沈阳市2024届高三教学质量监测（三）
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.
2.第I卷每小题选出答案后，用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
第I卷（选择题共58分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 1 D.
3. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面说法正确的是（ ）
A. 若，则
B 若，则
C. 若，则
D. 若，则
5. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知二项式展开式中的系数是280，则实数的值等于（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
7. 甲 乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，甲 乙同时击中目标的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则等于（ ）
A. B. C. D. 1
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 设椭圆的左 右焦点分别为是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为8
B. 椭圆的离心率
C. 面积的最大值等于12
D. 以线段为直径的圆与圆相切
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷.设随机变量表示停止时抛掷的次数，则
B. 从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量表示所选取的学生中男同学的人数，则
C. 若随机变量，则
D 若随机变量，则当减小，增大时，保持不变
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则在上的最小值为0
B. 若，则点是函数的图象的一个对称中心
C. 若函数在上单调递减，则满足条件的值有3个
D. 若对任意实数，方程在区间内的解的个数恒大于4且小于10，则满足条件的值有7个
第II卷（非选择题共92分）
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量满足，，则__________.
13. 在中，已知内角的对边分别为的面积为，点是线段上靠近点的一个三等分点，，若，则__________.
14. 已知，且，若，且，则正整数的值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 设公差不为等差数列的首项为，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：.
16. 某类型的多项选择题设置了4个选项，一道题中的正确答案或是其中2个选项或是其中3个选项.该类型题目评分标准如下：每题满分6分，若未作答或选出错误选项，则该题得0分；若正确答案是2个选项，则每选对1个正确选项得3分；若正确答案是3个选项，则每选对1个正确选项得2分.甲 乙 丙三位同学各自作答一道此类题目，设该题正确答案是2个选项的概率为.
（1）已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，若，求他既选出正确选项也选出了错误选项的概率；
（2）已知乙同学随机（等可能）选出1个选项作答，丙同学随机（等可能）选出2个选项作答，若，试比较乙 丙两同学得分的数学期望的大小.
17 已知函数（其中），.
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）当时，若恒成立，求的取值范围.
18. 已知四棱柱中，平面，在底面四边形中，，点是的中点.
（1）若平面平面，求三棱锥的体积；
（2）设且，若直线与平面所成角等于，求的值.
19. 设抛物线，过点的直线与交于两点，且.若抛物线的焦点为，记的面积分别为.
（1）求的最小值.
（2）设点，直线与抛物线的另一交点为，求证：直线过定点.
（3）我国古代南北朝数学家祖暅所提出的祖暅原理是“幂势既同，则积不容异”，即：夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.当为等腰直角三角形时，记线段与抛物线围成的封闭图形为绕轴旋转半周形成的曲面所围成的几何体为.试用祖桓原理的数学思想求出的体积.沈阳市2024届高三教学质量监测（三）
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.
2.第I卷每小题选出答案后，用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
第I卷（选择题共58分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.
【详解】由，得或，而，
所以.
故选：B
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数的除法及乘方运算计算得解.
【详解】依题意，，所以.
故选：D
3. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项
【详解】当，则
故选：D
4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线和平面平行和垂直的性质即可判断出它们的位置关系，逐项得出结论即可.
【详解】对于A，若，则可能平行或相交，可得A错误；
对于B，若，则，即B正确；
对于C，若，则或，可知C错误；
对于D，若，则或，可知D错误；
故选：B
5. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】若在上单调递增，则在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】函数定义域为，则，
若在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，
因为 ，
所以“”是“在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
6. 已知二项式的展开式中的系数是280，则实数的值等于（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得展开式的通项，确定的值，列出方程，即可求解.
【详解】由二项式展开式的通项为，
令，解得，所以，解得.
故选：C.
7. 甲 乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，甲 乙同时击中目标的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，再由条件概率公式计算可得.
【详解】据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，
甲 乙同时击中目标为事件，则，，
所以，
，
则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为.
故选：C.
8. 已知是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数的性质得到，再由奇函数的性质得到，从而推导出，再由所给解析式及周期性计算可得.
