＝∠AFC，
∴∠CAF＝∠AFC，
∴CA＝CF．
（3）①∵∠CAD＝∠FAB，∠D＝∠B，
∴△ACD∽△AFB，
∴．
设AC＝5a，则AF＝a，
由（2）知：CF＝CA，
∴CF＝5a．
设CE＝x，则EF＝5k﹣x，
∵AE2＝AC2﹣CE2，AE2＝AF2﹣EF2，
∴AC2﹣CE2＝AF2﹣EF2，
∴，
∴x＝4a，
∴CE＝4a，EF＝a，
∴AE＝＝3a．
∵∠FAE＝∠B，∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴，
∴AE2＝EF EB，
即，
∴，
∴CF＝5a＝，
∴．
②连结DO并延长交BC于点K，连结AK，如图，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AO∥CD，
∴∠OAD＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠ODA．
在△CDE和△KDE中，
，
∴△CDE≌△KDE（ASA），
∴CE＝EK，∠DCK＝∠DKC．
∵AO∥CD，
∴∠DCK＝∠AFC，
∵∠AFC＝∠OFK，
∴∠OFK＝∠DKC，
∴OF＝OK，
∵CE＝EK，AD⊥BC，
∴AD为CK的垂直平分线，
∴AC＝AK，
∴△ACK为等腰三角形，
∵AE⊥CK，
∴∠CAD＝∠KAD，
∵∠CAD＝∠BAO，
∴∠KAD＝∠BAO，
∴∠OAD＝∠BAK，
∴∠BAK＝∠ODA＝∠CDA＝∠B，
∴AK＝BK．
∴AK＝BK＝AC＝CF，
∴CF+FK＝BK+FK．
即CK＝BF．
设BF＝b，则CK＝b，，CF＝kb，
即AC＝AK＝KB＝bk，
∴AE＝＝．
∵∠AEC＝90°，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，恰当的添加辅助线和利用勾股定理列出方程解答是解题的关键．
5．（2024 北仑区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．
（1）∠BCO+∠BAC＝ 90° ；
（2）如图2，若半径OC∥AD．
①求证：AB＝AC；
②若OC：CD＝5：6，求tan∠ACD的值．
（3）如图3，过D作DF⊥BC于点H，交AC于点F，BO的延长线恰好经过点F，若AD＝5，，求OF的长．
【点拨】（1）连接BO，根据2∠BCO+2∠BAC＝180°，可推导出∠BCO+∠BAC＝90°；
（2）①推导出∠ABC＝∠ACB，即可证明；
②连接OD，连接AO延长交BC于点M，证明△ABC∽△OCD，可推导出AB：BC＝5：6，设AB＝5k，则BC＝6k，BM＝3k，分别求出BE＝，AE＝，即可得tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝；
（3）过点O作OI⊥BC交于I点，先证明△ABE≌△FBE，可得∠ABD＝∠FBD，再证明△BHF≌△BEF，得HF＝EF，从而证明△HFC≌△EFD≌△EAD，设AE＝x，ED＝y，则HD＝5+x，HC＝y，由方程组，求出，求出EC＝9，ED＝3，tan∠ECD＝，再求BH＝12，BC＝15，BF＝4，可得BI＝BC＝，根据OI∥HF，求得BO＝，即可求OF＝BF﹣BO＝．
【解析】（1）解：如图1，连接BO，
∵＝，
∴∠BOC＝2∠BAC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵2∠BCO+2∠BAC＝180°，
∴∠BCO+∠BAC＝90°，
故答案为：90°；
（2）①证明：∵OC∥AD，
∴∠ACO＝∠CAD，
∴∠ACO+∠ABC＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠CBD+∠ACB＝90°，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CAD+∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
②解：如图2，连接OD，连接AO延长交BC于点M，
∴AM⊥BC，
∵∠BCO+∠BAC＝90°，∠DBA+∠BAC＝90°，
∴∠BCO＝∠DBA＝∠DCA，
∴∠ACO+∠DCA＝∠ACO+∠BCO，
∴∠BCA＝∠OCD，
∵AB＝AC，OC＝OD，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠OCD＝∠ODC，
∴△ABC∽△OCD，
∴AB：BC＝OC：CD，
∵OC：CD＝5：6，
∴AB：BC＝5：6，
设AB＝5k，则BC＝6k，BM＝3k，
在Rt△AMB中，AM＝＝4k，
∵2S△ABC＝BC AM＝AC BE，
∴BE＝，
在Rt△ABE中，AE＝＝，
∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝；
（3）解：如图3，过点O作OI⊥BC交于I点，
∵AC⊥BD，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，∠EDF+∠EFD＝90°，
∵DH⊥BC，
∴∠HFC+∠HCF＝90°，
∵∠HCF＝∠EDA，∠HFC＝∠EFD，
∴∠DAF＝∠HFC＝∠DFA，
∴AD＝FD，
∴AE＝EF，
∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEF，
∴△ABE≌△FBE，
∴∠ABD＝∠FBD，
同（2）可得，∠CBO＝∠ABD＝∠ACD＝∠FBD，
∵∠BEF＝∠BHF＝90°，BF＝BF，
∴△BHF≌△BEF，
∴HF＝EF，
∴△HFC≌△EFD≌△EAD，
设AE＝x，ED＝y，则HD＝5+x，HC＝y，
在△AED和△DHC中，
，
解得，
∴EC＝9，ED＝3，tan∠ECD＝，
∵∠OBC＝∠ECD，HF＝4，
∴BH＝＝12，BC＝15，BF＝4，
∴BI＝BC＝，
∵OI∥HF，
∴BI：BH＝BO：BF，
∴BO＝，
∴OF＝BF﹣BO＝．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的圆心角与圆周角的关系，垂径定理，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
6．如图，在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，点P为半圆上一点，连结AP并延长交BC边于点E，连结BP并延长交CD边于点F，连结CP．
（1）求证：AE＝BF．
（2）当AB＝1时，求CP的最小值．
（3）若CP＝CF，求BE：BC的值．
【点拨】（1）由正方形的性质得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，由AB是⊙O的直径，得∠APB＝90°，可证明∠BAE＝∠CBF，进而证明△ABE≌△BCF，得AE＝BF；
