7.1条件概率与全概率公式 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册
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| 名称 | 7.1条件概率与全概率公式 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 591.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-19 14:43:21 | ||
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文档简介
7.1 条件概率与全概率公式 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母个标有字母.甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲 乙两人摸到标有字母的球的概率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．凉山地区学生中有50%的同学爱好羽毛球，60%的同学爱好乒乓球，70%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在凉山地区的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.8 D．0.9
4．小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．文明是一座城市最靓丽的底色，也是一座城市最暖的名片．自内江市开展“让文明出行成为甜城靓丽风景”文明实践日活动以来，全市广大学子以实际行动提升城市文明形象，助力全国文明城市创建工作．在活动中，甲、乙两名同学利用周末时间到交通路口开展文明劝导志愿服务工作，他们可以从四个路口中随机选择一个路口，设事件为“甲和乙至少有一人选择了路口”，事件为“甲和乙选择的路口不相同”，则（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则（ ）
A． B． C． D．
7．已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则，相互独立
B．若，相互独立，则
C．若，则
D．若，则
8．已知A，B为同一次试验中的两个随机事件，且，，命题甲：若，则事件A与B相互独立；命题乙：“A与B相互独立”是“”的充分不必要条件；则命题（ ）
A．甲乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题
C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲乙都是假命题
二、多选题
9．某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件和表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示从乙队（甲队已经抽取一人派往乙队）中随机抽取一人抽到的是男士，则（ ）
A． B． C． D．
10．“新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（ ）
A．B与C相互独立 B．
C． D．
11．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：.现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为，乙车床加工的次品率，丙车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的，，，设事件，，分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为 ．
14．某运动员在亚运会田径比赛中准备参加100米、200米两项比赛，根据以往成绩分析，该运动员100米比赛未能获得奖牌的概率为，200米比赛未能获得奖牌的概率为，两项比赛都未能获得奖牌的概率为，若该运动员在100米比赛中获得了奖牌，则他在200米比赛中也获得奖牌的概率为 .
15．某种疾病的患病率为，通过验血诊断该病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，每人的诊断结果互不影响，则若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为
16．为缓解高三学习压力，某高中校举办一对一石头、剪刀、布猜拳比赛，比赛约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛；若猜拳4局仍未分出胜负，则比赛结束. 在一局猜拳比赛中，已知每位同学赢 输 平局的概率均为，每局比赛的结果相互独立. 现甲、乙两位同学对战，则甲同学比赛三局获胜的概率为 ；已知比赛进行了四局的前提下，两位选手未分出胜负的概率为 .
四、解答题
17．工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少
18．已知甲箱中有2个白球和4个红球，乙箱中有4个白球和2个红球.质点从原点出发，每次等可能的向左或向右移动一个单位，记事件“质点移动6次，最终在2的位置”.
(1)求事件发生的概率；
(2)若事件发生，从甲箱中取一球，否则从乙箱中取一球.求取出的球是红球的概率.
19．现有12个球，其中6个球由甲工厂生产，4个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的次品率依次是7%，8%，9%、现从这12个球中任取1个球，设事件B为“取得的球是次品”，事件，，分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”，
(1)求，，2，3，
(2)若取出的球是次品，求该球是甲工厂生产的概率.（用分数作答）
20．甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1枚骰子1次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为当骰子朝上的点数不小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立．
(1)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率
(2)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，第一次由甲掷．当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分．甲、乙分别在5~25分之间选一个整数分数（含5分和25分），且两人所选的分数不同，当两人累计积分之和首先等于其中一人所选分数时，此人赢得游戏．记两人累计积分之和为的概率为
（i）证明：为等比数列．
（ⅱ）甲选哪个分数对自己最有利？请说明理由
21．现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，
(1)在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率；
(2)求第二次取到1号球的概率；
(3)如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有多少种
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】设出事件，由已知根据互斥事件的运算性质，以及条件概率的性质，即可得出答案.
