7.3离散型随机变量的数字特征 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 7.3离散型随机变量的数字特征 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 611.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-19 14:47:12 | ||
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文档简介
7.3离散型随机变量的数字特征 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望等于（ ）
0 1 2
A． B． C． D．
2．某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下，则该运动员所得环数的数学期望最接近（ ）
命中环数 6 7 8 9 10
概率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
A．7环 B．8环 C．9环 D．10环
3．已知某随机变量， ， 则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量X的方差（ ）
A．120 B．160 C．200 D．260
5．已知随机变量的概率分布如下表
x 1 2 4
P
则（ ）
A．1 B． C．11 D．15
6．已知随机变量的分布列如表所示：
0
p
其中，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知甲盒中有2个球且都为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中
（1）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；
（2）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3
若，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
二、多选题
9．随机地向4个器皿内投放4种不同的食物给4只狗仔喂食，设所投放的食物均落在器皿内，随机变量X为空器皿个数，则下列说法正确的是（ ）
A．随机变量X的取值为1，2，3 B．
C． D．
10．已知随机变量的分布列如下，则正确的是（ ）
1 2
A． B．
C．若，则 D．
11．设随机变量的分布列如表所示，则下列选项中正确的为（ ）
0 1 2 3
A． B． C． D．
12．一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（ ）
A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差
C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望
D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望
三、填空题
13．已知随机变量的分布列为，则 ．
14．随机变量的取值为0，1，2，若，，则 ．
15．已知随机变量的分布列如下：
0 1 2
0.6
若，则 ；当 时，最大．
16．为了备战2023斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设丁俊晖在每局中获胜的概率为，赵心童在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则 ．
四、解答题
17．在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.
(1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
18．某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为200元、400元、600元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束．选手甲参加该闯关游戏，已知选手甲第一、二、三关闯关成功的概率分别为，，，每一关闯关成功选择继续闯关的概率均为，且每关闯关成功与否互不影响．
(1)求选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
(2)设选手甲所得总奖金为X，求X的分布列及其数学期望．
19．利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将化为分数是这样计算的：设，则，即，解得.
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局.
(1)如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
(2)如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局.设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为.
①求甲获胜的概率；
②求.
20．定义两组数据，的“斯皮尔曼系数”为变量在该组数据中的排名和变量在该组数据中的排名的样本相关系数，记为，其中．
某校15名学生的数学成绩的排名与知识竞赛成绩的排名如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 5 3 4 9 8 7 6 10 2 12 14 13 11 15
(1)试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”；
(2)已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀，现从这15人中随机抽取3人，抽到数学成绩优秀的学生有人，试求的分布列和数学期望．
21．课外阅读对于培养学生的阅读兴趣， 拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用. 某市为了解中学生的课外阅读情况， 从该市全体中学生中随机抽取500名学生， 调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长(单位:分钟)，得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟.
时长t
学生人数 50 100 200 125 25
(1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)用频率估计概率，从该市中学生中随机抽取2名学生参加座谈， 抽到的学生寒假期间每天课外阅读平均时长在内记0分，在内记1分，在内记2分. 用表示这两名学生得分之和，求的分布列和数学期望.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】先由概率的性质求得，进而根据题意求期望即可.
【详解】由已知得，
则，
所以.
故选：C.
2．B
【分析】根据题意求该运动员所得环数的数学期望，结合选项分析求解.
【详解】设运动员所得环数为，
则该运动员所得环数的数学期望为，
所以该运动员所得环数的数学期望最接近8环.
故选：B.
3．D
【分析】利用方差公式，即可求解.
【详解】因为，所以，
故选：D
4．C
【分析】根据概率和为，求得，再根据分布列求，再求即可.
【详解】由题可知：，解得，则；
故.
故选：C.
5．D
【分析】由概率和为可得，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解.
【详解】由，故，
则.
故选：D.
6．A
【分析】根据期望和方差的公式代入计算即可.
【详解】因为，所以，
，
所以.
所以.
故选：A.
7．A
【分析】求得两种情况下的,,,比较可得结论.
【详解】从乙盒中取1个球时，甲盒红球个数记为，则的所有可能取值为2，3，
则
从乙盒中随机抽取1个篮球放入甲盒中的概率是,乙盒中随机抽取1个红球放入甲盒中的概率是,
从乙盒中取2个球时，甲盒红球数记为，则的可能取值为，
,
．
故选：A．
8．C
【分析】根据分布列的性质以及数学期望求出的值，即可求得，根据方差的性质，即可求得答案.
【详解】由题意知，
由得，解得，
故，
故，
故选：C
9．CD
【分析】根据古典概型的概率公式，结合排列组合求解个数，即可求解分布列，进而结合选项即可逐一求解.
