毛坦厂中学2023-2024学年高二下学期5月阶段性测试
数学
本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则
A. B. C. D.
4. 已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为2，则的渐近线方程为（ ）
A B.
C. D.
5. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为
A. 144 B. 120 C. 72 D. 24
6. 的展开式中，的系数为
A. 10 B. 20
C. 30 D. 60
7. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A. B. C. D.
8. 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A. 24 B. 18 C. 12 D. 9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设离散型随机变量的分布列为：
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 02
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A. B. C. D.
10. 若，则（ ）
A. B. 的系数为
C. D.
11. 有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A. 分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法
B. 分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法
C. 分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D. 分给甲、乙、丙、丁四人，两人各2本，另两人各1本，有1080种分法
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
13. 如图中的杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》．它有很多奇妙的性质，如除1以外的每个数等于它“肩上”两数之和、揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律等．由此可得图中第7行从左到右数第4个数是______；第行的所有数字之和为______．
14. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知在展开式中，第项为常数项.
求：（1）的值；
（2）展开式中的系数.
16. 针对我国老龄化问题日益突出，人社部将推出延迟退休方案.某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示.
支持 保留 不支持
50岁以下 8000 4000 2000
50岁以上（含50岁） 1000 2000 3000
（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n的值；
（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求50岁以下人数的分布列和期望.
17. 如图，直棱柱中，与交于点E.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 某批规格相同的产品由甲、乙、丙三个工厂共同生产，甲厂生产的产品次品率为2%，乙厂和丙厂生产的产品次品率均为4%，三个工厂生产的产品混放在一起，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的40%，40%，20%.
（1）任选一件产品，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的产品是次品，分别计算此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率.
19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）若，求a，b；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.毛坦厂中学2023-2024学年高二下学期5月阶段性测试
数学
本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式求集合，应用集合的交补运算求结果.
【详解】由题设，故或，
所以.
故选：D
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】应用复数模的求法、乘方和除法运算化简，即可确定对应点所在象限.
【详解】由题设，对应点为在第四象限.
故选：D
3. 从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】依题意,,故.故选B.
【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.
4. 已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为2，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的焦点、渐近线方程，利用点到直线的距离求解.
【详解】由知，双曲线渐近线为方程为，，
则双曲线焦点到渐近线的距离，
∴双曲线C的渐近线方程为.
故选：A
5. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为
A. 144 B. 120 C. 72 D. 24
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种
考点：排列、组合及简单计数问题
6. 的展开式中，的系数为
A. 10 B. 20
C. 30 D. 60
【答案】C
【解析】
【详解】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.
考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.
【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.
7. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．
【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
8. 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A 24 B. 18 C. 12 D. 9
【答案】B
【解析】
【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．
同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．
故选B．
【考点】计数原理、组合
【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设离散型随机变量的分布列为：
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据分布列的性质求得参数，结合分布列求得，再结合期望和方差的性质，即可判断和选择.
【详解】对A：由，解得，故A正确；
对B：，
，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：ABC.
10. 若，则（ ）
A. B. 的系数为
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】令可判断A；利用二项式展开式的通项公式可判断B；令可判断C；令，结合C选项可判断D.
【详解】令，可得，即，故A错误；
由，
所以的系数为，故B正确；
令，可得，故C正确；
令，，
与，两式相加，
可得，
所以，故D正确.
故选：BCD
11. 有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A. 分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法
B. 分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法
C. 分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D. 分给甲、乙、丙、丁四人，两人各2本，另两人各1本，有1080种分法
【答案】CD
【解析】
【分析】利用平均分配和部分平均分配原则一一计算可判定选项.
【详解】对于A，根据平均分组可知有，故A错误；
对于B，先选一人得4本书，有种方法，余下2本书分给两人有2种分法，
所以共有90种方法，故B错误；
对于C，先分给甲乙两人有种方法，余下2本书分给两人有2种分法，
所以共有180种方法，故C正确；
对于D，按照分步乘法计数原理知，所以D正确.
故选：CD
【点睛】思路点睛：对于平均分组或局部平均分组问题需要注意重复的部分，仔细计算即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
【答案】
【解析】
【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.
【详解】［方法一］：反面考虑
没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，
故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．
故答案为：.
［方法二］：正面考虑
若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；
若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．
故答案为：.
【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；
方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．
13. 如图中的杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》．它有很多奇妙的性质，如除1以外的每个数等于它“肩上”两数之和、揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律等．由此可得图中第7行从左到右数第4个数是______；第行的所有数字之和为______．
【答案】 ①. 35 ②.
