2.2 《基本不等式》教学设计（表格式）

教学设计模板
授课内容 基本不等式及应用
教 学 目 标 1.通过代数变换，用重要不等式变换出基本不等式，了解基本不等式的来源和结构。 2.用不等式的性质，运用分析法、综合法证明基本不等式，提升学生逻辑推理素养。 3.通过构建几何图形，解释基本不等式的几何意义，促进学生直观想象素养的发展。 4.结合具体实例，用定理来解决求最大值或最小值的问题，发展学生的数学运算、数学建模等素养。
教学重点 从不同方法探索基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题。
教学难点 基本不等式的证明和理解，及应用它解决最值等问题。
教学方法 讲授法、探究法
教学媒体 PPT，教学展示平台
板书设计 基本不等式 1.，，当且仅当a=b时，； 2.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数； 3.（1）如果积xy等于定值P，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值； （2）如果x+y等于定值S，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值。 4.
教学过程 序号 时间 教师活动 学生活动 设计意图
1 2 3 5分钟 10分钟 15分钟 引入——在不等式的学习中，我们从赵爽弦图中抽象出了重要不等式，特别地，我们限制，并用，分别代替a，b，可得，你能证明这一不等式吗？ 利用赵爽弦图中几何元素之间的数量关系，对重要不等式进行直观解释，那么基本不等式也可以几何图形进行几何解释。如图（1），AB是圆的直径，点C是圆弧AB上的一点，过点C作AB 的垂线，与AB交于点D，设AD=a，BD=b，大家能否通过这个图对基本不等式进行几何解释？ 例1 已知，求的最小值。 教师引导学生思考，提示求最值问题可以利用基本不等式的特征考虑。 利用学生的答案展示出来，作为查找问题的方法。 例2 已知x，y都为正数，求证： （1）如果积xy等于定值P，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值； （2）如果x+y等于定值S，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值。 学生思考、证明，学生采用作差法、配方法，证得上式，老师给以肯定和评价。 学生观测图像，找出与表示的线段，再观察它们的大小关系。 同学们思考，当积为定值时，和是算术平均数的2倍，积是一个常数，不存在还有最小值问题，因此只能是求式子的最小值，故积为定值，和有最小值。 由基本不等式可以直接得到x+y与xy的关系，根据等号成立的条件，可以取到最小值或最大值。 学生能从探索活动中获知，基本不等式是重要不等式的特殊情况，通过建立新旧知识的联系，为不等式的学习提供必要的参考对象。 老师通过对图形的解读，让同学们从几何的角度理解了基本不等式的存在条件和结果，也对基本不等式的结论进行了解释和深化，使定理内容形象而直观， 通过此例题，归纳出运用基本不等式求最值的条件，从而巩固了对基本不等式的认识和理解，对学习新知识和认识新事物的分析能力素养培养， 通过对基本不等式的两种最基本变形，得到利用基本不等式求最值的目的，不过需要注意对条件的把握和等号的成立与否，
课堂形成性 练习 1.已知，求证：。 2.当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ 3.已知，求的最大值。
课后作业 作业1：教材第48页，习题2.2的第1，2，4，5题。 作业2：同步教材第38至39页，完成相关题目。 作业3：基本不等式是从重要不等式变形而来，当时，两边同时除以，可以得到的结论，你能从基本不等式出发，变形出一些不等式来吗？
教学反思 通过《基本不等式》的教学，深刻感受到学生对不等式知识的理解有些困难，对知识间联系很脱节，没有整体思想的把握； 学生对定理使用的条件依然不熟悉，只知道定理主要内容的记忆，没有全面把握定理存在的条件和取等号的关系； 学生对定理的理解只停留在公式表面上，没有弄清定理的实质是两个表达式满足的关系式，因此不易想到构造法的应用； 学生对最值的理解是意向的，以为最值就只有一个，而且对最值取得的条件不关心，不重视，因此，很容易掉入部分题设置的陷阱里； 对例题2的处理是 学生解决最值问题的关键，但学生在使用时很不容易想到定值得到的结构和形式，只能使用最基本的公式解题； 作业反映出很多学生掌握不是很牢，特别是取负数求最值时，不习惯把基本不等式与等式性质结合使用，造成不等号写反； 7.练习题还需要再多给点题型，让学生多见点不同结构的基本不等式应用，以便形成灵活的使用思维，切实掌握基本不等式的基本方法和技巧。