云南省大理白族自治州下关第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）

云南省下关第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．命题“,”的否定是( )
A.",” B.","
C.",” D.“,”
2．已知事件A,B,C满足A,B是互斥事件,且,,( )
A. B. C. D.
3．曲线在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4．在学校组织的一次活动结束后,3名男生和2名女生站成一排照相留念, 其中2名女生不相邻, 则不同的站法有( )
A.120种 B.72种 C.48种 D.24种
5．已知是锐角,, 则( )
A. B. C. D.
6．函数的图象如图1所示,是函数的导函数,令,,,则下列数值排序正确的是( )
A. B. C. D.
7．已知曲线关于直线对称,则的最小值为( )
A. B.4 C. D.8
8．函数是定义在 上的奇函数, 其导函数为,且,当 时,,则关于x的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．复数,则下列说法正确的有( )
A.
B.z的共轭复数
C.z的虚部为
D.z在复平面内对应的点的坐标在第四象限
10．下列计算正确的有( )
A. B.
C. D.
11．的展开式中, 下列结论正确的是( )
A.展开式共7项
B.所有项的二项式系数之和为128
C.x项系数为280
D.所有项的系数之和为-1
12．抛物线 的焦点为, 经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A, B两点, 分别过点A、点B作抛物线C的切线, 两切线相交于点E,则( )
A.当时,
B.面积的最大值为2
C.点E在一条定直线上
D.设直线倾斜角为, 则为定值
三、填空题
13．在一次数学测试中, 8 名同学的成绩如下: 112 、96 、100、108、121、87、103、111.则这组数据的第60百分位数为________________.
14．已知向量,且,则_____________.
15．“杨辉三角” 揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律,如图2所示, 则在第10行中最大数为__________.
16．甲、乙、丙三人相互做传球训练, 第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,则5次传球后球在甲手中的概率为___________.
四、解答题
17．在中, 角A,B, C的对边分别为a, b, c,已知.
(1)求角A;
(2)若,,D为的中点, 求的长度.
18．2024年5月4日是“五四运动”105周年纪念日, 为弘扬五四爱国主义精神, 某学校开展了爱国主义知识竞赛活动. 在最后一轮晋级比赛中, 甲、乙、丙三名同学回答一道有关历史的问题,每个人回答正确与否互不影响.已知甲回答正确的概率为,甲、丙两人都回答正确的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.
(1)若规定三名同学都回答这个问题,求甲、乙、丙三名同学都回答正确的概率;
(2)若规定三名同学抢答这个问题,已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为,,求这个问题回答正确的概率.
19．已知等比数列的公比,满足,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)在与之间插入n个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,求n的值.
20．如图 3, 在四棱锥中,底面,,,,,E为棱的中点,F是线段上一动点.
(1)求证:平面平面;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为时,求点C到平面的距离.
21．已知函数有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设,是的两个零点,证明:.
22．已知在双曲线中,焦距为, 且双曲线过点.斜率不为零的直线与双曲线交于A, B两点, 且以为直径的圆过点P.
(1)求双曲线的方程;
(2)是否存在直线,使得点P到直线的距离最大 若存在, 求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：C
解析：
3．答案：B
解析：
4．答案：B
解析：
5．答案：D
解析：
6．答案：A
解析：
7．答案：D
解析：由曲线关于直线对称,故直线经过圆心,即有,即,则,当且仅当,即时, 等号成立,故选：D.
8．答案：A
解析：令,
则,
所以函数在上单调递减.因为函数是定义在上的奇函数,
所以,则,所以函数为偶函数.
又,所以,则当或时,;
当或时,.由,得或
解得或,所以关于x的不等式的解集为, 故选：A.
9．答案：ABD
解析：
10．答案：AC
解析：
11．答案：BD
解析：
12．答案：CD
解析：如图1,由抛物线的焦点为,故,
即,由题 意可知, 直线l斜率存在,
设,,,
联立,有,,
,,
对A:,
当时,即有 ,故, 即,
即或,故A错误;
对B:,
故,故B错误；
对C:由,即 ,有,故,
又,故,同理可得,
设点,则有有,
,由,,
故,故点E在一条定直线上且该直线为,故C正确；
对D :由,则,故有,
即, 故为定值且该定值为, 故D正确,
故选：CD.
13．答案：108
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：252
解析：
16．答案：
解析：由题意可知, 要使得n次传球后球在甲手中,则次传球后必定不在甲手中,
设n次传球后球在甲手中的概率为, 则次传球后球不在甲手中的概率为,
所以,即.
因为,则,,
所以,,则数列是以为首项,以为公比的等比数列,
所以,即.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,由正弦定理得,
在中,,则有,
,
,又,,,
,又,.
（2）根据余弦定理有,则有,
解得或(舍去),
为的中点,则,
,
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设乙答题正确的概率为, 丙答题正确的概率为,
则甲、丙两人都回答正确的概率是,解得,
乙、丙两人都回答正确的概率是 ,解得,所以规定三名同学都需要回答这个问题,
则甲、乙、丙三名同学都回答正确的概率为.
（2）记事件 为 “甲抢答这道题”,事件为 “乙抢答这道题”,事件为“丙抢答这道题”,
记事件B为 “这道题被答对”,
则,,
且,,
由全概率公式可得.
19．答案：（1）
（2）2024
解析：（1）由
因为,解得或(舍去),所,
所以数列的通项公式为.
（2）因为,由题意得:,
即,所以.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明: 因为,,则,
平面,平面,,
,,平面,平面,
平面,因此,平面平面.
（2）因为底面,,以点A为坐标原点,AB, AD,AP所在直线分别为x, y,z轴建立如图2所示的空间直角坐标系,
设,,
其中,易知平面的一个法向量为,
由已知可得,
解得,所以F为的中点,即,
设平面的法向量为,,
则 取可得,,
因为,
所以点C到平面的距离为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,
令, 则函数的图象与 的图象有两个交点,
,,,
当 时,单调递增;
当时,单调递减,
又时,,,
所以.
（2）不妨设,由, 则 ,
构造函数,
,
因为,,,即,所以在上单递递增,
又,所以,,
.
又,,
而,,在上单调递减,
所以,,即,
所以.
22．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意得,且,
又,解得 ,,
故双曲线方程为：.
（2）设直线,联立得,
设,,则,
由题意得,
即
,
将 代入上式,
,
即,
化简得,
变形为,故或,
当时,直线,经过定点 ,与P重合,不合要求,
当时,直线,经过定点,
要想P到直线的距离最大, 则, 其中 ,故直线的斜率,故直线的方程为,即 .
经检验, 满足要求.