高中数学人教A版（2019）选择性必修3 第七章 离散型随机变量及其分布 学案

离散型随机变量及其分布列
【考纲解读】
理解随机变量，离散型随机变量和连续型随机变量的定义，了解离散型随机变量和连续型随机变量的特征；
理解离散型随机变量分布列的定义，了解离散型随机变量分布列对刻画随机现象的重要意义；
理解二项分布和几何分布的定义，能够运用二项分布和几何分布解答相关的数学问题；
能够计算简单离散型随机变量的概率，从而求出简单离散型随机变量的分布列，并能运用简单离散型随机变量分布列解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、随机变量的概念：
1、随机变量的定义：
【问题】认真分析下面的问题，并回答题后的思考问题：
1、某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，---------命中10环，等不同结果；
2、某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件。
『思考问题』
（1）【问题】1中出现的不同结果有：命中0环，命中1环，---------命中10环11种；
（2）【问题】2中出现的不同结果有：0件，1件，2件，3件，4件5种；
（3）上面两个试验的共同特点是：①试验可以重复进行；②试验出现的可能结果是有限
的，但每次试验出现哪种结果在试验之前不能预知；③ 每种结果出现的可能性是相同的。
（1）随机变量的定义：随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量称为随机变量，常用希腊字母，-----等表示；
（2）随机变量的种类：①随机变量的可能取值可以按一定的顺序一一列出，这样的随机变量，叫做离散型随机变量；②随机变量可以取某一区间内的所有实数值，这样的随机变量，叫做连续型随机变量。
二、离散型随机变量的分布列：
1、离散型随机变量分布列的定义：设随机变量的可能取值为，，--------------，每取一个值的概率为p=（=），则称 ------ --------
为离散型随机变量的概率分布列，简称为离 P ----- --------
型随机变量的分布列；
2、离散型随机变量分布列的性质：①0≤≤1（i=1，2，---------）； ②++-------
++--------=1（i=1，2，---------），③离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和；
3、常见离散型随机变量的分布列：
（1）0—1分布：（变量的可能取值只有“1”，“0”两个） 1 0
（2）二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次 p p 1-p（0＜p＜1)
数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，3，--------n，并且p(=k)= （其中k=0,1,2,3，------n），显然p(=k)≥0 （k=0,1,2,3，------n），
= =1，称这样的随机变量服从次数n和p的二项分布，记为—B（n，p）
0 1 ------ k ------ n
P
（3）几何分布：n次独立重复试验中，事件A首次发生出现在第k次试验的概率要使首次成功出现在第k次试验，必须且只需在前k-1次试验中都出现，若用表示试验次数，p(A)=p，p()=q，于是得到随机变量的分布列如下表，则称随机变量服从几何分布，记为g（k，p），（其中q=1-p，k=1，2，-----，n）。
1 2 3 ------- k --------
P p qp p -------- p ---------
4、理解随机变量和随机变量分布列时应该注意的问题：
（1）随机变量与函数的自变量的相同点是它们都是变量，不同点是随机变量是随机的结果，随机变量具有两个特点：①在试验之前不能确定随机变量取什么值，具有随机性；②在大量重复试验中能按一定的规律取某个实数值，存在统计规律性；而函数的自变量是确定的；
（2）离散型随机变量的分布列与函数之间的关系是：①函数是研究确定性现象的，定义域是实数集，有明确的因果关系；离散型随机变量的分布列是研究随机现象的，它的定义域是由全部试验可能结果所组成的整数集合，它的取值是不能预知的，但它的取值有一定的规律，研究随机变量时，关心的是随机变量能够取哪些值，都包括哪些试验结果（基本事件）以及统计的规律（也就是事件概率的大小）；②对随机变量统计规律的研究着重关心两个问题：第一是随机试验的全部结果有哪些？第二是随机试验中某结果发生的可能性有多大？随机变量的分布列可以一目了然的看到随机变量的取值范围，即全部随机变量的结果，每个随机变量发生的概率，即每个试验结果发生可能性的大小。
【探导考点】
考点1随机变量定义及运用：热点①随机变量定义与分类；热点②随机变量的特征及运用；
考点2离散型随机变量分布列及运用：热点①离散型随机变量分布列的性质及运用；热点②求离散型随机变量的分布列；热点③离散型随机变量的二项分布及运用；热点④离散型随机变量的综合问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机变量的结果：
①袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止所需要的取球次数；②袋中有大小完全相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，若取出一个白球则结束，若取出一个红球则放回袋中继续从袋中任意取出一个球，直到取出的球是白球为止所需要的取球次数；③从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意取2张，所取卡片上的数之和。
2、①某机场候机室中一天的游客数量为，②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为，③某水文站观察到一天中长江的水位为，④某立交桥一天经过的车辆数为，则（ ）不是离散型随机变量。
A ①中的 B ②中的 C ③中的 D ④中的
『思考问题1』
（1）【典例1】是随机变量定义及运用的问题，解答这类问题需要理解随机变量的定义，了解随机变量的分类，掌握离散型随机变量和连续型随机变量的特点；
（2）离散型随机变量具有两个特点：①在试验之前不能确定随机变量取什么值，具有随机性；②在大量重复试验中能按一定的规律取某个实数值，具有规律性。
〔练习1〕解答下列问题：
1、从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数；
2、一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
3、抛掷两个骰子，所得到数之和；
4、接连不断的射击，首次命中目标需要的射击次数。
【典例2】解答下列问题：
1、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一个人取到白球时即终止，每个球在每次被取出的机会是等可能的。
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）用表示取球终止时所需要的取球次数，求随机变量的概率分布；
（3）求甲取到白球的概率。
2、设事件A在每次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，在5次独立试验中。
（1）求A发生的次数的分布列；
（2）求指示灯发出信号的概率。
3、某人每次投篮投中的概率为0.1，各次投篮的结果互相独立，求他首次投篮投中时投篮次数的分布列，以及他在5次内投中的概率（精确到0.01）；
4、一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取1件，在下述三种情况下，分别求直至取到正品时所需次数的分布列。
