第六章 计数原理综 合复习训练（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章计数原理 综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．有男 女教师各1人，男 女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有（ ）
A．10种 B．12种 C．15种 D．20种
2．已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则 （ ）
A． B．
C．展开式的常数项为 D．的展开式中各项系数的和为1
3．从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数个数为（ ）
A．36 B．54 C．60 D．72
4．在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C．40 D．80
5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙共3名航天员开展实验，每个舱安排一个人，则不同的安排方法一共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
6．某项活动在周一至周五举行五天，现在需要安排甲、乙、丙、丁四位负责人值班，每个人至少值班一天，每天仅需一人值班，已知甲不能值第一天和最后一天，乙要值班两天且这两天必须相邻，则不同安排方法的种数为（ ）
A．24 B．10 C．16 D．12
7．由0和1组成的序列称为0－1序列，序列中数的个数称为这个序列的长度，如01011是一个长度为5的0－1序列，在长度为8的0－1序列中，所有1互不相邻的序列个数为（ ）
A．20 B．54 C．55 D．280
8．为了培养同学们的团队合作意识，在集体活动中收获成功、收获友情、收获自信、磨砺心志，2023年4月17日，石家庄二中实验学校成功举办了首届“踔厉奋发新征程，勇毅前行赢未来”25公里远足活动. 某班现有5名志愿者分配到3个不同的小组里协助班主任摄影，记录同学们的青春光影，要求每个人只能去一个小组，每个小组至少有一名志愿者，则不同的分配方案的总数为（ ）
A．120 B．150 C．240 D．300
二、多选题
9．在的展开式中（ ）
A．所有奇数项的二项式系数的和为128
B．二项式系数最大的项为第5项
C．有理项共有两项
D．所有项的系数的和为
10．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．展开式中最大的系数为
11．已知的展开式中共有7项，则下列选项正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为1
C．系数最大的项为第4项 D．有理项共4项
12．若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．二项式的展开式中的常数项为 ．
14．根据国家“乡村振兴战略”提出的“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”，某师范大学4名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这4名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则不同分配方案的种数为 ．
15．若的展开式中的系数为40，则实数 ．
16．在龙年元宵节的一项无人机飞行表演中，将7架不同的“焰火”无人机和架不同的“灯光”无人机排成一列.已知每一架“焰火”无人机都至少和另一架“焰火”无人机相邻，设这7架“焰火”无人机至少有5架连在一起的概率为p，要使得，则n的最小值为 .
四、解答题
17．在计算机科学中，维数组是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于维数组，，定义与的差为与之间的距离为．
(1)若维数组，证明：；
(2)证明：对任意的数组A，B，C，有；
(3)设集合中有个维数组，记中所有两元素间的距离的平均值为，证明：．
18．已知．
(1)当时，若的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；
(2)设．
①求的系数（用表示）：
②求（用表示）．
19．红袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，此时取到白球的人胜利，每个球在每一次被取出的机会是等可能的
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求甲取得胜利的概率
20．在下面两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并对其求解.
条件①：；条件②：.
问题：已知，若__________.
(1)求实数的值；
(2)求的值.
21．对于，定义，，其中为中最大的数，例如：，，. 给定正整数，根据以上内容，对于，请回答下列问题:
(1)（用和表示）;
(2)满足的有序数对有多少个
(3)满足的有序数对有多少个
(4)满足的有序数对有多少个
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】先求无限制条件的方法数，再减去不符合题意的方法数即可求解.
【详解】从6人中任选3人，有种选法，
其中，若全选男生或全选学生，有种选法，
所以符合题意的选法为种.
故选：C
2．D
【分析】根据二项式系数和可得n，化简通项公式，由x的指数为0求出k，然后可得常数项，再令即可判断D.
【详解】由题可知，，则.则AB错误；
展开式中的第项为.
令，得，则，故C错误；
令得，则的展开式中各项系数的和为1，
故选：D.
3．D
【分析】利用分步计数原理与插空法即可求解.
【详解】根据题意，完成这件事可分三部：
第一步，选数字，有种；
第二步，将选好的三个数字确定一个重复的数字，有种；
第三步，安排这三个数字在三个位置上，且相邻数位上的数字不同，
即先安排两个不同的数字，再让两个相同的数字取插空，则有种排序方法；
由分步计数原理可得这样的四位数共有个.
故选：D
4．A
【分析】利用二项式定理写出其通项，求得时，展开式中含有项，代入计算可得结果.
