福建省福州第一中学2023-2024学年高二下学期第三学段模块考试（期中）数学试卷（含解析）

福建省福州第一中学2023-2024学年高二下学期第三学段模块考试（期中）数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若函数，则( )
A.0 B. C. D.
2．甲、乙、丙等6人相约到电影院看电影，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须相邻，则不同的坐法共有( )
A.120种 B.240种 C.360种 D.720种
3．函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
4．已知今天是星期三,则天后是( )
A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期五
5．的展开式中的系数是-2，则实数a的值为( )
A.0 B.3 C.-1 D.-2
6．已知函数，若方程有三个不同的实数根，，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．校运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往铅球、跳远、跳高三个比赛区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域．A表示事件“志愿者甲派往铅球区域”；B表示事件“志愿者乙派往铅球区域”；C表示事件“志愿者乙派往跳远区域”，则( )
A.事件A与B相互独立 B.事件A与C为互斥事件
C. D.
8．设，，，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C.甲乙不相邻的排法种数为72种
D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有40种
10．已知，函数有两个极值点，，则( )
A.a可能为负值
B.为定值
C.若，则过点作曲线的切线，切线方程为或
D.若存在，使得，则
11．在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如：，，，的前n项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，记为，的前n项和记为，则下列说法正确的有( )
A.
B.的前n项和为
C.
D.
三、填空题
12．已知，则______．
13．4名同学打算参加学校组织的“文学社”、“街舞社”、“模联社”三个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则不同的参加方法数为______．
14．已知实数a，b，c，d，满足，则的最小值为______．
四、解答题
15．已知函数在处取得极大值．
（1）求a的值；
（2）求在区间上的最大值．
16．现有4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．
（1）将余下4个半张随机翻开两张，然后将桌上4个半张再随机翻开两张，求这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率；
（2）将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为X，求X的分布列及数学期望．
17．已知函数，．
（1）讨论在区间上单调性；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
18．某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在A，B两个箱子中，A箱中有6道选择题和3道论述题，B箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子．
（1）若同学甲从B箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；
（2）若同学乙从A箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B箱，接着同学丙从B箱中抽取题目作答，
（i）求丙取出的第一道题是选择题的概率；
（ii）已知丙取出的第一道题是选择题，求乙从A箱中取出的是两道论述题的概率．
19．设函数，
（1）若函数与的图象存在公切线，求a的取值范围；
（2）若方程有两个不同的实根，，求证：．
参考答案
1．答案：A
解析：，
所以.
故选：A.
2．答案：B
解析：由题意可知不同的坐法有.
故选：B.
3．答案：C
解析：令，，
因为，所以是奇函数，排除B，
又当时，恒成立，排除A，
当时，，
，
，，函数单调递增，
当时，，即函数单调递减，故D不正确.
故选：C.
4．答案：A
解析：.
5．答案：D
解析：对，有，
故的展开式中的系数为：
，即.
故选：D.
6．答案：A
解析：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其图象如图，
方程有三个不同的实数根，即直线与的图象有三个公共点，则，
由，得：，即，
而，，则，
于是得，
记，，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
又函数在定义域上单调递减，所以.
故选：A
7．答案：D
解析：由题意易知分组情况为：2,1,1，即所有安排方案有种，
铅球区域可能安排2人或1人，所以，
同理，，
而，，
由相互独立事件的充要条件可知，事件A与B不相互独立，
故A错误；
显然，事件A与C能同时发生，不为互斥事件，故B错误；
由条件概率公式知，故C错误；
，故D正确.
故选：D
8．答案：D
解析：设，，则，，
易知，，且，
所以在上单调递减，在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减，
即，在时取得等号，
且，在时取得等号，则，在时取得等号，
所以，即.
故选：D
9．答案：ABC
解析：A选项，将甲与乙捆绑，看做一个整体，与其他三人站成一排，故有种，A正确；
B选项，若最左端排甲，此时其余四人可进行全排列，故有种，
若最左端排乙，则最右端只能从丙，丁，戊选出1人，其余三人与三个位置进行全排列，故有种选择，
综上：最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种，B正确；
C选项，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，C正确；
D选项，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，D错误.
故选：ABC
10．答案：BD
解析：因为，则，
对于A：当时，恒成立，所以单调递减，故没有极值，故A错误；
对于B：当时，由解得，，
所以在区间，上，单调递增，
在区间上，单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
而，，，，
所以
为定值，故B正确.
对于C：若，，，
设切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，则，
整理得，
令，则，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以方程的解为或，
所以切线方程为或，
所以函数过点的切线方程为或，故C错误；
对于D：若存在，使得，
即，
即，
即，
即，即，
由于，所以必存在，
对于，则有，
即，解得，故D正确.
故选：BD
11．答案：BCD
解析：从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，
，所以为一个等比数列，，所以，故A错误；
，的前n项和为
，故B正确；
去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，，构成一个等差数列，
项数之和为，则n的最大整数为10，
杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，
取的就是第12行中的第三项，，故C正确；
，这11行中共去掉了22个1，
，故D正确，
故选：BCD．
12．答案：126
解析：因为，由组合数性质可知，所以.
故答案为：126.
13．答案：36
解析：因为4名同学参加3三个社团，每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，
所以先将4名同学分为3组，再将分好的3组全排列，共有种安排方法.
故答案为：36
14．答案：8
解析：因为实数a，b，c，d满足，所以，，，
所以，点在曲线上，点在曲线上，
的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方．
考查曲线上和直线平行切线，
对函数求导得，
令，解得，所以，切点为，
该切点到直线的距离就是所要求的两曲线间的最小距离，
故的最小值为．
故答案为：8.
15．答案：（1）3
（2）
解析：（1）由已知
令得或，
当时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符；
当，即时，令得或，令得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意；
所以；
（2）由（1）得，，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，且.
因为,所以.
16．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）由题意可知总情况有种，
而翻开的四个半张扑克恰有2张相同的可能情况有，
所以这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率为；
（2）由题意可知X的可能取值有0，1，2，4，
则，，，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 4
P
则.
17．答案：（1）答案见解析；
（2）
解析：（1）由，
在时，，
若，即在区间上单调递增；
若，即在区间上单调递减；
若，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：时，在区间上单调递增；
时，在区间上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）根据题意可知恒成立，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
即，使得，
即时，，此时单调递减，
时，，此时单调递增，
则，
所以，即
18．答案：（1）
（2）（i）（ii）
解析：（1）设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2，
则，，，.
由全概率公式得第2题抽到论述题的概率.
（2）设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”，
事件为“乙从A信封中取出2个选择题”，
事件为“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”，
事件“乙从A信封中取出2个论述题”，
则，，两两互斥且，
则，，，
，，，
（i）所以丙取出的第一道题是选择题的概率为，
（ii）已知丙取出的第一道题是选择题，乙从A箱中取出的是两道论述题的概率为.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）易知，，
①若切点为两函数公共点，不妨设为，即，
易知切点为，此时，
②若切点不为两函数公共点，
由题意不妨设函数与上的切点分别为
，且，，
即，
显然，化简上式得，
令，
显然时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，
综上所述均符合题意，故a的取值范围为
（2）由题意可知有两个零点，，即有两个零点，，
令，
显然时，，即定义域上单调递减，不会存在两个零点，
则，由二次函数根的分布知只有一个使得，
此时，
即上单调递减，上单调递增，
要满足题意需，
又定义域上单调递减，
而时，，所以，
不妨设，所以，
则有，两式分别作和差得，
即，
整理得，
令，即单调递增，
所以，则，
即.