2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
【学习目标】
1、了解“直角三角形的两个锐角互余”的性质及直角三角形判定法之一”有两个角互余的三角形是直角三角形”。
2、了解勾股定理及其逆定理以及直角三角形的有关性质的证明方法
3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立
【学习策略】
教师要关注到学生在语言表述方面的个体差异，有困难的学生要给予及时的帮助和指导。使每一个学生都能经历证明的过程，为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法，体会证明的必要性.
【学习过程】
一、情境导入：
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
(2)直角三角形的三边有什么样的关系
总结：直角三角形的性质：1、 2、
含30°角的直角三角形的性质
二.新课学习：
1.直角三角形的判定：
（1）如果一个三角形两个角互余，那么着个三角形是直角三角形吗？
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 。 用字母表示为
总结：直角三角形的判定法：：
1、
2、
2.勾股定理逆命题的证明：
（1）勾股定理直角三角形字母表示为 ；
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 。 用字母表示为 。并证明这个结论。
3.命题与逆命题：
（1）我们学习了命题和定理。表示判断的句子就是 ，经过证明的真命题称为 。每个命题都是由 、 两部分组成。命题“对顶角相等”的条件是 ，结论是 。
（2）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 ，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
（3）一个命题是真命题，它的逆命题 是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明也是真命题，那么它也是一个 。其中一个定理称为另外一个定理的 。
三.尝试应用：
1、如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，请找出图中各对互余的角。
2、如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是 三角形，其面积为
3、在三角形ABC中，已知AB＝13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD＝12cm.求证：AB＝AC
4、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。
1）九（5）班有62位同学； 2）等边对等角；
3）平行四边形的两组对边相等； 4）正方形的四条边都相等；
5、如图，BA⊥DA于A，AD = 12，DC = 9，CA = 15求证：BA∥DC。
6、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，D为垂足，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点E，F，试说明：AE=AF.
四、课堂小结
1、勾股定理和逆定理的内容分别是什么？
2、什么是互逆定理，什么是互逆命题？
五.达标测试
一．选择题（共3小题）
1．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
2．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2， B．1，，2 C．6，8，12 D．3，4，5
3．如图，以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
二．填空题（共3小题）
4．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 ．
5．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架长为13m的木梯，准备把拉花挂到高12m的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 m．
6．一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，木板的面积为 ．
三．解答题（共3小题）
7．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
8．新中源陶瓷厂某车间的人字形屋架为等腰△ABC，AC=BC=13米，AB=24米．求AB边上的高CD的长度？
9．如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，将旗杆接好后，由于台风影响，旗杆再次断裂，已知旗杆的顶部落在距离旗杆底部6m处，问旗杆第二次是在离地面多少米处断裂的？
参考答案
达标测试答案：
一．选择题（共3小题）
1．【解析】选C．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．
2．【解析】选C．A、12+22=（）2，能构成直角三角形，此选项错误；
B、12+（）2=22，能构成直角三角形，此选项错误；
C、62+82≠122，不能构成直角三角形，此选项正确；
D、32+42=52，能构成直角三角形，此选项错误；
3．【解析】选B．设最大半圆半径为c，最小半圆半径为a，第三个半圆半径为b，则三角形中最长边为2c，最短边长为2a，第三边为2b；
∵较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，∴+=，化简得，a2+b2=c2，∴（2a）2+（2b）2=（2c）2，符合勾股定理的逆定理，即三角形为直角三角形．
二．填空题（共3小题）
4．【解析】：∵62+82=102，∴此三角形为直角三角形，
∴此三角形的面积为：×6×8=24．
答案：24．
5．【解析】：∵梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，
∴梯脚与墙角的距离==5m．
答案：5．
6．【解析】：如右图所示，连接AC，∵∠B=90°，AB=4，BC=3，
∴AC==5，∵DC=12，AD=13，
∴52+122=169=132，∴△ADC是直角三角形，
∴S木板=S△ADC﹣S△ABC=×DC×AC﹣AB×BC=30﹣6=24．
答案：24．
三．解析题（共3小题）
7．【解析】：∵直角△ABC的两直角边分别为6，8，
∴AB==10，∵以BC为直径的半圆的面积是 π=8π，
以AC为直径的半圆的面积是 π=，
以AB为直径的面积是 ×π=，
△ABC的面积是 AC BC=24，
∴阴影部分的面积是8π++24﹣=24，
答案：24．
8．【解析】：∵等腰三角形ABC，CD⊥AB，
∴AD=BD=AB=12m，∵AC=BC=13m，
∴CD==5m．
答：AB边上的高CD的长度是5米．
9．【解析】：∵OA=9m，OB=12m，
∴AB===12（m），
∴旗杆的长=OA+AB=9+15=24（m）．
设OC=x，则CD=24﹣x，
在Rt△OCD中，OD2+OC2=CD2，即62+x2=（24﹣x）2，解得x=（m）．
答：旗杆第二次是在离地面米处断裂的．
A
D
B
C
12 直角三角形
第2课时
【学习目标】
1、了解直角三角形全等的判定定理（HL），发展演绎推理能力；
2、采用动手动脑相结合的方式，进一步学习严密科学的证明方法；
3、通过推理、论证的训练，养成严谨的科学态度，不懈的探究精神和良好的说理方法。
【学习策略】
定理的应用方面灵活性较强，给教师和学生发挥的余地较大，结论和方法并不惟一，教师要充分利用好这个资源，可以达到一题多解，举一反三的效果，不仅让学生进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力．
【学习过程】
一、情境导入：
1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？
2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同学们相互交流。
3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。
二.新课学习：
问题1：两边分别相等且其中一边的对角分别相等的两个三角形全等吗？如果其中一边所对的角是直角呢？请证明你认为正确的结论。
问题2：（做一做）已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形。
作直角三角形：
写出已知、求作、作法。
与教材第19页小明作的直角三角形进行比较，你们俩个作直角三角形的是全等的吗？
得出定理：
（1）．“HL”定理．已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
证明：在Rt△ABC中，AC=AB2一BC2(勾股定理)．