【详解】设为“第次按对密码”（），
则事件 “不超过2次就按对”可表示为，
记“密码的最后一位数字是奇数”为事件，
由条件概率的性质可得.
.故选：C.
2．A
【分析】利用古典概型的概率及全概率公式求出后可得正确的选项.
【详解】设为“甲摸到标有字母的球”，为“乙摸到标有字母的球”，则，
而，
故.
故选：.
3．C
【分析】由题设出事件，设在凉山地区的学生中随机调查一位同学，该同学爱好羽毛球为事件A，爱好乒乓球为事件B，根据已知条件求出，再利用条件概率公式求出即可.
【详解】设在凉山地区的学生中随机调查一位同学，该同学爱好羽毛球为事件A，爱好乒乓球为事件B，则由题：，
所以，
随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球为，
故选：C.
4．C
【分析】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，事件B：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子.先利用全概率公式求，然后再由条件概率公式可得.
【详解】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，
事件B：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子.
则，，，，
当时，，
由题知，，
所以，
又，
所以.
故选：C
5．B
【分析】利用缩小样本空间的方法计算条件概率即可.
【详解】由题意可知甲乙随机选择路口有种方法，
而甲乙都不选A路口的可能有种，即事件M的样本点有7个，
而在甲乙至少一人选择A路口的前提下，两人选择的路口不同有种情况，
所以.
故选：B
6．C
【分析】根据条件概率的公式，分析求解即可.
【详解】，事件“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”，
则，则
故选：C
7．D
【分析】根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B、C、D.
【详解】对于A：因为，所以与不独立，故A错误；
对于B：若，相互独立，则，故B错误；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：若，则，所以，故D正确.
故选：D
8．B
【分析】结合对立事件概率公式和条件概率公式由可推出，由此判断命题甲，结合独立事件概率公式，条件概率公式判断命题乙的条件与结论的关系，判断命题乙，由此可得结论.
【详解】因为，
所以，
所以，故，
所以事件A与B相互独立，命题甲正确，
若A与B相互独立，则与相互独立，与相互独立，
，
，
所以，
若，所以，
所以，
所以
所以，
所以，
，故事件与事件相互独立，
所以事件与事件相互独立，
所以“A与B相互独立”是“”的充分必要条件，
所以命题乙为假命题，
故选：B.
9．ABC
【分析】事件，事件不能同时发生，求出，，，，，根据条件概率、全概率公式计算逐项判断可得答案.
【详解】对于A，依题意，事件，事件不能同时发生，，故A正确；
对于B，，，，故B正确；
对于C，，
，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：ABC．
10．BCD
【分析】由相互独立事件成立的条件，算出，由可判断A；由条件概率的计算公式可得，，即可判断B、C；由和事件的计算公式可得，即可判断D.
【详解】因为，
所以，所以B与C不相互独立，故A错误；
因为，
所以，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为，所以D正确．
故选：BCD.
11．ACD
【分析】对于A，利用独立事件的乘法公式求解即得；对于B，根据缩小样本空间的方法易得；对于C，利用全概率公式计算即得；对于D，运用贝叶斯概率公式求解即得.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因事件可理解为，在确定产品是丙机床生产的条件下得到该产品为次品，
故有，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
12．ACD
【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出，，，，即可判断A选项，再结合条件概率公式和全概率公式即可确定B，C，D选项的正确性.
【详解】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以，故A正确；
对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B错误；
对于C，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，所以，故C正确；
对于D，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，结合以上分析，
所以，故D正确.
故选：ACD
13．
【分析】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，由古典概率公式求出，再由条件概率求解即可.
【详解】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，
则，，
所以，
故答案为：．
14．/
【分析】根据对立事件及条件事件的概率公式计算即可.
【详解】设在200米比赛中获奖为事件，在100米比赛中获奖为事件，
则,
所以，
则,
所以该运动员在100米比赛中获奖，在200米比赛中也获奖的概率是.
故答案为：.
15．
【分析】将每种事件的概率表示出来，再利用条件概率公式或全概率公式即可求解.