（2）连接OP、OC，由AB＝1，得OP＝OB＝，AB＝BC＝1，则OC＝＝，由CP+OP≥OC，得CP+≥，则CP≥，所以CP的最小值为；
（3）取EF的中点I，以IE为半径作⊙I，连接IP、IC，则IP＝IC＝IF＝IE＝EF，所以P、E、C、F四点都在⊙I上，而CP＝CF，则∠CEF＝∠CPF＝∠BFC，可证明∠CEF＝∠AEB，CF＝BE，则＝tan∠CEF＝tan∠AEB＝，所以＝，则BE＝BC，求得BE：BC的值为．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF＝90°﹣∠ABP，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF．
（2）解：如图1，连接OP、OC，
∵AB是⊙O的直径，且AB＝1，
∴OP＝OB＝AB＝，AB＝BC＝1，
∴OC＝＝＝，
∵CP+OP≥OC，
∴CP+≥，
∴CP≥，
∴CP的最小值为．
（3）如图2，取EF的中点I，以IE为半径作⊙I，连接IP、IC，
∵∠EPF＝∠ECF＝90°，
∴IP＝IC＝IF＝IE＝EF，
∴P、E、C、F四点都在⊙I上，
∵CP＝CF，
∴∠CEF＝∠CPF＝∠BFC，
由（1）得△ABE≌△BCF，
∴∠AEB＝∠BFC，CF＝BE，
∴∠CEF＝∠AEB，
∴＝tan∠CEF＝tan∠AEB＝，
∴＝，
整理得BE2+BC BE﹣BC2＝0，
∴BE＝BC或BE＝BC（不符合题意，舍去），
∴＝，
∴BE：BC的值为．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
7．（2024 湖州一模）如图，在 ABCD中，∠B是锐角，，BC＝10．在射线BA上取一点P，过P作PE⊥BC于点E，过P，E，C三点作⊙O．
（1）当时，
①如图1，若AB与⊙O相切于点P，连结CP，求CP的长；
②如图2，若⊙O经过点D，求⊙O的半径长．
（2）如图3，已知⊙O与射线BA交于另一点F，将△BEF沿EF所在的直线翻折，点B的对应点记为B′，且B′恰好同时落在⊙O和边AD上，求此时PA的长．
【点拨】（1）①利用圆周角定理和切线的性质定理得到PC⊥PB，利用直角三角形的边角关系定理得到BP，再利用勾股定理解答即可得出结论；
②连接CP，PD，利用圆周角定理和平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠PAD＝∠B，利用直角三角形的边角关系定理求得AP，再利用勾股定理求得PD，PC，则结论可求；
（2）过点F作FM⊥AD，交DA的延长线于点M，连接CF，CP，设PE与AD交于点N，利用轴对称的性质，圆周角定理和垂直的定义得到∠B＝∠FPE＝45°，则△BFC为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得线段MB′，AB′，设PN＝AN＝x，则PE＝x+6，NB′＝6﹣x，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论．
【解析】解：（1）①∵PE⊥BC，
∴∠PEB＝∠PEC＝90°，
∴PC为⊙O的直径，
∵AB与⊙O相切于点P，
∴PC⊥PB．
∵，
∴＝，
∴BP＝BC＝6，
∴CP＝＝＝8；
②连接CP，PD，如图，
∵PE⊥BC，
∴∠PEB＝∠PEC＝90°，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PDC＝90°．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠PAD＝∠B，
∴∠APD+∠PDC＝180°，cos∠PAD＝cos∠B＝，
∴∠APD＝90°．
∵cos∠PAD＝，
∴AP＝6，
∴PD＝＝8．
∴PC＝＝＝2，
∴⊙O的半径长为PC＝．
（2）过点F作FM⊥AD，交DA的延长线于点M，连接CF，CP，设PE与AD交于点N，如图，
由题意得：∠B＝∠FB′E，
∵∠FB′E＝∠FPE，
∴∠FPE＝∠B．
∵PE⊥BE，
∴∠B＝∠FPE＝45°．
∵PE⊥BC，
∴∠PEB＝∠PEC＝90°，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PFC＝90°，
∴△BFC为等腰直角三角形，
∴BF＝FC＝BC＝5，
∴AF＝AB﹣BF＝．
∵AD∥BC，
∴∠MAF＝∠B＝45°，
∴MF＝MA＝AF＝1，
∵FB＝FB′＝5，
∴MB′＝＝7，
∴AB′＝MB′﹣MA＝6．
∵AD∥BC，PE⊥BC，
∴PN⊥AD．
∵EN为平行四边形ABCD的高，
∴NE＝AB sin∠B＝6＝6，
∵△PAN为等腰直角三角形，
∴设PN＝AN＝x，则PE＝x+6，NB′＝6﹣x．
∵PE＝BE＝B′E，
∴B′E＝x+6．
在Rt△NB′E中，
∵NB′2+NE2＝B′E2，
∴（6﹣x）2+62＝（x+6）2，
∴x＝．
∴PN＝AN＝，
∴PA＝PN＝．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，平行四边形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的有关性质和恰当的添加辅助线是解题的关键．
8．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC交BD于点G，，点F在线段BD上，且AF＝AD．
（1）若∠ADB＝α，请用α的代数式表示∠ADC；
（2）求证：BF＝CD；
（3）如图2，延长AF交⊙O于点M，连结FC．
①若AM为⊙O的直径，AM＝13，tan∠DAC＝，求AF的长；
②若FG＝2GD，猜想∠AFC的度数，并证明你的结论．
【点拨】（1）根据等弧所对的圆周角相等得∠ABC＝∠ADB＝α，再由圆内接四边形的性质可得结论．
（2）分别证明∠AFB＝∠ADC，∠ABD＝∠ACD，再证明△ABF≌△ACD（AAS）即可得到结论．
（3）①连接BM，MC，Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），得∠DAC＝∠BAM＝∠CAM＝∠CBM，tan∠DAC＝，得，，求得BP＝6，MP＝4，AP＝9，即可求得AF的长．②连接BM，CM，过点F作FQ∥BM交MC于点Q，证明△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP，得，，求得MP＝2PF，证明△BFP∽△CMP，四边形BMQF是平行四边形，可得四边形BMQF是菱形，进一步可求得结论．
【解析】（1）解：∵．
∴∠ABC＝∠ADB＝α．
∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠ABC+∠ADC＝180°．
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣α．
（2）证明：∵AF＝AD．
∴∠AFD＝∠ADB＝α．
∴∠AFB＝180°﹣∠AFD＝180°﹣α．
∴∠AFB＝∠ADC．
∵∠ABD，∠ACD是所对的圆周角．
∴∠ABD＝∠ACD．
