(共20张PPT)
北师大版七年级数学下册课件
第五章 生活中的轴对称
5.2 探索轴对称的性质
1.连接轴对称图形或成轴对称的两个图形上对应点的线段被对称轴___________.
2.轴对称图形或成轴对称的两个图形上的对应线段_______，对应角_______.
垂直平分
相等
相等
例1 如图，在方格纸上画出了箭头形状的一半，请以直线 为对称轴，画出它的另一半.
[答案]
【点拨】要画出一个轴对称图形的另一半，应找出关键点，再根据轴对称图形的性质，找出关键点的对应点，然后连接关键点的对应点即可得另一半.
变式.如图，在格点图中将已知四边形补成以直线 为对称轴的轴对称图形.
[答案]
例2 如图， ， ， 与 关于直线 成轴对称.求 的度数.
【点拨】根据成轴对称图形的性质，可求出对应相等的角的度数，再由三角形的内角和即可得所求角的度数.
【解】因为 与 关于直线 成轴对称，所以 .
在 中， ，
则有 .
变式.如图， 与 关于直线 成轴对称， 与 的交点 在直线 上.若 ， ， ， ，则 ____ ， 的度数为______.
1.下列说法中正确的是( )
A.两个全等三角形一定关于某直线对称 B.关于某直线对称的两个三角形一定全等
C.直角三角形关于斜边上的中线对称 D.锐角三角形都至少有一条对称轴
B
2.如图，点 在直线 上， 与 关于直线 对称，连接 分别交 ， 于点 ， ，连接 .下列结论中不一定正确的是( )
（第2题图）
A. B.
C. D.
D
3.如图，直线 是四边形 的对称轴，点 是直线 上的点.下列结论中错误的是( )
（第3题图）
A. B.
C. D.
B
4.如图，在 中， ，点 在 边上，将 沿 折叠，使点 恰好落在 边上的点 处.若 ，则 的度数为______.
5.如图，在 的正方形网格中， 的顶点都在格点上.请在网格中画出与 关于直线 对称的图形 .
[答案] （略）
6.如图，在四边形 中， ， ，沿 所在的直线将 折叠，点 恰好落在 边上的点 处.请你探索 与 的位置关系，并说明理由.
解： .理由：
因为 ，
所以 .
所以 .
因为 与 关于 所在的直线对称，
所以 .
所以 .
所以 .
所以 .
7.如图，在 中， ，沿直线 折叠，使点 落在点 处.已知 ， 的周长比 的周长大 .
（1） 求 的度数；
解：由折叠可知， .
因为 ，
所以 .
所以 .
（2） 求线段 的长.
解：由折叠知 .
因为 的周长比 的周长大 ，
即 ，
所以 .
谈这节课收获
完成对应的习题
谢谢大家欣赏(共18张PPT)
北师大版七年级数学下册课件
第五章 生活中的轴对称
5.1 轴对称现象
1.如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够___________，那么这个图形叫作_____________，这条直线叫作_________.
2.对于两个平面图形,如果沿一条直线折叠后能够完全重合,那么称这两个图形_____________,这条直线叫作这两个图形的对称轴．
3.轴对称图形的对称轴是_______,可能只有一条,也可能有多条,如圆的对称轴有_______条.
互相重合
轴对称图形
对称轴
成轴对称
直线
无数
例1 下列校徽图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
B
【点拨】判断是否是轴对称图形,关键是要观察、想象是否存在这样的直线,使这个图形沿着直线折叠后直线两旁的部分能互相重合.
变式.下列四个地铁标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
B
例2 如图,试判断下列图形是否是轴对称图形或成轴对称的图形.如果不是,说明原因；如果是,请说明有几条对称轴.
【点拨】分析图形的对称性时,要先看是两个图形,还是一个图形,再考虑是否存在这样的直线（对称轴）,当沿此直线折叠时,两个图形或一个图形的两部分完全重合.
【解】①不是成轴对称的图形,③是成轴对称的图形,②和④是轴对称图形,其中②的对称轴有四条,③的对称轴只有一条，④的对称轴有五条.
1.全民阅读已成为一种良好风尚，现在的图书馆是人们阅读的好地方.下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
B
2.下列四个图形中，是轴对称图形的有( )
A.4个 B. 3个
C.2个 D.1个
A
3.由“○”和“□”组成的轴对称图形如图所示，该图形的对称轴是直线( )
A. B.
C. D.
C
4.如图所示的图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是( )
A. B. C. D.
A
5.如图,下列轴对称图形中,各有几条对称轴？试画出每个图形的所有对称轴．
解：图①有1条对称轴,图②有5条对称轴（画图略）．
6.下列图形是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的.
