河北省邢台市翰林高级中学等校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

邢台市翰林高级中学等校2023-2024学年高一下学期期中考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章占，第七章至第八章第4节占。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A． B． C． D．
2．下列结论证确的是（ ）
A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台
D．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点
3．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是（ ）
A． B．4 C．8 D．
5．如图，圆锥的顶点及底面圆的圆周都在球的球面上，且圆锥的母线长和底面圆的直径均为2，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角的对边分别是，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的
7．如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
8．18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．设复数，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数（，且）满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．用一个平面去截一个几何体，截面是四边形，则这个几何体可能是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥
11．在正四棱台中，为棱上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．四棱台的表面积是
B．四棱台的体积是
C．的最小值为
D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．一个棱台最少有______个面．
13．已知复数和是关于的方程的两根，则______．
14．在中，分别在边上，且，若，则______，线段与交于点，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知复数．
（1）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
（2）若是纯虚数，求的值．
16．（15分）
如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的．已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面）是边长为6的正方形．
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积．
17．（15分）
在平行四边形中，，，，是线段的中点，，．
（1）若与交于点，求的值；
（2）求的最小值．
18．（17分）
如图，在长方体中，分别在上．已知，．
（1）作出平面截长方体的截面，并写出作法；
（2）求（1）中所作截面的周长；
（3）长方体被平面截成两部分，求体积较小部分的几何体的体积．
19．（17分）
如图，在平面四边形中，．
（1）若为锐角，月，求的面积；
（2）求四边形面积的最大值；
（3）当时，在四边形所在平面内，求的最小值．
邢台市翰林高级中学等校2023-2024学年高一下学期期中考试
数学参考答案
1．A ．
2．D 底面是正方形且所有侧棱均相等的棱锥是正四棱锥，则错误．绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，则错误．有两个面是相似四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台，则C错误．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点，则D正确．
3．C 在上的投影向量为．
4．C 由题意可得的面积，则的面积．
5．D 如图，连接，由题意可得，，，．因为，所以，解得，所以球的表面积为．
6．C 因为，所以，即，则，即，故．因为，所以是钝角，即是钝角三角形．
7．A 设的面积为，三棱柱的高为，则三棱柱的体积．因为，，所以，所以，且，所以的面积，则三棱台的体积，从而，故．
8．D 由，可知其几何意义表示动点到定点的距离为定长，则动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．同理，的几何意义表示动点到定点的距离．因为，所以．
9．ACD 因为，所以，．因为，所以解得，，则，．
10．BCD 用一个平面去截一个圆锥，截面不可能是四边形，则A不满足条件，圆柱的轴截面是四边形，则满足条件．用平行于一个侧面的平面去截三棱柱，截面是四边形，则满足条件．在三棱锥中（图略），分别是棱的中点，易证四边形是平行四边形，所以截面是四边形，则满足条件．
11． 如图1，由题意可知该四棱台的侧面都是等腰梯形，且．作，垂足为．因为，，所以，所以，则四棱台的表面积，故A正确．如图2，分别是和的中点，则是四棱台的高．作，垂足为．由题中数据可知，则四棱台的体积，故B正确．如图3，把四边形展开至同一个平面，易知的最小值就是展开图中的长．在中，，，则，即的最小值为，故C正确．在中，由余弦定理可得，则，从而，由图可知，则错误．
图1 图2 图3
12．5 一个棱台最少有5个面．
13． 设，则，从而，故．
14．；9 因为，所以．因为，所以，则，故．因为三点共线，所以．因为，所以，所以．因为三点共线，所以，所以，则解得，则．
15．解：（1）由题可得解得，
即的取值范围是．
（2）．
因为是纯虚数，所以解得．
16．解：由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高．
（1）由球的表面积公式可得半球的曲面面积，
由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积，
由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积．
故该几何体的表面积．
（2）由球的体积公式可得半球的体积，
由圆柱的体积公式可得圆柱的体积．
故该几何体的体积．
17．解：（1）设，则．
设，
根据平面向量基本定理得解得，
所以，则，所以．
（2）因为，
，
所以．
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为．
18．解：（1）如图所示，五边形为所求作的截面．
作法如下：
延长，与的延长线交于点，
连接并延长，分别交于，交的延长线于，
连接，交于点，连接，则五边形为所求作的截面．
（2）由（1）易得，则，由，得，则，．
由，得，由，得，则，．
故截面的周长为．
（3），
故所求体积为．
19．解：（1）连接．
在中，由余弦定理可得，即．
在中，由余弦定理可得，即，
则，即．
因为为锐角，且，所以，所以，则，
故的面积为．
（2）四边形的面积，
则．①
由（1）可知，则．②
联立①②，解得，则，
当且仅当时，四边形的面积取得最大值．
（3）将绕点旋转，使得分别与重合，连接，
则，，，．
因为，所以，所以，则．
由图可知，当且仅当四点共线时，等号成立，故的最小值是．