又AF＝AD．
∴△ABF≌△ACD（AAS）．
∴BF＝CD．
（3）①解：如图2，连接BM，MC．
．
∵AM是直径．
∴∠ABM＝∠ACM＝90°．
∵△ABF≌△ACD（AAS）．
∴∠BAM＝∠CAD，AB＝AC．
又AM＝AM．
∴Rt△ABM≌Rt△ACM（HL）．
∴BM＝CM，∠BAM＝∠CAM．
∴∠DAC＝∠BAM＝∠CAM＝∠CBM．
∵AB＝AC．
∴AM⊥BC且AM平分BC．
∵tan∠DAC＝，AM＝13．
∴，．
∴BP＝6，MP＝4，AP＝9．
∴PF＝MP＝4．
∴AF＝AP﹣PF＝9﹣4＝5．
②猜想：∠AFC＝90°．
如图，连接BM，CM，过点F作FQ∥BM交MC于点Q．
．
∵AB＝AC，AF＝AD．
∴∠1＝∠2＝∠4＝∠5＝∠7．
∵∠3，∠6是所对的圆周角．
∴∠3＝∠6．
∴△ADG∽△BFP，△AFG∽△BMP．
∴，．
∵FG＝2GD．
∴MP＝2PF．
∵∠2＝∠7．
∴BD∥MC．
∴△BFP∽△CMP，四边形BMQF是平行四边形．
∴．
∵∠4＝∠5．
∴BM＝BF．
∴四边形BMQF是菱形．
∴BF＝MQ＝FQ．
∴MQ＝FQ＝QC．
∴∠7＝∠MFQ，∠MCF＝∠QFC．
∵∠7+∠MFQ+∠MCF+∠QFC＝180°．
∴∠MFC＝90°．
∴∠AFC＝90°．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的意义等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
9．如图1，⊙O为△ABC外接圆，点D、E分别为，中点，连结AD、AE、DE，DE分别与AB、AC交于点F、G．已知AF＝4．
（1）求证：AF＝AG．
（2）如图2，连结CD交AB于点M，连结BE交CD于点N，连结BD、CE．若∠BAC＝60°，求证：△NEC是等边三角形．
（3）在（2）的基础上，若，
①求DN的长；
②求．
【点拨】（1）由D、E分别为，中点，得出，，由圆周角定理可得∠AED＝∠DAB，∠ADE＝∠CAE，进而得到∠AFG＝∠AGF即可求证；
（2）先证明△ADE≌△NDE，得到AE＝NE＝CE，即可求证；
（3）①过A点作AH⊥DE于点H，由三角函数得到HE＝，GE＝，再证明△AFD∽△EGA，根据勾股定理可得AD＝2，再由△ADE≌△NDE即可求解；
②由△BDN∽△ECN，可得，设S△ECN＝4S，则S△BNC＝S△END＝6S，S△BND＝9S，分别表示出S△CBE和S四边形ADBE即可求解．
【解析】（1）证明：∵D、E分别为，中点，
∴，，
∴∠AED＝∠DAB，∠ADE＝∠CAE，
∵∠AFG＝∠DAB+EAD，∠AGF＝∠AED+CAE，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG；
（2）证明：∵D、E分别为，中点，
∴，，
∴∠ADE＝∠NDE，∠AED＝∠NED，AE＝EC，
∵DE＝DE，
∴△ADE≌△NDE（ASA），
∴AE＝NE＝CE，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BEC＝∠BAC＝60°，
∴△NEC是等边三角形；
（3）①∵AF＝AG．∠BAC＝60°，
∴△AFG为等边三角形，
过A点作AH⊥DE于点H，如图：
∵AF＝4，
∴FH＝HG＝AF＝2．AH＝＝2．
∴tan∠DEA＝tan∠DAF＝＝，
∴HE＝，
∴GE＝HE﹣HG＝，
由（1）知，∠AEG＝∠DAF，∠ADF＝∠EAG，
∴△AFD∽△EGA，
∴，即，
∴DF＝6，
∴AD＝＝＝2，
∵△ADE≌△NDE，
∴DN＝AD＝2；
②∵DN＝AD＝BD，∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴△BDN为等边三角形，
∵△CEN为等边三角形，
∴∠BDC＝∠CEB＝60°，
∴BD∥CE，△BDN∽△ECN，
∴＝（）2＝＝＝＝，
设S△ECN＝4S，则S△BNC＝S△END＝6S，S△BND＝9S，S△CBE＝S△ECN+S△BNC＝10S，
∵△ADE≌△NDE，
∴S△ADE＝S△NDE＝6S，
∴S四边形ADBE＝6S+6S+9S＝21S，
∴＝＝．
【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键，
10．定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图①，在四边形ABCD中，若S△ABC＝S△ADC，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形． √
②梯形是倍分四边形． ×
（2）如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB＝3，AD＝DC＝5，求BC；
（3）如图②，△ABC中BA＝BC，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形．
①求sinC；
②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E（如图③），若OF＝3，求DE．
【点拨】（1）①平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，可判断①是真命题；
②梯形的对角线不平分梯形的面积，可判断②是假命题；
（2）过D作DE⊥AC于E，根据AC是四边形ABCD的倍分线，AC⊥AB，可得DE＝AB＝3，故AE＝＝4，AC＝2AE＝8，故BC＝＝；
（3）①连接BM，CN，OM，设CN交OM于H，由BA＝BC，得AM＝CM，故S△BCM＝S△BAM＞S△BNM，可知倍分四边形BCMN中，CN是倍分线，即S△BCN＝S△MCN，而∠ANC＝90°，AM＝CM，有MN＝AM＝CM＝AC，从而＝，知OM⊥CN，NH＝CH，设OH＝m，由S△BCN＝S△MCN，有MH＝BN＝2m，可得OC＝OM＝3m，BC＝2OC＝6m，根据勾股定理可得BM＝2m，即得sin∠ACB＝＝；
②连接OM交CN于H，作MF中点P，连接DP，由F为OC的中点，得OC＝2OF＝6，BC＝2OC＝12，BF＝9，则BM＝BC sin∠ACB＝4，CM＝＝4，证明△BDN≌△MDH（AAS），得DM＝BD＝BM＝2，故CD＝＝6，而DP是△MBF的中位线，可得DP＝BF＝，DP∥BC，故△DPE∽△CFE，即得DE＝CD＝×6＝．
【解析】解：（1）①平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，故平行四边形是倍分四边形，①是真命题；
故答案为：√；
②梯形的对角线不平分梯形的面积，故梯形不是倍分四边形，②是假命题；
故答案为：×；
（2）过D作DE⊥AC于E，如图：
∵AC是四边形ABCD的倍分线，AC⊥AB，
∴AB AC＝DE AC，
∴DE＝AB＝3，
在Rt△ADE中，
AE＝＝＝4，
∵AD＝DC，DE⊥AC，
∴AC＝2AE＝8，
在Rt△ABC中，
