吉林省白山市抚松县第一中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题（含解析）

抚松县第一中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试
数学试卷
第I卷（选择题）
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.若上的可导函数在处满足，则（ ）
A.6 B. C.3 D.
2.若随机变量，且，则（ ）
A.0.29 B.0.71 C.0.79 D.0.855
3.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”.则（ ）
A. B. C. D.
4.随机变量的分布列如表所示，若，则（ ）
-1 0 1
A.3 B. C.5 D.9
5.某公司的员工中，有是行政人员，有是技术人员，有是研发人员，其中的行政人员具有博士学历，的技术人员具有博士学历，的研发人员具有博士学历，从具有博士学历的员工中任选一人，则选出的员工是技术人员的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A.420种 B.360种 C.540种 D.300种
7.已知的展开式中的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（ ）
A.-99 B.97 C.96 D.-98
8.若定义在上的奇函数满足，且当时，恒成立，则函数的零点的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A.若要求3名女生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法
B.若要求女生与男生相间排列，则这6名同学共有96种排法
C.若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有144种排法
D.若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这6名同学共有480种排法
10.已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.关于函数，下列判断正确的是（ ）
A.的极大值点是
B.函数在上有唯一零点
C.存在实数，使得成立
D.对任意两个正实数，且，若，则
第II卷（非选择题）
三 填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
12.已知函数是的导函数，则__________.
13.如图，一个小球从处投入，通过管道自上而下落入.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到，则分别给以一 二 三等奖.则某人投1次小球获得三等奖的概率为__________.
14.若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有__________个“十全十美数”.
四 解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）在的展开式中，
（1）求展开式中所有项的系数和；
（2）求二项式系数最大的项；
（3）系数的绝对值最大的项是第几项.
16.（本小题15分）第22届亚运会在中国杭州举行，中国代表团斩获201枚金牌，稳居榜首，为了普及亚运会知识，某校组织了亚运会知识竞赛，设置了三套不同试卷.现将每份试卷分别装入大小 外观均相同的竹筒中，再放入甲 乙两个抽题箱内，其中甲箱装有卷竹筒4个 卷竹筒3个 卷竹筒2个 乙箱装有卷竹筒2个 卷竹筒2个 卷竹筒5个.
（1）若从甲箱中取出一个竹筒，求该竹筒装有卷的概率.
（2）若从甲 乙箱中各取出一个竹筒，记取出的装有卷的竹筒数为随机变量，求的分布列与数学期望.
（3）若先从甲箱中随机取出一个竹筒放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个竹筒，求从乙箱取出的竹筒装有卷的概率.
17.（本小题15分）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：
（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；
（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望
（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小.
18.（本小题17分）新高考改革后部分省份来用“”高考模式，“3”指的是语文 数学 外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理，历史里选一门，“2”指考生要在生物，化学 思想政治 地理4门中选择2门.
（1）若按照“”模式选科，求甲 乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布.
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信.
附：，.
19.（本小题17分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）设，求函数的极大值；
（3）若，求函数的零点个数.
2023-2024年度（下）抚松一中高二年级第二次月考
数学参考答案
1.A 【详解】因为，
所以，故选：A.
2.B 【详解】因为，又，所以，所以.故选：B.
3.C 【详解】，事件“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”，则，则故选：C
4.C 【详解】由随机变量的分布列得：
，解得，
.故选：C.
5.C 【详解】设事件“选出的员工是行政人员”，“选出的员工是技术人员”，“选出的员工是研发人员”，“选出的员工具有博士学历”，
由题可知，，所以
，
，所以，故选：C
6.A 【详解】选用三种颜色时，必须1，5同色，2，4同色，此时有种；
选用四种颜色时，必须1，5同色或2，4同色，此时有种；
选用五种颜色时，有种，所以一共有种，故选：A.
7.C 【详解】解法1：因为，
所以的系数为，所以，解得，
所以，令，得.
解法2：由乘法分配律知的展开式中的系数为所以，解得，所以
令，得.故选：C
8.C 【详解】定义在上的奇函数满足.
.
即，记在上单调递增.
是偶函数.
在上单调递减，且.
如图所示，画出大致图象.
由图可得，有3个零点.故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，关键在于构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性，做出函数图象，将一个函数的零点问题，转化为两个函数的交点个数问题.
