第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
【学习目标】
1．了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤步骤和书写格式.
2、经历“探索---发现---猜想---证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理.
3、通过探究，养成严谨的科学态度、不懈的探究精神和良好的说理方法.
【学习策略】
关注学生已有活动经验的回顾过程，关注了 “探索－发现－猜想－证明”的活动过程，关注了学生自主探究过程，让学生学习的主体性较好发挥，同时教师注意对学生的感想进行适当的引导，并在学生交流的基础上，明晰部分收获供学生共享，如：1、具体有关性质定理；2、通过折纸活动对获得的定理给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据．3、体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性．
【学习过程】
一、情境导入：
回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；
在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：
1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；
2.回忆全等三角形的性质。
二.新课学习：
提问：“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。
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还有其他证明方法吗？与同伴交流.
提示1：作等腰三角形的顶角平分线AD；
提示2：分别延长AB、AC至点E、D，使BE=CD，连接CE、BD，先证明△ACE≌△ABD，再证明△CBE≌△BCD，得出∠CBE=∠BCD，运用等角的补角相等即可得出）
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合.
例题解析：
在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC，试猜想EF与AD之间有什么关系 并证明你的猜想.
在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合
三.尝试应用：
1.等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是 。
2.已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是 。
3.如图所示，在△ABC中，AB=BD=DC，∠C=40°，则∠C=________，∠ABD=________。
4.如图所示，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD.
（1） 求证：△ABD是等腰三角形。
（2） 求∠BAD的度数。
四、课堂小结
1、等腰三角形的性质：
（1）定理：等腰三角形的两个底角相等. 简称：等边对等角
（2）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.简称：三线合一
2、证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论;
(2)根据题意画出相应的图形;
(3)根据题设和结论写出已知, 求证;
(4)分析证明思路, 写出证明过程.
五.达标测试
一、选择题
1．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B． 16 C． 17 D． 16或17
2．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B= 80°，则∠C的度数为（ ）
A． 30° B． 40° C． 45° D． 60°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（ ）
A．40° B．36° C．80° D．25°
第2题图 第3题图
二、填空题
4．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 ．
5若等腰三角形的周长是27 cm，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是3 cm，则这个等腰三角形的底边长为 ．
6. 在菱形 ABCD中，∠A＝ 30°，在同一平面内，以对角线 BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为 .
三、解答题
7．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=BE.求∠A的度数.
8. 如图，已知△ABD，E是AB延长线上的一点，AE =AC，AD 平分∠BAC，BD= BE，连接DE.求证∠BDE=∠C．
9. 如图,D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，且AB=AC，AD=AE.
(1)若∠BAD=20°，则∠EDC= ；
(2)若∠EDC=20°，则∠BAD= ；
(3)若∠BAD=α，∠EDC=β，你能有（1）和（2）中的结果找到α与β之间的关系吗？请说明理由.
参考答案
达标测试答案：
一、选择题
1．D 【解析】分两种情况：当三边长分别为5，5，6时，周长为16；当三边长分别为5，6，6时，周长为17，故选D．
2. B 【解析】AB=AD,∠B=80°，∴∠ADB=80°，又 AD=CD,∴∠C=∠DAC=∠ADB=40°．
3. B 【解析】设∠C＝x°，由于DA＝DC，可得∠DAC＝∠C＝x°，由AB＝AC可得∠B＝∠C＝x°．
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2x°，由于BD＝BA，所以∠BAD＝∠ADB＝2x°，根据三角形内角和定理，得x°＋x°＋3x°＝180°，解得x＝36°．所以∠B＝36°．
.二、填空题
4．100° 【解析】∵100°＞90°，所以100°的角是顶角，不可能为底角.
5．11 cm或7 cm 【解析】设等腰三角形的腰长为2x，则底边长(27-4x)，由题意得 2x-（27 -4x）=3或（27-4x）-2x=3，解得x=5或4，故底边长为11 cm或7 cm.
6. 105°或45°【解析】
三、解答题
7. 解：设∠BDE=x°,
∵AD=DE=BE,
∴∠DBE=x°，∠A=∠AED=∠DBE+∠ BDE=2x°，
∴∠BDC=∠A+∠A BD= 2x°+x°=3x°.
∵BD=BC，
∴∠C= ∠BDC=3x°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=3x°.
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2x°+3x°+3x°=180°，
∴x=22.5，
∴∠A=2x°= 45°．
8.证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD．
∵AE=AC,AD=AD，
∴△ADE≌△ADC(SAS).