【详解】设“阳性”， “阴性”；“患病”,“不患病”；.
由题知：某种疾病的患病率为，则，，
通过验血诊断该病的误诊率为，则，，
漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，则，，
则诊断结果是阳性概率为：
，
则某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为：
，
故答案为：.
16．
【分析】直接用古典概型方法即可求解第一空；使用条件概率定义，结合古典概型方法即可求解第二空.
【详解】若甲同学比赛三局获胜，则有两种可能：
甲同学第一局和第三局获胜，第二局未获胜；或甲同学第二局和第三局获胜，第一局未获胜.
故所求概率；
设分别表示“比赛进行了四局”和“两位选手未分出胜负”，则.
同理，乙同学比赛三局获胜的概率是，而甲、乙同学各自在第二局结束后就获胜的概率都是.
故比赛进行两局就结束的概率，比赛进行三局就结束的概率，
所以.
而若比赛四局且未分出胜负，则甲、乙两人各自都最多获胜一局，
从而两人的获胜数量总共有四种可能：
都是零次，甲一次乙零次，甲零次乙一次，甲一次乙一次.
它们对应的具体局数又分别有1，4，4，12种选取方式，据此可得
.
故所求概率.
故答案为：，.
17．(1)
(2)
【分析】（1）记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，利用全概率公式计算可得；
（2）利用条件概率的概率公式计算可得.
【详解】（1）记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则,
，
取到次品的概率为
；
（2）若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）依题意需质点向左移动次，向右移动次，根据古典概型的概率公式计算可得；
（2）设取出的球是红球为事件，根据全概率公式计算可得.
【详解】（1）要使质点移动次，最终在的位置，则需质点向左移动次，向右移动次，
所以或；
（2）设取出的球是红球为事件，则，
又有题知：，，
故根据全概率公式得
.
19．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）根据已知条件，结合古典概型的概率计算公式，直接求解即可；
（2）根据全概率公式，求得，再根据贝叶斯公式，求得即可.
【详解】（1）根据题意，.
（2）根据题意可得，
故；
则，故若取出的球是次品，求该球是甲工厂生产的概率为.
20．(1)；
(2)（i）证明见解析；（ⅱ）甲选择6分对自己最有利，理由见解析.
【分析】（1）求出甲每轮积分为0，1，2分的概率，再将所求概率的事件分拆成彼此互斥事件的和，利用概率的加法、乘法公式列式计算即得.
（2）（i）根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式，再利用等比数列定义推理即得；（ⅱ）利用累加法求出，借助数列单调性求出最大值即可判断得解.
【详解】（1）甲每轮游戏的积分可能为0分、1分、2分，记其每轮积分为0分、1分、2分的概率分别为，
则，
经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的所有可能情况如下：4轮中甲掷2轮，且每轮积分均为2分；
4轮中甲掷3轮，每轮积分分别为2，1，1；甲掷4轮，每轮积分均为1分，
所以经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率．
（2）（i）记“累计积分之和为”为事件“累计积分之和为”为事件“累计积分之和为”为事件，
于是，
则，又，
所以是首项为公比为的等比数列．
（ii）由（i）得，当时，，
累加得，
因此，当为奇数时，单调递增，且，
当且为偶数时，单调递减，且，
则当时，最大，所以甲选择6分对自己最有利．
【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用缩样法求条件概率；
（2）记事件分别表示第一次、第二次取到号球，则事件第二次取到1号球可表示为，利用全概率公式求结论；
（3）满足要求的放法有两类，有两个口袋都放一个球，第三个口袋放3个球，或有2个口袋都放2个球，第三个口袋放1个球，再根据分堆分配问题的处理方法求解.