BC＝＝＝，
∴BC的长为；
（3）①连接BM，CN，OM，设CN交OM于H，如图：
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BNC＝∠BMC＝90°，
∵BA＝BC，
∴AM＝CM，
∴S△BCM＝S△BAM＞S△BNM，
∴倍分四边形BCMN中，CN是倍分线，即S△BCN＝S△MCN，
∵∠ANC＝180°﹣∠BNC＝90°，AM＝CM，
∴MN＝AM＝CM＝AC，
∴＝，
∴OM⊥CN，NH＝CH，
设OH＝m，则BN＝2m，
∵S△BCN＝S△MCN，
∴BN CN＝MH CN，
∴MH＝BN＝2m，
∴OM＝OH+MH＝3m，
∴OC＝OM＝3m，BC＝2OC＝6m，
在Rt△OCH中，CH2＝OC2﹣OH2＝8m2，
在Rt△CMH中，CM＝＝＝2m，
在Rt△BMC中，BM＝＝＝2m，
∴sin∠ACB＝＝＝；
②连接OM交CN于H，作MF中点P，连接DP，如图：
∵F为OC的中点，
∴OC＝2OF＝6，BC＝2OC＝12，BF＝9，
在Rt△BCM中，BM＝BC sin∠ACB＝12×＝4，
∴CM＝＝＝4，
由①知，BN＝MH，
∵∠BND＝∠MHD＝90°，∠BND＝∠MDH，
∴△BDN≌△MDH（AAS），
∴DM＝BD＝BM＝2，
∴CD＝＝＝6，
∵P为MF的中点，
∴DP是△MBF的中位线，
∴DP＝BF＝，DP∥BC，
∴△DPE∽△CFE，
∴＝＝＝，
∴DE＝CD＝×6＝．
【点睛】本题考圆的综合应用，涉及新定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
11．如图，AB为⊙O的弦，点C在弧AB上，AB平分∠OBC，过点C作CE⊥OA于点E，交AB于点F，连结OF．
（1）求的值．
（2）求证：∠ECA＝∠BAO．
（3）当时，判断△OBF的形状，并说明理由．
【点拨】（1）连结BC，OC．过点O作OD⊥BC于点D，则BC＝2BD＝2CD，由AB平分∠OBC，可得∠OBA＝∠ABC，又由∠OBA＝∠OAB，可得BC∥OA，可证明四边形OECD为矩形，得出CD＝OE，再求解即可：
（2）由OB＝OC，可得∠OBC＝∠BCO，再由∠CBA＝∠OBA，可得∠BOC＝180°﹣4∠CBA．再求解可得结论；
（3）过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N．先证明△BCF∽△AEF，可得＝，设BF＝2x，则AF＝3x，AB＝5x，再证明△AFC∽△ACB，可得AC＝x，最后再通过勾股定理求解即可．
【解析】（1）解：连结BC，OC．过点O作OD⊥BC于点D，
则BC＝2BD＝2CD，
∵AB平分∠OBC，
∴∠OBA＝∠ABC，
∵∠OBA＝∠OAB．
∴BC∥OA．
∵CE⊥OA，
∴四边形OECD为矩形，
∴CD＝OE．
∴BC＝2OE，即＝；
（2）证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠BCO，
∵∠CBA＝∠OBA，
∴∠BOC＝180°﹣4∠CBA．
∠BAC＝∠BOC＝90°﹣2∠CBA，
∠ECA＝90°﹣∠OAC
＝90°﹣∠OAB﹣∠BAC
＝90°﹣∠OAB﹣（90°﹣2∠CBA）
＝2∠CBA﹣∠OAB
＝∠BAO；
（3）解：△OBF是等腰三角形，理由如下：
由（1）可知＝，且，
∴，
∵BC∥OA，
∴△BCF∽△AEF，
∴，
过点O分别作AC，AB的垂线，垂足为M，N，如图，
设BF＝2x，则AF＝3x，AB＝5x，
由垂径定理得AN＝、FN＝，
∵∠ECA＝∠BAO．∠ABC＝∠BAO．
∴∠ECA＝∠ABC，
∵∠BAC＝∠CAF，
∴△AFC∽△ACB，
∴，即，
∴AC＝x，
∴AM＝AC＝，
∵CE⊥AO，
∴∠ACE∠AOM＝∠OAB，
∵∠NOM＝∠MAN，
∴∠NOA＝∠MAO，
∵∠ANO＝∠OMA＝90°，AO＝OA，
∴△AOM≌△OAN（AAS），
∴ON＝AM＝，
在Rt△ONF中，OF＝＝2x．
∴OF＝BF，
∴△OBF是等腰三角形．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确作出辅助线是解题关键．
12．已知，如图四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，，点T
在BC的延长线上．BE平分∠ABC交CD延长线于E，交⊙O于F，连接AE，AF，DF．
（1）求证：CD平分∠ACT；
（2）求∠AED的度数；
（3）若，△DEF的面积等于25，求AC的长．
【点拨】（1）可推出∠DCT＝∠BAD＝∠ACD，从而得出结论；
（2）连接BD，设∠FBD＝α，可推出∠BAD＝∠ACD＝∠ABD＝∠ABF+∠FBD＝45°+α，∠CAD＝90°﹣∠ACD＝45°﹣α，∠BDC＝∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝（45°+α）﹣（45°﹣α）＝2α，进而得出∠BED＝∠FBD＝α，从而得出BD＝DE，进一步得出结果；
（3）设AD的延长线交BC的延长线于T，作EG⊥DF，交DF的延长线于点G，可推出AC＝CT，＝，从而得出从而sin∠ACD＝，从而得出sin∠EFG＝sin∠BFD＝sin∠ACD＝，tan∠EFG＝＝，可设DE＝AD＝4x，则AC＝5x，解△DEF，进而得出结果．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DCT＝∠BAD，
∵，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CD平分∠ACT；
（2）解：如图1，
连接BD，设∠FBD＝α，
∵，
∴AD＝BD，∠BAD＝∠ABD＝∠ACD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADE＝∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝45°，
∴∠BAD＝∠ACD＝∠ABD＝∠ABF+∠FBD＝45°+α，
∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝45°﹣α，
∴∠BDC＝∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝（45°+α）﹣（45°﹣α）＝2α，
∴∠BED＝∠BDC﹣∠FBD＝2α﹣α＝α，
∴∠BED＝∠FBD，
∴BD＝DE，
∴AD＝DE，
∴∠AED＝∠DAE＝45°；
（3）解：如图2，
设AD的延长线交BC的延长线于T，作EG⊥DF，交DF的延长线于点G，
由（1）（2）得：∠ABC＝∠ADC＝∠CDT＝90°，∠ACD＝∠DCT＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠CTD，△CDT∽△ABT，
∴AC＝CT，＝，
∴，
∴
∴sin∠ACD＝，
∵，
∴∠BFD＝∠ACD，