（1）每次取出的产品不再放回；
（2）每次取出的产品仍放回；
（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中。
『思考问题2』
（1）【典例2】是求离散型随机变量分布列的问题，解答这类问题需要理解离散型随机变量分布列的定义和性质，掌握求离散型随机变量分布列的基本方法；
（2）求离散型随机变量分布列的基本方法是：①明确离散型随机变量的所有可能取值以及每个值所表示的意义；②运用概率的相关知识，求出离散型随机变量每个取值的概率；③按规范形式写出分布列；④运用分布列的性质进行验证。
〔练习2〕解答下列问题：
设随机变量的分布列p(=)=ak（k=1，2，3，4，5）。
求常数a的值；
求p(≥)；
求（＜＜）。
X 0 1
2、若离散型随机变量的分布列为： P 9-c 3-8c ，试求常数c的值。
3、某一射手射击所得的环数的分布列如下表，求此射手“射击一次命中环数≥7的概率。 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
4、某人每次射击击中目标的概率是0.2，射击中每次射击的结果是相互独立的，求他在10次射击中击中目标的次数不超过5次的概率（精确到0.01）。
5、袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从袋中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布列。
6、已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品，需要从中取出2个正品，每次取出一个，取出后不放回，直到取出2个正品为止，设为取出的次数，求的分布列。
7、一名学生每天骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都等于。
（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；
（2）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率；
8、袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个球被取出的可能性都相等，用X表示取出3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量X的概率分布列；
（3）计分介于20分到40分之间的概率。
9、甲、乙两名篮球运动员独立地轮流投篮，甲先投，直到有人投中为止，甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，以表示结束时甲投篮次数，以表示结束时乙投篮次数，求和的分布列。
【雷区警示】
【典例3】解答下列问题：
甲，乙两个排球队进行比赛，规定两队中有一队胜4场，整个比赛结束，若甲，乙两队每场比赛中获胜的概率都是，记比赛场数为X，求X的概率分布列。
一盒中有9个正品和3个次品零件，每次取出一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X的概率分布列。
『思考问题3』
【典例3】是解答离散型随机变量及其分布列问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视离散型随机变量的取值，导致解答问题出现错误；②忽视离散型随机变量各个取值概率计算的准确性，导致解答问题出现错误；
解答离散型随机变量及其分布列问题时，为避免忽视离散型随机变量的取值的雷区，需要理解离散型随机变量的定义，掌握确定离散型随机变量取值的基本方法；
解答离散型随机变量及其分布列问题时，为避免忽视离散型随机变量各个取值概率计算的准确性的雷区，需要理解随机变量概率的定义，掌握求随机变量概率的基本方法。
〔练习3〕解答下列问题：
每年的3月12日是我国的植树节，林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测，现从甲，乙两批树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的为“良种树苗”，测得高度如下（单位：厘米）：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133；乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146。
根据抽测结果，作出茎叶图，并由茎叶图对甲，乙两批树苗的高度作比较，写出对两批树苗高度的统计结论；
若小王在甲批树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布，求小王领取到的“良种树苗”株数X的分布列。
2、已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定，取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从该箱中任取（无放回，且每个球取到的机会均等）3个球，记思考变量X为取出3个球所得分数之和，求X的分布列。
【追踪考试】
【典例4】解答下列问题：
1、甲，乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每次投篮命中率均为0.6，乙每次投篮命中率均为0.8，由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5。
（1）求第二次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且p（=1）=1-p（=0）=qi，i=1，2，---n，则E（）=，记前n次（即从第一次到第n次）投篮中甲投篮的次数为Y，求E（Y）（2023全国高考新高考I）。
2、甲，乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立。
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与数学期望（2022全国高考甲卷理）
3、某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中在随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束。A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关（2021全国高考新高考I卷）。
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应该选择先回答哪类问题？并说明理由。
4、《营造法式》是中国北宋时期官方颁布的一部建筑设计与施工的书籍，标志着我国古代建筑技术和工艺发展到了较高水平，中国近代建筑之父梁恩成用现代语言和制图方法对该书进行了注释，著有《（营造法式）注释》，为了让建筑类学生了解古建筑设计与构造的原理，某建筑大学为大三和大四的学生开设了一门选修课程《营造法式及其注释》，为检测学生学习效果，要求所有选修该门课程的学生完成“应用营造法式独立制作一件古建筑模型”的作业，已知选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为3:2，现用分层抽样的方法从所有作业中随机抽取100份（每位学生均上交一份作业），并评出成绩，得到如下频率分布表：
（理）（1）求x，y的值，并估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