（1） 图①是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？
解：是轴对称图形，有4条对称轴.
（2） 图②,图③是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？
解：都是轴对称图形，都有2条对称轴.
（3） 按此规律进行下去，第 个图形是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？
解：是轴对称图形，有2条对称轴.
7.如图，在 的正方形网格中有五个同样大小的正方形被涂黑，移动其中一个正方形到空白方格中，使其与其余四个被涂黑的正方形构成一个轴对称图形，共有_____种不同的移法.
13
谈这节课收获
完成对应的习题
谢谢大家欣赏(共22张PPT)
第五章 生活中的轴对称
5.3 简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形的性质
1.等腰三角形是_________图形.
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“__________” ），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
3.等腰三角形的两个_______相等.
4.一般等腰三角形的对称轴只有_____条，而等边三角形的对称轴有_____条.
5.等边三角形的三个内角都_______，并且每个内角都等于______.
轴对称
三线合一
底角
一
三
相等
例1 已知一个等腰三角形的一边长为 ，另一边长为 ，那么这个等腰三角形的周长为多少？
【点拨】在涉及等腰三角形的边的计算问题时，如果没有明确底与腰，应先进行分类讨论，再运用三角形的三边关系验证.
【解】如果腰为 ，那么 ，所以周长为 ;
如果腰为 ，那么 ，所以周长为 .
综上，所求周长为 或 .
例2 如图， 是等腰三角形的顶角，求底角的度数.
【点拨】根据等腰三角形的对称性，可知 ，再由三角形的内角和可建立关于 的方程，即可求得底角的度数.
【解】由已知得， ， ，解得 ， .
变式.如图，在 中， ， ，则 的度数为______.
例3 如图，已知 ， ，那么 吗 试加以说明.
【点拨】由已知可得 与 都是等腰三角形，由此可知它们的底角分别相等，这样即得 ，从而可推出 .其次还可考虑过点 作 边上的垂线，这样根据“三线合一”同样可推出结论.
【解】作 的 边上的高 .
因为 ， ，根据等腰三角形的“三线合一”性质，可得 ， ，所以 ，即 .
变式.如图，在 中， ，点 是 边的中点，在 上任取一点 ，连接 ， 与 是否相等？请说明理由.
解： .
理由：因为 ，点 是 边的中点，所以 ， .
在 与 中，
所以 .
所以 .
易错示例 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，它的顶角度数是
______________.
或
【错解】
【错因分析】等腰三角形可能为锐角三角形，也可能为钝角三角形，那么腰上的高可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部.
1.下列说法中正确的是( )
A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B.等腰三角形的两个底角相等
C.顶角相等的两个等腰三角形全等
D.等腰三角形一边长不可以是另一边长的2倍
B
2.在 中， ，点 为 的中点， ，则 的度数为
( )
A. B. C. D.
B
3.如图，已知 是等边三角形，点 ， ， ， 在同一直线上，且 ， ，则 的度数是( )
（第3题图）
A. B. C. D.
A
4.如图，在 中， ， ， 是 的两条中线， 是 上的一个动点，则下列线段的长度等于 的最小值的是
( )
（第4题图）
A. B. C. D.
B
5.如图，在 ， ， 于点 ， 于点 ， ，试说明 .
解：因为 ，
所以 .
因为 ， ，
所以 .
在 和 中，
所以 .
所以 .
6.如图， 是等边三角形， 为中线， ，点 在 边上，求 的度数.
解：因为 是等边三角形， 为中线，
所以 ， .
所以 .
因为 ，
所以 .
所以 .
7.如图，在等边三角形 中， ， 分别为 ， 边上的两个动点，且 ， 与 相交于点 ， 于点 的度数是否会发生变化 为什么
解:在等边三角形 中，
， .
因为 ，所以 .
在 与 中，
， ， ，所以 .
所以 .
所以 .
所以 .
而 于点 ，所以 .
故 的度数不会发生变化.
8.如图， 是等边三角形， 是 边上一点，以 为边作等边三角形 ，使点 ， 在直线 的同侧，连接 ，试说明 .
解：因为 和 都是等边三角形，
所以 ， ， .