∴sin∠EFG＝sin∠BFD＝sin∠ACD＝，
∴tan∠EFG＝＝，
设DE＝AD＝4x，则AC＝5x，
∵四边形CBFD内接于⊙O，
∴∠EDF＝∠CBE＝45°，
∴DG＝EG＝DE sin∠EDF＝4x ＝2，
∴FG＝，
∴DF＝DG﹣FG＝2＝，
由DF EG＝S△DEF得，
，
∴x1＝5，x2＝﹣5（舍去），
∴AC＝5x＝25．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形．
13．【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角．
【概念理解】（1）当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数．
【性质探究】（2）如图1，△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，求证：
【拓展应用】（3）如图2，AB是⊙O的直径，且AB＝13，点C，D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E，连接AD，BD，△ACE是和美三角形．
①当BC＝5时，求AD的长．
②当△BCD是和美三角形时，直接写出的值．
【点拨】（1）设和美角的度数为x，利用和美三角形的定义和三角形的内角和定理列出方程解答即可；
（2）过点B作BD⊥AB，交AC于点D，利用和美三角形的定义得到∠DBC＝∠A，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用直角三角形的边角关系定理得到tanA＝，则结论可得；
（3）利用圆周角定理和勾股定理得到AC的长度，利用分类讨论的数学方法分两种情况讨论解答：Ⅰ．当∠EAC为和美角时，过点C作CF⊥AB于点F，利用（2）的结论和相似三角形的判定与性质得到EC＝BC，再利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；Ⅱ．当∠ACE为和美角时，过点D作CH⊥AB于点H，利用（2）的结论和相似三角形的判定与性质得到DE＝AD，利用圆周角定理和等腰三角形的判定定理解答即可；
（4）利用分类讨论的数学方法，依据和美三角形的定义和相似三角形的判定与性质，类比（3）的方法解答即可．
【解析】（1）解：设和美角的度数为x，则钝角的度数为90°+x，
∴x+x+90°+x＝180°，
∴x＝30°．
∴当和美三角形是等腰三角形时，和美角的度数为30°．
（2）证明：过点B作BD⊥AB，交AC于点D，如图，
则∠ABD＝90°，
∵△ABC是和美三角形，∠B是钝角，∠A是和美角，
∴∠ABC＝90°+∠A，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝90°+∠DBC，
∴∠DBC＝∠A．
∵∠C＝∠C，
∴△CDB∽△CBA，
∴．
在Rt△ABD中，
tanA＝，
∴；
（3）解：①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝13，BC＝5，
∴AC＝＝12．
Ⅰ．当∠EAC为和美角时，过点C作CF⊥AB于点F，如图，
由（2）知：tan∠EAC＝，
在Rt△ABC中，tan∠EAC＝，
∴，
∴EC＝5．
∴EC＝BC．
∴∠CEB＝∠CBA．
∵∠CBA＝∠CDA，∠AED＝∠CEB，
∴∠CDA＝∠AED，
∴AD＝AE．
∵CE＝CB，CF⊥AB，
∴BF＝EF＝BE．
∵∠ACB＝90°，CF⊥AB，
∴△BCF∽△BAC，
∴，
∴，
∴BF＝，
∴BE＝2BF＝，
∴AD＝AE＝AB﹣BE＝；
Ⅱ．当∠ACE为和美角时，过点D作CH⊥AB于点H，如图，
由（2）知：tan∠ACE＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACE＝∠ABD，
∴tan∠ACE＝tan∠ABD＝．
∵∠CAB＝∠CDB，∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB，
∴，
∴，
∴DE＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA．
∵∠AED＝∠CEB，∠DAE＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠CEB，
∴BE＝BC＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝13﹣5＝8．
∵DE＝AD，CH⊥AB，
∴AH＝AE＝4．
∵∠ADB＝90°，CH⊥AB，
∴△ADH∽△ABD，
∴，
∴，
∴AD＝＝2．
综上，AD的长2或；
②当△BCD是和美三角形时，的值为或．理由：
设∠CAB＝α，
Ⅰ．当∠CAB与∠CDB为和美角时，如图，
则∠ACD＝∠BCD＝45°，CE＝CB，α＝22.5°，
∴；
Ⅱ．当∠CAB与∠DCB为和美角时，如图，
则∠CEA＝90°+α，∠ACE＝90°﹣2α，∠DCB＝2α，∠CBD＝90°+2α，
∵△BDC的内角和为180°，
∴α＝18°．
∴；
Ⅲ．当∠ACD与∠CDB为和美角时，如图，
则∠CEA＝135°﹣0.5α，∠ACE＝45°﹣0.5α，∠DCB＝45°+0.5α，∠CBD＝90°+α，
∵△BDC的内角和为180°，
∴α＝18°．
∴；
Ⅳ．当∠ACE与∠DCB为和美角时，如图，
则∠CEA＝135°﹣0.5α，∠ACE＝45°﹣0.5α，∠DCB＝45°+0.5α，
∵∠ACB＝90°，
∴α＝0°，这种情况不存在．
综上，的值为或．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．
14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在AB上，连结DF并延长交⊙O与点G，连结BG，CG，CG＝FG．
（1）如图1，求证：△BCG≌△BFG．
（2）如图2，BG与CD交于点N，过点F作BG的平行线交CD于点M，若NE＝a，求DM．（用含a的代数式表示）
（3）如图3，在（2）的条件下，连结GE，若△EFG与△DFM的面积相等，求cos∠ABC的值．
【点拨】（1）根据垂径定理求出BC＝BD，根据圆周角定理求出∠BGC＝∠BGF，利用SAS即可证明△BCG≌△BFG；
（2）连结CF与BG交于点H，利用SAS证明△HCG≌△HFG，根据全等三角形的性质得出CH＝FH，根据平行线分线段成比例定理求出CM＝2CN，根据垂径定理求出CD＝2CE，根据线段和差求解即可；
（3）由△EFG与△DFM的面积相等，推出GP＝DM＝2EN，设BC＝k，cos∠ABC＝x，则BE＝PE＝kx，根据等腰三角形的性质、平行线的性质、线段的和差求出AB＝BF+PF+AP＝4kx﹣k，由三角函数定义求出BC2＝BE AB，代入求解即可．
【解析】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴BC＝BD，
∴∠BGC＝∠BGF，
