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2024学年人教版九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》复习与检测试题
选择题
1．若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．一元二次方程的解为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
5．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．将方程配方成的形式，则方程的两边需加（ ）
A．1 B．4 C． D．
7．某牧民要围成面积为35的矩形羊圈，且长比宽多2米，则此羊圈的周长是（ ）
A．20米 B．24 米 C．26 米 D．20或22米
8．方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定
9．距考试还有20天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的鼓励片段，小明所在的小组共写了30份鼓励片段，该小组共有（ ）
A．7人 B．6人 C．5人 D．4人
10．如图，一次函数y=-3x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．若矩形OCPD的面积为1时，则点P的坐标为（ ）
A．（，3） B．（，2） C．（，2）和（1，1） D．（，3）和（1，1）
填空题
11．一元二次方程x（x﹣7）=0的解是 ．
12．已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝ ．
13．已知方程的一个根是，则值是________．
14．已知实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，则的值是 ．
15 .某公司5月份的营业额为万，7月份的营业额为万，
已知5、6月的增长率相同，则增长率为______．
准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，
(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，
若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为 米．
解答题
17．解下列方程．
(1)； (2)；
(3)； (4)．
18．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．
19．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根．
.
商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，
商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．
设每件商品降价x元． 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
21．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题：
（1）例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0．
解：当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0．
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意．舍去）
当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0．
解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意．舍去）
∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照上例例题的解法，解方程x2﹣x|x﹣1|﹣1＝0．
菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，
造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，
以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游．
下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话．
领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？
导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．
领队：超过25人怎样优惠呢？
导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元．
请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有多少人．
去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，
第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”
这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
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2024学年人教版九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》复习与检测试题解析
选择题
1．若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：由题意，得，
解得：，故A正确．
故选：A．
2．已知是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】把x=1代入方程x2+mx﹣2=0得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【详解】把x=1代入方程x2+mx﹣2=0得：1+m﹣2=0，解得：m=1．
故选A．
3．一元二次方程的解为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】先移项，再因式分解，即可得出答案.
【详解】解：
∴
故答案选择D.
4．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
【答案】D
【详解】分析：根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．
详解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2=0．
故选D．
5．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】解：由题意可得：
，解得：，
在数轴上的表示为：
故选D．
6．将方程配方成的形式，则方程的两边需加（ ）
A．1 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程配方法先把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】解：，
．
故选：A．
7．某牧民要围成面积为35的矩形羊圈，且长比宽多2米，则此羊圈的周长是（ ）
A．20米 B．24 米 C．26 米 D．20或22米
【答案】B
【详解】解：设宽为x米，则长为（x+2）米，
根据题意可得：x（x+2）=35，
解得：x=5或x=－7（舍去），
∴x+2=5+2=7米，
则周长=（5+7）×2=24米．
故选：B
8．方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定
【答案】B
【分析】先解一元二次方程，再根据腰长、底长进行分情况讨论，从而得到其周长．
【详解】解：方程变形得：，
解得：，，
当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；
当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15，
故选：B．
9．距考试还有20天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的鼓励片段，小明所在的小组共写了30份鼓励片段，该小组共有（ ）
A．7人 B．6人 C．5人 D．4人
【答案】B
【分析】设小组有x人，根据题意，得x(x-1)=30，解方程即可．
【详解】设小组有x人，根据题意，得
x(x-1)=30，
整理，得
，
解方程，得
(舍去)，
故选B．
10．如图，一次函数y=-3x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．若矩形OCPD的面积为1时，则点P的坐标为（ ）
A．（，3） B．（，2） C．（，2）和（1，1） D．（，3）和（1，1）
【答案】D
【分析】由点P在线段AB上可设点P的坐标为（m，-3m+4）（0＜m＜），进而可得出OC=m，OD=-3m+4，结合矩形OCPD的面积为1，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再将其代入点P的坐标中即可求出结论．
【详解】解：∵点P在线段AB上（不与点A，B重合），且直线AB的解析式为y=-3x+4，
∴设点P的坐标为（m，-3m+4）（0＜m＜），
∴OC=m，OD=-3m+4．
∵矩形OCPD的面积为1，
∴m（-3m+4）=1，
∴m1=，m2=1，
∴点P的坐标为（，3）或（1，1）．
故选：D．
填空题
11．一元二次方程x（x﹣7）=0的解是 ．
【答案】x1=0，x2=7
【分析】利用因式分解的方法解方程．
【详解】x=0或x-7=0，
所以x1=0，x2=7．
故答案是：x1=0，x2=7．
12．已知（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，则m＝ ．
【答案】－1
【分析】根据一元二次方程的定义m-1≠0，且，解答即可．
【详解】∵（m－1）＋3x－5＝0是一元二次方程，
∴m-1≠0，且，
∴m-1≠0，且，
∴，
故答案为：-1．
13．已知方程的一个根是，则值是________．
【答案】
解：把代入方程，得，
解得：；
故答案为：．
14．已知实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，则的值是 ．
【答案】﹣2或2﹣2或﹣2﹣2
【分析】根据题意可以把a，b看作方程x2-2x-1=0的两个根，而，然后分类讨论并利用根与系数的关系就可以求出代数式的值．
【详解】解：因为实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，
①当a＝b＝1+或1﹣时，原式＝＝2﹣2或﹣2﹣2；
②当a≠b时，可以把a，b看作是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根．
由根与系数的关系，得a+b＝2，ab＝﹣1．
则原式＝﹣2．
故答案为：﹣2或2﹣2或﹣2﹣2．
15 .某公司5月份的营业额为万，7月份的营业额为万，
已知5、6月的增长率相同，则增长率为______．
【答案】
解：设平均每月的增长率为，
由题意得，
解得，（不合题意，舍去）
所以平均每月的增长率为．
故答案为：．
准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，
(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，
若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为 米．
【答案】1.25
【分析】设小路的宽度为，根据图形所示，用表示出小路的面积，由小路面积为80平方米，
求出未知数.