【详解】（1）记事件分别表示第一次、第二次取到号球， ，
则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率，
（2）依题意 两两互斥， 其和为， 并且
应用全概率公式， 有
（3）先将5个不同的小球分成1，1，3或1，2，2三份，再放入三个不同的口袋，
则不同的分配方法有
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母个标有字母.甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲 乙两人摸到标有字母的球的概率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．凉山地区学生中有50%的同学爱好羽毛球，60%的同学爱好乒乓球，70%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在凉山地区的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.8 D．0.9
4．小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．文明是一座城市最靓丽的底色，也是一座城市最暖的名片．自内江市开展“让文明出行成为甜城靓丽风景”文明实践日活动以来，全市广大学子以实际行动提升城市文明形象，助力全国文明城市创建工作．在活动中，甲、乙两名同学利用周末时间到交通路口开展文明劝导志愿服务工作，他们可以从四个路口中随机选择一个路口，设事件为“甲和乙至少有一人选择了路口”，事件为“甲和乙选择的路口不相同”，则（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则（ ）
A． B． C． D．
7．已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则，相互独立
B．若，相互独立，则
C．若，则
D．若，则
8．已知A，B为同一次试验中的两个随机事件，且，，命题甲：若，则事件A与B相互独立；命题乙：“A与B相互独立”是“”的充分不必要条件；则命题（ ）
A．甲乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题
C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲乙都是假命题
二、多选题
9．某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件和表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示从乙队（甲队已经抽取一人派往乙队）中随机抽取一人抽到的是男士，则（ ）
A． B． C． D．
10．“新高考”后，普通高考考试科目实行“”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件A表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件B表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件C表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件D表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（ ）
A．B与C相互独立 B．
C． D．
11．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：.现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为，乙车床加工的次品率，丙车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的，，，设事件，，分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4．现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为 ．
14．某运动员在亚运会田径比赛中准备参加100米、200米两项比赛，根据以往成绩分析，该运动员100米比赛未能获得奖牌的概率为，200米比赛未能获得奖牌的概率为，两项比赛都未能获得奖牌的概率为，若该运动员在100米比赛中获得了奖牌，则他在200米比赛中也获得奖牌的概率为 .
15．某种疾病的患病率为，通过验血诊断该病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，每人的诊断结果互不影响，则若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为
16．为缓解高三学习压力，某高中校举办一对一石头、剪刀、布猜拳比赛，比赛约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛；若猜拳4局仍未分出胜负，则比赛结束. 在一局猜拳比赛中，已知每位同学赢 输 平局的概率均为，每局比赛的结果相互独立. 现甲、乙两位同学对战，则甲同学比赛三局获胜的概率为 ；已知比赛进行了四局的前提下，两位选手未分出胜负的概率为 .
四、解答题
17．工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.
(1)求取到次品的概率；
(2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少
18．已知甲箱中有2个白球和4个红球，乙箱中有4个白球和2个红球.质点从原点出发，每次等可能的向左或向右移动一个单位，记事件“质点移动6次，最终在2的位置”.
(1)求事件发生的概率；
(2)若事件发生，从甲箱中取一球，否则从乙箱中取一球.求取出的球是红球的概率.
19．现有12个球，其中6个球由甲工厂生产，4个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的次品率依次是7%，8%，9%、现从这12个球中任取1个球，设事件B为“取得的球是次品”，事件，，分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”，
(1)求，，2，3，
(2)若取出的球是次品，求该球是甲工厂生产的概率.（用分数作答）
20．甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1枚骰子1次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为当骰子朝上的点数不小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立．
(1)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率
(2)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，第一次由甲掷．当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分．甲、乙分别在5~25分之间选一个整数分数（含5分和25分），且两人所选的分数不同，当两人累计积分之和首先等于其中一人所选分数时，此人赢得游戏．记两人累计积分之和为的概率为
（i）证明：为等比数列．
（ⅱ）甲选哪个分数对自己最有利？请说明理由
21．现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，
(1)在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率；
(2)求第二次取到1号球的概率；
(3)如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有多少种
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】设出事件，由已知根据互斥事件的运算性质，以及条件概率的性质，即可得出答案.
【详解】设为“第次按对密码”（），
则事件 “不超过2次就按对”可表示为，
记“密码的最后一位数字是奇数”为事件，
由条件概率的性质可得.
