山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 428.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-19 10:37:28 | ||
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文档简介
潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学
本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．记为等比数列的前n项和，若，，则公比（ ）
A． B． C．3 D．2
2．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.9 B．0.8 C．0.4 D．0.1
3．函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．记数列的前n项和为，若，则（ ）
A．301 B．101 C． D．
6．函数在处取得极大值9，则（ ）
A．3 B． C．或3 D．0
7．设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（ ）
附：
0.050 0.010 0.005 0.001
k 3.841 6.635 7.879 10.828
A．60 B．65 C．70 D．75
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9．下列函数的导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．用x表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，记事件A：为偶数，B：为偶数，C：，则（ ）
A． B．A与B相互独立
C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
11．黎曼函数（Riemann function）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．从4名男生和2名女生中任选3人参加辩论赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是______．
13．记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则______．
14．已知函数，设，若只有一个零点，则实数a的取值范围是______；若不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）求在区间上的最值．
16．（15分）
某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．
（1）求比赛结束时恰好打了5局的概率；
（2）若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X，求X的分布列及数学期望．
17．（15分）
已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
18．（17分）
近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
时间 2023年12月 2024年1月 2024年2月 2024年3月 2024年4月
月份代码x 1 2 3 4 5
销量y/千辆 14 15 16 18 19
（1）已知y与x线性相关，求出y关于x的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量；
（2）该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具，
（i）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为．求的最大值点；
（ii）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i）中确定的作为p的值．预计最多可以调多少人到其他部门？
参考公式：，．
19．（17分）
已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）证明：．
高二数学参考答案及评分标准
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1-4DABB 5-8CBDC
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9．ABD 10．ACD 11．BCD
三、填空题（每小题5分，共15分）
12． 13．12 14．
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．解：（1）函数的定义域为，
．
令得，或（舍去），
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以函数单调递减区间为，函数单调递增区间为．
函数的极小值为，无极大值．
（2）由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，，，
又因为，
所以函数在区间的最小值为，最大值为2．
16．解：（1）比赛结束时，
恰好打了5局，甲获胜的概率为，
恰好打了5局，乙获胜的概率为，
所以比赛结束时恰好打了5局的概率为；
（2）由题意可知，X的取值范围是．
，
，
，
所以X的分布列如下：
X 2 3 4
P
数学期望．
17．解：（1）因为，
所以时，
所以当时，，
又满足上式，
所以；
（2）由（1）知，
所以
，
所以，
即不等式对恒成立，
令，，
所以，，
时，，所以，，
数列的最大项为，所以．
18．解：（1）由题意得，
，
，，
，
，
所以y关于x的线性回归方程为，
当时，，
所以估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量是20.3千辆；
（2）（i）恰好两期达到“优秀”标准的概率为，，
因此，
令，得，
当时，；当时，，
所以，的最大值点．
（ⅱ）设“员工经过培训，能使用人工智能工具”为事件B，
所以，
设宣传部调人至其他部门，则参加培训的人数为，
为培训后能使用人工智能工具的人数，
则，
因此，
调整后年利润万元，
令，解得，
所以最多可以调12人到其他部门．
19．解：（1）当时，，所以，
所以，，
所以函数在处的切线方程为即，
（2）若在上恒成立，则在上恒成立，
设，，所以，
，
①当时，，
当时，，
所以在上单调递减，
所以，即在不恒成立．
②当时，，
当时，，在上单调递增，
又，此时，
综上所述，所求m的取值范围是；…………10分
（3）证明：由（2）知，当时，在上恒成立，
取，得即，当且仅当时等号成立，
令，，
则，
所以，
所以
，
所以．
本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．记为等比数列的前n项和，若，，则公比（ ）
A． B． C．3 D．2
2．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.9 B．0.8 C．0.4 D．0.1
3．函数的图象如图所示，且是的导函数，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．记数列的前n项和为，若，则（ ）
A．301 B．101 C． D．
6．函数在处取得极大值9，则（ ）
A．3 B． C．或3 D．0
7．设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（ ）
附：
0.050 0.010 0.005 0.001
k 3.841 6.635 7.879 10.828
A．60 B．65 C．70 D．75
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9．下列函数的导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．用x表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，记事件A：为偶数，B：为偶数，C：，则（ ）
A． B．A与B相互独立
C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
11．黎曼函数（Riemann function）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，，若数列，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．从4名男生和2名女生中任选3人参加辩论赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是______．
13．记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则______．
14．已知函数，设，若只有一个零点，则实数a的取值范围是______；若不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）求在区间上的最值．
16．（15分）
某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．
（1）求比赛结束时恰好打了5局的概率；
（2）若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X，求X的分布列及数学期望．
17．（15分）
已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前n项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
18．（17分）
近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
时间 2023年12月 2024年1月 2024年2月 2024年3月 2024年4月
月份代码x 1 2 3 4 5
销量y/千辆 14 15 16 18 19
（1）已知y与x线性相关，求出y关于x的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量；
（2）该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具，
（i）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为．求的最大值点；
（ii）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i）中确定的作为p的值．预计最多可以调多少人到其他部门？
参考公式：，．
19．（17分）
已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）证明：．
高二数学参考答案及评分标准
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1-4DABB 5-8CBDC
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9．ABD 10．ACD 11．BCD
三、填空题（每小题5分，共15分）
12． 13．12 14．
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．解：（1）函数的定义域为，
．
令得，或（舍去），
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以函数单调递减区间为，函数单调递增区间为．
函数的极小值为，无极大值．
（2）由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，，，
又因为，
所以函数在区间的最小值为，最大值为2．
16．解：（1）比赛结束时，
恰好打了5局，甲获胜的概率为，
恰好打了5局，乙获胜的概率为，
所以比赛结束时恰好打了5局的概率为；
（2）由题意可知，X的取值范围是．
，
，
，
所以X的分布列如下：
X 2 3 4
P
数学期望．
17．解：（1）因为，
所以时，
所以当时，，
又满足上式，
所以；
（2）由（1）知，
所以
，
所以，
即不等式对恒成立，
令，，
所以，，
时，，所以，，
数列的最大项为，所以．
18．解：（1）由题意得，
，
，，
，
，
所以y关于x的线性回归方程为，
当时，，
所以估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量是20.3千辆；
（2）（i）恰好两期达到“优秀”标准的概率为，，
因此，
令，得，
当时，；当时，，
所以，的最大值点．
（ⅱ）设“员工经过培训，能使用人工智能工具”为事件B，
所以，
设宣传部调人至其他部门，则参加培训的人数为，
为培训后能使用人工智能工具的人数，
则，
因此，
调整后年利润万元，
令，解得，
所以最多可以调12人到其他部门．
19．解：（1）当时，，所以，
所以，，
所以函数在处的切线方程为即，
（2）若在上恒成立，则在上恒成立，
设，，所以，
，
①当时，，
当时，，
所以在上单调递减，
所以，即在不恒成立．
②当时，，
当时，，在上单调递增，
又，此时，
综上所述，所求m的取值范围是；…………10分
（3）证明：由（2）知，当时，在上恒成立，
取，得即，当且仅当时等号成立，
令，，
则，
所以，
所以
，
所以．
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