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北师大版七年级数学下册课件
第六章 概率初步
6.2 频率的稳定性
第2课时 用频率估计概率
1.无论是掷均匀的硬币还是掷图钉,在试验次数很大时，正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动,这个性质称为_______________.
2.由于事件 发生的频率表示该事件发生的频繁程度,频率越大,事件 发生越频繁,这就意味着事件 发生的可能性也越大,因而,我们就用这个常数来表示事件 发生的可能性的大小.我们把这个刻画事件 发生的可能性大小的数值,称为___________________,记为 .
3.一般地,大量重复的试验中,我们常用随机事件 发生的_______来估计事件 发生的_______.
频率的稳定性
事件 发生的概率
频率
概率
4.必然事件发生的概率为____，表示为 （必然事件）=____；不可能事件发生的概率为____，表示为 （不可能事件）=____；随机事件 发生的概率 是____与____之间的一个常数，即_______________.
1
0
0
1
例1 小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
A.任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
B.一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C.抛一个质地均匀的正方体骰子，落下后朝上面的点数是3
D.一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中任抽一个，抽到黑球
【点拨】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率 ，计算四个选项中事件的概率，约为0.17者即为正确答案．
[答案] C
例2 某期刊社对其发行的杂志的写作风格进行了5次“读者问卷调查”,结果如下：
（1）
被调查人数 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000
满意人数 806 1 210 1 618 2 021 2 424
满意频率 ________ ________ ________ ________ ________
将上表补充完整；
（2）读者对该杂志满意的概率 ________.
0.806
0.807
0.809
0.808
0.808
0.808
【点拨】频率等于所求情况数与总情况数之比；在大量重复试验下,频率的稳定值即为该事件发生的概率.
[答案] 0.806; 0.807; 0.809; 0.808; 0.808; 0.808
变式.某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植的成活情况进行调查统计，并绘制了如下的统计图.根据统计图提供的信息解决下列问题:
（1） 这种树苗成活的频率稳定在______，成活的概率的估计值为______.
0.9
0.9
（2） 该地区已经移植这种树苗5万棵.
① 估计这种树苗能成活______万棵；
4.5
② 如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？
解： （万棵）.
易错示例 有下列说法：
（1）在一次抛掷硬币的试验中,甲同学只做了10次试验，有3次硬币正面朝上，所以就得到了正面朝上的概率为 ；
（2）某同学在抛掷两枚硬币的试验中，做了400次试验,得到“一正一反”的频率为 ,如果再做400次,得到的频率仍然是 ；
（3）在投掷一枚均匀的正方体骰子的试验中,小明得到“1点朝上”的概率为 ,那么他再做300次试验,一定有50次“1点朝上”；
（4）在抛掷一枚硬币的试验中,小刚为了节约时间,同时抛掷5枚硬币,这样得到的结果不会受到影响.
其中正确的有________（填序号）.
【错解】（1）（2）（3）（4）
【错因分析】大量重复试验时,某事件发生的频率会稳定在某一个常数的附近,这个常数就叫作事件概率的估计值,它不是一种必然的结果.（1）应进行多次试验才能反映其概率；（2）是随机事件,不能确定其正确性；（3）是随机事件,不能确定.
[答案] （4）
1.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法中正确的是( )
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的，与频率无关
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D
2.用频率估计概率，可以发现抛掷硬币“正面朝上”的概率为 ，是指( )
A.连续抛掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次
B.连续抛掷 次，当 越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于
C.连续抛掷 次硬币，恰好有 次“正面朝上”
D.连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次
B
3.在做抛硬币试验时，甲、乙两个小组画出折线统计图后发现频率的稳定值分别是0.500 0和0.500 2，则下列说法中错误的是( )
A.乙同学的试验结果是错误的 B.这两种试验结果都是正确的
C.增加试验次数可以减小稳定值的差异 D.同一个试验的稳定值不是唯一的
A
4.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高 统计如下：
身高
人数 5 38 42 15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 的概率是( )
A. B. C. D.
D
5.在利用正六面体骰子进行频率估计概率的试验中，小闽同学统计了某一结果朝上的频率，并绘出统计图如图所示，则符合图中情况的可能是( )
A.朝上的点数是6的概率 B.朝上的点数是偶数的概率
C.朝上的点数是小于4的概率 D.朝上的点数是3的倍数的概率
D
6.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为______（精确到0.1）.
投篮 次数 50 100 150 200 250 300 500
投中次 数 28 60 78 104 123 152 251
投中频 率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50
0.5
7.把12个球（除颜色外没有区别）放到一个不透明的箱子里，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色后再放回暗箱.要使得摸到白球、红球的频率分别稳定在 ， ，则应准备的白球、红球的个数分别是多少？
解：因为摸到白球、红球的频率分别稳定在 ， ，
所以摸到白球、红球的概率分别为 ， .
所以应准备的白球、红球的个数分别为 ， .
