第十九章一次函数 章末复习小结（4）基本技能、基本思想方法和基本活动经验
教学设计
学习目标：
1.会直线与坐标轴围成的图形的面积 (重点)
2.一次函数与几何、代数的综合问题（难点）
3.进一步感知数形结合思想
一、典例分析
例1 已知一次函数的图象经过点 M (-2，3)，且平行于直线 y = 3x - 4.
(1) 求这个函数图象的解析式；
(2) 所求得的一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.
解：(1) 设所求一次函数的解析式为 y = kx + b.
则： 解得：
∴ y = 3x + 9.
(2) 设直线 y = 3x + 9分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 点，
令 x = 0，则 y = 9，B(0，9)；
令 y = 0，3x + 9 = 0， 解得: x = -3
本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线的解析式的 k 值相等得到 k = 3 是解题的关键，也是本题的难点，还要注意求函数图象与坐标轴的交点的方法.
例2 如图，直线 y = x+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，在 y 轴上有一点 C (0，1)，动点 D 从 A 点出发以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向右移动.
当移动到△COD 与△AOB 全等
时，移动的时间 t 是( D )
2 B. 3 C. 4 D. 1
本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定定理是关键.
二、小试牛刀
1.如图，一次函数 y = 3x + 9 的图象分别与 x 轴和 y 轴交于A，B 两点，且与正比例函数 y = kx 的图象交于点C(-2，m).
(1) 求 m 的值；
(2) 求正比例函数的解析式；
(3) 点 D 是正比例函数图象上的一点，且△AOD 的面积
是 4，求点 D 的坐标.
分析：(1) 把点 C (-2，m) 代入一次函数 y = 3x + 9 即可求得；
(2) 利用待定系数法即可求得；
(3) 根据三角形面积求得 D 点到 x 轴的距离，即可求得 D 的纵坐标，代入 y =3 x + 9即可求得横坐标.
解：(1) ∵点C(-2，m) 在一次函数 y = 3x + 9 的图象上，
∴ m = 3(- 2 )+ 9 = 3.
(2) ∵ 正比例函数图象经过点 C (-2，3)，
∴ - 2k = 3，即 k = ∴ y = - x.
(3) ∵ y = 3x + 9，
令 y = 0 得，x = - 3，
∴ 点 A (-3，0)，即 OA = 3
设点 D 的坐标为 (n，-n ) ∴ ×3×|-n| = 3.
∴ | n | = 3.当 n = 时，-n = - 2 ，
∴ 点 D 的坐标为(，-2)；
当 n =- 时，- n = 2
∴ 点 D 的坐标为(- ，2).
故 D 的坐标为(，-2)或(- ，2).
2. 如图，直线 y = x+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，在 y 轴上有一点 C (0，1)，动点 D 从(4，0)出发以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左移动.
当移动到△COD 与△AOB 全等
时，移动的时间 t 是( A )
A. 2或6 B. 2或4 C. 4 D. 6
三、拓展提升
3.如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 AB 与 x 轴的正半轴交于点 A，与 y 轴的负半轴交于点 B，OA = OB，过点 A 作 x 轴的垂线与过点 O 的直线相交于点 C，直线 OC 的解析式为y = x，过点 C 作 CM⊥y 轴，垂足为点 M，OM = 9.
(1) 求直线 AB 的解析式；
(2) 如图，点 N 在线段 MC 上，连接 ON，
点 P 在线段 ON 上(不与点 O 重合)，过点
P 作 PD⊥x 轴，垂足为点 D，交 OC 于
点 E. 若 NC = OM，求 的值.
解：(1) ∵CM⊥y 轴，OM = 9，
∴ y = 9 时，9 = x，解得 x = 12. ∴ C(12，9).
∵AC⊥x 轴，∴A(12，0).
∵OA = OB，∴B(0，-12).
设直线 AB 的解析式为 y = kx + b，则有
∴直线 AB 的解析式为 y = x - 12.