【详解】由二项式的通项为可得，
当，即时，展开式中含有项，
此时，
因此的系数为.
故选：A
5．D
【分析】空间站的主体结构包括3个舱，恰好3名宇航员，每个舱安排一个人，正好是全排列问题，求解即可.
【详解】甲、乙、丙共3名航天员分别到天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱3个舱开展实验，每个舱安排一个人，
不同的安排方法共有（种）.
故选：D.
6．D
【分析】分乙值前两天，乙值后两天及乙不值第一天和最后一天进行讨论即可得.
【详解】若乙值前两天，则甲有两种选择，共有，
若乙值后两天，则甲有两种选择，共有，
若乙不值第一天和最后一天，共有，
共有种不同安排方法.
故选：D.
7．C
【分析】根据给定条件，按最后一位为0、1分两类，利用分类加法计数原理列出递推公式，再依次计算作答.
【详解】设长为的0-1序列中任何两个1不相邻的序列有个，考虑最后一个数：
如果最后一位是0，只要前位任何两个1不相邻即可，则满足要求的序列有个；若最后一位是1，倒数第二位是0，于是只要前位任何两个1不相邻即可，则满足要求的序列有个，
由分类计数加法原理得，显然，则，，
则，，，，，，
所以长为8的0-1序列中任何两个1不相邻的序列有55个.
故选：C
8．B
【分析】先将5人分成2堆，再将这2堆分给三个小组.
【详解】先将5人分成3个小组有“2、2、1”和“3、1、1”两种情况，
则不同的分组有种，
然后再将这三组分给三个小组，
则不同的分配方案的总数为.
故选：B.
9．AB
【分析】先求出二项式系数和，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即可确定A；二项式系数的最大项，即为中间项，可确定B；整理出通项公式，再对赋值，即可确定C；令，可求出所有项的系数的和，从而确定D.
【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确；
对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；
对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误；
对于D,令，则所有项系数和为，故D错误.
故选：AB.
10．BCD
【分析】A：利用二项式定理求出即可判断；BC：分别令联立化简即可判断；D：求出展开式的通项公式，得出都为负数，都为正数，再分别求出，比较即可判断求解.
【详解】对于A：展开式中含项的系数为，故A错误；
对于B：令，则
令，
所以，故B正确；
对于C：令，则，所以，故C正确；
对于D：展开式的通项公式为
则都为负数，都为正数，
且
，所以展开式中最大的系数是，故D正确
故选：BCD
11．AD
【分析】由展开式有7项，可知，再由二项式定理的应用依次求解即可.
【详解】解：由展开式有7项，可知，
则所有项的二项式系数和为，故A项正确；
令，则所有项的系数和为，故B项错误；
展开式第项为，
则第4项为负值，故系数最大的项为第4项是错误的；
当时为有理项，则D项正确.
故选：AD
12．AD
【分析】利用赋值法即可求解ACD，根据4个个2或者选2个个即可求出展开式中的系数判断B.
【详解】令，则;令，则，
所以，故C错误;
令，则，又，
以上两式相加可得，所以，
所以，故正确;
因为是的展开式的系数和，
所以令，则，
所以，故D正确;
因为表示5个的乘积，
所以选4个个2或者选2个个即可求出展开式中的系数为，
则，故B错误.
故选：AD
13．60
【分析】利用展开式的通项公式，可求常数项.
【详解】展开式的通项为．
令，得，则的常数项为．
故答案为：．
14．36
【分析】把4人分成3组，再分配到3所学校即可.
【详解】依题意，有2人去同一所学校，所以不同分配方案的种数为.
故答案为：36
15．3
【分析】根据二项式定理求出多项式展开式中含的项，结合已知条件建立方程，解之即可求解.
【详解】多项式的展开式中含的项为
，
所以，解得.
故答案为：3
16．4047
【分析】先求出这7架“焰火”无人机至少有5架连在一起的概率为，解不等式即可.
【详解】方法一：从排列的角度看问题.每一架“焰火”无人机都至少和另一架“焰火"无人机相邻有四种情况，
情况1：7架“焰火”无人机排在一起，此时有种方法，
情况2：，组成方式为〇〇，〇〇〇〇〇，此时有种方法，
情况3：，组成方式为〇〇〇，〇〇〇〇，此时有种方法.
情况4：.组成方式为〇〇，〇〇，〇〇〇，
此时有种方法.
所以这7架“焰火”无人机至少有5架连在一起的概率为，
所以.