在这100份作业的样本中，从成绩在[50，80）的大四学生作业中随机抽取2份，记抽取的这2份作业中成绩在[60，70）的份数为X，求X的分布列与数学期望。
成绩（单位：分） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
频数（不分年级） 4 x 20 38 30
频数（大三年级） 3 6 15 y 12
（文）（1）求y的值，若以频率作为概率，从选修该门课程的大四学生中随机选取1名，试估计该学生的作业成绩在[60，80）的概率；
估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2021成都市高三三诊）
『思考问题4』
【典例4】是近几年高考（或高三诊断考试或调研考试）试卷中与随机变量及其分布列相关的问题，归结起来主要包括：①随机变量定义及运用；②离散型随机变量分布列及运用等几种类型；
（2）解答随机变量及其分布列问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题的所属类型；②按照解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题解答的最终结果。
1、2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施，为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：
（1）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m，n的值；
（2）现从年龄在,[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动，应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄段在[35，40）段中的概率（2021成都市高三零诊）。
2、信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X所有可能的值为1，2，----，n，且P（X=i）=>0，（i=1，2，----，n），=1，定义X的信息熵H（x）=-，则（ ）（2020全国高考新高考I）（多项选择题）
A 若n=1，则H（x）=0 B 若n=2，则H（x）随的增大而增大 C 若=（i=1，2，----，n），则H（x）随n的增大而增大 D 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为i=1，2，-----，m，且P（Y=j）= + （j=1，2，----，m），则H（x） H（Y）
3、2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮，某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间（所有学生诵读时间都在两小时内），并按时间（单位：分钟）将学生分成六个组：［0,20），［20,40），［40,60），［60,80），［80,100），［100,120］，经统计得到了如图所示的频率分布直方图（2019成都市高三零诊）。
（1）求频率分布直方图中a的值；并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的时间的平均数；
（2）若两个同学诵读诗词的时间x，y满足|x-y|＞60，则这两个同学组成一个“Tean”,已知从每天诵读诗词的时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Tean”的概率。
4、（理）某部门为了解企业在生产过程中的用水量情况，对每 7 3 1
天的用水量作了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据， 8 3 5 6 7 8 9
从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所 9 5 7 8 9
示的茎叶图（单位：吨），若用水量不低于95吨，则称这一天
的用水量超标。
（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天用水量超标的概率；
（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X为未来3天中用水量超标的天数，求X的分布列和数学期望。
（文）某部门为了解企业在生产过程中的用水量 日用水量 ［70,80）［80,90）［90,100］
情况，对每天的用水量作了记录，得到了该企业（单位：吨）
的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机 频数 3 6 m
抽取12天的用水量的数据作为样本，得到的统 频率 n 0.5 p
计结果如右表：（2018成都市高三一诊）
（1）求m，n，p的值；
（2）已知样本中日用水量在［80,90）内的这六个数据分别为83，85，86，87，88，89，从六个数据中随机抽取两个，求抽取的两个数据中至少有一个大于86的概率。
5、（理）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关，如果气温不低于25，需求量为500瓶；如果气温位于区间［20，25），需求量为300瓶；如果气温低于20，需求量为200瓶。为了确定6月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频率分布表：
最高气温 ［10，15）［15，20）［20，25）［25，30）［30，35）［35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（2017全国高考新课标III卷）。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，y的数学期望达到最大值？
（文）（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出y的所有可能值，并估计y大于零的概率。
离散型随机变量及其分布列
【考纲解读】
理解随机变量，离散型随机变量和连续型随机变量的定义，了解离散型随机变量和连续型随机变量的特征；
理解离散型随机变量分布列的定义，了解离散型随机变量分布列对刻画随机现象的重要意义；
理解二项分布和几何分布的定义，能够运用二项分布和几何分布解答相关的数学问题；
能够计算简单离散型随机变量的概率，从而求出简单离散型随机变量的分布列，并能运用简单离散型随机变量分布列解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、随机变量的概念：
1、随机变量的定义：
【问题】认真分析下面的问题，并回答题后的思考问题：
1、某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，---------命中10环，等不同结果；
2、某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件。
『思考问题』
（1）【问题】1中出现的不同结果有：命中0环，命中1环，---------命中10环11种；
（2）【问题】2中出现的不同结果有：0件，1件，2件，3件，4件5种；
（3）上面两个试验的共同特点是：①试验可以重复进行；②试验出现的可能结果是有限
的，但每次试验出现哪种结果在试验之前不能预知；③ 每种结果出现的可能性是相同的。
（1）随机变量的定义：随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量称为随机变量，常用希腊字母，-----等表示；
