数学：22.9平面图形的镶嵌教案1（冀教版八年级下）

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22.9平面图形的镶嵌
教学目标
1. 了解平面图形的镶嵌的含义、掌握哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计.
2. 通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的设计.
3. 经历探索多边形镶嵌的过程，进一步发展学生的合情推理能力，开发、培养学生创造性思维.
教学重点：以三角形、四边形和正六边形的镶嵌.
教学难点：用同一种平面图形或者几种平面图形可以镶嵌的条件.
教学过程：
一、巧设情景问题，引入课题
我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.
这节课我们来探索平面图形的镶嵌.
二、讲授新课
（一）用同一种多边形镶嵌
做一做，回答问题：
平面图形的镶嵌，需注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠，那我们先来探索多边形镶嵌的条件，大家拿出准备好的剪刀和硬纸片分组来做一做：
(1)用形状、大小完全相同的三角形能否镶嵌？
(2)用同一种四边形可以镶嵌吗？用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，并与同伴交流.
(3)在用三角形镶嵌的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？
(4)在用四边形镶嵌的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？
(学生动手制作、教师强调：大家要注意：三角形、四边形的形状，可以是任意的，但裁剪出的每种图形一定是全等形)
(学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导)
1. 用形状、大小完全相同的三角形可以镶嵌
因为三角形的内角和为180°，所以，用6个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面.
从用三角形镶嵌的图案中，观察到：每个拼接点处有6个角，这6个角分别是这种三角形的内角(其中有三组分别相等)，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°.
2. 用同一种四边形也可以镶嵌
在用四边形镶嵌的图案中，观察到：每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角，四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°.
3. 从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°.
通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以镶嵌一个平面，那么其他的多边形能否镶嵌？下面大家来想一想，议一议：
(1) 正六边形能否镶嵌？简述你的理由.
(2) 正五边形能否镶嵌？简述你的理由.
(3) 还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？ (学生分析、讨论、归纳)
4. 小结：要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的整倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的整倍数都不是
360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌.一般三角形、四边形也可以镶嵌.虽然它们的内角未必都相等.
（二）用两种正多边形镶嵌
1. 正三角形与正方形
正方形的每个内角是90°，正三角形的每个内角是60°，对于某个拼结点处，设有x个60°角，有y个90°角，则：
60x+90y=360
即：2x+3y=12
又x、y是正整数
解得：x=3,y=2
即：每个顶点处用正三角形的三个内角，正方形的两个内角进行拼接.(如下图)
2. 正三角形与正六边形
正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，对于某个拼结点处，设有x个60°角，有y个120°角，即：
60x+120y=360°
即x+2y=6
x、y是正整数
解得：
即：每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形，或者用二个正三角形和两个正六边形，如下图.
(3)正三角形和正十二边形
与前一样讨论，得每个顶点处用一个正三角形和两个正十二边形
由以上讨论可找到镶嵌平面的条件.
结论：
由n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：
(1)n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；
(2)n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.
三、练习：
1. 如图，在一个正方形的内部按图示(1)的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如图(2)所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否镶嵌？
说说理由.
2. 同时用边长相同的正八边形和正方形能否镶嵌？用硬纸板为材料进行实验.答案：可以镶嵌.
四、小结
本节课我们通过活动，探讨，知道如果拼接某种多边形时，能在每个拼接点处恰好拼成平角或周角，那么用这种多边形就可以进行镶嵌.
五、作业
课本P89，1，2，3
课后随笔：
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