【解析】
【分析】根据除1以外的每个数等于它“肩上”两数之和得第7行从左到右数第4个数是第行从左到右数第个与第个数之和即可得；第行的所有数字之和可根据二项式定理展开式的二项式系数和求得.
【详解】解：根据除1以外的每个数等于它“肩上”两数之和得第7行从左到右数第4个数是第行从左到右数第个与第个数之和，即；第行的所有数字之和为的展开式的所有项的二项式系数和．
【点睛】本题考查二项式系数的相关性质，是基础题.
14. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【答案】1260.
【解析】
【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.
详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为
因此一共有个没有重复数字的四位数.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知在的展开式中，第项为常数项.
求：（1）的值；
（2）展开式中的系数.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【详解】分析：（1）根据的展开式中，第9项为常数项，即可求解的值；
（2）由（1）可得展开式的通项公式，令的指数幂为5，求得的值，即可得到展开式中项的系数.
详解：（1）在根据的展开式中，第9项为常数项，
则第9项的通项公式为，
所以，解得.
（2）由（1）可得展开式的通项公式 ，令，解得，
则得到展开式中项的系数.
点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项式定理的通项是解答的关键，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．
16. 针对我国老龄化问题日益突出，人社部将推出延迟退休方案.某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示.
支持 保留 不支持
50岁以下 8000 4000 2000
50岁以上（含50岁） 1000 2000 3000
（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n的值；
（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求50岁以下人数的分布列和期望.
【答案】（1）120 （2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意求出参与调查的总人数，利用分层抽样的特征即可求解；
（2）抽取的10人中，50岁以下与50岁以上的人数分别为4人，6人，根据超几何分布列出分布列求得期望.
【小问1详解】
参与调查的总人数为，其中从持“不支持”态度的人数中抽取了30人，所以.
【小问2详解】
在持“不支持”态度的人中，50岁以下及50岁以上人数之比为2∶3，因此抽取的10人中，50岁以下与50岁以上的人数分别为4人，6人，故，
则，，，.
的分布列为：
0 1 2 3
P
期望.
17. 如图，在直棱柱中，与交于点E.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线定理以及平行四边形的判定与性质，可得答案；
（2）由题意，根据线面垂直判定以及性质定理，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用公式，可得答案.
【小问1详解】
证明：分别取线段中点F，G，连结，如图所示.
因为点F是线段的中点，，以，所以四边形是平行四边形，所以.
在中，点F是线段的中点，点E是线段的中点，所以.
因为点G是线段的中点，所以，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又，所以.
又平面平面，所以平面.
【小问2详解】
在直棱柱中，平面，又平面，所以.
又平面，所以平面，
又平面，所以.
不妨设，以B为坐标原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，所以.
设平面的一个法向量，所以，即，
令，解得，所以平面一个法向量.
设直线与平面成角的大小为，则，
即直线与平面所成角的正弦值是.
18. 某批规格相同的产品由甲、乙、丙三个工厂共同生产，甲厂生产的产品次品率为2%，乙厂和丙厂生产的产品次品率均为4%，三个工厂生产的产品混放在一起，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的40%，40%，20%.
（1）任选一件产品，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的产品是次品，分别计算此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率.
【答案】（1）
（2）， ， .
【解析】
【分析】(1)根据独立事件同时发生的概率计算公式求解；
(2)利用条件概率公式求解.
【小问1详解】
设表示“取到的产品是次品”，
表示“产品由甲工厂生产”，表示“产品由乙工厂生产”，
表示“产品由丙工厂生产”，易知，，两两互斥，
根据题意得，，，
根据全概率公式可得
，
故取到次品的概率为.
【小问2详解】
“如果取到的产品是次品，计算分别出自三个工厂的概率”，
就是计算在发生的条件下，事件发生的概率.
同理可得，
所以如果取到的产品是次品，
此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率分别是， ， .
19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）若，求a，b；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，由题可得切线的斜率为1，切点坐标为，所以，，结合即可求得，的值；
（2）令，问题转化为在上恒成立，则，对求导得，分、、、四种情况讨论，结合函数的单调性即可得答案.
【小问1详解】
∵，∴，∴，即，
∵点在切线上，∴切点坐标为，即，
∴，∴，
∵，∴，.
【小问2详解】
由（1）可知，，∴.
设，则在上恒成立，∴，
，，，
当时，在上恒成立，∴在上单调递减，∴，不合题意；
当时，，
若，则在上恒成立，∴在上单调递减，∴，不合题意；
若，则，在上恒成立，∴在上单调递增，∴，符合题意；
若，则，当时，，在上单调递减，此时，不合题意.
综上，的取值范围是.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