∴∠E=∠C，
∵BD=BE，
∴∠E=∠BDE,
∴∠ BDE=∠C．
9.解：(1)10°
(2)40°
（3）α=2β 理由：∵AB=AC,AD=AE，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED.
又∠ADC=∠B+∠BAD，
即∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，得
∠AED+∠EDC=∠B+∠BAD.
∵∠AED=∠EDC+∠C，
∴∠EDC+∠C+∠EDC=∠B+∠BAD，
∴2∠EDC=∠BAD，
即α=2β．
→
→
A
B
C
D
11 等腰三角
第2课时
【学习目标】
1．能运用综合法证明等腰三角形中一些相等的线段。
2、利用等腰三角形的性质证明等边三角形的性质，并且会用等边三角形性质解决相关问题。
【学习策略】
由于课堂时间有限，如果学生解决问题，时间不够，可以在引导学生提出上述这些问题的基础上，让学生证明其中部分问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；当然，也可以对不同的学生提出不同的要求. 在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。
【学习过程】
一、情境导入：
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗 你能证明你的结论吗
二、新课学习：
在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。
例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图1-4,在△ABC中，AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE4
证明：∵AB=AC,
∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,:∠1=2∠ABC,∠2=1∠ACB.12B
∴∠1=∠2.在△BDC和△CEB中，
∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).BD=CE(全等三角形的对应边相等).
认真阅读课本第2—3页：
①看懂例1 的证明过程。 ②尝试完成“议一议”。
③将“议一议”的结论进行展示、交流。
④尝试探究等边三角形的性质。
三.尝试应用：
1、 求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.
2.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.
求证:AE=CD
3.如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
四、课堂小结
1. 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等.
2. 等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
3. 经历“探索---发现---猜想---证明”的过程，掌握总结探索问题的方法.
五.达标测试
一．选择题（共3小题）
1．如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（ ）
A．120° B．240° C．300° D．360°
2．如图，等边三角形ABC，P为BC上一点，且∠1=∠2，则∠3为（ ）
A．50° B．60° C．75° D．无法确定
3．如图，点C是线段AB上一点，以AC，BC为边在AB的同侧作等边三角形CBE和等边三角形ACD，比较AE和BD的大小（ ）
A．AE=BD B．AE＞BD C．AE＜BD D．不能确定
二．填空题（共3小题）
4．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC= ．
5．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则∠FAG= °．
6．如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为 ．
三．解答题（共3小题）
7．已知△ABC和△ADE是等边三角形，求证：BD=CE．
8．如图，△ABD和△CBD都是等边三角形，点E从A出发向D运动（但不与点A、D重合），同时点F以相同的速度从D出发向C运动（但不与点D、C重合）．
（1）试猜想BE、BF的大小关系，并说明理由；
（2）试说明点E从A向D运动的过程中四边形BEDF面积的变化情况，并说明理由．
9．如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图①中，点P是边BC的中点，由S△ABP+S△ACP=S△ABC得，AB．h1+AC．h2=BC．h，可得h1+h2=h又因为h3=0，所以：h1+h2+h3=h．
图②～⑤中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图②～⑤中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）说明图②所得结论为什么是正确的；
（3）说明图⑤所得结论为什么是正确的．1 等腰三角形
第3课时 等腰三角形的判定
【学习目标】
1、掌握等腰三角形的判别方法。
2、结合实例体会反证法的含义。
【学习策略】
本节课的主要任务是探索等腰三角形的判定定理，在复习性质定理的基础上，引导学生反过来思考猜想新的命题，并进行证明。这样可以发展学生的逆向思维能力，同时引入反证法的基本证明思路.