8.某商场“六一”期间进行一个有奖销售的活动，设立了一个可以自由转动的转盘
（如图），并规定:顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品（若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘）.下表是此次促销活动中的一组统计数据:
转动转盘的 次数 100 200 400 500 800 1 000
落在“可乐” 区域的次数 60 122 240 298 604
落在“可乐” 区域的频率 0.6 0.61 0.6 0.59 0.604
（1） 计算并完成上述表格;
[答案] 472; 0.596（从上到下）
（2） 当 很大时，频率将会接近______;假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是______.（结果精确到0.1）
0.6
0.6
（3） 在该转盘中，表示“车模”区域的扇形的圆心角约是多少度？
解： .
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第六章 概率初步
6.2 频率的稳定性
第1课时 不确定事件发生的频率
1.在 次重复试验中,事件 发生了 次,则比值 称为事件 发生的_______.
2.在试验次数很大时,随机事件 发生的频率都会在一个常数附近摆动，即事件 发生的频率具有_________.
频率
稳定性
例1 某灯泡厂的一次质量检查,从2 000 个灯泡中抽查了100个,其中有6个不合格,则出现不合格灯泡的频率为多少？
【点拨】在某一随机事件 中,考察对象出现的次数 叫作频数.它与试验总次数 的比值叫作随机事件 的频率.显然 ， 都是非负数,且 , .在本题中,考察对象出现的次数是6,试验总数是100.
【解】出现不合格灯泡的频率 .
变式.在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率会稳定在常数0.4附近，由此可估计袋中红球的个数约为( )
A. B. C. D.
C
例2 在一个不透明的盒子中有2个白球和1个黄球,每个小球除颜色外其余的都相同.每次从该盒中摸出1个球,然后放回,搅匀再摸.在摸球试验中得到下表中部分数据：
试验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
摸出黄球 的频数 14 24 38 52 67 86 97 111 120 136
摸出黄球 的频率 0.35 0.32 0.33 0.34 0.36 0.35 0.35 0.33 0.34
（1）将数据表补充完整.
（2）根据上表中的数据，在下图中绘制折线统计图.
（3）观察该图表可以发现,随着试验次数的增加,摸出黄色小球的频率有何特点？
【点拨】应用频率的定义计算摸出黄球的频数,观察图表可以发现,随着试验次数的增加,摸出黄色小球的频率在一个常数附近摆动,即摸出黄球的频率具有稳定性.
[答案] （1）【解】0.30
（2）【解】折线统计图如图所示.
（3）【解】从折线统计图可以看出,随着试验次数的增加,摸出黄色小球的频率逐渐稳定在0.34附近.
易错示例 小明抛掷一枚硬币20次,发现有12次正面朝上,8次反面朝上,于是他认为抛掷硬币出现正面朝上的可能性大.你同意他的观点吗？
【错解】同意.
【错因分析】当试验次数较少时,试验的频率不具有稳定性,只能作为一种随机现象来理解.
【正解】不同意.抛掷一枚硬币出现“正面朝上”和“反面朝上”的可能性一样大.
1.小胡将一枚质地均匀的硬币抛掷了10次，正面朝上的情况出现了6次.若用 表示正面朝上这个事件，则事件 发生的频率为( )
A. B. C. D.接近0.6
B
2.投掷同一枚啤酒瓶盖1 000次，经过统计得“凸面向上”的频率为0.48，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖，出现“凸面向上”的频数为( )
A. B. C. D.
B
3.在一个暗箱里放有 个除颜色外其他完全相同的球，这 个球中只有3个黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱.通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 附近，则可推算 的值大约是( )
A. B. C. D.
A
4.为了解图钉落地后钉尖朝下的可能性有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖朝下的次数是试验总次数的 ，下列说法中错误的是( )
A.钉尖朝下的频率是0.4
B.随着试验次数的增加，钉尖朝下的频率稳定在0.4附近
C.钉尖朝下的可能性比钉尖朝上的可能性小
D.前20次试验结束后，钉尖朝下的次数一定是8次
D
5.小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表，若抛掷硬币的次数为1 000，则“正面朝上”的频数最接近( )
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
A. B. C. D.
C
6.儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动，有一种游戏的规则是在一个装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个海宝玩具.已知参加这种游戏的儿童有40 000人次，公园游戏场发放海宝玩具8 000个．
（1） 求参加此次活动得到海宝玩具的频率；
解：参加此次活动得到海宝玩具的频率为 .
（2） 请你估计袋中白球的数量．
解：袋中一共有球 （个），
白球的数量约为 （个）.
7.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程.下表是试验中的一组统计数据：
摸球的 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000
摸到白球 的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599
摸到白球 的频率
0.70
0.53
0.66
0.59
0.58
0.63
0.58
0.61
0.60
0.60
（1） 把表中的数据补充完整（结果精确到0.01），并根据统计表画出折线统计图.
[答案] 折线统计图略.
（2） 观察画出的折线统计图，抽到白球的频率的变化有什么规律？
解：当试验次数很大时，摸到白球的频率会稳定在0.6附近.