在△BCG和△BFG中，
，
∴△BCG≌△BFG（SAS）；
（2）解：如图2，连结CF与BG交于点H，
∵∠BGC＝∠BGF，CG＝FG，HG＝HG，
∴△HCG≌△HFG（SAS），
∴CH＝FH，
∵FM∥BG，
∴CM＝2CN，
∵OB⊥CD，
∴CD＝2CE，
∴DM＝CD﹣CM＝2CE﹣2CN＝2NE＝2a；
（3）解：连结AG，AC，作GP⊥AB于点P，
∵△EFG与△DFM的面积相等，
∴EF GP＝EF DM，
∴GP＝DM＝2EN，
∵NE⊥AB，GP⊥AB，
∴NE∥GP，
∴＝＝，
∴BE＝BP，
∴BE＝PE，
设BC＝k，cos∠ABC＝x，
∵cos∠ABC＝，
∴BE＝PE＝kx，
∵BC＝BF＝k，
∴PF＝2kx﹣k，
∵∠GBC＝∠GBA，
∴CG＝AG＝GF，
∴AP＝PF＝2kx﹣k，
∴AB＝BF+PF+AP＝4kx﹣k，
∵AB为⊙O的直径，
∴cos∠ABC＝＝，
∴BC2＝BE AB，
∴k2＝kx （4kx﹣k），
∴4x2﹣x﹣1＝0，
∴x＝或x＝（舍去），
∴cos∠ABC＝x＝．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理、垂径定理、平行线分线段成比例定理等知识，正确作出辅助线，利用参数构建方程解决问题是解题的关键．
15．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的两条切线，点A，C为切点，延长PC，AB相交于点D，若BD＝1，CD＝3，点F为弧AB的中点，连接AC．
（1）连接OP交AC于点M，求证：∠ACB＝∠AMO；
（2）设∠OCB＝α，求tanα的值；
（3）若点G与点F关于圆心O对称，连接CG，求CG的长．
【点拨】（1）根据切线性质得出PA＝PC，由OA＝OB，得出点O、P在线段AC的垂直平分线上，证明∠AMO＝90°，根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB＝90°，证明∠ACB＝∠AMO；
（2）证明△DCA∽△DBC，得出，求出tan∠OCB＝tan∠OBC＝tanα＝＝3即可；
（3）连接CF，FG，由△DCA∽△DBC，得出，求出AB＝8，根据，设BC＝k，AC＝3k，根据BC2+AC2＝AB2列出方程，求出，得出，，过点A作AH⊥CF，垂足为H，连接AF，BF，求出CF＝CH+FH＝＝，最后根据勾股定理求出结果即可．
【解析】（1）证明：∵PA，PC是⊙O的两条切线，
∴AB⊥AP，OC⊥CP，PA＝PC，
∵OA＝OB，
∴点O、P在线段AC的垂直平分线上，
∴OP垂直平分AC，即∠AMO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠AMO．
（2）解：∵∠ACB＝90°，∠OCD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACO＝∠OAC，
∵∠D＝∠D，
∴△DCA∽△DBC，
∴，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴．
（3）解：连接CF，FG，如图所示：
∵点G与点F关于圆心O对称，
∴GF过圆心，且为⊙O的直径，
∴∠GCF＝90°，
由（2）得△DCA∽△DBC，
∴，
即，
∴AB＝8，
又∵，
∴设BC＝k，AC＝3k，由BC2+AC2＝AB2得，
∴k2+（3k）2＝82，
即10k2＝64，
∴（舍去负值），
即，，
如图，过点A作AH⊥CF，垂足为H，连接AF，BF，如图所示：
∵点F为AB的中点，
∴AF＝BF，∠ACF＝∠BCF＝45°，
∴，
∴，
，
∴，
在Rt△CFG中，，
∴（负值舍去）．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合，三角形相似的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判断，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质和定理，灵活应用．
16．（2024 杭州模拟）等腰三角形AFG中AF＝AG，且内接于圆O，D、E为边FG上两点（D在F、E之间），分别延长AD、AE交圆O于B、C两点（如图1），记∠BAF＝α，∠AFG＝β．
（1）求∠ACB的大小（用α，β表示）；
（2）连接CF，交AB于H（如图2）．若β＝45°，且BC×EF＝AE×CF．求证：∠AHC＝2∠BAC；
（3）在（2）的条件下，取CH中点M，连接OM、GM（如图3），若∠OGM＝2α﹣45°，
①求证：GM∥BC，GM＝BC；
②请直接写出的值．
【点拨】（1）如图1中，连接CF．利用圆周角定理求解；
（2）证明∠BAC＝45°，∠AHC＝90°，可得结论；
（3）①如图3中，连接CG，延长GM交AB于点I．证明△MHI≌△MCG，推出MI＝MG，HI＝CG，再证明HI＝IB，可得结论；
②连接FI，FB．设HI＝BI＝m，则FH＝2m，FI＝m，设AH＝CH＝n，利用勾股定理求出m，n之间的关系，可得结论．
【解析】（1）解：如图1中，连接CF．
∵AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF＝α，
∴∠ACF＝∠AGF＝α，
∵∠∠FAB＝β，
∴∠ACB＝∠ACF+∠FCB＝α+β；
（2）证明：如图2中，
∵AF＝AG，
∴∠AFG＝∠G＝∠ACH＝45，
∵∠EAF＝∠FAC，
∴△EAF∽△FAC，
∴＝，
∴AE×CF＝EF×FA，
∵BC×EF＝AE×CF，
∴BC×EF＝EF×AF，
∴BC＝AF，
∴＝，
∴∠BAC＝∠AGF＝45°，
∴∠AHC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴∠AHC＝2∠BAC；
（3）①证明：如图3中，连接CG，延长GM交AB于点I．
∵∠OGM＝2α﹣45°，∠AGF＝45°，
∴∠AGM＝2α，
∵∠FAG＝90°，
∴FG是直径，
∴∠FCG＝90°，
∵∠AHC＝90°，
∴∠AHC+∠GCH＝180°，
∴AB∥CG，
∴∠MHI＝∠MCG，
∵MH＝MC，∠HMI＝∠CMG，
∴△MHI≌△MCG（ASA），
∴MI＝MG，HI＝CG，
∵BI∥CG，IG∥CB，
∴四边形BIGC是平行四边形，
∴∠ABC＝∠MGC，GM∥BC，
∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠GMC+∠MGC＝90°，
∴∠MGC+∠BCH＝90°，
∴∠BCH+∠FCG+∠MGC＝180°，
∴∠BCG+∠MGC＝180°，
∵BC∥IG，CM＝MH，
∴HI＝IB，
∴MI＝BC，
∴MG＝BC，MG∥BC；
②解：连接FI，FB．
∵＝＝，
又∵OF＝OG．MG＝MI，
∴OM＝FI，
∵△HMI≌△CMG，
∴HI＝CG，
∵∠AHC＝90°，
∴∠FHB＝90°，
∵∠ACF＝∠ABF＝45°，
∴FH＝BH，