.故选：C.
2．A
【分析】利用古典概型的概率及全概率公式求出后可得正确的选项.
【详解】设为“甲摸到标有字母的球”，为“乙摸到标有字母的球”，则，
而，
故.
故选：.
3．C
【分析】由题设出事件，设在凉山地区的学生中随机调查一位同学，该同学爱好羽毛球为事件A，爱好乒乓球为事件B，根据已知条件求出，再利用条件概率公式求出即可.
【详解】设在凉山地区的学生中随机调查一位同学，该同学爱好羽毛球为事件A，爱好乒乓球为事件B，则由题：，
所以，
随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球为，
故选：C.
4．C
【分析】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，事件B：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子.先利用全概率公式求，然后再由条件概率公式可得.
【详解】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，
事件B：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子.
则，，，，
当时，，
由题知，，
所以，
又，
所以.
故选：C
5．B
【分析】利用缩小样本空间的方法计算条件概率即可.
【详解】由题意可知甲乙随机选择路口有种方法，
而甲乙都不选A路口的可能有种，即事件M的样本点有7个，
而在甲乙至少一人选择A路口的前提下，两人选择的路口不同有种情况，
所以.
故选：B
6．C
【分析】根据条件概率的公式，分析求解即可.
【详解】，事件“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”，
则，则
故选：C
7．D
【分析】根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B、C、D.
【详解】对于A：因为，所以与不独立，故A错误；
对于B：若，相互独立，则，故B错误；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：若，则，所以，故D正确.
故选：D
8．B
【分析】结合对立事件概率公式和条件概率公式由可推出，由此判断命题甲，结合独立事件概率公式，条件概率公式判断命题乙的条件与结论的关系，判断命题乙，由此可得结论.
【详解】因为，
所以，
所以，故，
所以事件A与B相互独立，命题甲正确，
若A与B相互独立，则与相互独立，与相互独立，
，
，
所以，
若，所以，
所以，
所以
所以，
所以，
，故事件与事件相互独立，
所以事件与事件相互独立，
所以“A与B相互独立”是“”的充分必要条件，
所以命题乙为假命题，
故选：B.
9．ABC
【分析】事件，事件不能同时发生，求出，，，，，根据条件概率、全概率公式计算逐项判断可得答案.
【详解】对于A，依题意，事件，事件不能同时发生，，故A正确；
对于B，，，，故B正确；
对于C，，
，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：ABC．
10．BCD
【分析】由相互独立事件成立的条件，算出，由可判断A；由条件概率的计算公式可得，，即可判断B、C；由和事件的计算公式可得，即可判断D.
【详解】因为，
所以，所以B与C不相互独立，故A错误；
因为，
所以，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为，所以D正确．
故选：BCD.
11．ACD
【分析】对于A，利用独立事件的乘法公式求解即得；对于B，根据缩小样本空间的方法易得；对于C，利用全概率公式计算即得；对于D，运用贝叶斯概率公式求解即得.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因事件可理解为，在确定产品是丙机床生产的条件下得到该产品为次品，
故有，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
12．ACD
【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出，，，，即可判断A选项，再结合条件概率公式和全概率公式即可确定B，C，D选项的正确性.
【详解】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以，故A正确；
对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B错误；
对于C，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，所以，故C正确；
对于D，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，结合以上分析，
所以，故D正确.
故选：ACD
13．
【分析】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，由古典概率公式求出，再由条件概率求解即可.
【详解】设事件“甲获胜”为事件，事件“乙摸到2号球”为事件，
则，，
所以，
故答案为：．
14．/
【分析】根据对立事件及条件事件的概率公式计算即可.
【详解】设在200米比赛中获奖为事件，在100米比赛中获奖为事件，
则,
所以，
则,
所以该运动员在100米比赛中获奖，在200米比赛中也获奖的概率是.
故答案为：.
15．
【分析】将每种事件的概率表示出来，再利用条件概率公式或全概率公式即可求解.