【学习过程】
一、情境导入：
问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？
问题2.我们是如何证明上述定理的？
问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？
二、新课学习：
1、自主学习：看书P8完成填空：
等腰三角形的 相等。反过来，有两个角相等的三角形是 。
定理： 是等腰三角形。
简称： 。
2、合作探究：例2 已知：如图，AB=DC，BD=CA。
求证：△AED是等腰三角形。
讨论：①证明一个三角形是等腰三角形，可以利用的方法是什么？
②怎样证明AE=DE？
③怎样证明∠ADB=∠DAC
3、自主学习P8的想一想。
小明在证明时，先假设 ，然后推导出 、基本事实、 相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。
4、自主学习P9例3，并完成证明。
尝试应用：
1.在△ABC中，AB=AC,∠B＝36°，D、E在BC边上，且AD和AE把∠BAC三等分，则图中等腰三角形的个数（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
2．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，则∠A等于（ ）
（A）30° （B）36° （C）45 ° （D）54°
3．等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（ ）
（A）35° （B）20° （C）35 °或 20°（D）无法确定
4．等腰三角形的顶角等于一个底角的3倍，则顶角的度数为 ，底角的度数为
5．等腰三角形三个内角与顶角的外角之和等于260°，则它的底角度数为
6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC， BD＝CE，M是AC的中点，求证：△DEM是等腰三角形
四、课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？
（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．
（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路
五.达标测试
一．选择题（共3小题）
1．如图，AD是△ABC的边BC上的高，下列条件中不能推出△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．∠BAD=∠ACD B．∠BAD=∠CAD C．AB+BD=AC+CD D．AB﹣BD=AC﹣CD
2．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，△ABC中∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AF交CD于E，则△CEF必为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二．填空题（共3小题）
4．等腰△ABC中，AB=AC，BC=6cm，则△ABC的周长C的取值范围是 cm．
5．如图所示，△ABC中，∠B与∠C的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AB=6cm，AC=9cm，BC=12cm，则△AMN的周长为 cm．
6．如图，点D、E分别为边AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=50°，则∠BDF= ．若AB=10cm，则FD= cm．
三．解答题（共3小题）
7．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）
8．已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=BC．
（1）求ME的长；
（2）求证：DB=DE．
9．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．
（1）想想看，你能得到什么结论？
（2）若过点O作一直线EF和边BC平行，与AB交于点E，与AC交于点F．则图（2）中有几个等腰三角形？线段EF和EB、FC之间有怎样的关系？
（3）若∠ABC≠∠ACB，其他条件不变，图（3）中是否还有等腰三角形？（2）中第二问的关系是否还存在？写出你的理由．
参考答案
达标测试答案：
一．选择题（共3小题）
1．【解析】：选A．当∠BAD=∠CAD时，∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；
则△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形；延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；
∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC；∴△AEF是等腰三角形；∴∠E=∠F；∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E；同理，得∠ACB=2∠F；∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；∵AB﹣BD=AC﹣CD①，∴AB+BD=AC+CD②；∴①+②得：，2AB=2AC；
∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形
2．【解析】：选D．∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形；
∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
3．【解析】：选B．如图，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∴∠3=∠4，∵∠5=∠4（对顶角相等），∴∠3=∠5，∴CE=CF，∴△CEF是等腰三角形．
二．填空题（共3小题）
4．【解析】：根据三角形的三边关系，知：两腰之和一定大于底边6，故周长一定大于6+6，即大于12．答案：大于12．
5．【解析】：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC．又∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC．
∴∠ABO=∠MOB．
∴MO=MB．
同理可得：NO=NC．
∴△AMN的周长为：AM+MN+AN=AM+MO+ON+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC=6+9=15cm．
答案：15．
6．【解析】：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠B=50°，由翻折的性质得，∠ADE=EDF=50°，
∴∠BDF=180°﹣∠ADE﹣EDF=180°﹣50°﹣50°=80°，
∵AB=10cm，点D是AB的中点，∴AD=AB=×10=5cm，由翻折的性质得，FD=AD=5cm．
答案：80°；5．
三．解析题（共3小题）
7．【解析】证明：①假设PB=PC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，在△ABP和△ACP中
∴△ABP≌△ACP，
∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB=PC是不可能的．②假设PB＞PC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．
∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，
∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，
∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，
∴PB＞PC是不可能的．
综上所述，得：PB＜PC．
8．【解析】（1）：∵AB=AC=5，AM平分∠BAC，∴BM=CM=BC=CE=3，∴ME=MC+CE=3+3=6；
（2）证明：∵AB=AC=5，AM平分∠BAC，∴AM⊥BC，且D为AC中点，∴DM=DC，
过D作DN⊥MC，如图，则MN=CN，
又∵BM=CE，∴BN=EN，∴D在线段BE的垂直平方线上，∴DB=DE．
9.【解析】：（1）可得结论OB=OC，△OBC为等腰三角形，
∵∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形；
（2）∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠CBO=∠EOB，
∴∠EBO=∠EOB，
∴EO=EB，
∴△EOB为等腰三角形，
同理可得FO=FC，
∴△FOC为等腰三角形，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFE，
∴AE=AF，
∴△AEF为等腰三角形，
由（1）可知OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形，
综上可知有五个等腰三角形，
∵EO=BE，OF=CF，
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（3）有等腰三角形，关系式仍然存在，
同（2）可知BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO为等腰三角形，
EF=BE+CF．
A
B
C
D
E
11 等腰三角形
第4课时 等边三角形的判定
【学习目标】
1、掌握“等边三角形判定”及“300角的直角三角形的性质”的推论，会用上述结论进行相关的计算和证明。
2、将探索、发现、猜想、证明有机结合起来，使数学思维的创造性和严谨性协调发展。
【学习策略】
本节课可以更多地让学生自主探索。但第一个定理证明中，需要分类讨论，因此注意揭示其中的分类思想；第2个定理结论比较特殊，直接从定理条件出发，学生一般难能得到这个结论. 教法可以采用讲练结合法 多媒体演示法 探究法 尝试指导法.