（2）随机变量的种类：①随机变量的可能取值可以按一定的顺序一一列出，这样的随机变量，叫做离散型随机变量；②随机变量可以取某一区间内的所有实数值，这样的随机变量，叫做连续型随机变量。
二、离散型随机变量的分布列：
1、离散型随机变量分布列的定义：设随机变量的可能取值为，，--------------，每取一个值的概率为p=（=），则称 ------ --------
为离散型随机变量的概率分布列，简称为离 P ----- --------
型随机变量的分布列；
2、离散型随机变量分布列的性质：①0≤≤1（i=1，2，---------）； ②++-------
++--------=1（i=1，2，---------），③离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和；
3、常见离散型随机变量的分布列：
（1）0—1分布：（变量的可能取值只有“1”，“0”两个） 1 0
（2）二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次 p p 1-p（0＜p＜1)
数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，3，--------n，并且p(=k)= （其中k=0,1,2,3，------n），显然p(=k)≥0 （k=0,1,2,3，------n），
= =1，称这样的随机变量服从次数n和p的二项分布，记为—B（n，p）
EMBED Equation.DSMT4 0 1 ------ k ------ n
P
（3）几何分布：n次独立重复试验中，事件A首次发生出现在第k次试验的概率要使首次成功出现在第k次试验，必须且只需在前k-1次试验中都出现，若用表示试验次数，p(A)=p，p()=q，于是得到随机变量的分布列如下表，则称随机变量服从几何分布，记为g（k，p），（其中q=1-p，k=1，2，-----，n）。
1 2 3 ------- k --------
P p qp p -------- p ---------
4、理解随机变量和随机变量分布列时应该注意的问题：
（1）随机变量与函数的自变量的相同点是它们都是变量，不同点是随机变量是随机的结果，随机变量具有两个特点：①在试验之前不能确定随机变量取什么值，具有随机性；②在大量重复试验中能按一定的规律取某个实数值，存在统计规律性；而函数的自变量是确定的；
（2）离散型随机变量的分布列与函数之间的关系是：①函数是研究确定性现象的，定义域是实数集，有明确的因果关系；离散型随机变量的分布列是研究随机现象的，它的定义域是由全部试验可能结果所组成的整数集合，它的取值是不能预知的，但它的取值有一定的规律，研究随机变量时，关心的是随机变量能够取哪些值，都包括哪些试验结果（基本事件）以及统计的规律（也就是事件概率的大小）；②对随机变量统计规律的研究着重关心两个问题：第一是随机试验的全部结果有哪些？第二是随机试验中某结果发生的可能性有多大？随机变量的分布列可以一目了然的看到随机变量的取值范围，即全部随机变量的结果，每个随机变量发生的概率，即每个试验结果发生可能性的大小。
【探导考点】
考点1随机变量定义及运用：热点①随机变量定义与分类；热点②随机变量的特征及运用；
考点2离散型随机变量分布列及运用：热点①离散型随机变量分布列的性质及运用；热点②求离散型随机变量的分布列；热点③离散型随机变量的二项分布及运用；热点④离散型随机变量的综合问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、①某机场候机室中一天的游客数量为，②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为，③某水文站观察到一天中长江的水位为，④某立交桥一天经过的车辆数为，则（ ）不是离散型随机变量。
A ①中的 B ②中的 C ③中的 D ④中的
【解析】
【知识点】①离散型随机变量定义与性质；②判断随机变量是离散型随机变量的基本方法。
【解题思路】根据离散型随机变量的性质，运用判断随机变量是离散型随机变量的基本方法，结合问题条件对各选项的数据变量是否是离散型随机变量进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，某机场候机室中一天的游客数量为，只能取正整数是离散型随机变量；对②，某寻呼台一天内收到的寻呼次数为，只能取正整数是离散型随机变量；对③，某水文站观察到一天中长江的水位为，可以取某一区间的任意实数，不是离散型随机变量；对 ④，某立交桥一天经过的车辆数为，只能取正整数是离散型随机变量，综上所述，③中的随机变量不是离散型随机变量，C正确，选C。
2、写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机变量的结果：
①袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止所需要的取球次数；②袋中有大小完全相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，若取出一个白球则结束，若取出一个红球则放回袋中继续从袋中任意取出一个球，直到取出的球是白球为止所需要的取球次数；③从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意取2张，所取卡片上的数之和。
【解析】
【知识点】①离散型随机变量定义与性质；②确定随机变量可能取值的基本方法。
【解题思路】根据随机变量的性质，运用确定随机变量可能取值的基本方法，结合问题条件就可分别确定出随机变量的可能取值。
【详细解答】对①，从袋中每次任意取出1个球，取出的求不放回，直到取出的球是白球为止所需要的取球次数为随机变量，随机变量的可能取值为1，2，3，4,，5，6，7，8，9，10，11；对②，从袋中每次任意取出1个球，取出白球则结束，取出红球又放回袋中继续从袋中任意取出一个球，，直到取出的球是白球为止所需要的取球次数为随机变量，随机变量的可能取值为1，2，3，-----k,------，其中k；对③，从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意取2张，所取卡片上的数之和为随机变量，随机变量的可能取值为3，4，5，6，7，8，9，10，11；
『思考问题1』
（1）【典例1】是随机变量定义及运用的问题，解答这类问题需要理解随机变量的定义，了解随机变量的分类，掌握离散型随机变量和连续型随机变量的特点；
（2）离散型随机变量具有两个特点：①在试验之前不能确定随机变量取什么值，具有随机性；②在大量重复试验中能按一定的规律取某个实数值，具有规律性。
〔练习1〕解答下列问题：
1、从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数，确定随机变量的可能取值。（答案：机变量的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）
2、一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数，确定随机变量的可能取值。（答案：机变量的可能取值为0，1，2，3）
3、抛掷两个骰子，所得到数之和，确定随机变量的可能取值。（答案：机变量的可能取值为3，4，5，6，7，8，9，10，11，12）
4、接连不断的射击，首次命中目标需要的射击次数，确定随机变量的可能取值。（答案：机变量的可能取值为1，2，3，-----k，-------，其中k）
【典例2】解答下列问题：
1、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一个人取到白球时即终止，每个球在每次被取出的机会是等可能的。
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）用表示取球终止时所需要的取球次数，求随机变量的概率分布；