（3） 估计不透明的盒子里黑、白两种颜色的球的个数.
解：估计黑球有16个，白球有24个.
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第六章 概率初步
6.1 感受可能性
1.在一定条件下进行重复试验时,有些事情我们事先能肯定它一定发生,这些事情称为___________；在一定条件下进行重复试验时，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生,这些事情称为_____________.
2.在一定条件下进行重复试验时，有些事情我们事先无法肯定它会不会发生,这些事情称为___________.
3.事件发生可能性的大小,常用整数（0或1）或分数来刻画.
（1）因为必然事件一定会发生,所以用1或 表示必然事件发生的可能性的大小.
（2）因为不可能事件一定不会发生,所以用0表示不可能事件发生的可能性的大小.
必然事件
不可能事件
随机事件
（3）由于随机事件我们事先无法肯定它会不会发生,因此它的可能性不是0,也不是1,而应该是大于0且小于1.也就是说随机事件发生的可能性是有大有小的.
例1 下列事件中,哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
（1）三边分别相等的两个三角形全等；
（2） 是正数；
（3）中秋节能看到月亮；
（4）数轴上原点左边的数比右边的数大.
【点拨】对事件进行判断和分类,要充分利用所学的知识和生活经验,结合概念来判断.
[答案] （1）【解】是必然事件；（2）【解】是随机事件；（3）【解】是随机事件.（4）【解】是不可能事件；
变式.下列事件中，是必然事件的是( )
A.购买一张彩票，中奖
B.射击运动员射击一次，命中靶心
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D.任意画一个三角形，其内角和是
D
例2 一个袋中装有 10个红球、5个白球,每个球除颜色外都相同.任意摸出一个球,摸到哪种颜色球的可能性大？
【点拨】对于随机事件发生的可能性的大小,要看该事件在整体中所占的比例的大小,袋中共有15个球,由此算出红球和白球各自所占的比例,并进行比较,就能确定摸到什么球的可能性大.
【解】因为袋中有10个红球、5个白球,所以摸到红球的可能性大.
变式.下图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成6个扇形，结合图形回答下列问题：
（1） 你认为转出哪个数字的可能性最小？
解：转出数字5的可能性最小.
（2） 你认为转出哪个数字的可能性最大？
解：转出数字2的可能性最大.
易错示例 “全年级500名学生中肯定有两个学生的生日是同一天”是必然事件、随机事件还是不可能事件？
【错解】是随机事件（或不可能事件）.
【错因分析】出现以上错解的原因,是对概念理解不透,只看到了一些表面现象,而没有对事件进行深入的研究.
【正解】是必然事件,因为一年最多有366天,如果500人中有366人分别在不同的一天过生日,那么至少有一人与这366人中的某一人的生日是同一天.
1.投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是( )
A.两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B.两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C.两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D.两枚骰子向上一面的点数之和等于12
D
2.下列成语中，表示不可能事件的是( )
A.缘木求鱼 B.杀鸡取卵
C.探囊取物 D.日月经天，江河行地
A
3.下列事件中是必然事件的是( )
A.三条线段可以组成一个三角形
B.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，一定是正面朝上和反面朝上各一次
C.口袋中有1个蓝球和100个红球，每个球除颜色外都相同，随机摸出1球一定是红球
D.今天星期天，明天星期一
D
4.我国南方地区冬至的传统习俗是吃汤圆，其寓意团团圆圆.冬至这一天，小红家煮了30个汤圆，其中有12个黑芝麻馅的，14个枣泥馅的，4个豆沙馅的，煮完之后的汤圆看起来都一样.小红盛了1个汤圆，下列各种描述中正确的是( )
A.她吃到黑芝麻馅汤圆和枣泥馅汤圆的可能性一样大
B.她吃到枣泥馅汤圆比豆沙馅汤圆的可能性大
C.她不可能吃到豆沙馅汤圆
D.她一定能吃到枣泥馅汤圆
B
5.袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别.从袋中随机地取出1个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个或5个以上
D
6.给出下面三个事件：①每月初一的晚上12点可以看到一个很圆的月亮；② 3个人被分成两组，其中有2人分在同一组；③明天登黄山会看到日出.其中_____是必然事件，_____是随机事件，_____是不可能事件.（只填序号）
②
③
①
7.如图，转盘中8个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，估计下列事件发生的可能性的大小，并按从小到大的顺序排列：_______________________.（填序号）
（1）指针落在标有3的区域内；
（2）指针落在标有9的区域内；
（3）指针落在标有数字的区域内；
（4）指针落在标有奇数的区域内.
（2）（1）（4）（3）
8.下图是小明家地板的部分示意图,它由大小相同的黑白两色正方形拼接而成.家中的小猫在地板上行走,请问：
（1） 小猫踩在白色的正方形地板上,这属于哪一类事件？___________.
随机事件
（2） 小猫踩在白色或黑色的正方形地板上,这属于哪一类事件？___________.
必然事件
（3） 小猫踩在红色的正方形地板上,这属于哪一类事件？_____________.