【详解】设“阳性”， “阴性”；“患病”,“不患病”；.
由题知：某种疾病的患病率为，则，，
通过验血诊断该病的误诊率为，则，，
漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，则，，
则诊断结果是阳性概率为：
，
则某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为：
，
故答案为：.
16．
【分析】直接用古典概型方法即可求解第一空；使用条件概率定义，结合古典概型方法即可求解第二空.
【详解】若甲同学比赛三局获胜，则有两种可能：
甲同学第一局和第三局获胜，第二局未获胜；或甲同学第二局和第三局获胜，第一局未获胜.
故所求概率；
设分别表示“比赛进行了四局”和“两位选手未分出胜负”，则.
同理，乙同学比赛三局获胜的概率是，而甲、乙同学各自在第二局结束后就获胜的概率都是.
故比赛进行两局就结束的概率，比赛进行三局就结束的概率，
所以.
而若比赛四局且未分出胜负，则甲、乙两人各自都最多获胜一局，
从而两人的获胜数量总共有四种可能：
都是零次，甲一次乙零次，甲零次乙一次，甲一次乙一次.
它们对应的具体局数又分别有1，4，4，12种选取方式，据此可得
.
故所求概率.
故答案为：，.
17．(1)
(2)
【分析】（1）记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，利用全概率公式计算可得；
（2）利用条件概率的概率公式计算可得.
【详解】（1）记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示车间生产的产品，
记事件表示抽取到次品，
则,
，
取到次品的概率为
；
（2）若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）依题意需质点向左移动次，向右移动次，根据古典概型的概率公式计算可得；
（2）设取出的球是红球为事件，根据全概率公式计算可得.
【详解】（1）要使质点移动次，最终在的位置，则需质点向左移动次，向右移动次，
所以或；
（2）设取出的球是红球为事件，则，
又有题知：，，
故根据全概率公式得
.
19．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）根据已知条件，结合古典概型的概率计算公式，直接求解即可；
（2）根据全概率公式，求得，再根据贝叶斯公式，求得即可.
【详解】（1）根据题意，.
（2）根据题意可得，
故；
则，故若取出的球是次品，求该球是甲工厂生产的概率为.
20．(1)；
(2)（i）证明见解析；（ⅱ）甲选择6分对自己最有利，理由见解析.
【分析】（1）求出甲每轮积分为0，1，2分的概率，再将所求概率的事件分拆成彼此互斥事件的和，利用概率的加法、乘法公式列式计算即得.
（2）（i）根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式，再利用等比数列定义推理即得；（ⅱ）利用累加法求出，借助数列单调性求出最大值即可判断得解.
【详解】（1）甲每轮游戏的积分可能为0分、1分、2分，记其每轮积分为0分、1分、2分的概率分别为，
则，
经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的所有可能情况如下：4轮中甲掷2轮，且每轮积分均为2分；
4轮中甲掷3轮，每轮积分分别为2，1，1；甲掷4轮，每轮积分均为1分，
所以经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率．
（2）（i）记“累计积分之和为”为事件“累计积分之和为”为事件“累计积分之和为”为事件，
于是，
则，又，
所以是首项为公比为的等比数列．
（ii）由（i）得，当时，，
累加得，
因此，当为奇数时，单调递增，且，
当且为偶数时，单调递减，且，
则当时，最大，所以甲选择6分对自己最有利．
【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用缩样法求条件概率；
（2）记事件分别表示第一次、第二次取到号球，则事件第二次取到1号球可表示为，利用全概率公式求结论；
（3）满足要求的放法有两类，有两个口袋都放一个球，第三个口袋放3个球，或有2个口袋都放2个球，第三个口袋放1个球，再根据分堆分配问题的处理方法求解.
【详解】（1）记事件分别表示第一次、第二次取到号球， ，
则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率，
（2）依题意 两两互斥， 其和为， 并且
应用全概率公式， 有
（3）先将5个不同的小球分成1，1，3或1，2，2三份，再放入三个不同的口袋，
则不同的分配方法有
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