（3）求甲取到白球的概率。
【解析】
【知识点】①离散型随机变量定义与性质；②随机事件概率定义与性质；③求随机事件概率的基本方法；④求离散型随机变量分布列的基本方法。
【解题思路】（1）设白球的个数为x个（0法，结合问题条件就可求出随机变量的概率分布；（3）根据随机事件的性质，运用求随机
事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出甲取到白球的概率。
【详细解答】（1）设白球的个数为x个（0=，x(x-1)=6，解之得：x=3，袋中原有白球的个数为3个；（2）取球终止时所需要的取球次数为随机变量，随机变量的可能取值为1，2，3，4,，5，p（=1）=，p（=2）==，p（=3）==，p（=4）=
=，p（=5）=1=，随机变量的分布列为：
1 2 3 4 5 （2）随机变量为1，3，5时，都是甲取到白球，甲
P 取到白球的概率为++=。
2、设事件A在每次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，在5次独立试验中。
（1）求A发生的次数的分布列；
（2）求指示灯发出信号的概率。
【解析】
【知识点】①离散型随机变量定义与性质；②随机事件概率定义与性质；③求随机事件概率的基本方法；④求离散型随机变量分布列的基本方法。
【解题思路】（1）根据离散型随机变量和随机事的性质，运用求随机事件概率和离散型随机变量分布列的基本方法，结合问题条件就可求出离散型随机变量的分布列；（2）由（1）就可求出指示灯发出信号的概率。
【详细解答】（1）5次独立试验中，事件A发生的次数为随机变量，随机变量的可能取值为0，1，2，3，4,，5，p（=0）=，p（=1）=5=，p（=2）=10=，p（=3）=10=，p（=4）=5=，p（=5）=，随机变量的分布列为：
0 1 2 3 4 5 （2）当A发生不少于3次
P 时，指示灯发出信号，指
示灯发出信号的概率为++=。
3、某人每次投篮投中的概率为0.1，各次投篮的结果互相独立，求他首次投篮投中时投篮次数的分布列，以及他在5次内投中的概率（精确到0.01）；
【解析】
【知识点】①离散型随机变量定义与性质；②随机事件概率定义与性质；③求随机事件概率的基本方法；④求离散型随机变量分布列的基本方法。
【解题思路】根据离散型随机变量和随机事的性质，运用求随机事件概率和离散型随机变量分布列的基本方法，结合问题条件就可求出该人首次投篮投中时投篮次数的分布列，从而求出他在5次内投中的概率。
【详细解答】随机变量X是该人首次投篮投中时投篮次数，随机变量X的可能取值为1，2，3，----k----,(k），p（X=1）=，p（X=2）==，p（X=3）==，p（X=k）=-----=，----，随机变量的分布列为： X 1 2 3 ------- k ------- p（X=4）=
P ----- ------ =，p（X=5）=
=，5次内投中的概率为++++
=。
4、一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取1件，在下述三种情况下，分别求直至取到正品时所需次数的分布列。
（1）每次取出的产品不再放回；
（2）每次取出的产品仍放回；
（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中。
【解析】
【知识点】①离散型随机变量定义与性质；②随机事件概率定义与性质；③求随机事件概率的基本方法；④求离散型随机变量分布列的基本方法。
【解题思路】（1）根据离散型随机变量和随机事的性质，运用求随机事件概率和离散型随机变量分布列的基本方法，结合问题条件就可求出离散型随机变量的概率分布列；（2）根据离散型随机变量和随机事的性质，运用求随机事件概率和离散型随机变量分布列的基本方法，结合问题条件就可求出离散型随机变量的概率分布列；（3）根据离散型随机变量和随机事的性质，运用求随机事件概率和离散型随机变量分布列的基本方法，结合问题条件就可求出离散型随机变量的概率分布列。
【详细解答】（1）直至取到正品时所需次数为随机变量，每次取出的产品不再放回，随机变量的可能取值为1，2，3，4，p（=1）=，p（=2）==，p（=3）==，p（=4）==，随机变量X的分布列为：
1 2 3 4 （2）直至取到正品时所需次数为随机变量，每次
P 取出的产品放回，随机变量的可能取值为1，2，
----，k，------，p（=1）=，p（=2）==，p（=3）==，-------，p（=k）==，------，随机变量的
分布列为： 1 2 3 ------- k ------- （3）直至取到正品时所需
P ----- ------ 次数为随机变量，每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中，随机变量的可能取值为1，2，4，6，
p（=1）=，p（=2）==，p（=4）==，p（=6）==，随机变量的分布列为：
『思考问题2』
（1）【典例2】是求离散型随机变量分布列的问题，解答这类问题需要理解离散型随机变量分布列的定义和性质，掌握求离散型随机变量分布列的基本方法；
（2）求离散型随机变量分布列的基本方法是：①明确离散型随机变量的所有可能取值以及每个值所表示的意义；②运用概率的相关知识，求出离散型随机变量每个取值的概率；③按规范形式写出分布列；④运用分布列的性质进行验证。
〔练习2〕解答下列问题：
设随机变量的分布列p(=)=ak（k=1，2，3，4，5）。
求常数a的值；
求p(≥)；
（3）求p（＜＜）。（答案：（1）常数a的值为；（2）p(≥)=；（3）p（＜＜）=。）
2、若离散型随机变量的分布列如表所示：试求常数c的值。 X 0 1
（答案：c=。） P 9-c 3-8c
3、某一射手射击所得的环数的分布列如下表，求此射手“射击一次命中环数≥7的概率。
4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
（答案：此射手“射击一次命中环数≥7的概率为0.88）
4、某人每次射击击中目标的概率是0.2，射击中每次射击的结果是相互独立的，求他在10次
射击中击中目标的次数不超过5次的概率（精确到0.01）。（答案：在10次射击中击中目标的次数不超过5次的概率为+2+0.18+0.96+0.336+0.08064）
5、袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从袋中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布列。
（答案：的分布列为： 3 4 5 6 ）
P
6、已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品，需要从中取出2个正品，每次取出一个，取出后不放回，直到取出2个正品为止，设为取出的次数，求的分布列。
（答案：的分布列为： 2 3 4 ）
P
7、一名学生每天骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都等于。
（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；
（2）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率；
（答案：（1）设随机变量X为这名学生在途中遇到红灯的次数，X的分布列为表1：（2）设随机变量Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，Y的分布列为表2：
X 0 1 2 3 4 5 6 Y 0 1 2 3 4 5
P P
表1 表2
（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率为。）