不可能事件
（4） 小猫踩在哪种颜色的正方形地板上可能性较大？___________________________.
踩在黑色地板上的可能性大
9.从4名女生和6名男生中选6名学生参加智力竞赛，规定男生选 名，刘颖是4名女生中的一个.当 为何值时，刘颖当选是：
（1） 必然事件？
解： ；
（2） 不可能事件？
解： ；
（3） 随机事件？
解： 或4或 .
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第六章 概率初步
积累与提高
例1 小东和小月两人玩掷正方体骰子的游戏.小东说：“如果掷出的点数是3的倍数，就算你赢了，否则算我赢.”小月想了想，说：“这个游戏不公平.”小月说得有道理吗？为什么？
【点拨】掷一次骰子，有6种可能结果，在这些结果中找出是3的倍数的个数，即可得他们各自赢得游戏的概率，由此可确定游戏是否公平.
【解】所得结果有6种可能： ， ， ， ， ， ，
其中是3的倍数的有： ， .
则小月赢的概率为 ，而小东赢的概率为 .所以游戏不公平.
方法归纳
判断游戏对双方是否公平的方法：①看游戏所出现的结果的两种情况中有没有必然事件或不可能事件，若有一个必然事件或不可能事件，则游戏是不公平的；②如果两个事件都为随机事件，则要看这两个事件发生的可能性是否相同（概率是否相等），只有双方获胜的可能性相同，游戏对双方才是公平的．
例2 某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖箱里有200张抽奖卡，其中有一等奖卡片5张，二等奖卡片10张，三等奖卡片25张，其余抽奖卡无奖．某顾客购物后参加抽奖活动，从抽奖箱中随机地抽取一张，求他中奖的概率．
【点拨】抽奖总的结果有200种,且每一种结果发生的可能性都一样，而获奖的结果只有 种,由此可求得中奖的概率.
【解】 .
方法归纳
一般地，若在一次试验中，有 种可能的结果，且它们发生的可能性都相等，事件 包含其中的 种结果，则事件 发生的概率为 ．
例3 有如图所示的一个转盘,转盘被分成8个相同的扇形,所涂颜色有红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转过）．求下列事件的概率：
（1）指针指向红色；
（2）指针指向黄色或绿色．
【点拨】8个扇形是相同的,所以可以将面积比问题转化为个数比问题来解决.所有可能结果的总数为8,指针指向红色的结果有2个，而指针指向黄色或绿色的结果有 （个），由此可算得两种情况下的概率.
[答案] （1）【解】 （指针指向红色） ;
（2）【解】 （指针指向黄色或绿色） .
方法归纳
求与图形有关的概率时，若所给图形能等分成若干份，则可以按某事件 发生所占的份数与总份数的比值来计算；若不是等分，则设法求出各自的面积，用事件 所占的面积除以总面积来计算；对于指针停留在某扇形内的概率，可以用该扇形的圆心角的度数除以 来计算．
例4 一个布袋中有8个红球和16个白球,它们除颜色外完全相同.
（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率.
（2）现从袋中取出若干个白球,并放入相同数量的红球,搅拌均匀后,从袋中摸出一个球是红球的概率为 ,则取出了多少个白球 （要求通过列式或列方程解答）
【点拨】（1）从袋中取出一个球,共有24种情况,其中是红球的有8种,由概率的公式即可求出摸出一个球是红球的概率；（2）袋中球的总数不变,变化的是白球与红球的数量,由已知条件结合概率的公式即可求出取出白球的数量.
[答案] （1）【解】 （红球） .
（2）【解】解法一： .
解法二：设取出了 个白球,
则 ,解得 .
方法归纳
摸球游戏中，已知事件 的概率去求某类球的个数的方法：通常是设这类球的个数为 ，根据概率公式列出方程求解，这体现了方程的数学思想.
概率是中考命题的必考点，选材多来自游戏、抽奖等生活题材，主要考查必然事件、不可能事件及随机事件的概念，用频率估计概率，等可能事件的概率等，题型多以选择题、填空题的形式出现.
A
0.25
1.不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别.随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件中是不可能事件的是( )
A.3个球都是黑球 B.3个球都是白球 C.3个球中有黑球 D.3个球中有白球
B
2.历史上,雅各布·伯努利等人通过大量投掷硬币的试验,验证了“正面向上”的频率在0.5左右摆动,那么投掷一枚硬币10次,下列说法中正确的是( )
A.“正面向上”必会出现5次
B.“反面向上”必会出现5次
C.“正面向上”可能不出现
D.“正面向上”与“反面向上”出现的次数必定一样,但不一定是5次
C
3.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是( )
（第3题图）
A. B. C. D.
B
5.一个不透明的布袋中有三种珠子（除颜色以外没有任何区别），分别是3个红珠子、4个白珠子和5个黑珠子，每次只摸出一个珠子，观察后均放回搅匀.在连续9次摸出的都是红珠子的情况下，第10次摸出红珠子的概率是_ ___.