【详解】因为为偶函数，所以，
即，
所以，
又是奇函数，所以，
即，所以，
则，
所以是以为周期的周期函数，
又当时，，所以，
则，
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：对于抽象函数的奇偶性，推导出函数的周期性，从而利用周期性求出函数值.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 设椭圆的左 右焦点分别为是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 最大值为8
B. 椭圆的离心率
C. 面积的最大值等于12
D. 以线段为直径的圆与圆相切
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解.
【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，
对于A，的最大值为，A正确；
对于B，椭圆的离心率，B错误；
对于C，设点，则，而，
因此面积的最大值等于，C正确；
对于D，以线段为直径的圆为的圆心，半径，
圆的圆心，半径，，则圆与圆外切，D正确.
故选：ACD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷.设随机变量表示停止时抛掷的次数，则
B. 从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量表示所选取的学生中男同学的人数，则
C. 若随机变量，则
D. 若随机变量，则当减小，增大时，保持不变
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出判断A；利用超几何分布的期望公式计算判断B；利用二项分布的方差公式计算判断C，利用正态分布的特定区间的概率判断D.
【详解】对于A，抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面、反面的概率均为，则，A错误；
对于B，显然随机变量服从超几何分布，则，B正确；
对于C，由随机变量，得，C正确；
对于D，由正态分布的意义知，为定值，D正确.
故选：BCD
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则在上的最小值为0
B. 若，则点是函数的图象的一个对称中心
C. 若函数在上单调递减，则满足条件的值有3个
D. 若对任意实数，方程在区间内的解的个数恒大于4且小于10，则满足条件的值有7个
【答案】AC
【解析】
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的图象性质判断ABC；把方程等价转化成，作出函数的图象和直线，结合图象分析判断D.
【详解】，
对于A，当时，，A正确；
对于B，函数图象的对称中心的纵坐标应为，B错误；
对于C，，由，，
解得，因此，C正确；
对于D，方程等价于，函数的图象和直线的交点，如图，
函数最小正周期，设，（其中)，
显然，由下图可知，
因为在区间内的解的个数，所以区间长度应满足：
，由，则，
化简得，所以，正整数的值有11个，D错误.
故选：AC
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.
第II卷（非选择题共92分）
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量满足，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的运算律得到，再由计算可得.
【详解】因为，所以，
又，
所以
.
故答案为：
13. 在中，已知内角的对边分别为的面积为，点是线段上靠近点的一个三等分点，，若，则__________.
【答案】##
【解析】
分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解即得.
【详解】依题意，，
而，即，解得，
在中，由余弦定理得，
所以.
故答案为：
14. 已知，且，若，且，则正整数的值为__________.
【答案】109
【解析】
【分析】利用指数式与对数式互化关系，结合已知可得，构造函数，借助函数在上的图象、以点点为端点的线段，进行“割线放缩”求出值.
【详解】依题意，，
设，显然是增函数，从而是方程的唯一解，
由，且当时，，
得，
从而应略小于11，需要判断与10.9的大小关系，先估算的近似值.
考虑函数图象上两个点之间的线段，然后进行“割线放缩”，
，
，所以.
故答案为：109
【点睛】关键点点睛：考虑函数图象上两个点之间的线段，然后进行“割线放缩”是解决问题的关键.
四 解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出，即可求出通项公式；
（2）由（1）得，即，从而得到，再利用裂项相消法计算可得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，则，
，，成等比数列，
则，即，
将代入上式，解得或（舍去）．
；
【小问2详解】
由（1）得，又，
所以，
所以，
则
．
16. 某类型的多项选择题设置了4个选项，一道题中的正确答案或是其中2个选项或是其中3个选项.该类型题目评分标准如下：每题满分6分，若未作答或选出错误选项，则该题得0分；若正确答案是2个选项，则每选对1个正确选项得3分；若正确答案是3个选项，则每选对1个正确选项得2分.甲 乙 丙三位同学各自作答一道此类题目，设该题正确答案是2个选项的概率为.