8、袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个球被取出的可能性都相等，用X表示取出3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量X的概率分布列；
（3）计分介于20分到40分之间的概率。
（答案：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率为；（2）随机变量X的概率分布列为：X 2 3 4 5
P （3）计分介于20分到40分之间的概率为 。）
9、甲、乙两名篮球运动员独立地轮流投篮，甲先投，直到有人投中为止，甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，以表示结束时甲投篮次数，以表示结束时乙投篮次数，求和的分布列。（答案：随机变量,的分布列分别为：
1 2 ------ k -------
P 0.94 0.0564 ----- - 0.7+0.24 -------
0 1 ------ k -------
P 0.7 0.24 ----- - 0.24+0.7 ------- 其中k）
【雷区警示】
【典例3】解答下列问题：
甲，乙两个排球队进行比赛，规定两队中有一队胜4场，整个比赛结束，若甲，乙两队每场比赛中获胜的概率都是，记比赛场数为X，求X的概率分布列。
【解析】
【知识点】①离散型随机变量定义与性质；②随机事件概率定义与性质；③求随机事件概率的基本方法；④求离散型随机变量分布列的基本方法。
【解题思路】根据离散型随机变量和随机事的性质，运用求随机事件概率和离散型随机变量分布列的基本方法，结合问题条件就可求出离散型随机变量X的概率分布列。
【详细解答】记比赛场数为随机变量X，随机变量X的可能取值为4，5，6，7，p（X=4）=2=，p（X=5）=2=，p（X=6）=2
=，p（X=7）=2=， X 4 5 6 7
随机变量X的概率分布列为： P
2、一盒中有9个正品和3个次品零件，每次取出一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X的概率分布列。
【解析】
【知识点】①离散型随机变量定义与性质；②随机事件概率定义与性质；③求随机事件概率的基本方法；④求离散型随机变量分布列的基本方法。
【解题思路】（1）根据离散型随机变量和随机事的性质，运用求随机事件概率和离散型随机变量分布列的基本方法，结合问题条件就可求出离散型随机变量X的概率分布列。
【详细解答】记在取得正品前已取出的次品数为随机变量X，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，p（X=0）==，p（X=1）==，p（X=2）=
=，p（X=3）=1=，随机变量X的概率分布列为：
X 0 1 2 3
P
『思考问题3』
【典例3】是解答离散型随机变量及其分布列问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视离散型随机变量的取值，导致解答问题出现错误；②忽视离散型随机变量各个取值概率计算的准确性，导致解答问题出现错误；
解答离散型随机变量及其分布列问题时，为避免忽视离散型随机变量的取值的雷区，需要理解离散型随机变量的定义，掌握确定离散型随机变量取值的基本方法；
解答离散型随机变量及其分布列问题时，为避免忽视离散型随机变量各个取值概率计算的准确性的雷区，需要理解随机变量概率的定义，掌握求随机变量概率的基本方法。
〔练习3〕解答下列问题：
1、每年的3月12日是我国的植树节，林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测，现从甲，乙两批树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的为“良种树苗”，测得高度如下（单位：厘米）：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133；乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146。
（1）根据抽测结果，作出茎叶图，并由茎叶图对甲，乙两批树苗的高度作比较，写出对两批树苗高度的统计结论；
（2）若小王在甲批树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布，求小王领取到的“良种树苗”株数X的分布列。 甲 乙
（答案：（1）茎叶图如图所示，统计结论：①甲批树 9 11 0 0 4
苗的平均高度小于乙批树苗的平均高度；②甲批树苗比 9 5 3 1 0 12 6 7
乙批树苗长得更整齐；③甲批树苗的中位数为127厘米， 7 3 2 1 13 0
乙批树苗的中位数为128.5厘米；④甲批树苗的高度大部 14 4 6 6 7
分集中在平均数附近，乙批树苗的高度分布比较分散；（2）
随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5 ）
P
2、已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定，取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从该箱中任取（无放回，且每个球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出3个球所得分数之和，求X的分布列。（答案：随机变量X的分布列为：
X 3 4 5 6 ）
P
【追踪考试】
【典例4】解答下列问题：
1、甲，乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每次投篮命中率均为0.6，乙每次投篮命中率均为0.8，由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5。
（1）求第二次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且p（=1）=1-p（=0）=qi，i=1，2，---n，则E（）=，记前n次（即从第一次到第n次）投篮中甲投篮的次数为Y，求E（Y）（2023全国高考新高考I）。
【解析】
【考点】①相互独立事件概率定义与性质；②求相互独立事件概率的基本方法；③互斥事件概率定义与性质；④求互斥事件概率的基本方法；⑤随机变量概率分布定义与性质；⑥求随机变量数学期望的基本方法。
【解题思路】（1）根据相互独立事件和互斥事件概率的性质，运用求相互独立事件概率和互斥事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出第二次投篮的人是乙的概率；（2）根据相互独立事件和互斥事件概率的性质，运用求相互独立事件概率和互斥事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出第i次投篮的人是甲的概率；（3）由（2）得到随机变量Y的概率分布列，根据随机变量概率分布列的性质，运用求随机变量数学期望的基本方法就可求出E（Y）的值。
【详细解答】（1）设第n次甲投篮命中的事件为，设第n次乙投篮命中的事件为，第二次投篮的人是乙的事件为C，第二次投篮的人是乙的可能情况有两种，其一，第一次投篮的人是甲，且甲第一次投篮没有命中；其二，第一次投篮的人是乙，且乙第一次投篮命中，
p（C）=0.5（1-0.6）+0.50.8=0.2+0.4=0.6，即第二次投篮的人是乙的概率为0.6；（2）设第i次投篮的人是甲的事件为，当i=1时，p（）=0.5，当i≥2时，p（）=0.6p（）+0.2（1-p（））=0.4p（）+0.2，p（）-=（p（）-），p（）=0.5（1-0.8）+0.50.6=0.1+0.3=0.4，-=，-=，数列{（p（）-}是以为首项，为公比的等比数列，p（）-=，p（）=+，