6.如图，一个游戏转盘分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、黄两个扇形的圆心角度数分别为 ， .自由转动转盘，当它停止后，指针落在蓝色区域的概率是_ ____.
（第6题图）
7.在一个木箱中装有50张卡片，这些卡片共有三种，它们分别标有 ， ， 的字样，除此之外其他都相同，其中标有数字2的卡片张数比标有数字3的卡片张数的3倍少8张.已知从木箱中随机摸出一张标有数字1的卡片的概率是 ．
（1） 求木箱中标有数字1的卡片张数；
解：根据题意得 （张）.
（2） 求从木箱中随机摸出一张标有数字3的卡片的概率．
解：设标有数字3的卡片有 张，则标有数字2的卡片有 张.
根据题意得 ，解得 .
所以所求概率 ．
8.如图，大正方形被分成一个顶点在大正方形边上的小正方形和四个一样的直角三角形，每个直角三角形的两条边长都是2和4.若在这个图形上随意地抛一粒豆子，求豆子落在小正方形内的概率.
解:由已知得大正方形的面积为36，小正方形的面积为 ，所以豆子落在小正方形内的概率为 .
9.密码锁有三个转轮，每个转轮上有十个数字： ， ， ， ， .小黄同学是9月中旬（指每月十一日到二十日的十天）出生的，他用生日“月份+日期”设置密码： .
小张同学想破解其密码.
（1） 第一个转轮设置的数字是9，第二个转轮设置的数字可能是_______;
1或2
（2） 请你帮小张同学列举出所有可能的密码，并求密码数能被3整除的概率.
解：所有可能的密码是： ， ， ， ， ， ， ， ， ， .
其中，能被3整除的有 ， ， ，
故密码数能被3整除的概率为 .
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第六章 概率初步
6.3 等可能事件的概率
第3课时 与几何图形有关的事件的概率
1.某事件 发生的概率等于该事件 发生的所有可能结果所组成的图形_______与所有可能结果所组成的图形_______的比值.如果事件 发生的所有可能结果所组成的图形面积为 ，所有可能结果所组成的图形面积为 ，则 _ ____.
2.求与几何图形有关的事件的概率时,图形可以是规则的,也可以是不规则的,只要知道_____________________即可求出概率.
面积
面积
部分占总体的面积比
例1 如图，在水平地面上的甲、乙两个区域分别由若干个大小完全相同的正三角形瓷砖组成，小红在甲、乙两个区域内分别随意抛一个小球. （甲）表示小球停留在甲区域中灰色部分的概率， （乙）表示小球停留在乙区域中灰色部分的概率，下列说法中正确的是( )
A. （甲） （乙）
B. （甲） （乙）
C. （甲） （乙）
D. （甲）与 （乙）的大小关系无法确定
【点拨】小球停在灰色三角形上的概率就是灰色三角形的面积与总面积的比值.
[答案] C
变式.如图，在由边长为1的小正方形组成的 网格中， 的三个顶点均在格点上.若向正方形网格中投针，所投的针都随机落在正方形网格中，则落在 内部的概率是_ ____.
例2 某酒店为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘,如图,并规定：顾客消费500元以上（不包括500元）,就能获得一次转动转盘的机会,如果转盘停止后,指针正好对准九折、八折、七折或五折区域,顾客就可以获得相应的打折优惠（转盘被等分成16份,指针停在每个区域的机会相等）．
（1）若甲顾客消费480元,是否可以获得转动转盘的机会？
（2）若乙顾客消费650元,他获得打折优惠的概率是多少？他获得九折、低于九折优惠的概率分别是多少？
【点拨】（1）根据规定,消费额只有超过500元才能获得转动转盘的机会,所以甲顾客不可能获得转动转盘的机会.（2）转盘被等分成16份,且指针指向每一份的概率相等,可用概率公式解答.
[答案] （1）【解】甲顾客不能获得转动转盘的机会.
（2）【解】乙顾客消费650元,在500元以上,可以获得转动转盘的机会.
根据概率公式得 （获得打折优惠） ，
（获得九折优惠） ，
（获得五折、七折或八折优惠） .
1.在如图所示的方格地面上，标有编号 ， ， 的3个方格地面是空地，另外6个方格地面是草坪，除此以外各方格地面完全相同.一只自由飞行的小鸟将随意落在图中所示的方格地面上，则小鸟落在草坪上的概率是
( )
A. B. C. D.
C
2.两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份.若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率是( )
A. B. C. D.
A
3.如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是
( )
（第3题图）
A. B. C. D.
C
4.小朋友玩“掷飞镖”的游戏.如图，将一块木板 分为三块： ， ， ，其中 .往这块木板 上投飞镖，则飞镖落在 内的概率是_ ___.
（第4题图）
5.小明一家三代同堂，买了一套 的三居室商品房，其中，父母卧室 ，奶奶卧室 ，小明卧室 ，卫生间 ，厨房 ，其余是客厅.可是，一不小心，一只老鼠跑了进来，小明在下列位置捉住这只老鼠的概率各是多少？
（1） 在客厅捉住；
[答案] 客厅面积为 .