【学习过程】
一、情境导入：
已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形。
利用刻度尺两测量一下含300角的三角板的斜边和较短的直角边，与同伴比较结果，交流其关系。
二.新课学习：
有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？试着证明你的结论。
得出定理：有一个角是 的 三角形是等边三角形。
概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：
性质 判定的条件
等腰三角形（含等边三角形） 等边对等角 等角对等边
“三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合 有一角是60°
等边三角形三个角都相等，且每个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°。求证：BC=AB。
证明：△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°。
延长BC至D，使CD=BC，连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=90°，
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)。
∴ BC=BD=AB.
三.尝试应用：
1.等腰ΔABC中，BC边上的高AD=，试求∠BAC的度数。
2.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，求此三角形的底边长。
3.等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高CD的长。
解：∵∠ABC=∠ACB=15°,
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°,
∴ CD=12 AC=12 ×2a= a.
四、课堂小结
1、 等边三角形的判定方法:
（1）等边三角形的定义
（2）定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
（3）定理:三个角都相等的三角形是等边三角形
2、特殊的直角三角形的性质:
（1）定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（2）逆定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°.
五.达标测试
一．选择题（共3小题）
1．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A． m B．4 m C．4 m D．8 m
2．△ABC的三边长a，b，c满足关系式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定
3．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共3小题）
4．如图，点E是等边△ABC内一点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是 .
5．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为 ．
6．如图，直角三角形ABC中∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD= ．
三．解答题（共3小题）
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
8．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD．
9．如图、已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的长．
参考答案
达标测试答案：
一．选择题
1．【解析】选B．：过C作CM⊥AB于M，
则CM=h，∠CMB=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBM=30°，
∴h=CM=BC=4m.
2．【解析】选A．∵△ABC的三边长a，b，c，∴a、b、c都是正数．
由（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，得①a﹣b=0，即a=b，△ABC是等腰三角形；
②b﹣c=0，即b=c，△ABC是等腰三角形；③c﹣a=0，即c=a，△ABC是等腰三角形；
④a﹣b=0，b﹣c=0且c﹣a=0，即a=b=c，△ABC是等边三角形；
等边三角形是特殊的等腰三角形．综上所述，△ABC一定是等腰三角形．
3．【解析】：选B．作PH⊥MN于H，∵PM=PN，
∴MH=NH=MN=1，∵∠AOB=60°，
∴∠OPH=30°，
∴OH=OP=5，
∴OM=OH﹣MH=4.
二．填空题
4．【解析】：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，在△ABE≌△ACD中，
，∴△ABE≌△ACD，∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，
∴△ADE是等边三角形．
答案：等边三角形.
5．【解析】：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
答案：30°或150°或90°．
6．【解析】：Rt△ABC中，AB=4，∠A=30°；∴BC=AB=2；∠B=90°﹣∠A=60°．
Rt△BCD中，BC=2，∠BCD=90°﹣∠B=30°；∴BD=BC=1．
三．解析题（共3小题）
7．解：如图，∵∠C=90°，AB=2AC，
∴∠B=30°，
∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°．
8．证明：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
又∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠C=30°
∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30°，
∴AD=DB，
∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3AD．
9．解：过P作PF⊥OB于F，
∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=15°，
∵PD∥OA，
∴∠DPO=∠AOP=15°，
∴∠BOC=∠DPO，
∴PD=OD=4cm，
∵∠AOB=30°，PD∥OA，
∴∠BDP=30°，
∴在Rt△PDF中，PF=PD=2cm，
∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
∴PE=PF=2cm．
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