（1）已知甲同学随机（等可能）选择了2个选项作答，若，求他既选出正确选项也选出了错误选项的概率；
（2）已知乙同学随机（等可能）选出1个选项作答，丙同学随机（等可能）选出2个选项作答，若，试比较乙 丙两同学得分的数学期望的大小.
【答案】（1）
（2）乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望
【解析】
【分析】（1）记事件为该题的正确答案是个选项，则为该题的正确答案是个选项，设事件为甲同学既选出正确选项也选出错误选项，利用全概率公式计算可得；
（2）设表示乙同学答题得分，则的可能取值为，，，设表示乙同学答题得分，则的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望，从而判断.
【小问1详解】
记事件为该题的正确答案是个选项，则为该题的正确答案是个选项，即，，
由得，，，
设事件为甲同学既选出正确选项也选出错误选项，
则，，
则.
【小问2详解】
由得，，，
设表示乙同学答题得分，则的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以，
设表示乙同学答题得分，则的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以，即，
故乙同学得分数学期望小于丙同学得分数学期望．
17 已知函数（其中），.
（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）当时，若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程；
（2）转化为，令，二次求导得到单调性和最小值，求出，得到答案.
【小问1详解】
时，，，
，故，
故函数在点的切线方程为，即
【小问2详解】
时，恒成立，
故，
令，定义域为，
则，令，
则在恒成立，
故在上单调递增，
又，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
，
所以，的取值范围是.
18. 已知四棱柱中，平面，在底面四边形中，，点是的中点.
（1）若平面平面，求三棱锥的体积；
（2）设且，若直线与平面所成角等于，求的值.
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）过作于点，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证得，再在底面四边形中进行相关计算即可得解.
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法列式求解即得.
【小问1详解】
过作于点，由平面平面，平面平面，
平面，则平面，又平面，则，
在四棱柱中，平面，即平面，而平面，
于是，又平面，则平面，
又平面，则，
在底面四边形中，，即，
又，则，即，且，
又有，则在等腰直角中，，即，又，则，
，又，所以.
【小问2详解】
由四棱柱中，平面，
以点为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，
，
在平面中，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
则，
即，整理得，而解得，
所以.
【点睛】关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦．
19. 设抛物线，过点的直线与交于两点，且.若抛物线的焦点为，记的面积分别为.
（1）求的最小值.
（2）设点，直线与抛物线的另一交点为，求证：直线过定点.
（3）我国古代南北朝数学家祖暅所提出的祖暅原理是“幂势既同，则积不容异”，即：夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.当为等腰直角三角形时，记线段与抛物线围成的封闭图形为绕轴旋转半周形成的曲面所围成的几何体为.试用祖桓原理的数学思想求出的体积.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合垂直关系的坐标表示求出，再列出面积表达式，利用基本不等式求解即得.
（2）设，求出直线方程，与抛物线方程联立，结合（1）的信息可得，再设出直线方程，与抛物线方程联立结合韦达定理推理即得.
（3）根据给定条件，利用祖暅原理分析计算即可得结果.
【小问1详解】
设，直线，
由消去y整理得，，
由，得，解得，即，
，
当且仅当时等号成立，所以最小值为.
【小问2详解】
设，则直线的斜率，方程为，
由（1）知抛物线，由消去y得，
整理得，显然，
于是，又，联立消去，得，
设直线，与抛物线联立，整理得:，
，因此，
直线恒过定点.
【小问3详解】
作底面半径为4、高为4的圆柱，并将内部切割去掉之后，上下翻转得到几何体，
现做一平面，使其平行于和的底面，且被两几何体分别截得如图中阴影所示截面，
在图1的几何体中，设，即，且，
则图2的几何体中，有，由抛物线方程得，
则图2中截面圆环面积，而图1中截面圆面积，
由祖暅原理可得，和的体积相等，均为圆柱体积的一半，即.
【点睛】关键点点睛：利用祖暅原理求几何体的体积，找到一个等高的可求体积的几何体，并将它们放置于两个平行平面间，再探求出被平行于两个平行平面的任意一平面所截，截面面积相等是解题的关键.
