云南省昆明市长水教育集团2023-2024学年高二下学期5月质量检测（二）数学试题（含解析）

云南省长水教育集团2023-2024学年高二下学期5月质量检测（二）
数学试题
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自已的姓名 考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.（ ）
A.12 B.18 C.23 D.30
2.下列求导运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（ ）
A. B. C. D.
4.美术馆计划从6幅油画，4幅国画中，选出4幅展出，若两种画都要参展，则不同的参展方案种数为（ ）
A.200 B.194 C.70 D.40
5.在三棱锥中，两两垂直，且重心为，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论错误的是（ ）
A.
B.第6行 第7行 第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
C.第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
D.第2020行的第1010个数最大
7.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知双曲线的右焦点为，左 右顶点分别为轴于点，且.当最大时，点恰好在上，则的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.
二 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知，则（ ）
A.
B.
C.此二项式展开式的二项式系数和为64
D.此二项式系数最大项为第4项
10.有甲 乙 丙等6名同学，则（ ）
A.6人站成一排，甲 乙两人相邻，则不同的排法种数为240
B.6人站成一排，甲 乙 丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240
C.6名同学平均分成三组分别到三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种
D.6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲 乙 丙在一起，则不同的安排方法有36种
11.已知抛物线，焦点为，直线与交于两点，过两点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，且为的中点，则（ ）
A.
B.
C.梯形的面积是16
D.到轴距离为3.
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.过原点的直线与相切，则切点的坐标是__________.
13.小亮和他的同学一行五人决定去看电影院新上映的四部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有__________种.
14.公比为的等比数列的前项和，若，记数列的前项和为，若恒成立.则的最小值为__________.
四 解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数.
（1）求的值；
（2）二项式的展开式中的系数为的系数为，若，则求的值.
16.（本小题满分15分）
已知数列的前项和.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和
17.（本小题满分15分）
（1）求的值；
（2）若等式成立，求正整数的值.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆过点，且长轴长为4.
（1）求的标准方程；
（2）过点作两条互相垂直的弦，设弦的中点分别为.证明；直线必过定点.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：.
高二年级数学答案
一、选择题
1.C 【解析】.故选C.
2.D 【解析】对于A：，故错误；对于：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D，，D正确.故选D.
3.B 【解析】数列和都为等差数列，且，则令为常数，因此，所以.故选B.
4.B 【解析】若两种画都要参展，则有194.故选B.
5.D 【解析】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，则，，则，
，故在的
投影向量的模为
，点到线的距离为.故选D.
6.D 【解析】对于：因为，所以，故A正确；对于：第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：，其和为；而第9行第8个数字就是36，故B正确；对于C：依题意：第12行从左到右第2个数为，第12行从左到右第3个数为，所以第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为，故C正确；对于D：由图可知：第行有个数字，如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大；如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大，所以第2020行的第1011个数最大，故D错误.故选D.
7.B 【解析】设，则，当0时，在上递增；当时，在上递减，故.则，即；由
可知，故.故选.
8.D 【解析】如图：
因为轴，且在双曲线上，所以，又，所以为中点.因为最大，所以经过两点的圆与相切于，此时点坐标为，圆心，由.故选D.
二 多选题
9.ACD 【解析】通项为：当时，，故A正确；B：，故，故B错误；C：此二项式展开式的二项式系数和为，故C正确；D：因为二项式系数为，所以当时，最大，即第4项最大，故D正确.故选ACD.
10.ACD 【解析】对于人站成一排，甲 乙两人相邻，可以采用捆绑法，则不同的排法种数为，故A正确；对于B，6人站成一排，甲 乙 丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种，故B错误；对于C，6名同学平均分成三组分别到三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则有种，故C正确；对于D，6名同学分成三组参加不同的活动，甲 乙 丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有种分法；若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲 乙 丙外的剩余3人分为两组，有种分法；共有6种分组方法，再分配到三个活动中，共有种，D正确.故选ACD.
11.BD 【解析】对于A，由题意得，则直线经过点，联立，消去，得，设，则-4，则，所以，故A错误；对于，由题意得，所以，所以，故B正确；对于，由题意可得，，所以梯形的面积是，
故C错误；对于D，因为，所以到轴距离为3，故D正确.故选BD.
三 填空题
12. 【解析】由题意设切点坐标为，
由，得，故直线的斜率为，则直线的方程为，将代入，得，则切点坐标为.故答案为.
13.360 【解析】从5人中选择2人看同一部影片，再从4部影片中选择一部安排给这两人观看，剩余的3人，可分为3人看3部影片或者3人看一部影片，故共有种情况.故答案为360.
14.2 【解析】由，当时，；当时，，则，，所以，又，则，所以，故，当时，，所以，又恒成立，所以，即的最小值为2.故答案为2.
四 解答题
15.解：（1）由题知，二项式系数和
（2）二项式为.
由二项式定理通项公式得
，
令，得，
所以，
令，得，
所以，
又，解得（舍去）或或，
所以或.
16.解：（1）中，令得，
解得，
则.
当时，满足上式，
故.
（2），
故①，
则
②
①-②得
故.
17.解：（1）原式
（2）由展开得，
因，
故可化简得：，
解得或（舍），故.
18.解：（1）依题意，，故，而，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线不垂直于坐标轴时，设直线的方程为，
由，得直线的方程为，
由消去得：，
则，故，
于是，由代替，
得，
当，即时，直线，
过点，当，即时，直线的斜率为，
直线，
令，
因此直线恒过点，
当直线之一垂直于轴，另一条必垂直于
轴，直线为轴，过点，
所以直线恒过点.
19.解：（1）由题意可知：的定义域为，
，
令，可得，且，
即，
，可知在内恒成立，
即在内恒成立，所以在内单调递增.
（2）当时，可得，
，
易得在内单调递增，在内单调递减，
由题意可得：，
因为，
令，
则，
可知在内单调递增，
则，可得在内恒成立，
因为，则，
且在内单调递减
则，即；
令，
则
，
可知在内单调递增，则，
可得在内恒成立，
因为，则，
且在内单调递增，
则，即；
由和可得.