所以 ，
即 .
在 和 中，
所以 .
所以 .
因为 ，
所以 .
所以 .
谈这节课收获
完成对应的习题
谢谢大家欣赏(共33张PPT)
北师大版七年级数学下册课件
第五章 生活中的轴对称
积累与提高
例1 小明在校园艺术节上展示了自己创作的四幅作品，它们分别代表“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
D
【点拨】根据轴对称图形的概念判断即可.
方法归纳
判断是否为轴对称图形的关键是寻找对称轴，轴对称图形两部分折叠后互相重合.
例2 如图， 的周长为 ，把 的边AC对折，使顶点 和点 重合，折痕交 边于点 ，交 边于点 ，连接 .若 ，求 的周长.
【点拨】对折是一种轴对称变换，对称前后的两个图形重合，即全等，折痕就是对称轴，由此可以将 的周长转化为 的长.
【解】由已知得 是等腰三角形，且其对称轴是 ，所以 ， ， .因为 的周长为 ，即 ，所以 ，即 的周长为 .
方法归纳
将几何图形的轴对称性和几何图形的其他性质结合起来，这是说明线段相等、角相等等说理题的常用方法和思路.
例3 如图，在 中， ， ， ， ，求 的度数.
【点拨】要求 的度数，根据已知条件，求出 即可.通过三角形全等得到等角，进而得到 ，然后整体代入.
【解】因为 ， ，
所以 .
在 和 中，
所以 .
所以 .
因为 ，
所以 .
所以 .
方法归纳
求角度问题常常利用等腰三角形的两底角相等的性质、三角形内角和、平角的性质以及结合 角的和差来计算、在求解除的过程 中常用到全等三角形的对应角相等来进行角度转化。
本章的重点知识有轴对称图形的识别、等腰三角形的性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质，其中等腰三角形的“三线合一”性质是中考考查的重点，在选择题、填空题、解答题中均可能有体现；线段的垂直平分线及角的平分线在中考中也经常考查.
C
3.[2021·河北] 如图，直线 ， 相交于点 为这两直线外一点，且 .若点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ， ，则 ， 之间的距离可能是( )
A. B. C. D.
B
5.[2020·湖南湘潭] 如图，点 是 的平分线上一点， ，垂足为 ，且 ，点 是射线 上一动点，则 的最小值为____.
3
1.下列图案中是轴对称图形的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
2.下列条件中，能使线段 与 关于直线 对称的条件是( )
A.
B.
C. ， 被直线 垂直平分
D. 与 被直线 平分
C
3.如图，将 分别沿 ， 翻折，顶点 ， 均落在点 处，且 与 重合于线段 .若 ，则 为( )
（第3题图）
A. B.
C. D.
B
4.如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，且 与 的度数的比为 ，则 的度数为( )
（第4题图）
A. B. C. D.
B
5.等腰三角形的三边长分别为 ， ， ，则 ____.
6.如图， 是 中 的平分线， 于点 .若 ， ，则 ____.
（第6题图）
7.如图，已知 ， ， .若 ， ， 在同一直线上，则 的度数为______.
（第7题图）
8.如图， 内有一点 ，且 .若 ， ，求 的度数.
解:因为 ，所以 .
因为 ，
所以 .
又因为 ， ，所以 .
设 的度数为 ，则有
，
解得 ，
即 .
9.如图，已知 为等边三角形，点 由点 出发，在 的延长线上运动，连接 ，以 为边作等边三角形 ，连接 .
（1） 请写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
解： .
理由：因为 和 都为等边三角形，
所以 ， ， .
所以 .
在 与 中，
所以 .
所以 .
所以 .
即 .
（2） 若 ，点 的运动速度为每秒 ，运动时间为 ，则 为何值时， ？
解：因为 为等边三角形， ，
所以 是 的边 的垂直平分线.
所以 .
所以 .
10.如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ， 交 的延长线于点 ，则线段 和 具有什么数量关系？请说明理由.
解： .理由：
延长 ,与 的延长线交于点 .
因为 ， ，
所以 .
因为 ，
所以 .
在 和 中，
所以 .
所以 .
因为 平分 ， ，
所以 .
在 和 中，
所以 .
所以 .
所以 .