【详解】由题意得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，故A错误；
则，，故B错误，C正确；
又，，
所以．故D正确．
故选：CD．
10．ABD
【分析】利用分布列的性质求得的关系，再根据随机变量的概率公式与期望、方差公式即可得解.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，故C错误；
对于D，，
则的分布列如下：
1 4
所以，
则.
故选：ABD.
11．BCD
【分析】根据分布列的性质求出的值，再根据期望、方差公式计算可得.
【详解】依题意，解得，即，故D正确；
，故A错误；
，故B正确；
，故C正确.
故选：BCD
12．ABD
【分析】对选项A，的可能取值为0，1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项B，，再由二项分布的方差公式求得；对选项C，X的可能取值为1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项D，Y的可能取值为0，1，2，求出概率，再由公式求得
【详解】对选项A，从该口袋中任取3个球，取出的红球个数的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
则，故A正确；
对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为，则取出的红球次数为，
则方差，故B正确;
对选项C，从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的可能取值为1，2，3，
则，，则，
则，故C错误；
对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y的可能取值为0，1，2，
则，，，
则，故D正确；
故选：ABD
13．
【分析】根据随机变量的分布列求解其数学期望，从而得其方差，再由方差的性质，即可得结论.
【详解】随机变量的分布列为，
则其数学期望，则方差，
所以.
故答案为：.
14．/
【分析】设由分布列的性质和均值公式可求出，再由方差的公式求解即可得出答案.
【详解】设则由已知得，
，所以，
解得：，
所以．
故答案为：.
15． 0.1/ 0.2/
【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望公式计算得值；利用方差与期望的关系建立关于的函数，探讨函数的最大值即可.
【详解】由，得，因此；
依题意，，，
因此，
则当时，取得最大值.
故答案为：0.1；0.2
16．
【分析】依题意得到的可能取值，再求出对应的概率，从而求解期望即可．
【详解】解：依题意知，的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，可以得到该轮结束时比赛停止的概率为，
如果该轮结束时比赛还将继续，那么丁俊晖 赵心童在该轮中必是各得一分，
此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，
从而有，
故，
故答案为：．
17．(1)①0.16；②3.128
(2)答案见解析..
【分析】（1）结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；
（2）结合对立事件概率和独立事件概率公式比较计算.
【详解】（1）①记“甲获得第四名”为事件，则；
②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量，
则的所有可能取值为2，3，4，
连败两局：，
可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
，
；
故的分布列如下：
2 3 4
0.16 0.552 0.288
故数学期望；
（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率，
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为，
由，且
所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，两种赛制甲夺冠的概率一样.
18．(1)
(2)分布列见解析，256
【分析】（1）由题意，满足题意的事件分两种情况：第一关闯关成功且第二关闯关失败、第一关闯关成功且第二关闯关成功且第三关闯关失败，求出对应的概率即可求解；
（2）X的可能取值为0，200，600，1200，根据独立事件的乘法公式求出对应的概率，列出分布列，即可求出数学期望.
【详解】（1）根据题意得，选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零的事件分为两类情况：
第一种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关失败，
其概率为：；
第二种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关成功，第三关闯关失败，
其概率为：；
记“选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零”为事件A，
∴．
（2）根据题意得：X的可能取值为：0，200，600，1200，
∴，
，
，
，
∴X的分布列为：
X 0 200 600 1200
P
∴X的期望为：．
19．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用互斥事件的概率及独立重复试验的概率公式，列式计算即得.
（2）①利用全概率公式列出的关系等式，再利用消元法求出；②列出的关系等式，利用消元法求出.
【详解】（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局甲胜，概率为；
4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局乙胜，概率为，
所以恰好4局结束比赛的概率.
（2）①在甲在净胜-2局前提下，继续比赛一局：
若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为；
若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，
根据全概率公式，，同理，
由，得，与联立消去，
得，又，即，因此，
所以甲获胜的概率为.
②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：
若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要局，共进行了局；
若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局，
则，即，
同理，即，
，即，
，即，
，即，
联立与，得，
联立与，得，
代入，得，
所以.
【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
20．(1)0.8；
(2)分布列见解析，数学期望为2.
【分析】（1）根据“斯皮尔曼系数”的计算公式即可求解.
（2）的值可能为0，1，2，3，计算出各自对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
【详解】（1）依题意，，
所以这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”是0.8.
（2）依题意，的值可能为0，1，2，3，
，
，
则的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望为．
21．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）用该组区间的中点值为代表，根据平均数的计算即可求解；
（2）由题意，随机变量的可能取值为，根据独立事件的概率乘法公式求解概率，即可得分布列和期望.
【详解】（1）由题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数
，
所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为
（2）每天课外阅读平均时长在的概率为:，
每天课外阅读平均时长在的概率为:，
每天课外阅读平均时长在的概率为:.
由题意，随机变量的可能取值为，
，
，
，
的分布列为:
X 0 1 2 3 4
0.01 0.12 0.42 0.36 0.09
的数学期望 .