即第i次投篮的人是甲的概率为+；（3）设第i次投篮的人是甲的事件为，
随机变量Y的概率分布列满足：p（）=+（i=1，2，---n，），
E（Y）===+=（1-）+（n）。
2、甲，乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0
分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立。
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与数学期望（2022全国高考甲卷理）
【解析】
【考点】①相互独立事件定义与性质；②互斥事件定义与性质；③求相互独立事件概率的基本方法；④求互斥事件概率的基本方法；⑤随机变量概率分布列定义与性质；⑥随机变量数学期望定义与性质；⑦求随机变量概率分布列和数学期望的基本方法。
【解题思路】（1）根据相互独立事件和互斥事件的性质，运用求相互独立事件和互斥事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出甲学校获得冠军的概率；（2）根据随机变量概率分布列和数学期望的性质，运用求随机变量概率分布列和数学期望的基本方法，结合问题条件就可求出随机变量X的分布列与数学期望。
【详细解答】（1）设甲学校获得冠军的事件为A，甲学校获得冠军要么比赛的三个项目都获胜，要么是比赛的三个项目中两个获胜，甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8， p（A）=0.50.40.8+0.50.4(1-0.8)+ 0.5(1-0.4)0.8+(1-0.5)0.40.8=0.16+0.04
+0.24+0.16=0.6；（2）由题意可知，随机变量X的可能取值为0，10，20，30，p（X=0）=0.50.40.8=0.16，p（X=10）=0.50.4(1-0.8)+ 0.5(1-0.4)0.8+(1-0.5)0.40.8=0.44，
p（X=20）=0.5（1-0.4）(1-0.8)+（1- 0.5）(1-0.4)0.8+(1-0.5)0.4（1-0.8）=0.06+0.24
+0.04=0.34，p（X=30）=（1-0.5）（1-0.4）(1-0.8)=0.06，随机变量X的概率分布列如表所示，随机变量X的数学期望为E（X） X 0 10 20 30
=00.16+100.44+200.34+300.06=0 p 0.16 0.44 0.34 0.06
+4.4+6.8+1.8=13（分）。
3、某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中在随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束。A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关（2021全国高考新高考I卷）。
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应该选择先回答哪类问题？并说明理由。
【解析】
【考点】①古典概率的定义与性质；②求古典概率的基本求法；③求随机变量概率分布列的基本方法；④求随机变量数学期望的基本求法。
【解题思路】（1）根据古典概率的性质和求古典概率的基本方法，结合问题条件分别求出X=0分，X=20分，X=100分的概率，运用求随机变量分布列的基本方法就可求出小明先回答A类问题，记X为小明累计得分时，X的分布列；（2）根据求随机变量概率分布列的基本方法，结合问题条件求出频率的求法求出小明先回答B类问题，记Y为小明累计得分时，Y的分布列，运用求随机变量数学期望的基本方法，分别求出小明先回答A类问题，随机变量X的数学期望和小明先回答B类问题，随机变量Y的数学期望，比较两个变量的数学期望就可得出结论。
【详细解答】（1）随机变量X的可能取值为0分， 随机变量X 0 20 100
20分，100分，p（X=0）=1-0.8=0.2，p（X=20） 概率p 0.2 0.32 0.48
=0.8 （1-0.6）=0.32，p（X=100）=0.8 0.6=0.48，小明先回答A类问题，记X为小明累计得分时，X的分布列如表所示；（2）小明先回答B类问题，记Y为小明累计得分，随机变量Y的可能取值为0分，80分，100分，p 随机变量Y 0 80 100
（Y=0）=1-0.6=0.4，p（Y=80）=0.6（1-0.8） 概率p 0.4 0.12 0.48
=0.12，p（Y=100）=0.60.8=0.48，小明先回答B类问题，记Y为小明累计得分时，Y的分布列如表所示, EX=0+0.3220+1000.48=54.4（分），EY=0+0.1280+1000.48=57.6（分），57.6>54.4，为使累计得分的期望最大，小明应该选择先回答B类问题。
4、《营造法式》是中国北宋时期官方颁布的一部建筑设计与施工的书籍，标志着我国古代建筑技术和工艺发展到了较高水平，中国近代建筑之父梁恩成用现代语言和制图方法对该书进行了注释，著有《（营造法式）注释》，为了让建筑类学生了解古建筑设计与构造的原理，某建筑大学为大三和大四的学生开设了一门选修课程《营造法式及其注释》，为检测学生学习效果，要求所有选修该门课程的学生完成“应用营造法式独立制作一件古建筑模型”的作业，已知选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为3:2，现用分层抽样的方法从所有作业中随机抽取100份（每位学生均上交一份作业），并评出成绩，得到如下频率分布表：
（理）（1）求x，y的值，并估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）在这100份作业的样本中，从成绩在[50，80）的大四学生作业中随机抽取2份，记抽取的这2份作业中成绩在[60，70）的份数为X，求X的分布列与数学期望。
成绩（单位：分） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）
频数（不分年级） 4 x 20 38 30
频数（大三年级） 3 6 15 y 12
（文）（1）求y的值，若以频率作为概率，从选修该门课程的大四学生中随机选取1名，试估计该学生的作业成绩在[60，80）的概率；
（2）估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2021成都市高三三诊）
【解析】
【考点】①频数的定义与性质；②加权平均数计算公式及运用；③随机变量概率分布列的定义与性质；④求随机变量概率分布列的基本方法；⑤随机变量数学期望的定义与性质；⑥求随机变量数学期望的基本方法；⑦随机事件概率大于与性质；⑧求随机事件概率的基本方法。
【解题思路】（理）（1）根据频数的性质，结合问题条件分别得到关于x，y的方程，求解方程求出x，y的值，根据求加权平均数公式和基本方法就可求出大三学生作业的平均成绩；（2）运用求随机变量概率分布列的基本方法求出随机变量X的分布列，根据分布列利用求随机变量数学期望的基本方法通过运算就可求出随机变量X的数学期望。（文）（1）根据频数的性质，结合问题条件分别得到关于y的方程，求解方程求出y的值，运用随机事件概率的性质和求随机事件概率的基本方法，就可求出该学生的作业成绩在[60，80）的概率；（2）根据统计表，运用加权平均数计算公式就可求出这100份作业中大三学生作业的平均成绩。
【详细解答】（理）（1）4+x+20+38+30=100，x=100-（4+20+38+30）=8，3+6+15+y+12
=100=60，y=60-（3+6+15+12）=24，