（在客厅捉住） .
（2） 在小明卧室捉住；
解： （在小明卧室捉住） .
（3） 在卫生间或厨房捉住.
解： （在卫生间或厨房捉住） .
6.图①中的等边三角形被等分成 ， ， 三部分，图②中 是半圆， ， 是四分之一圆.飞镖随机地掷在如图所示的靶子上.
（1） 在每一个靶子中，飞镖投到区域 ， ， 的概率分别是多少？
解：在图①中，飞镖投到区域 ， ， 的概率分别是 , , ，
在图②中，飞镖投到区域 ， ， 的概率分别是 , , .
（2） 在靶子①中，飞镖投在区域 或 中的概率是多少？
解：在靶子①中，飞镖投在区域 或 中的概率是 .
（3） 在靶子②中，飞镖没有投在区域 中的概率是多少？
解：在靶子②中，飞镖没有投在区域 中的概率是 .
7.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为 、宽为 的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球落在界线上或长方形区域外不计试验结果）.他根据若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，请你估计不规则图案的面积.
解：假设不规则图案的面积为 ，由已知得长方形的面积为 .
根据几何概率公式,可知小球落在不规则图案上的概率为 .
由折线图可知，小球落在不规则图案上的概率大约为0.35，
故 ，解得 .
所以估计不规则图案的面积为 .
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第六章 概率初步
6.3 等可能事件的概率
第1课时 简单事件概率的计算
1.设一个试验的所有可能的结果有 个,每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的可能性相同,那么我们就称这个试验的结果是等可能的.
2.一般地,如果一个试验有 个_________的结果,并且事件 包含其中的 个结果,那么事件 发生的概率 .
3.在随机事件中,如果总计有 种可能的结果,且每种结果的发生是___________,那么每种情况发生的概率均为 ,且各种情况发生的概率之和等于____.
等可能
等可能的
1
例1 袋子中装有2个黑球、3个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同.若随机地从袋子中取出一个球,求这个球是白球的概率.
【点拨】先考虑从袋子中摸出一个球所有可能的结果数,再考虑取出白球有多少种结果,这样即可得出摸到白球的概率.
【解】 （摸到白球） .
变式.社会主义核心价值观中：“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标；“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向；“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则.现将12个词语写在12张不透明的卡片上（背面完全一样），背面朝上放在桌面上，从中随机抽取一张，抽到社会层面价值取向的卡片的概率为( )
A. B. C. D.
C
例2 一个不透明的布袋中装有红球6个、黄球9个、绿球3个,这些球除颜色外没有其他区别,从中任意摸出一个球.
（1）计算摸到绿球的概率;
（2）如果要使摸到红球的概率为 ,黄球的个数不变，那么需要在这个口袋中再放入多少个绿球
【点拨】（1）根据条件可得到摸出一个球所有可能的结果数,再考虑摸到绿球可能的结果数,可直接求得摸到绿球的概率；（2）规定了摸到红球的概率,但实际绿球数不够,我们可以通过设所要加入的绿球数为 ,建立方程来解决.
[答案] （1）【解】 ;（2）【解】再放入6个绿球.
变式.如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )
A. B. C. D.
C
1.下列事件中等可能性事件有( )
①某运动员射击一次，中靶心与不中靶心.
②随意抛一枚硬币，背面向上与正面向上.
③随意投掷一只纸可乐杯，杯口朝上或杯底朝上或横卧.
④从分别写有数字 ， ， ， ， 的五张卡片中任抽一张，结果是1或3或5或7或9.
A.①② B.②④ C.②③ D.②③④
B
2.在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中，七（3）班共设置“生态知识”“生态技能”“生态习惯”“生态文化”四个类别的竞赛内容.如果参赛同学抽到每一类别的可能性相同，那么小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是( )
A. B. C. D.
B
3.笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1～10的号码.若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是( )
A. B. C. D.
C
4.小明用0~9中的数字给手机设置了六位开机密码，但他把最后一位数字忘记了，小明只输入一次密码就能打开手机的概率是_ ____.
5.在一个不透明的袋子里装有3个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球.若从这个袋子里随机摸岀一个乒乓球，恰好是黄球的概率为 ，则袋子内共有乒乓球_____个．
10
6.有一枚均匀的正方体骰子，其6个面上分别标有数字 ，随意掷出这个正方体骰子，求下列事件发生的概率．
（1） 掷出的数字恰好是1；
解： （掷出的数字恰好是1） ；
（2） 掷出的数字恰好是奇数；
解： （掷出的数字恰好是奇数） ；
（3） 掷出的数字大于4；
解： （掷出的数字大于 ） ；
（4） 掷出的数字恰好是7；
解： （掷出的数字恰好是7） ；
（5） 掷出的数字小于3．
解： （掷出的数字小于 ） .