因为，所以n的最小值为4047.
方法二：我们可以不考虑“灯光”无人机的排法，同时也不考虑“焰火”无人机之间的相对位置，只需将对应的“焰火”无人机放入“灯光”无人机形成的空位中即可.
对7架“焰火”无人机排法进行分类，
①7架在一起，有种排法；
②，由插空法知有，种排法；
③，由插空法知有种排法；
④.由插空法知有种排法；
所以这7架“焰火”无人机至少有5架连在一起的概率为.所以.
因为，所以n的最小值为4047.
故答案为：4047
【点睛】关键点点睛：排列组合中有关不相邻的计算，一般可以用插空法，计数时注意分类讨论.
17．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，结合新定义判断证明；
（2）根据新定义，因为，分和两种情况证明；
（3）根据题意结合排列组合的知识表示的式子，然后结合组合数和基本不等式进行放缩即可证得结论.
【详解】（1）设与的对应项中同时为0的有个，同时为1的有个，则对应项不同的为个，所以．
所以．
（2）设．
因为，
所以．
因为．
所以当时，，
当时，
所以
（3）记集合P中所有两个元素间距离的总和为，
则．
设集合中所有元素的第个位置的数字共有个个0．
则，因为，
所以．所以.
所以
【点睛】思路点睛：第一问，设与的对应项中同时为0的有个，同时为1的有个，根据A与B之间的距离的定义，求出，，可证；第二问，设，先由A与B的差的定义求出，再求出，分和讨论证明；第三问，记集合P中所有两个元素间距离的总和为，可得，设集合中所有元素的第个位置的数字共有个个0，则，结合组合数和基本不等式进行放缩即可证得结论.
18．(1)
(2)①；②
【分析】（1）借助组合数的计算公式计算即可得，结合二项式的展开式的通项公式计算即可得解；
（2）①结合二项式的展开式的通项公式与组合数的性质计算即可得解；②借助导数计算可得与错位相减法求和即可得解.
【详解】（1）由题，所以，所以，所以，
由，即展开式中的系数为；
（2）由题意得，，
①
；
②，对等式两边同时求导，
得，
即，
令，得，
即，
则，
则，
所以．
19．(1)3；
(2).
【分析】（1）设出袋中原有n个白球，写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到关于n的方程，解方程即可.
（2）甲先取，甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，这三种情况是互斥关系，根据互斥事件的概率公式得到结果．
【详解】（1）设袋中原有n个白球，从袋中任取2个球都是白球有（种）结果，从袋中任取2个球共有（种）结果，
依题意，，即，解得或（舍去），即袋中原有3个白球．
（2）记“甲取得胜利”为事件B，“第i次取到白球”为事件，，
甲先取，且轮流取球，则甲只能在第1次，第3次和第5次取球，
于是．
所以甲取得胜利的概率.
20．(1)1
(2)2
【分析】（1）若选条件①：令即可得结果；若选条件②：令，可得，，可得，运算求解即可；
（2）根据（1）可得，且，令即可得结果.
【详解】（1）因为，
若选条件①：令，可得，解得；
若选条件②：令，可得，
令，可得，
则，解得.
（2）由（1）可知：，且，
令，可得，
则，
所以.
21．(1)
(2)个
(3)个
(4)个
【分析】（1）直接构造数列并使用等差数列性质求解；
（2）先计算满足的的个数，再作差求解满足的的个数，最后令即可；
（3）由上一小问的结论可直接得到结果；
（4）将条件等价转化为：，且有或，再用乘法原理求出结果.
【详解】（1）我们定义数列满足，，
则.
由于，
故是递增数列，从而.
所以，这得到是公差为的等差数列，
再由就有.
所以.
（2）我们有
，
对集合，记其元素个数为.
设正整数，定义集合，
则，当且仅当，即.
从而，特别地，.
故对于正整数，使得的的个数即为.
特别地，取，知使得的的个数为.
（3）由上一问的推导，知使得的的个数为.
（4）由前面的推导可知，
但又有
，
故.
这表明等价于.
对正整数，有如下结论.
等价于：及，且这两组条件中的每组都至少有一个取到等号.
综合两组条件可得，这表明和这两个不等式两边不能取等.
因此，原结论又等价于：，且有或.
当，时，相应的有种；
当，时，相应的有种.
上述两次计算中，的情况被重复计算了一次，
其它满足条件的都恰被计算一次.
所以满足条件的全部的的个数为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页