8.3列联表与独立性检验 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.3 列联表与独立性检验 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得，依据的独立性检验，结论为（ ）参考值：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
A．x与y不独立
B．x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C． x与y独立
D．x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
2．为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）
（附：）
A．有的人认为该电视栏目优秀
B．有的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
3．某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（ ）
男生 女生
篮球迷 30 15
非篮球迷 45 10
附:，
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
A．没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
4．某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲 15 52 67
乙 6 63 69
合计 21 115 136
经计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），则可以认为（ ）
A．两种疗法的效果存在差异
B．两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0．005
C．两种疗法的效果没有差异
D．两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0．005
5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到了如下的列联表：
男 女 合计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
附表：
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
参照附表，能得到的正确结论是（ ）.
A．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
6．校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查．其中被调查的男女生人数相同．男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数．若有的把握认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（ ）人．
附表：
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中，．
A．20 B．30 C．35 D．40
7．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀 非优秀
甲班 10
乙班 30
附：（），
0.05 0.025 0.010 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．甲班人数少于乙班人数
B．甲班的优秀率高于乙班的优秀率
C．表中的值为15，的值为50
D．根据表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
8．某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：
不吸烟者 吸烟者 总计
不患慢性气管炎者 121 162 283
患慢性气管炎者 13 43 56
总计 134 205 339
假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，即它们相互独立.通过计算统计量，得，根据分布概率表:，，，.给出下列3个命题，其中正确的个数是（ ）
①“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于；
②有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；
③分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生.
A．个 B．个 C．个 D．个
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．若随机变量满足，则
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2
C．已知，若，则事件M，N相互独立
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
10．为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格:
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男性 15 5 20
女性 8 12 20
合计 23 17 40
甲校样本
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男性 70 30 100
女性 45 55 100
合计 115 85 200
乙校样本
（参考公式及数据:）.
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
则下列判断中正确的是（ ）
A．样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例
B．样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例
C．根据甲校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
D．根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
11．某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病真否有关，调查了400人，得到如图所示的列联表，其中，则（ ）
患疾病 不患疾病 合计
过量饮酒
不过量饮酒
合计 400
参考公式与临界值表：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
A．任意一人不患疾病的概率为0.9
B．任意一人不过量饮酒的概率为
C．任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病的概率为
D．依据小概率值的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病有关
12．为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计．得到如图所示的列联表，则下列说法正确的是（ ）
性别 物理学科 合计
喜爱 不喜爱
男 60 40 100
女 20 80 100
合计 80 120 200
参考公式：，其中．
附表：
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．喜爱物理学科的学生中，男生的频率为
B．女生中喜爱物理学科的频率为
C．依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关
三、填空题
13．为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80%喜欢网络课程，女生中有40%不喜欢网络课程，且有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关．已知被调查的男、女学生的总人数为，则 ．
附：．临界值表：
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
14．列联表
列联表：一般地，假设两个分类变量和，它们的取值为，其样本频数列联表（也称为列联表）为
合计
合计
列联表给出了成对分类变量数据的 .
15．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表：
药物 疾病 合计
未患病 患病
服用 50
未服用 50
合计 80 20 100
取显著性水平，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则()的最小值为 ．
(参考公式：；参考值：）
16．某公司人力资源部为了解员工的工作积极性和对待公司改革态度的关系，调查了75名员工，得到以下列联表：
支持改革情况 工作态度 合计
积极 欠积极
支持 40 20 60
不支持 5 10 15
合计 45 30 75
根据统计结果，认为“平时工作态度积极和支持公司改革有关”犯错误的概率不超过 ．
附：,其中．
0.10 0.05 0.005 0.001
2.706 3.841 7.879 10.828
四、解答题
17．为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目.为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：
多于5本 少于5本 合计
活动前 35 65 100
活动后 60 40 100
合计 95 105 200
(1)试通过计算，判断是否有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；
(2)已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，并且随机安排阅读顺序.记2本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量，求的数学期望.