(2)∵∠CMO = ∠MOA = ∠OAC = 90°，
∴四边形 OACM 是矩形. ∴AO = CM = 12.
∵ NC = OM = 9，∴ MN = CM - NC = 12 - 9 = 3.
∴ N (3，9). ∴直线 ON 的解析式为 y = 3x.
设点 E 的横坐标为 4a，则 D (4a，0)，∴OD = 4a.
把 x = 4a 代入 y = x中，得 y = 3a，∴E (4a，3a).
∴ DE = 3a. 把 x = 4a 代人 y = 3x 中，
得 y = 12a，∴P (4a，12a). ∴PD = 12a.
∴PE = PD - DE = 12a - 3a = 9a.
四、课堂小结
本节课，你学到了什么数学知识？
学会了哪些学习方法？
五、布置作业
见精准作业单
六、板书设计
章末复习小结（4）第十九章一次函数 章末复习小结（4）基本技能、基本思想方法和基本活动经验
导学案
学习目标：
1.会直线与坐标轴围成的图形的面积 (重点)
2.一次函数与几何、代数的综合问题（难点）
3.进一步感知数形结合思想
一、典例分析
例1 已知一次函数的图象经过点 M (-2，3)，且平行于直线 y = 3x - 4.
(1) 求这个函数图象的解析式；
(2) 所求得的一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.
例2 如图，直线 y = x+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，在 y 轴上有一点 C (0，1)，动点 D 从 A 点出发以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向右移动.
当移动到△COD 与△AOB 全等
时，移动的时间 t 是( )
2 B. 3 C. 4 D. 1
二、小试牛刀
1.如图，一次函数 y = 3x + 9 的图象分别与 x 轴和 y 轴交于A，B 两点，且与正比例函数 y = kx 的图象交于点C(-2，m).
(1) 求 m 的值；
(2) 求正比例函数的解析式；
(3) 点 D 是正比例函数图象上的一点，且△AOD 的面积
是 4，求点 D 的坐标.
2. 如图，直线 y = x+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，在 y 轴上有一点 C (0，1)，动点 D 从(4，0)出发以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左移动.
当移动到△COD 与△AOB 全等
时，移动的时间 t 是( )
A. 2或6 B. 2或4 C. 4 D. 6
三、拓展提升
3.如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 AB 与 x 轴的正半轴交于点 A，与 y 轴的负半轴交于点 B，OA = OB，过点 A 作 x 轴的垂线与过点 O 的直线相交于点 C，直线 OC 的解析式为y = x，过点 C 作 CM⊥y 轴，垂足为点 M，OM = 9.
(1) 求直线 AB 的解析式；
(2) 如图，点 N 在线段 MC 上，连接 ON，
点 P 在线段 ON 上(不与点 O 重合)，过点
P 作 PD⊥x 轴，垂足为点 D，交 OC 于
点 E. 若 NC = OM，求 的值.
四、课堂小结
本节课，你学到了什么数学知识？
学会了哪些学习方法？
五、布置作业
见精准作业单第十九章一次函数 章末复习小结（4）基本技能、基本思想方法和基本活动经验
精准作业设计
课前诊断
1. 如图，在平面直角坐标系中，点A(-1，0)，B(0，3)，直线BC交坐标轴于B，C两点，且∠CBA=45°
求直线BC的解析式.