谈这节课收获
完成对应的习题
谢谢大家欣赏(共19张PPT)
北师大版七年级数学下册课件
第五章 生活中的轴对称
5.4 利用轴对称进行设计
1.利用轴对称原理,通过折叠、剪刻的方法设计图案:
（1）一正一反像“手风琴”一样折叠纸片,然后在折好的纸片上刻出同一图案,展开纸片后即是连续的轴对称图案;
（2）数次对折方形纸片后,以一定方式剪去不需要的部分,展开后即是连续的轴对称图案．
2.利用简单基本图形合理组合可设计成轴对称图案．
3.剪纸的原理是两个图形成轴对称和 _________图形的性质的应用，纸上折痕所在直线就是相邻两个图案的_________.剪纸的步骤是：折—画—剪—展.
轴对称
对称轴
例1 剪纸是中国的民间艺术，剪纸的方法很多，下面提供一种剪纸方法：如图所示，先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案：
下面四个图形中，不能用上述方法剪出图案的是( )
A. B. C. D.
【点拨】根据题意得出的图形应为轴对称图形，判断是否为轴对称图形即可求解.
[答案] C
变式.把一张正方形纸片按图①、图②的方法对折两次后，再按图③的方法挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是( )
A. B. C. D.
C
例2 下图所示的是花瓣形图案.
（1）它有几条对称轴 请在图中画出它的所有对称轴.
（2）请根据它的设计方法,再用等边三角形设计一个轴对称图案.
【点拨】根据对称轴的定义及轴对称图形的特点拼图即可.
[答案] （1）【解】有四条对称轴，画图略；
（2）【解】如图所示，这是由两个全等的等边三角形重叠而成的图案.
1.下列四个洗涤说明图案的设计中，没有运用轴对称知识的是( )
A. B. C. D.
C
2.下图中，右面的图案是由左面一朵“小花”在一张半透明的纸上经过多次对折描图后所得到的，要得到这样的图案，最少需要对折( )
A. 次 B. 次 C. 次 D. 次
B
3.如图，将长方形纸片先沿虚线 按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线 向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的纸片是
( )
A. B. C. D.
D
4.如图，左边的图案是轴对称图形，它由右边五种基本图形中的两种图形拼接而成，这两种基本图形是_______.（填序号）
②⑤
5.下图是 的正方形网格.现把其中一个白色小正方形涂上阴影，使整个阴影部分成为轴对称图形，则这样的白色小正方形有____个.
4
6.聪明的你试试看吧!
（1） 分析图①、图②、图④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出其中的阴影部分.
[答案]
（2） 分别在下列图形中补一个小正方形，使它成为一个轴对称图形.
[答案]
7.为创建绿色校园，学校决定在一块正方形的空地上种植花草，现向学生征集设计图案.要求只能用圆弧在正方形内加以设计，且设计好的图案是轴对称图形，种植花草部分用阴影表示.请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案.说明：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种.例如：图①、图②只能算一种.
解：所设计图案如下.
谈这节课收获
完成对应的习题
谢谢大家欣赏(共22张PPT)
北师大版七年级数学下册课件
第五章 生活中的轴对称
5.3 简单的轴对称图形
第3课时 角的对称性
1.角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的_________．
2.角平分线上的点到这个角的两边的距离_______．
对称轴
相等
例1 如图,求作 中内角 和 的平分线的交点 ．
【点拨】利用尺规作图可直接作出两个内角的平分线,并得到交点,但要注意三角形内角的平分线是线段．
[答案]
变式.某地区要在区域 内（即 内部）建一个超市 ，如图所示，按照要求，超市 到两个新建的居民小区 ， 的距离要相等，到两条公路 ， 的距离也要相等.这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
解：如图所示，点 就是所要求作的建超市的位置．
例2 如图, 平分 , , ,垂足分别为 ,B.若 ,求 的度数．
【点拨】由角平分线的性质可得到点 到角的两边的距离相等,从而可得 为等腰三角形,再根据等腰三角形的性质即可求得 的度数．
【解】因为 平分 , , ,
所以 .
由 ,
可得 ．
变式.如图，在 中， 是 边上的高线， 平分 ，交 于点 ， ， ，则 的面积等于____.
5
1.如图， 为 的平分线， ， ，垂足分别是 ， ，则下列结论中错误的是( )
（第1题图）
A. B.
C. D.
B
2.如图，在三角形 中， ， 平分 交 于点 ，且 ， ，则点 到 的距离为( )
（第2题图）
A. B. C. D.
C
3.如图，在 中， ， 是 的角平分线， ， ，垂足分别为 ， ，则下列结论中不正确的是( )
A. 平分
B.
