甘肃省酒泉市实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）

酒泉市实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知点，则点A关于原点的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
2．下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3．以下四个命题中,正确的是( )
A.向量与向量垂直
B.为直角三角形的充要条件是
C.若为空间的一个基底,则,,构成空间的另一基底
D.
4．2023年3月5日,于西班牙博伊陶尔进行的2023年滑雪登山世锦赛落下帷幕,19岁中国小将玉珍拉姆获得女子U20组短距离项目冠军.在一次练习中,玉珍拉姆在运动过程中的重心相对于水平面的高度h（单位：m）与开始时间t（单位：s）存在函数关系,则此次练习中,玉珍拉姆在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
5．如图,在三棱柱中,G是与的交点,若,,,则( )
A. B. C. D.
6．已知曲线在点处的切线为,则实数( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7．长方体中,,,则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8．若函数在区间上有极值点,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若构成空间的一个基底,则下列向量共面的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
10．定义在R上的可导函数的导函数的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.-2是函数的极大值点,-1是函数的极小值点
B.0是函数的极小值点
C.函数的单调递增区间是
D.函数的单调递减区间是
11．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.当时,在上单调递增
B.“”是“恒成立”的充要条件
C.当时,恒成立
D.若函数有两个零点,则
三、填空题
12．,,若,则_____________.
13．已知函数,则_________.
14．如图所示,在四棱柱中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为,则的长为_______________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）求函数的极值及相应的x的值;
（2）求曲线在点处切线的方程.
16．四棱锥的底面是边长为2的菱形,,对角线与相交于点O,底面,与底面所成的角为,E是的中点.
（1）证明：平面;
（2）求与所成角的正弦值.
17．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动,决定对某“著名品牌”A系列进行市场销售量调研,通过对该品牌的A系列一个阶段的调研,发现A系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格x（元/千克）近似满足关系式,其中,a为常数.已知销售价格为6元/千克时,每日可售出A系列15千克.
（1）求函数的解析式;
（2）若A系列的成本为4元/千克,试确定销售价格x的值,使该商场每日销售A系列所获得的利润最大.
18．如图,在正方体中,E为棱的中点.求证：
（1）平面;
（2）平面平面.
19．已知,在处取得极小值.
（1）求的解析式;
（2）求的单调区间
（3）若方程有且只有一个实数根,求k的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为点，所以点A关于原点的对称点的坐标为.故选D.
2．答案：B
解析：对于A中,由,所以A错误;
对于B中,由,所以B正确;
对于C中,由,所以C错误;
对于D中,由,所以D错误.
故选：B.
3．答案：C
解析：
4．答案：C
解析：因为,
所以,
所以,即玉珍拉姆在时
的瞬时速度为.
故选：C.
5．答案：A
解析：取的中点D,则,故选A.
6．答案：D
解析：,所以,
在点处的切线为,
所以,
故选：D.
7．答案：A
解析：以为坐标原点,为轴,为轴,为z轴,
建立空间直角坐标系,
则,,,,
,,
,
故选：A.
8．答案：D
解析：由已知得,若函数在上有极值点,则在上有解,即,解得.
9．答案：ABD
解析：
10．答案：BC
解析：
11．答案：ACD
解析：
12．答案：8
解析：因为,解得,
所以.
13．答案：1
解析：,,
故答案为：1.
14．答案：
解析：
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）令,得或.
则当x变化时,与的变化情况如下表
-1 3
0 0
递增 递减 -8 递增
函数的单调递增区间是,
函数的单调递减区间是;
当时,取得极大值,极大值为;
当时,取得极小值,极小值为-8.
（2）,,
从而,,
因此,函数点处的切线方程为：.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）连接,因为E,O分别是,的中点,
则,且平面,平面,
所以平面.
（2）由题意,,,两两互相垂直,以O为坐标原点,射线,,分别为x轴、y轴的正半轴建立空间直角坐标系,如图,
菱形中,,所以,
在中,
因为底面,所以与底面
所成的角为,所以,
则点A,B,D,P的坐标分别是,,,
E是的中点,则,
于是,.
设,的夹角为,则有
异面直线与所成角的余弦值为;
17．答案：（1）,
（2）当售价格5元/千克时,该商场每日销售A系列所获得的利润最大
解析：（1）由题意可知,当时,
,即,解得,
,
（2）商场每日销售A系列所获得的利润为,
则,（）,
即,
令,
解得或（舍去）,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
当时,函数在区间内取的极大值点,也是最大值点,
,
当售价格5元/千克时,该商场每日销售A系列所获得的利润最大.
（i）由题意可得,,
,
解得.
（ii）平均数为.
因为,,
所以中位数在之间,设中位数为x,
则,解得.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：证明：（1）以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
设正方体中棱长为2,则,,,
所以,,
,,
设平面的法向量,
则,取,得.
,平面.
（2）设平面的法向量
则,取,得,
,
平面平面.
19．答案：（1）
（2）的单调递增区间为：,;
的单调递减区间为
（3）
解析：（1）由题意知,
因为在处取得极小值,
则,解得,
经检验,满足题意,所以,
所以;
（2）,
令,得或
x 2
x 2
0 0
单调递增 单调递减 单调进行
的单调递增区间为：,;
的单调递减区间为.
（3）令解得或
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,单调递增,
则,,
时,,
时,,
方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根,
等价于函数与有且只有一个交点,即或
解得或,
所以k的范围为.