精准作业
必做题
2.已知一次函数y=kx﹣5的图象经过点A（2，﹣1）．
（1）求k的值；
（2）画出这个函数的图象；
（3）若将此函数的图象向上平移m个单位后与坐标轴围成的三角形的面积为1，请直接写出m的值．
3.如图，直线的解析表达式为：y=－3x＋3，且与x轴交于点D，直线经过点A，B，直线，交于点C．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线上存在一点P，使得△ADP面积是△ADC面积的2倍，请直接写出点P的坐标．
探究题
4.如图，A(0，4)，B(－4，0)，D(－2，0)，OE⊥AD于点F，交AB于点E，BM⊥OB交OE的延长线于点M．
（1）求直线AB和直线AD的解析式；
（2）求点M的坐标；
（3）求点E，F的坐标．
精准作业答案
1.解：作AM⊥AB，交BC于M点，过点M作MN⊥AC于N，如图，
∵点A（-1，0），B（0，3），
∴OA=1，OB=3，
∴
∵∠CBA=45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴≌（AAS），
∴，，
∴，
∴，
设直线BC的解析式为y=kx+b，把，代入得：
解得，
∴直线BC的解析式为：．
2．(1)将x=2，y= 1代入y=kx 5，得
1=2k 5，
解得k=2；
(2)由(1)知，该函数是一次函数：y=2x 5，
令x=0，则y= 5；
令y=0，则x=2.5，
所以该直线经过点(0, 5),(2.5,0).其图象如图所示：
(3)把直线y=2x 5向上平移m个单位长度后，得到y=2x 5+m，
当y=0时,,则直线与x轴的交点坐标为
当x=0时,y=m 5,则直线与y轴的交点坐标为(0,m 5)；
所以
所以m=3或m=7.
3.解：（1）由y＝﹣3x+3，令y＝0，得﹣3x+3＝0，
∴x＝1，
∴D（1，0）；
（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，
由图象知：x＝4，y＝0；x＝3，y=-，代入表达式y＝kx+b，
∴ ，
∴，
∴直线l2的解析表达式为；
（3）由，
解得，
∴C（2，﹣3），
∵AD＝3，
∴S△ADC＝×3×|﹣3|＝；
（4）∵△ADP与△ADC底边都是AD，△ADP的面积是△ADC面积的2倍，
∴△ADP高就是点C到直线AD的距离的2倍，
即C纵坐标的绝对值=6，则P到AD距离=6，
∴点P纵坐标是±6，
∵y=1.5x-6，y=6，
∴1.5x-6=6，
解得x=8，
∴P1（8，6）．
∵y=1.5x-6，y=-6，
∴1.5x-6=-6，
解得x=0，
∴P2（0，-6）
综上所述，P1（8，6）或P2（0，-6）．
4.（1）设直线AB的解析式为：y=ax+b，则
解得：
故直线AB的解析式为：y=x+4；
设直线AD的解析式为：y=kx+c，则
解得：
故直线AD解析式为：y=2x+4；
（2） ∵OE⊥AD，
∴∠DOM+∠ODF=90°，
∵BM⊥OB，
∴∠BOM+∠OMB=90°，
∴∠ADO=∠BMO，
在△ADO和△OMB中
∵
∴△ADO≌△OMB（AAS），
∴DO=BM=2，
则点M的坐标为：（-4，2）；
（3） 设直线MO的解析式为：y=dx，
则-4d=2，
解得：
故直线MO的解析式为：
由题意可得：
解得：
故E点坐标为：
解得：
故F点坐标为：
试卷第1页，共 7页(共18张PPT)
第十九章一次函数
章末复习小结（4）
基本技能、基本思想方法和基本活动经验
人教版.八年级下册
学习目标
1.会直线与坐标轴围成的图形的面积 (重点)
2.一次函数与几何、代数的综合问题（难点）
3.进一步感知数形结合思想
例1 已知一次函数的图象经过点 M (-2，3)，且平行于直线 y = 3x - 4.
(1) 求这个函数图象的解析式；
(2) 所求得的一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.
典例分析
解：(1) 设所求一次函数的解析式为 y = kx + b.
则： 解得：
∴ y = 3x + 9.
(2) 设直线 y = 3x + 9分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 点，
令 x = 0，则 y = 9，B(0，9)；
令 y = 0，3x + 9 = 0， 解得: x = -3
∴ OA = 3 ∴
【方法归纳】
本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线的解析式的 k 值相等得到 k = 4 是解题的关键，也是本题的难点，还要注意求函数图象与坐标轴的交点的方法.