9.ACD 【详解】选项，将3名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，则有（种），故A正确，
选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法，则有（种），故B不正确，
选项C，先排3名男生，3名女生插空，则有（种），故C正确，
选项D，间接法，6人排列有（种）情况，男生甲在排头或排尾，则有（种），
所以男生甲不在排头也不在排尾有（种），故D正确，故选：ACD.
10.BD 【详解】由展开式的二项式系数和为512，
可得，解得，所以.
A：在，中，
令，得，令，得，所以，故错误；
B：，
等式两边同时求导，得，
令，得，故B正确；
C：，故C错；
D，
两式相加得，两式相减得.
又展开式的通项公式为，则当为奇数时，为负，当为偶数时，为正，
所以，故D正确.
故选：BD
11.BD 【分析】对于A，直接求导，由导数与单调性 极值的关系直接判断即可；对于B，求导得单调递减，结合零点存在定理即可求解；对于C，当且趋于无穷大时，无限接近于也无限趋于0，从而也趋于0，由此即可判断；对于D，通过分析得知只需证明，进一步通过换元并构造函数即可得证.
【详解】因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值，所以A错误；B选项中，函数，则，
由于，
即在上恒成立，所以函数在上单调递减，
又当时，，当时，，所以函数在上有唯一零点，即函数有且只有1个零点，B正确；
C选项中，由，
可得当且趋于无穷大时，无限接近于也无限趋于0，
故不存在实数，使得成立，即不存在实数，使得成立，错误；
D选项中，由得
要证，只要证，即证，
由于，故令，则，
故在上单调递增，则，即成立，
故成立，所以正确.故选：BD.
12.1 【详解】由函数，可得，
令，可得，解得，
则，所以.
13. 【详解】投1次小球获得三等奖有三条线路，又因为小球从每个叉口落入两个管道的可能性相等，所以投1次小球获得三等奖得概率为.
14.【答案】54 【详解】“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是0的，共有个，
分别为109，190，901，910，208，280，802，820，307，370，730，703，406，460，604，640，505，550；
②含有两个相同数字的，共有个，分别为；
③不含0且没有相同数字的，共有个，分别为
127，172，217，271，712，721136，163，316，361513，631；145，154，415，451，514，541235，253325，352，523，532
【详解】（1）令，可得展开式中所有项的系数和为；
（2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
的展开式的通项为：，
故
（3）由的展开式的通项为：
，
设第项系数的绝对值最大，显然，则，
整理得，即，解得，而，则或，所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
16.【详解】（1）记“从甲箱中取出的竹筒装有卷”为事件，则.
（2）由题意，得从甲箱中取出的竹筒装有卷的概率，
从乙箱中取出的竹筒装有卷的概率.
随机变量的所有可能取值为，
则，
所以的分布列为
所以数学期望.
（3）设事件为“从乙箱取出的竹筒装有卷”，
0 1 2
事件分别为“从甲箱中取出的竹筒装有卷 卷 卷”，
则
17.【详解】（1），
故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为600人；
（2）从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：，
的可能取值为
，
，
则其分布列为：
0 1 2 3
0.008 0.096 0.384 0.512
其期望为：；
（3），理由如下：
这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为8人，的可能取值为，
，则，故.
18.【详解】（1）甲 乙两名学生必选语文 数学 外语.
若另一门相同的为物理 历史中的一门，有种，
在生物 化学 思想政治 地理4门中，甲 乙选择不同的2门，则有种，共种；
若另一门相同的为生物 化学 思想政治 地理4门中的一门，则有种.
所以甲 乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为.
（2）（1）设此次网络测试的成绩记为，则.
由题知，
则，所以.
所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人.
（2）不可信.
，
则，
4000名学生中成绩大于410分的约有人，
这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分.
所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信.
19.【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）求导，分，和三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；
（3）令，则，再分的正负讨论，当时，分离参数可得，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.
【详解】（1）当时，，，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2），则，
则，
当时，，此时函数无极值；
当时，令，则或，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为；
当时，令，则或，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数的定义域为，
所以此时函数无极值.
综上所述，当时，函数无极大值；
当时，的极大值为；
（3）令，则，
当时，，
所以时，函数无零点；
当时，由，得，所以，
则时，函数零点的个数即为函数图象交点的个数，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，且，当时，，
如图，作出函数的大致图象，
又，由图可知，所以函数的图象只有个交点，
即当时，函数只有个零点；
综上所述，若，函数有个零点.
【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想 数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数.图象的交点问题.