辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试
数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）
1.已知，则（ ）
A.2 B.5 C.6 D.7
2.已知五个数成等差数列，则（ ）
A.15 B.20 C.30 D.35
3.已知数列的通项公式为，当它为递增数列时，的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
5.函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.已知数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
7.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9.已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
10.下列不等式正确的是（ ）
A.当时， B.当时，
C.当时， D.当时，
11.已知数列满足为数列的前项和，则（ ）
A. B.数列是等比数列
C. D.
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.曲线在处的切线方程为__________.
13.数列的通项公式为是其前项和，则__________.
14.已知函数有三个不同的零点，则的取值范围是__________.
四 解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
15.（13分）
己知数列的前项和为.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
16.（15分）
已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于轴
（1）求的值；
（2）求函数的单调减区间和极值.
17.（15分）
已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求的取值范围.
18.（17分）
如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中，后人称为“三角垛”.
“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个球，第五层有15个球..依照这个规律，设各层球数构成一个数列.
（1）写出与的递推关系，并求数列的通项公式；
（2）设的前项和为；
①求；
②对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19.（17分）
已知函数
（1）求函数的最小值；
（2）若，且，求证：
辽宁省部分高中2023-2024学年高二下学期期中考试
数学参考答案
一 单选题：
1-5.BCADD 6-8.ABD
二 多选题：
9.BD 10.ACD 11.ACD
三 填空题：
12. 13. 14.
四 解答题：
15.（1）解：，有，
当时，有，
两式相减得，
当时，由，满足，
所以
（2）由（1）知，，
所以
.（是否合并化简都给分）
16.（1）函数的定义域为，
在点处的切线平行于轴，
，
（2）由（1）可得，
令得或
列表如下：
2
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
单调减区间为
极大值为
极小值为.
（求函数的极值，若把单调性说清楚，不列表也可以，说明单调性给3分）
17.（1），定义域是，所以，
①若，则在上单调递增.
②若，则当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，上单调递增
（2）法（一）：利用（1）知，恒成立，即对
①若在上单调递增，因为所以不等式不成立.
②若在上单调递减，上单调递增，所以即
设，易知在为增函数，，所以.所以的取值范围是.
（2）法（二）：因为函数的定义域是即为，可化为.
设，依题意，.
，令，易知它在上是减函数，又因为，所以当时，，所以在上是增函数；当时，，，所以在上是减函数.
所以在处取得极大值，也是最大值，所以，所以.
所以的取值范围是.
18.（1）从图中可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数，
所以
所以，所以
当时，也符合上式，故
（2）①因为
，
，
两式相减得，
所以，
②对任意的恒成立，，则对任意的恒成立，
令
为递减数列
则当时，.
19.（1）
所以在单调递增，
（不求二阶导数，直接通过观察判断一阶导数为增函数不扣分）
，
时，单调递减；时，单调递增.
所以函数在时，有最小值，
（2）因为
即
所以
因为
设，则由得，，且.
不妨设，要证，即证
即证，
由及的单调性知，.
令，
则，
，所以在为减函数所以，
，取，则，
又，则，
又，且在单调递增，.
所以原命题得证.