7. 袋中有5张除上面写的数据不同外其他完全相同的卡片，上面分别写有 ， ， ， ， ， 袋外面另有2张卡片，上面分别写有 和 .现随机从 袋中取出一张卡片，与 袋外面这2张卡片放在一起，分别以卡片上的数据作为三条线段的长度，回答下列问题：
（1） 写出组合成的三条线段的长度的所有可能的结果；
解：共有5种可能的结果： ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， .
（2） 求出这三条线段能组成三角形的概率；
解：这三条线段能组成三角形的结果数为3，所以所求概率为 .
（3） 求这三条线段能组成等腰三角形的概率.
解：这三条线段能组成等腰三角形的结果数为2，所以所求概率为 .
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第六章 概率初步
6.3 等可能事件的概率
第2课时 应用概率判断游戏的公平性
1.游戏对双方公平是指游戏双方获胜的可能性_______.判断游戏是否公平的实质是看两个事件或多个事件的发生是否具有相等的_________.
2.我们在设计一个游戏时,必须保证游戏中出现的各类事件是具有___________的事件,这样才能保证游戏对双方的_________.
相同
可能性
等可能性
公平性
例1 甲、乙两同学玩摸球游戏.在一个不透明袋子中装着10个分别写着数字 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的球,甲从中摸出一个球，规定摸到大于5的则甲获胜,否则乙获胜.请问：这个游戏对双方是否公平？如果不公平，可以怎样修改规则，使游戏对双方公平.
【点拨】10个数字中大于5的数有4个,而不大于5的数有6个.因此摸到大于5的数的可能性小,摸到不大于5的数的可能性大.
【解】因为 （摸到大于5的数） ，
（摸到不大于5的数） ，
而 ，即乙获胜的可能性大，
所以游戏对双方不公平.
修改规则：规定摸到不小于5的则甲获胜，否则乙获胜.
例2 小明和小华用游戏的方式,决定谁去看电影《我和我的祖国》.现有一副扑克牌,请你设计一种抽牌游戏,使游戏对双方是公平的.
【点拨】因为参加游戏的是两个人,所以只要设计两个事件,使两个事件发生的可能性相等即可.
【解】方法很多,如从中任意抽一张扑克牌,抽到黑牌小明胜,抽到红牌小华胜.
易错示例 小李用瓶盖设计了一个游戏：任意掷出一个瓶盖,若盖面着地则甲胜,若盖口着地则乙胜.你认为这个游戏设计对双方公平吗？
【错解】这个游戏设计对甲、乙双方公平,因为掷瓶盖的结果有两种可能,一种是盖口着地,另一种是盖面着地.
【错因分析】错误的原因是没有考虑制造盖口、盖面的材料不均匀,导致着地不是等可能的.
【正解】这个游戏设计不合理.由于瓶盖不均匀，所以掷瓶盖时,盖面着地与盖口着地的可能性不相同.
1.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”.将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，抽到“方块”的概率为( )
A. B. C. D.
B
2.一个质地均匀的小立方体的6个面上分别标有数字.任意掷出这个小立方体，若 （“1”朝上） ，则这个小立方体的6个面上分别标有的数字可能是( )
A. ， ， ， ， ，
B. ， ， ， ， ，
C. ， ， ， ， ，
D. ， ， ， ， ，
B
3.某口袋中有10个球，其中白球 个，绿球 个，其余为黑球.甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，将甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜.要使游戏对甲、乙双方公平，则 应该是( )
A. B. C. D.
D
4.下列游戏对双方公平的是( )
A.随意转动被等分成3个扇形，且分别均匀涂有红、黄、绿三种颜色的转盘，若指针指向绿色区域，则小明胜，否则小亮胜
B.从一个装有3个红球、2个黄球和2个黑球（这些球除颜色外完全相同）的袋中任意摸出一个球，若是红球，则小明胜，否则小亮胜
C.投掷一枚均匀的正方体骰子，若偶数点朝上，则小明胜；若奇数点朝上，则小亮胜
D.从分别标有数字 ， ， ， ， 的五张纸条中，任意抽取一张，若抽到的纸条所标的数字为偶数，则小明胜；若抽到的纸条所标的数字为奇数，则小亮胜
C
5.两名同学在袋子中装了1个红珠子和2个白珠子，这两种珠子除颜色外完全相同.任意摸出一个珠子，摸出红珠子，甲同学获胜；摸出白珠子，则乙同学获胜.要使游戏对双方公平，只要_______________________________________.
在袋中加一个红珠子即可（答案不唯一）
6.小明和小杰都想去看周末的足球赛，但只有一张门票，小杰提议用游戏的办法决定到底谁去看比赛.小杰找来三张扑克牌：红桃2，红桃3，红桃4，背面朝上洗匀后，任意抽出两张.若抽出两张的数字和是奇数，则小杰去；若抽出两张的数字和是偶数，则小明去.你认为这个办法对双方公平吗？如果不公平，你会怎么帮他们设计游戏规则呢？
解：不公平.因为 ， ， ，存在两个奇数、一个偶数，对小杰来说是有利的，对小明来说是不利的，因此是不公平的.修改规则：只用两张扑克牌，如红桃2，红桃3，抽到红桃2小杰去，抽到红桃3小明去．
7.如图，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成64个大小相同的小正方体，从这些小正方体中任意取出一个，求：
（1） 三面涂有颜色的概率；
解：因为三面涂有颜色的小正方体有8个，
所以 （三面涂有颜色） .