本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线的解析式的 k 值相等得到 k = 3 是解题的关键，也是本题的难点，还要注意求函数图象与坐标轴的交点的方法.
归纳总结
1.如图，一次函数 y = 3x + 9 的图象分别与 x 轴和 y 轴交于A，B 两点，且与正比例函数 y = kx 的图象交于点
C(-2，m).
(1) 求 m 的值；
(2) 求正比例函数的解析式；
(3) 点 D 是正比例函数图象上的一点，
且△AOD 的面积是 4，求点 D 的坐标.
小试牛刀
分析：(1) 把点 C (-2，m) 代入一次函数 y = 3x + 9 即可求得；
(2) 利用待定系数法即可求得；
(3) 根据三角形面积求得 D 点到 x 轴的距离，即可求得 D 的纵坐标，代入 y =3 x + 9即可求得横坐标.
解：(1) ∵点C(-2，m) 在一次函数 y = 3x + 9 的图象上，
∴ m = 3(- 2 )+ 9 = 3.
(2) ∵ 正比例函数图象经过点 C (-2，3)，
∴ - 2k = 3，即 k = ∴ y = - x.
(3) ∵ y = 3x + 9，
令 y = 0 得，x = - 3，
∴ 点 A (-3，0)，即 OA = 3
设点 D 的坐标为 (n，-n ) ∴ ×3×|-n| = 3.
∴ | n | = 3.当 n = 时，-n = - 2 ，
∴ 点 D 的坐标为(，-2)；
当 n =- 时，- n = 2
∴ 点 D 的坐标为(- ，2).
故 D 的坐标为(，-2)或(- ，2).
例2 如图，直线 y = x+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，在 y 轴上有一点 C (0，1)，动点 D 从 A 点出发以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向右移动.
当移动到△COD 与△AOB 全等
时，移动的时间 t 是( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 1
典例分析
D
本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定定理是关键.
2. 如图，直线 y = x+2 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，在 y 轴上有一点 C (0，1)，动点 D 从(4，0)出发以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左移动.
当移动到△COD 与△AOB 全等
时，移动的时间 t 是( )
A. 2或6 B. 2或4
C. 4 D. 6
小试牛刀
A
3.如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 AB 与 x 轴的正半轴交于点 A，与 y 轴的负半轴交于点 B，OA = OB，过点 A 作 x 轴的垂线与过点 O 的直线相交于点 C，直线 OC 的解析式为y = x，过点 C 作 CM⊥y 轴，垂足为点 M，OM = 9.
(1) 求直线 AB 的解析式；
(2) 如图，点 N 在线段 MC 上，连接 ON，
点 P 在线段 ON 上(不与点 O 重合)，过点
P 作 PD⊥x 轴，垂足为点 D，交 OC 于
点 E. 若 NC = OM，求 的值.
拓展提升
(2)∵∠CMO = ∠MOA = ∠OAC = 90°，
∴四边形 OACM 是矩形. ∴AO = CM = 12.
解：(1) ∵CM⊥y 轴，OM = 9，
∴ y = 9 时，9 = x，解得 x = 12. ∴ C(12，9).
∵AC⊥x 轴，∴A(12，0).
∵OA = OB，∴B(0，-12).
设直线 AB 的解析式为 y = kx + b，则有
∴直线 AB 的解析式为 y = x - 12.
∵ NC = OM = 9，∴ MN = CM - NC = 12 - 9 = 3.
∴ N (3，9). ∴直线 ON 的解析式为 y = 3x.
设点 E 的横坐标为 4a，则 D (4a，0)，∴OD = 4a.
把 x = 4a 代入 y = x中，得 y = 3a，∴E (4a，3a).
∴ DE = 3a. 把 x = 4a 代人 y = 3x 中，
得 y = 12a，∴P (4a，12a). ∴PD = 12a.
∴PE = PD - DE = 12a - 3a = 9a.
课堂小结
本节课，你学到了什么数学知识？
学会了哪些学习方法？
布置作业
见精准作业
谢谢大家！