C. 上任意一点到 ， 的距离相等
D.
B
4.如图,已知 ,求作一点 ,使点 到 的两边的距离相等,且 .下列确定点 的方法正确的是( )
（第4题图）
A.作 , 两角的平分线
B.作 的平分线与 的垂直平分线
C.作 , 两边上的高
D.作 , 两边的垂直平分线
B
5.如图，在 中， ， 平分 ， 于点D.如果 ，那么 ____ .
（第5题图）
6.如图，在 中， ， 平分 ， 于点 ，点 在 上， .试说明 .
解：因为 平分 ， ， ，
所以 .
在 和 中，
所以 .
所以 .
7.如图，点 在 的平分线上， ， ，垂足分别为 ， ， ， 的延长线分别交 ， 的延长线于点 ， ， 与 相等吗？为什么？
解： .
因为点 在 的平分线上， ， ，
所以 ， .
在 和 中，
所以 .
所以 .
8.如图， 是 中 的平分线， ，垂足为 ， ，垂足为 .若 ， ， ，求 的长.
解:因为 平分 ， ， ，
所以 .
因为 ， ，
所以 .
而 ，
所以 ，
即 ， .
9.如图，在等腰 中， ， . 的平分线与 的垂直平分线交于点 .将 沿 翻折后点 与点 重合，求 的度数.
解：连接 .
因为 ， 的平分线与 的垂直平分线交于点 ，
所以 .
在等腰 中， ， ，
所以 .
所以 .
在 和 中， ，
所以 .
所以 .
所以 .
由折叠可知， ， ，
所以 .
谈这节课收获
完成对应的习题
谢谢大家欣赏(共21张PPT)
北师大版七年级数学下册课件
第五章 生活中的轴对称
5.3 简单的轴对称图形
第2课时 线段的对称性
1.线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
2.垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_______.
相等
例1 如图,已知两条线段,利用尺规，求作一点 ，使 ， ．
【点拨】到一条线段两个端点距离相等的点在哪儿？到另一条线段两个端点距离相等的点又在哪儿？根据这个思路不难找到作法．
[答案] （图略）
变式.如图，要在燃气管道 上修建一个泵站 ，分别向 ， 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线一样长？
解：如图所示，点 即为所求．
例2 如图,在 中, ,边 的垂直平分线分别交 , 于点 , ,且 ,则 的周长为_____ .
【点拨】由线段的垂直平分线的性质可知 ,因此可将求 的周长转化为求 ,而这由已知条件可求得.
1.如图，直线 是线段 的垂直平分线， ， 是直线 上的两点，则线段 ， ， ， 的数量关系是( )
（第1题图）
A. ， B.
C. ， D. ，
D
2.如图，在四边形 中， 垂直平分 ，垂足为 ，下列结论中不一定成立的是( )
（第2题图）
A. B. 平分
C. D.
D
3.如图， 是 的边 的垂直平分线， 为垂足， 交 于点 ，且 ， ，则 的周长是( )
（第3题图）
A. B.
C. D.
B
4.如图，在 中， ， ， 的垂直平分线 交 于点 ，连接 ，则 的度数为______.
（第4题图）
5.如图，已知线段 垂直平分 ， 平分 .试说明 .
解：因为 垂直平分 ,
所以 , .
又 ,
所以 .
所以 ，所以 .
又因为 平分 ，
所以 .
所以 .
所以 .
6.如图，直线 与 分别是 的边 和 的垂直平分线， 与 分别交边 于点 和点E.若 ，则 的周长是_____.
10
7（1） 分别画一个钝角三角形、一个直角三角形和一个锐角三角形，利用尺规作出这三个三角形三条边的垂直平分线.
解：图略.
（2） 通过作图，你发现了三角形三条边的垂直平分线的交点位置与三角形的形状有什么关系吗？
解：钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形外部，直角三角形三条边的垂直平分线的交点在斜边上，锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形内部.
8.如图，已知 ， ， 的垂直平分线 交 于点 .
（1） 求 的度数；
解：因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
因为 是 的垂直平分线，
所以 .
所以 .
所以 .
（2） 若 的周长为 ， ，求 的长.
解：因为 是 的垂直平分线，
所以 .
因为 的周长为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
谈这节课收获
完成对应的习题
谢谢大家欣赏