参考公式：.
临界值表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．“直播的尽头是带货”，如今网络直播带货越来越火爆，但商品的质量才是一个主播能否持久带货的关键.某主播委托甲 乙两个工厂为其生产加工商品，为了了解商品质量情况，分别从甲 乙两个工厂各随机抽取了100件商品，根据商品质量可将其分为一、二、三等品，统计的结果如下图：
(1)根据独立性检验，判断是否有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关？
(2)将样本数据的频率视为概率，现在甲 乙工厂为该主播进行商品展示活动，每轮活动分别从甲 乙工厂中随机挑选一件商品进行展示，求在两轮活动中恰有三个一等品的概率；
(3)综合各个方面的因素，最终该主播决定以后只委托甲工厂为其生产商品，已知商品随机装箱出售，每箱30个.商品出厂前，工厂可自愿选择是否对每箱商品进行检验.若执行检验，则每个商品的检验费用为10元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品商品支付100元赔偿费用.将样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用的期望记为，所有赔偿费用的期望记为，以和的大小关系作为决策依据，判断是否需要对每箱商品进行检验？请说明理由.
0.100 0.050 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
19．某大学研究机构选择了网络游戏这一项目作为研究，来了解网络游戏对大学生的影响.该机构共在某高校发放50份问卷调查，有34名男同学，16名女同学参加了这次问卷调查活动，调查的结果如下图：

(1)完成下面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为大学生喜欢玩网游与性别有关？
玩过网游 没玩过网游 总计
男生
女生
总计
(2)视本次问卷中的频率为概率，在该校所有学生中任意抽查5名学生，记其中玩过网游的人数为，求和.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为，男生近视的人数占总人数的，男生与女生总近视人数占总人数的.
(1)完成下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关.
近视 不近视 合计
男
女
合计 60
(2)按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数的分布列和数学期望.
附：.
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
21．等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.

材料 材料 合计
试验成功
试验失败
合计
单位：次
(1)根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；
(2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】利用独立性检验的基本思想即可得解.
【详解】零假设为：x与y独立，
由，依据的独立性检验，可得成立，
故可以认为x与y独立.
故选：C.
2．D
【分析】根据卡方表示的意义结合临界值表分析判断即可
【详解】只有时才能在犯错误的概率不超过的前提下认为该电视栏目是否优秀与改革有关系，
而即使也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的推论，与是否有的人等无关．故A，B不正确．
由于，故C错误，D正确.
故选：D.
3．A
【分析】根据所给数据完善列联表，计算出卡方，即可判断.
【详解】依题意可得列联表如下：
男生 女生 合计
篮球迷 30 15 45
非篮球迷 45 10 55
合计 75 25 100
所以，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关，
又，所以没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关.
故选：A
4．C
【分析】根据条件可得列联表，计算的值，结合临界值表可得结论．
【详解】零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．
根据列联表中的数据，，根据小概率值的独立性检验，
没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，
即认为两种疗法效果没有差异．
故选:C．
5．A
【分析】根据列联表数据计算观测值，结合附表即可得到结论.
【详解】由题意知本题所给的观测值，，
所以有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，
即在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”.
故选：A.
6．A
【分析】借助卡方计算即可得.
【详解】设总人数为，则男生选学生物学的人数为，女生选生物学的人数为，
则，
即，又为的倍数，故男生最少有人.
故选：A.
7．D
【分析】根据条件解出，，然后直接计算即可判断A，B，C错误，使用的计算公式计算，并将其与比较，即可得到D正确.
【详解】对于C，由条件知，，故，.
所以，，故C错误；
对于A，由于甲班人数为，
乙班人数为，故A错误；
对于B，由于甲班优秀率为，乙班优秀率为，故B错误；
对于D，由于，故D正确.
故选：D.
8．D
【分析】根据，与临界值表对照判断.