（2） 两面涂有颜色的概率；
解：因为两面涂有颜色的小正方体有24个，
所以 （两面涂有颜色） .
（3） 各个面都没有涂颜色的概率.
解：因为各个面都没有涂颜色的小正方体共有8个，
所以 （各个面都没有涂颜色） .
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第六章 概率初步
6.3 等可能事件的概率
第4课时 转盘中的事件的概率
1.在自由转动的转盘中,事件发生可能性的大小取决于指针指向的_____________的大小,___________大的发生的可能性大.
2.如果把一个可以自由转动的转盘等分成若干个扇形,那么指针指向某一区域的概率等于该区域的_______________除以 .
扇形的面积
扇形面积
圆心角的度数
例1 如图，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字 ， ， ， ，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动（若指针指向等分线，则重新转过，直至指向某区域为止）时，记指针指向标有“3”的区域的概率为 ，指针指向标有“4”的区域的概率为 .试比较 与 的大小.
【点拨】因为转盘是被等分成八个扇形区域的,所以求某一所标数字的概率时，直接将这一数字所占的区域数除以总区域数即可.
【解】 , ,故 .
变式.“十一”黄金周期间，某购物广场举办迎国庆有奖销售活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会，请你根据大转盘（如图）来计算：
（1） 享受七折优惠的概率；
解： .
（2） 中奖得现金的概率.
解： .
例2 下面三个转盘都被等分成了6个扇形,你能否在转盘上涂上适当的颜色,使得自由转动转盘,当停止转动时分别满足下面的条件？
（1）指针停在红色区域和停在黄色区域的概率相同；
（2）指针停在蓝色区域的概率大于停在红色区域的概率；
（3）同时满足上面两个要求．
【点拨】因为面积之比即为所求概率，所以（1）红色区域所占面积与黄色区域所占面积相等.（2）蓝色区域所占面积大于红色区域所占面积.（3）红色区域所占面积与黄色区域所占面积相等，且蓝色区域所占面积大于红色区域所占面积.
[答案] （1）图略
（2）图略
（3）图略
1.如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 ， ， ．让转盘自由转动，转盘停止后指针落在黄色区域的概率是( )
A. B. C. D.
B
2.转动下列各转盘，转盘停止后，指针指向红色区域的概率最大的是( )
D
3.如图,把一个圆形转盘按 的比例分成 ， ， ， 四个扇形区域,自由转动转盘,停止后指针指向 区域的概率为______.
（第3题图）
0.2
4.右上图是一个可以自由转动的转盘，如果转动一次转盘，停止后指针指向阴影部分的概率是 ，则转盘中阴影部分的扇形的圆心角度数为
_______.
（第4题图）
5.路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯 、绿灯 、黄灯 .司机 随机地由南往北开车到达该路口，问：
（1） 他遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？
解：因为红灯 、绿灯 、黄灯 ，
所以他遇到绿灯的概率大.
（2） 他遇到绿灯的概率是多少？
解：遇到绿灯的概率为 ，
故遇到绿灯的概率是 .
6.某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示）,并规定：顾客每购买300元的商品,就能获得一次转动转盘的机会；如果转盘停止后,指针正好对准哪个区域,顾客就可以获得相应的奖品．
颜色 奖品
红色 玩具熊
黄色 童话书
绿色 彩笔
小明和妈妈购买了325元的商品,请你分析计算：
（1） 小明获得奖品的概率是多少？
解：因为转盘中有颜色的部分的圆心角度数之和为 ,
所以小明获得奖品的概率为 .
（2） 小明获得童话书的概率是多少？
解：因为转盘中黄色部分的圆心角为 ,
所以小明获得童话书的概率为 .
7.如图，转盘被等分成六个扇形区域，并在上面依次写上数字 ， ， ， ， ， .转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．
（1） 当停止转动时，指针指向奇数区域的概率是多少？
解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域 ， ， ， ， ， 的机会是均等的，故共有6种等可能的结果，其中指针指向奇数区域有 ， ， 这3种结果，
所以 （奇数） ．
所以，转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是 ．
（2） 请你用这个转盘设计一个游戏（六等分扇形不变），使自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为 ，并说明你的设计理由.（设计方案可用图示表示，也可以用文字表述）
解：可在转盘的6个小扇形中，将其中的任意4个填涂成同一种颜色即可.因为转盘停止转动后，指针指向任何一个小扇形区域的机会均等，其概率均为 ，而图中有4个小扇形涂成了同一种颜色，所以指针指向这种颜色区域的概率为 ．
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