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望等于（ ）
0 1 2
A． B． C． D．
2．某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下，则该运动员所得环数的数学期望最接近（ ）
命中环数 6 7 8 9 10
概率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
A．7环 B．8环 C．9环 D．10环
3．已知某随机变量， ， 则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量X的方差（ ）
A．120 B．160 C．200 D．260
5．已知随机变量的概率分布如下表
x 1 2 4
P
则（ ）
A．1 B． C．11 D．15
6．已知随机变量的分布列如表所示：
0
p
其中，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知甲盒中有2个球且都为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中
（1）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；
（2）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3
若，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
二、多选题
9．随机地向4个器皿内投放4种不同的食物给4只狗仔喂食，设所投放的食物均落在器皿内，随机变量X为空器皿个数，则下列说法正确的是（ ）
A．随机变量X的取值为1，2，3 B．
C． D．
10．已知随机变量的分布列如下，则正确的是（ ）
1 2
A． B．
C．若，则 D．
11．设随机变量的分布列如表所示，则下列选项中正确的为（ ）
0 1 2 3
A． B． C． D．
12．一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（ ）
A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差
C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望
D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望
三、填空题
13．已知随机变量的分布列为，则 ．
14．随机变量的取值为0，1，2，若，，则 ．
15．已知随机变量的分布列如下：
0 1 2
0.6
若，则 ；当 时，最大．
16．为了备战2023斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设丁俊晖在每局中获胜的概率为，赵心童在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则 ．
四、解答题
17．在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.
(1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
18．某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为200元、400元、600元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束．选手甲参加该闯关游戏，已知选手甲第一、二、三关闯关成功的概率分别为，，，每一关闯关成功选择继续闯关的概率均为，且每关闯关成功与否互不影响．
(1)求选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
(2)设选手甲所得总奖金为X，求X的分布列及其数学期望．
19．利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将化为分数是这样计算的：设，则，即，解得.
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局.
(1)如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
(2)如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局.设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为.
①求甲获胜的概率；
②求.
20．定义两组数据，的“斯皮尔曼系数”为变量在该组数据中的排名和变量在该组数据中的排名的样本相关系数，记为，其中．
某校15名学生的数学成绩的排名与知识竞赛成绩的排名如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 5 3 4 9 8 7 6 10 2 12 14 13 11 15
(1)试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”；
(2)已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀，现从这15人中随机抽取3人，抽到数学成绩优秀的学生有人，试求的分布列和数学期望．
21．课外阅读对于培养学生的阅读兴趣， 拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用. 某市为了解中学生的课外阅读情况， 从该市全体中学生中随机抽取500名学生， 调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长(单位:分钟)，得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟.
时长t
学生人数 50 100 200 125 25
(1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)用频率估计概率，从该市中学生中随机抽取2名学生参加座谈， 抽到的学生寒假期间每天课外阅读平均时长在内记0分，在内记1分，在内记2分. 用表示这两名学生得分之和，求的分布列和数学期望.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】先由概率的性质求得，进而根据题意求期望即可.
【详解】由已知得，
则，
所以.
故选：C.
2．B
【分析】根据题意求该运动员所得环数的数学期望，结合选项分析求解.
【详解】设运动员所得环数为，
则该运动员所得环数的数学期望为，
所以该运动员所得环数的数学期望最接近8环.
故选：B.
3．D
【分析】利用方差公式，即可求解.
【详解】因为，所以，
故选：D
4．C
【分析】根据概率和为，求得，再根据分布列求，再求即可.
【详解】由题可知：，解得，则；
故.
故选：C.
5．D
【分析】由概率和为可得，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解.
【详解】由，故，
则.
故选：D.
6．A
【分析】根据期望和方差的公式代入计算即可.
【详解】因为，所以，
，
所以.
所以.
故选：A.
7．A
【分析】求得两种情况下的,,,比较可得结论.
【详解】从乙盒中取1个球时，甲盒红球个数记为，则的所有可能取值为2，3，
则
从乙盒中随机抽取1个篮球放入甲盒中的概率是,乙盒中随机抽取1个红球放入甲盒中的概率是,
从乙盒中取2个球时，甲盒红球数记为，则的可能取值为，
,
．
故选：A．
8．C
【分析】根据分布列的性质以及数学期望求出的值，即可求得，根据方差的性质，即可求得答案.
【详解】由题意知，
由得，解得，
故，
故，
故选：C
9．CD
【分析】根据古典概型的概率公式，结合排列组合求解个数，即可求解分布列，进而结合选项即可逐一求解.
【详解】由题意得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，故A错误；
则，，故B错误，C正确；
又，，
所以．故D正确．
故选：CD．
10．ABD
【分析】利用分布列的性质求得的关系，再根据随机变量的概率公式与期望、方差公式即可得解.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，故C错误；
对于D，，
则的分布列如下：
1 4
所以，
则.