【详解】解：因为，且，
所以有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关，
即“患慢性气管炎与吸烟没有关系”成立的可能性小于，
故①②正确；
分布概率表中的、等小概率值在统计上称为显著性水平，小概率事件一般认为不太可能发生. 故③正确；
故选：D
9．BCD
【分析】对于A，给出反例，即可判断；对于B，利用得到即可判断；对于C，利用事件独立的定义即可判断；对于D，利用独立性检验的相关知识即可判断.
【详解】对于A，若恒有，，则，且.
所以，故A错误；
对于B，由于有线性回归方程，故，即，所以，，故B正确；
对于C，由于，故，即，所以事件M，N相互独立，C正确；
对于D，由于，故有的把握判断X与Y有关联，即判断错误的概率不超过，D正确.
故选：BCD
10．AD
【分析】对AB，根据甲乙两校男女学生喜爱足球运动的比例大小判断即可；对CD，根据独立性检验的性质判断即可.
【详解】对A，甲校男学生喜爱足球运动的比例，乙校男学生喜爱足球运动的比例，
即甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例，故A正确；
对B，甲校女学生喜爱足球运动的比例，乙校女学生喜爱足球运动的比例，
即甲校女学生喜爱足球运动的比例低于乙校女学生喜爱足球运动的比例，故B错误；
对C，甲校中，
所以根据甲校样本没有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故C错误；
对D，乙校中，
所以根据乙校样本有的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关，故D正确；
故选：AD
11．ACD
【分析】先求出，利用古典概型概率公式求解判断AB，利用条件概率概念求解判断C，求出的观测值，即可判断D.
【详解】由已知得，又，所以.
任意一人不患疾病的概率为，所以A正确；
任意一人不过量饮酒的概率为，所以B错误；
任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病的概率为，所以C正确；
对于D，列联表如下：
患疾病 不患疾病 合计
过量饮酒 30 120 150
不过量饮酒 10 240 250
合计 40 360 400
则的观测值，由于，
依据小概率值的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病有关，所以D正确.
故选：ACD
12．AC
【分析】求得喜爱物理学科的学生中，男生的频率判断选项A；求得女生中喜爱物理学科的频率判断选项B；求得的值并依据独立性检验规则判断选项CD.
【详解】对于A，喜爱物理学科的学生共有（名），
故喜爱物理学科的学生中男生的频率为，A正确；
对于B，女生共有100名，喜爱物理的女有20名，
故女生中喜爱物理学科的频率为，B错误；
对于C，D，，
故依据小概率值的独立性检验，
可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关，
即在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，
认为学生是否喜爱物理学科与性别有关，C正确，D错误．
故选：AC
13．5或6/6或5
【分析】由题意，写出列联表，根据独立性检验的公式，结合题意列出不等式，可得答案.
【详解】设男、女学生的总人数为，则，并把列联表的数据补充完整：
喜欢 不喜欢 合计
男生 0.8n 0.2n n
女生 0.6n 0.4n n
合计 1.4n 0.6n 2n
所以，
又因为有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，
所以，
又，所以，
所以或，
故答案为：5或6.
14．交叉分类频数
【分析】略
【详解】略
15．
【分析】由题意列出不等式，结合近似计算求出m的取值范围，即可得答案.
【详解】由题意可知，
则，
解得或，而，
故m的最小值为44.
故答案为：44.
16．
【分析】借助列联表计算出卡方后，借助附表即可得.
【详解】设零假设：平时工作态度积极和支持公司改革无关，
，
故认为“平时工作态度积极和支持公司改革有关”犯错误的概率不超过.
故答案为：.
17．(1)有
(2)
【分析】（1）由表中数据计算卡方，对比临界值即可得出结论；
（2）的可能取值为，由古典概型概率公式、组合数公式求出对应概率，进一步由数学期望公式即可运算求解.