设HI＝BI＝m，则FH＝2m，FI＝m，设AH＝CH＝n，
∴OM＝FI＝m，BC＝AF＝AG＝，
∴FG2＝8m2+2n2，
∵FG2＝CF2+CG2，
∴8m2+2n2＝（2m+n）2+m2，
整理得n2﹣4nm+3m2＝0，
∴n＝m或n＝3m，
∴＝＝＝或．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
17．（2024 鄞州区模拟）已知△ABC内接于⊙O，点F是弧AC的中点，连接OF交AC于点H．
（1）如图1，求证：OF⊥AC；
（2）如图2，AD是△ABC的高，延长AD交⊙O于点K，若∠CAD＝2∠BAD，求证：AK＝AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长FO交BD于点E，连接EK，点M在CH上，连接OM．若∠OMH＝3∠DKE，BE＝OH，AM＝，
①请按步骤在图3中先作图：连结AO，并延长AO交BC于点P，再求证：EO＝EP；
②计算cos∠OEC；
③求HF的长．
【点拨】（1）利用垂径定理的推论解答即可；
（2）连接KC，利用圆周角定理，直角三角形的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
（3）①过点O作OG⊥AK于点G，利用圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理，角平分线的性质定理得到OA平分∠DAC，再利用三角形的内角和定理，直角三角形的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
②过点O作ON⊥BC于点N，过点C作CQ⊥AB于点Q，利用矩形的判定与性质得到BE＝DN＝OG＝OH，设BE＝m，DE＝n，利用m，n的代数式表示出线段BD，BC，CE，BN，利用全等三角形的判定与性质得到BD＝PD＝m+n，进而得EN，EH，利用直角三角形的边角关系定理得出cos∠OEC＝，，则m＝2n；代入求得线段EN＝3n，OE＝PE＝4n，利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
③利用关系式m＝2n和②这的结论，用含n的代数式求得线段AH，AC，AK，BC，BD，AQ，CQ的长度，再利用相似三角形的判定与性质得到AM的长度，利用已知条件求得n值，利用勾股定理求得圆的半径，则HF＝OF﹣OH．
【解析】（1）证明：∵点F是弧AC的中点，
∴，
∵OF为⊙O的半径，
∴OF⊥AC；
（2）证明：连接KC，如图，
设∠BAD＝α，则∠CAD＝2α．
∵∠BAD＝∠BCK，
∴∠BCK＝α．
∵AD是△ABC的高，
∴∠B＝90°﹣α，ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣2α，
∴∠K＝∠B＝90°﹣α，∠ACK＝∠BCK+∠ACD＝90°﹣2α+α＝90°﹣α，
∴∠K＝∠ACK，
∴AK＝AC；
（3）解：①连结AO，并延长AO交BC于点P，如图，
过点O作OG⊥AK于点G，
则AG＝GK＝AK，BN＝CN＝BC．
由（2）知：AK＝AC，
∵OG⊥AK，OH⊥AC，
∴OG＝OH，
∴OA平分∠DAC，
∴∠DAP＝∠PAC＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠DAP＝∠CAP＝α，
∴∠APE＝90°﹣∠DAP＝90°﹣α，
∵∠ACD＝90°﹣2α，
∴∠HEC＝90°﹣∠ACD＝2α．
∴∠EOP＝180°﹣∠HEC﹣∠APE＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠EOP＝∠APE＝90°﹣α，
∴EO＝EP；
②过点O作ON⊥BC于点N，过点C作CQ⊥AB于点Q，
∵OG⊥AK，ON⊥BC，AD⊥BC，
∴四边形OGDN为矩形，
∴OG＝DN，ON＝GD．
∵BE＝OH，
∴BE＝DN＝OG＝OH，
设BE＝m，DE＝n，
∴BD＝m+n，BE＝DN＝OG＝OH＝m，BN＝BD+DN＝2m+n，
∴BC＝2BN＝4m+2n，
∴EC＝BC﹣BE＝3m+2n，EN＝BN﹣BE＝m+n，
在△ABD和△APD中，
，
∴△ABD≌△APD（AAS），
∴BD＝PD＝m+n，
∴PE＝PD+ED＝m+2n，
∴OE＝PE＝m+2n，
∴EH＝EO+OH＝2m+2n，
∵cos∠OEC＝，
∴，
∴m＝2n，
∴EN＝3n，OE＝PE＝4n．
∴cos∠OEC＝；
③∵m＝2n，
∴EC＝3m+2n＝8n，EH＝2m+2n＝6n，
∴CH＝＝2n．
∴AH＝CH＝2n，AC＝2CH＝4n，
∴AK＝AC＝4n．
∵BC＝4m+2n＝10n，BD＝PD＝m+n＝3n，
∴CD＝BC﹣BD＝7n，
∴AD＝＝3n，
∴AB＝＝6n，
∵BC AD＝AB CQ，
∴CQ＝n，
∴AQ＝＝n．
∴DK＝AK﹣AD＝n．
∵DE＝n，
∴，
∵∠EDK＝∠BDA＝90°，
∴△EDK∽△BDA，
∴∠DKE＝∠BAD＝α，
∵∠OMH＝3∠DKE，
∴∠OMH＝3α，
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝3α，
∴∠OMH＝∠BAC，
∵∠OHM＝∠CQA＝90°，
∴△OHM∽△CQA，
∴，
∴，
∴HM＝n，
∴AM＝AH+HM＝n．
∵AM＝，
∴n＝2．
∴OH＝4，AH＝4，
∴OA＝＝8，
∴OF＝OA＝8，
∴HF＝OF﹣OH＝8﹣4．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：AB＝AC；
（2）若∠E＝54°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF＝4，，E是的中点，求EG ED的值．
【点拨】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB＝AC；
（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD＝180°﹣∠E，进而得出∠BDF＝∠C+∠CFD，即可得出答案；
（3）根据cosB＝，得出AB的长，即可求出AE的长，再判断△AEG∽△DEA，求出EG ED的值．
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC；
（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°﹣∠E，
又∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝54°，
又∵∠E＝∠C＝54°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝108°；
（3）解：连接OE，
∵∠CFD＝∠E＝∠C，
∴FD＝CD＝BD＝4，
在Rt△ABD中，cosB＝，BD＝4，
∴AB＝6，
∵E是的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE＝90°，
