浙江省丽水市五校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试卷(含答案)

浙江省丽水市五校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若复数z满足(i为虚数单位),则z的虚部为( )
A.0 B.1 C.-1 D.
2．若,为非零向量,则“ ”是“ ”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3．在空间几何中下列说法正确的是( )
A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C.过一点有且只有一个平面与已知直线平行
D.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
4．已知在中, 三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若,,边上的高等于,则的面积为( )
A. B.9 C. D.
5．已知点O为所在平面内一点,且,,,则为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
6．已知m、n为异面直线,平面,平面,若直线l满足,,,则( )
A., B.,
C.直线r, D. 直线r,
7．已知A、B、C三点在以O为圆心, 1 为半径的圆上运动, 且,M为圆O所在平面内一点,且,则下列结论错误的是( )
A.的最小值是1 B.为定值
C.的最大值是10 D.的最小值是8
8．设A、B、C是函数与数函的图象连续相邻的三个交点, 若是锐角三角形,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知针角中,若,则下列命题中正确的是( )
A. B. C. D.
10．若复数,满足(i为虚数单位), 则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11．已知正方体的棱长为 2 ,点P是的中点, 点M是正方体内(含表面) 的动点,且满足,下列选项正确的是( )
A.动点M在侧面内轨迹的长度是
B.三角形在正方体内运动形成几何体的体积是2
C.直线与所成的角为,则的最小值是
D.存在某个位置M,使得直线与平面所成的角为
三、填空题
12．已知向量,且,则________________.
13．高为1的圆锥,侧面积为,则过其顶点的截面面积最大值为________________.
14．已知在锐角中,三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c,则的取值范围是___________.
四、解答题
15．已知在中, 三个内角A 、B、C的对边分别为a、b、c,且.
(1)若,求b;
(2)求证:.
16．如图在三棱台中,等腰梯形平面,,.
(1)求三棱台的体积;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．欧拉公式:(i为虚数单位,),是由瑞土著名数学家欧拉发现的。它将指数函数的定义域扩大到了复数,建立了三角函数和指数函数之间的关系,它被誉为“数学中的天桥”.
(1)根据欧拉公式计算;
(2)设函数,求函数在上的值域.
18．如图在平行四边形中,,,E,F分别为和上的动点(包含端点),且,.
(1)若
①请用,表示
②设与相交于点G,求.
(2)若,求的取值范围.
19．“风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分, 距今已有 2000 多年的历史。相传在东周春秋时期, 墨翟以木头制成木鸟, 是人类最早的风筝起源。后来鲁班用竹子,改进墨翟的风筝材质,直至东汉期间,蔡伦改进造纸术后,坊间才开始以纸做风筝,称为“纸鸢”。到南北朝时, 风筝开始成为传递信息的工具; 从隋唐开始, 由于造纸业的发达, 民间开始用纸来 糊风筝; 到了宋代的时候, 放风筝成为人们喜爱的户外活动。风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成。如图(1)就是一个由菱形的风筝面和两个直角三角形尾翼 和所组成的风筝。其中,,,,.现将此风筝的两个尾翼分别沿、折起, 使得P与点Q重合于点S,并连结, 得到如图(2)所示的四棱锥.
(1)求证:平面.
(2)若E为棱上一点,记.
①若求直线与平面所成角的正切值;
②是否存在点E使得直线与直线所成角为, 若存在请求出的值, 若不存在请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：B
解析：
3．答案：D
解析：
4．答案：A
解析：
5．答案：C
解析：
6．答案：C
解析：
7．答案：D
解析：
8．答案：B
解析：
9．答案：AC
解析：
10．答案：ABD
解析：
11．答案：ABC
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：2
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：（1）2
（2）
解析：（1）由得:,
,
结合余弦定理得:.
,,.
（2）由（1）得,
,
,
,由可知,,
,即.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）记与的面积分别为和,
则由题可得,.
如图过点作,垂足为O,
等腰梯形平面,
易得平面,
,,
,
.
（2）过点作,垂足E, 连结,
由（1）得平面,
为平面与平面夹角的平面角.
由题可得,
,
平面与平面所成角的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）.
（2）
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）
.
设,则
,G,E三点共线,
.
（2）
.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）连结, 交于点O,
底面为菱形,
由题可得,且于点D,
平面
于点D
平面.
（2）连结交于点G,由(1)得平面
为直线与平面所成角
,,,
,
,,,
,
直线与平面所成角的正切值为
连结
或其补角为直线与直线所成角
由题得,
,
解得
存在使得直线与直线所成角为.