【详解】设小路的宽度为，由题意和图示可知，小路的面积为
，解一元二次方程，由，可得.
三、解答题
17．解下列方程．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）用因式分解法即可求解；
（2）用公式法即可求解；
（3）用直接开平方法即可求解；
（4）用公式法即可求解．
【详解】（1），
解：因式分解得，，
解得，，；
（2），
解：方程化为，，
∴，，，
∴
∴方程有两个不相等的实数根，，
即，；
（3），
解：，
，
解得，，；
（4）
解：，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，，
即，．
18．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．
【答案】12米
【分析】可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．
【详解】解：设BC边的长为x米，根据题意得
解得：
∵20＞16，
∴不合题意，舍去
答：该矩形草坪BC边的长为12米．
19．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【答案】（1）且；（2），
【分析】（1）根据题意可得且，由此即可求得m的取值范围；（2）在（1）的条件下求得m的值，代入解方程即可.
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且.
解得且.
的取值范围是且.
（2）在且的范围内，最大整数为.
此时，方程化为.
解得，.
20．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元． 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【答案】（1） 2x，，（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
【详解】（1） 2x，．
(2)解：由题意，得(30＋2x)(50－x)＝2 100
解之得x1＝15，x2＝20．
∵该商场为尽快减少库存，降价越多越吸引顾客．
∴x＝20．
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．
21．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题：
（1）例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0．
解：当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0．
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意．舍去）
当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0．
解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意．舍去）
∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2．
（2）请参照上例例题的解法，解方程x2﹣x|x﹣1|﹣1＝0．
【答案】x1＝﹣0.5，x2＝1
【分析】解方程x2﹣x|x﹣1|﹣1＝0．方程中|x﹣1|的值有两个，所以就要分情况讨论，然后去掉绝对值．一种是当x﹣1≥0时，求解；另一种情况是当x﹣1＜0时，求解．
【详解】解：当x﹣1≥0，即x≥1时，
原方程可化为x2﹣x（x﹣1）﹣1＝0
即x﹣1＝0，
解得x＝1
当x﹣1＜0，即x＜1时，
原方程可化为x2﹣x（1﹣x）﹣1＝0
即2x2﹣x﹣1＝0，
解得x1＝﹣0.5，x2＝1（不合题意．舍去）
∴原方程的解为x1＝﹣0.5，x2＝1
22．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
【答案】（1）20%；（2）小华选择方案一购买更优惠．
【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2列出一元二次方程求解即可；
（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．
【详解】（1）设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得5（1﹣x）2=3.2．
解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意），
符合题目要求的是x1=0.2=20%．
答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元），
方案二所需费用为：3.2×5000﹣200×5=15000（元）．
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠．
23．某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游．下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话．
领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？
导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．
领队：超过25人怎样优惠呢？
导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元．
请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有多少人．
【答案】该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有30人．
【分析】先根据支付给旅行社的钱数得到旅游的人数超过25人，设该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有人，根据题意找到等量关系列出方程即可求解.
【详解】解：因为元元，所以旅游的人数超过25人．
设该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有人，则平均每人的费用为元．
根据题意，得，
解得，．
又因为人均费用不低于70元，得．
解不等式得，所以不合题意；舍去，
=30．
答：该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有30人．
去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，
第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【答案】（1）504万元；（2）20%．
【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；
(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．
【详解】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，
故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
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