故选：ABD.
11．BCD
【分析】根据分布列的性质求出的值，再根据期望、方差公式计算可得.
【详解】依题意，解得，即，故D正确；
，故A错误；
，故B正确；
，故C正确.
故选：BCD
12．ABD
【分析】对选项A，的可能取值为0，1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项B，，再由二项分布的方差公式求得；对选项C，X的可能取值为1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项D，Y的可能取值为0，1，2，求出概率，再由公式求得
【详解】对选项A，从该口袋中任取3个球，取出的红球个数的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
则，故A正确；
对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为，则取出的红球次数为，
则方差，故B正确;
对选项C，从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的可能取值为1，2，3，
则，，则，
则，故C错误；
对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y的可能取值为0，1，2，
则，，，
则，故D正确；
故选：ABD
13．
【分析】根据随机变量的分布列求解其数学期望，从而得其方差，再由方差的性质，即可得结论.
【详解】随机变量的分布列为，
则其数学期望，则方差，
所以.
故答案为：.
14．/
【分析】设由分布列的性质和均值公式可求出，再由方差的公式求解即可得出答案.
【详解】设则由已知得，
，所以，
解得：，
所以．
故答案为：.
15． 0.1/ 0.2/
【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望公式计算得值；利用方差与期望的关系建立关于的函数，探讨函数的最大值即可.
【详解】由，得，因此；
依题意，，，
因此，
则当时，取得最大值.
故答案为：0.1；0.2
16．
【分析】依题意得到的可能取值，再求出对应的概率，从而求解期望即可．
【详解】解：依题意知，的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，可以得到该轮结束时比赛停止的概率为，
如果该轮结束时比赛还将继续，那么丁俊晖 赵心童在该轮中必是各得一分，
此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，
从而有，
故，
故答案为：．
17．(1)①0.16；②3.128
(2)答案见解析..
【分析】（1）结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；
（2）结合对立事件概率和独立事件概率公式比较计算.
【详解】（1）①记“甲获得第四名”为事件，则；
②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量，
则的所有可能取值为2，3，4，
连败两局：，
可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
，
；
故的分布列如下：
2 3 4
0.16 0.552 0.288
故数学期望；
（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率，
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为，
由，且
所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，两种赛制甲夺冠的概率一样.
18．(1)
(2)分布列见解析，256
【分析】（1）由题意，满足题意的事件分两种情况：第一关闯关成功且第二关闯关失败、第一关闯关成功且第二关闯关成功且第三关闯关失败，求出对应的概率即可求解；
（2）X的可能取值为0，200，600，1200，根据独立事件的乘法公式求出对应的概率，列出分布列，即可求出数学期望.
【详解】（1）根据题意得，选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零的事件分为两类情况：
第一种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关失败，
其概率为：；
第二种情况为：第一关闯关成功，第二关闯关成功，第三关闯关失败，
其概率为：；
记“选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零”为事件A，
∴．
（2）根据题意得：X的可能取值为：0，200，600，1200，
∴，
，
，
，
∴X的分布列为：
X 0 200 600 1200
P
∴X的期望为：．
19．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用互斥事件的概率及独立重复试验的概率公式，列式计算即得.
（2）①利用全概率公式列出的关系等式，再利用消元法求出；②列出的关系等式，利用消元法求出.
【详解】（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局甲胜，概率为；
4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局乙胜，概率为，
所以恰好4局结束比赛的概率.
（2）①在甲在净胜-2局前提下，继续比赛一局：
若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为；
若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，
根据全概率公式，，同理，
由，得，与联立消去，
得，又，即，因此，
所以甲获胜的概率为.
②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：
若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要局，共进行了局；
若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局，
则，即，
同理，即，
，即，
，即，
，即，
联立与，得，
联立与，得，
代入，得，
所以.
【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
20．(1)0.8；
(2)分布列见解析，数学期望为2.
【分析】（1）根据“斯皮尔曼系数”的计算公式即可求解.
（2）的值可能为0，1，2，3，计算出各自对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
【详解】（1）依题意，，
所以这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”是0.8.
（2）依题意，的值可能为0，1，2，3，
，
，
则的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望为．
21．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）用该组区间的中点值为代表，根据平均数的计算即可求解；
（2）由题意，随机变量的可能取值为，根据独立事件的概率乘法公式求解概率，即可得分布列和期望.
【详解】（1）由题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数
，
所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为
（2）每天课外阅读平均时长在的概率为:，
每天课外阅读平均时长在的概率为:，
每天课外阅读平均时长在的概率为:.
由题意，随机变量的可能取值为，
，
，
，
的分布列为:
X 0 1 2 3 4
0.01 0.12 0.42 0.36 0.09
的数学期望 .
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