=81（分），这100份作业中大三学生作业的平均成绩为81分；（2）由题意可知，X的取值可能为0，1，2，这100名学生中成绩在[50，80）的大四学生人数为1+2+5=8（人），成绩在[60，70）的大四学生人数为8-6=2(人)， X 0 1 2
p(X=0)= ==，p(X=1)= p
= = ，p(X=2)= = = ，随机变量X的概率分布列如表所示，随机变量X的数学期望为 0+1+2=。（文）（1）设从选修该门课程的大四学生中随机选取1名，该学生的作业成绩在[60，80）的事件为A3+6+15+y+12=100=60，
y=60-（3+6+15+12）=24，4+x+20+38+30=100，x=100-（4+20+38+30）=8，这100
名学生中大四学生的人数为100=40（人），大四学生中作业成绩在[60，80）的人数为
（8+20）-（6+15）=7（人），p(A)= ，即从选修该门课程的大四学生中随机选取1
名，估计该学生的作业成绩在[60，80）的概率为；
（2）==81（分），这100份作业中大三学生作业的平均成绩为81分。
『思考问题4』
【典例4】是近几年高考（或高三诊断考试或调研考试）试卷中与随机变量及其分布列相关的问题，归结起来主要包括：①随机变量定义及运用；②离散型随机变量分布列及运用等几种类型；
（2）解答随机变量及其分布列问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题的所属类型；②按照解答该类型问题的基本思路和方法对问题实施解答；③得出问题解答的最终结果。
1、2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施，为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：
（1）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m，n的值；
（2）现从年龄在,[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动，应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄段在[35，40）段中的概率（2021成都市高三零诊）。
（答案：（1）n=100，m=200；（2）从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，选取的2名发言者中恰有1名年龄段在[35，40）段中的概率为。）
2、信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X所有可能的值为1，2，----，n，且P（X=i）=>0，（i=1，2，----，n），=1，定义X的信息熵H（x）=-，则（ ）（2020全国高考新高考I）（多项选择题）
A 若n=1，则H（x）=0 B 若n=2，则H（x）随的增大而增大 C 若=（i=1，2，----，n），则H（x）随n的增大而增大 D 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为i=1，2，-----，m，且P（Y=j）= + （j=1，2，----，m），则H（x） H（Y）
（答案：A，C。）
3、2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮，某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间（所有学生诵读时间都在两小时内），并按时间（单位：分钟）将学生分成六个组：［0,20），［20,40），［40,60），［60,80），［80,100），［100,120］，经统计得到了如图所示的频率分布直方图（2019成都市高三零诊）。
（1）求频率分布直方图中a的值；并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的时间的平均数；
（2）若两个同学诵读诗词的时间x，y满足|x-y|＞60，则这两个同学组成一个“Tean”,已知从每天诵读诗词的时间小于20分钟和大于或等于80分钟的所有学生中用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的两人能组成一个“Tean”的概率。
（答案：（1）a=0.0025，该校文学院的学生每天诵读诗词的时间的平均数为64（分钟）；（2）从这5人中随机选取2人，选取的两人能组成一个“Tean”的概率为。）
4、（理）某部门为了解企业在生产过程中的用水量情况，对每 7 3 1
天的用水量作了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据， 8 3 5 6 7 8 9
从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所 9 5 7 8 9
示的茎叶图（单位：吨），若用水量不低于95吨，则称这一天
的用水量超标。
（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天用水量超标的概率；
（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X为未来3天中用水量超标的天数，求X的分布列和数学期望。
（文）某部门为了解企业在生产过程中的用水量 日用水量 ［70,80）［80,90）［90,100］
情况，对每天的用水量作了记录，得到了该企业（单位：吨）
的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机 频数 3 6 m
抽取12天的用水量的数据作为样本，得到的统 频率 n 0.5 p
计结果如右表：（2018成都市高三一诊）
（1）求m，n，p的值；
（2）已知样本中日用水量在［80,90）内的这六个数据分别为83，85，86，87，88，89，从六个数据中随机抽取两个，求抽取的两个数据中至少有一个大于86的概率。
（答案：（理）（1）从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天用水量超标的概率为
；（2）随机变量X的概率分布列为： X 0 1 2 3
p
随机变量X的数学期望为1天。（文）（1）m=3，n=0.25，p=0.25；（2）从六个数据中随机抽取两个，抽取的两个数据中至少有一个大于86的概率为。从六个数据中随机抽取两个，抽取的两个数据中至少有一个大于86的概率为。）
5、（理）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关，如果气温不低于25，需求量为500瓶；如果气温位于区间［20，25），需求量为300瓶；如果气温低于20，需求量为200瓶。为了确定6月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频率分布表：
最高气温 ［10，15）［15，20）［20，25）［25，30）［30，35）［35，40）
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（2017全国高考新课标III卷）。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，y的数学期望达到最大值？
（文）（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出y的所有可能值，并估计y大于零的概率。
（答案：（理）（1）随机变量X概率的分布列为： X 200 300 500
p
（2）当n=300时，y的数学期望达到最大值520元。（文）（1）六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率为；（2）估计y大于零的概率为。）