【详解】（1）由表中数据可知，，
所以有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；
（2）由题意可知，的可能取值为，
则，
，
所以.
18．(1)没有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关
(2)
(3)应进行检验，理由见解析
【分析】（1）列列联表，由表中数据计算卡方，即可判断；
（2）利用独立事件乘法公式计算甲、乙展示的商品均为一等品的概率及只有一轮展示的商品为一等品的概率，进而利用互斥事件概率加法公式求解即可；
（3）设每箱30个商品中的三等品个数为，由题意知，利用二项分布期望公式求解，然后根据数学期望的定义及性质分别求解进行检验和不进行检验的数学期望，比较大小即可得出结论.
【详解】（1）由题意得列联表如下：
一等品 非一等品 合计
甲 70 30 100
乙 60 40 100
合计 130 70 200
，
所以没有的把握认为商品为一等品与加工工厂有关.
（2）两轮中，甲展示的商品均为一等品的概率为，
只有一轮展示的商品为一等品的概率为；
两轮中，乙展示的商品均为一等品的概率为，
只有一轮展示的商品为一等品的概率为.
则两轮活动中恰有三个一等品的概率为：.
（3）由已知，每个零件为三等品的概率为，
设每箱30个商品中的三等品个数为，则，所以.
若不进行检验，则450元.
若进行检验，则总检验费用的期望值为元.
因为，所以应进行检验.
19．(1)大学生喜欢玩网游与性别无关
(2)；
【分析】（1）根据完善列联表，计算，并与临界值对比分析；
（2）由题意分析可知：，结合二项分布运算求解.
【详解】（1）由题意可得列联表：
玩过网游 没玩过网游 总计
男生 22 12 34
女生 8 8 16
总计 30 20 50
零假设：大学生喜欢玩网游与性别无关，
则，
根据的独立性检验可知：假设成立，所以大学生喜欢玩网游与性别无关.
（2）用频率估计概率，可知大学生玩过网游的概率为，
由题意可知：玩过网游的人数，
所以，.
20．(1)表格见解析，无关
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）根据已知中的数据信息可以补全二阶列联表，并利用卡方公式进行计算，根据小概率值的独立性检验，把卡方值与6.635比较，从而作出判断.
（2）利用分层抽样确定样本中8人，男生有6人，女生有2人，再从中抽取2人，这就是超几何分布，由此可计算出结果.
【详解】（1）由题意，男生与女生的人数之比是，所以男生有人，女生有人，男生近视的人数占总人数的，所以有人，男生中不近视的人数为15人，
男生与女生总的近视人数占总人数的，所以总的近视人数为，则女生中近视的人数为人.
可得如下列联表：
近视 不近视 合计
男 25 15 40
女 15 5 20
合计 40 20 60
零假设为：性别与近视情况独立，即性别因素与学生近视情况无关；
所以，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即性别因素与学生近视情况无关.
（2）男生与女生总的近视的学生一共有40人，其中男生近视人数是25人，女生近视人数是15人，从中抽取8人，抽到的男生人数 女生人数分别为：.
所以从这8人中随机抽取2人，其中女生人数的所有可能取值为.
，
所以的分布列为
0 1 2
即.
21．(1)列联表见解析，有的把握认为试验的结果与材料有关
(2)石墨烯发热膜的定价至少为2.233万元/吨，才能实现预期的利润目标.
【分析】（1）根据所给等高堆积条形图，得到列联表，计算出卡方，即可判断；
（2）依题意可得的可能取值为，，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，即可得解.
【详解】（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下：
材料 材料 合计
试验成功 45 30 75
试验失败 5 20 25
合计 50 50 100
计算可得，
依据的独立性检验，有的把握认为试验的结果与材料有关.
（2）设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元，
易知的可能取值为，，，，，
，，
，，
则的分布列为
0 0.2 0.4 0.6 0.8
修复费用的期望，
所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标.
答案第1页，共2页
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