∵AO＝OE＝3，
∴AE＝3，
∵E是的中点，
∴∠ADE＝∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴＝，
即EG ED＝AE2＝18．
【点睛】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键．
19．如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且A（﹣1，0）、E（1，0）．
（1）的度数为 120 °；
（2）如图2，连结PC，取PC中点G，连结OG，则OG的最大值为 2 ；
（3）如图3，连接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长；
（4）如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
【点拨】（1）由已知条件可以得到CD垂直平分AE，所以CA＝CE，由于CE＝AE，所以可以证得三角形ACE为等边三角形，得到∠CEB＝120°；
（2）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到O是CD的中点，又G是CP的中点，连接PD，则OG∥PD，OG＝，要求OG最大值，只需要求PD最大值，由于P是劣弧上的一动点，故当P，E，D三点共线，即PD为直径时，PD最大，此时OG最大；
（3）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到，所以∠ACD＝∠CPA，又CQ平分∠DCP，所以∠PCQ＝∠DCQ，可以证明∠ACQ＝∠AQC，所以AC＝AQ，由（1）可得，AC＝AE＝2，所以AQ＝2；
（4）由直径AB⊥CD，可以得到AB垂直平分CD，所以AC＝AD，∠CAD＝2∠CAE＝120°，将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM，可以证明M，D，P三点共线，所以PC+PD＝PM，可以证明△PAM是顶角为120°的等腰三角形，过A做AG⊥PM于G，由于∠APM＝30°，可以通过勾股定理或者三角函数证明PM＝PA，所以＝．
【解析】解：（1）连接AC，CE，
∵A（﹣1，0）、E（1，0），
∴OA＝OE＝1，
∵OC⊥AE，
∴AC＝CE，
∵AE＝CE，
∴AC＝CE＝AE，
∴∠CAE＝60°，
∴∠BEC＝2∠CAB＝120°，
∴的度数为120°，
故答案为：120；
（2）由题可得，AB为⊙E直径，且AB⊥CD，
由垂径定理可得，CO＝OD，
连接PD，如图2，
又∵G为PC的中点，
∴OG∥PD，且OG＝，
当D，E，P三点共线时，此时DP取得最大值，
且DP＝AB＝2AE＝4，
∴OG的最大值为2，
故答案为：2；
（3）连接AC，BC，
∵直径AB⊥CD，
∴，
∴∠ACD＝∠CPA，
∵CQ平分∠DCP，
∴∠DCQ＝∠PCQ，
∴∠ACD+∠DCQ＝∠CPA+∠PCQ，
∴∠ACQ＝∠AQC，
∴AQ＝AC，
∵∠CAO＝60°，AO＝1，
∴AC＝2，
∴AQ＝2；
（4）由题可得，直径AB⊥CD，
∴AB垂直平分CD，
如图4，连接AC，AD，则AC＝AD，
由（1）得，∠DAC＝120°，
将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM，
∴△ACP≌△ADM，
∴∠ACP＝∠ADM，PC＝DM，
∵四边形ACPD为圆内接四边形，
∴∠ACP+∠ADP＝180°，
∴∠ADM+∠ADP＝180°，
∴M、D、P三点共线，
∴PD+PC＝PD+DM＝PM，
过A作 AG⊥PM于G，则 PM＝2PG，
∠APM＝∠ACD＝30°，
在 Rt△APG 中，∠APM＝30°，
设AG＝x，则AP＝2x，
∴，
∴
∴，
∴
∴ 为定值．
【点睛】本题是一道圆的综合题，重点考查了垂径定理在圆中的应用，最后一问由“共顶点，等线段”联想到旋转，是此题的突破口，同时，要注意顶角为120度的等腰三角形腰和底边比是固定值．
20．（2024 浙江模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为O的直径，DE交AC于点F，交BC于点E，DE⊥AC．
（1）设∠DBC＝α，试用含α的代数式表示∠ADE；
（2）如图2，若BE＝3CE，求的值；
（3）在（2）的条件下，若AC，BD交于点G，设，cos∠BDE＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②若BC＝BD，求y的值．
【点拨】（1）可推出∠DAC＝∠DBC＝α，从而得出∠ADE＝90°﹣∠DAC＝90°﹣α；
（2）可证得△DCE∽△BCD，从而，由BE＝3CE设CE＝a，BE＝3a，则BC＝4a，从而求得CD＝2a，进一步得出结果；
（3）①）①作GH∥DE，交BC于H，可得出△CEF∽△CHG，△BGH∽△BDE，从而∴＝，，从而可以表示出EF＝，＝，进而得出GH＝，BG＝，DG＝BD﹣BG＝ BD，EF＝，进一步得出结果；
②作EW⊥BD于W，可得出DE＝CD，不妨设CE＝1，则DE＝CD＝2，BE＝3，BD＝4，设DW＝x，则BW＝4﹣x，由WE2＝BE2﹣BW2＝DE2﹣DW2得32﹣（4﹣x）2＝22﹣x2，求得x的值，进一步得出结果．
【解析】解：（1）∵，
∴∠DAC＝∠DBC＝α，
∵DE⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAC＝90°﹣α；
（2）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
∵∠AFD＝90°，
∴∠DAC+∠ADF＝90°，
∴∠DAC＝∠CDF，
∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠CDF＝∠DBC，
∵∠DCE＝∠BCD，
∴△DCE∽△BCD，
∴，
由BE＝3CE设CE＝a，BE＝3a，则BC＝4a，
∴，
∴CD＝2a，
∴；
（3）①如图1，
作GH∥DE，交BC于H，
∴△CEF∽△CHG，△BGH∽△BDE，
∴＝，，
∵，BC＝4CE，
∴，
∴EF＝，＝，
∴GH＝，BG＝，
∴DG＝BD﹣BG＝ BD，EF＝，
∴DF＝DE﹣EF＝ DE，
∵，
∴cos∠BDE＝＝＝，
∴y＝；
②如图2，
作EW⊥BD于W，
∵BC＝CD，BC＝2CD，BD＝2DE，
∴DE＝CD，
不妨设CE＝1，则DE＝CD＝2，BE＝3，BD＝4，
设DW＝x，则BW＝4﹣x，
由WE2＝BE2﹣BW2＝DE2﹣DW2得，
32﹣（4﹣x）2＝22﹣x2，
∴x＝，
∴cos∠BDE＝，
∴y＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
10 押浙江卷第24题
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