又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' =A'C'=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)．
AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．
定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．
例题：如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角 ∠B和∠F的大小有什么关系？
三.尝试应用：
1、下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（ ）
A.两条直角边对应相等的两个直角三角形。
B.两条锐角边对应相等的两个直角三角形。
C.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形。
D.有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。
2、下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ）
①8、15、17 ②4、5、6、 ③7.5、4、8.5 ④ 24、25、7 ⑤ 5、8、10
A.①②④ B.②④⑤ C.①③⑤ D.①③④
3、下列命题中，假命题是（ ）
A.三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形。
B.三个角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形。
C.三边长之比为的三角形是直角三角形。
D.三边长之比为的三角形是直角三角形。
四、课堂小结
1.直角三角形全等的判定定理:
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).
公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.
公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.
推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.
2.直角三角形全等的判定条件可归纳为:
一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两边对应相等的两个直角三角形全等;
命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等
五.达标测试
一．选择题（共3小题）
1．要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（ ）
①有两条直角边对应相等； ②有两个锐角对应相等； ③有斜边和一条直角边对应相等； ④有一条直角边和一个锐角相等； ⑤有斜边和一个锐角对应相等； ⑥有两条边相等．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
2．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°
3．如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD、DF，则图中全等的直角三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
二．填空题（共3小题）
4．如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为 ．
5．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ．
6．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，则图中的全等三角形有 ．
三．解答题（共3小题）
7．如图：在△ABC，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．
8．如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD延长线及AD的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AD，点D是AC的中点，将一块等腰直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
参考答案
达标测试答案：
一．选择题（共3小题）
1．【解析】：选D．①有两条直角边对应相等，可以利用SAS证明全等，正确；
②有两个锐角对应相等，不能利用AAA证明全等，错误；
③有斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明全等，正确；
④有一条直角边和一个锐角相等，不一定可以利用AAS证明全等，错误；
⑤有斜边和一个锐角对应相等，可以利用AAS证明全等，正确；
⑥有两条边相等，不一定可以利用HL或SAS证明全等，错误；
2．【解析】选C．A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，A选项不符合题意；B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，B选项不符合题意；C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，C选项符合题意；
D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，D选项不符合题意；
3．【解析】选B． E是CD中点，DE=EC，矩形ABCD，可得AD=BC，AB=CD，
∠DCB=∠DCF=90°，AD∥BF，∠DAE=∠EFC，图中全等的直角三角形有：∠DEA=∠CEF，∠DAE=∠EFC，DE=EC，在△AED和△FEC中
则△AED≌△FEC（AAS），
∴CF=AD=BC，
在△BDC和△FDC中
△BDC≌△FDC（SAS），
同理，△BDC ≌△DBA，即，△BDC≌△FDC≌△DBA，
△AED≌△FEC，△BDC≌△FDC≌△DBA，共4对．
二．填空题（共3小题）
4．【解析】：∵AB⊥CF，AB∥DE，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形．
∵CE=FB，CE为公共部分，
∴CB=EF，
又∵AC=DF，
∴由HL定理可判定△ABC≌△DEF．
答案：HL．
5．【解析】：还需添加条件AB=AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
答案：AB=AC．
6．【解析】：图中的全等三角形有：△AOE≌△COF，Rt△ABE≌Rt△CDF，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB；
理由如下：∵平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，
∴OA=OC，在△AOE与△COF中
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF，在Rt△ABE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），
进而可得，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB．
答案：△AOE≌△COF，Rt△ABE≌Rt△CDF，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB
三．解析题（共3小题）
7．【解析】证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AE=AD，
在Rt△AEF和Rt△ADF中，
∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），
∴EF=DF，
∴AF平分∠BAC．
8．【解析】证明：∵D是BC边上的中点，∴BD=CD，
又∵分别过点B、C作AD延长线及AD的垂线BE、CF，
∴CF∥BE，∴∠E=∠CFD，∠DBE=∠FCD
∴△BDE≌△CDF，
∴CF=BE．
9．【解析】证明：∵AB=AD，点D是AC的中点，∴AB=CD，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE，∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠EAB=∠BAC+∠EAD=135°，∠EDC=180°﹣∠ADE=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
在△EAB和△EDC中，
，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴∠AEB=∠DEC，EB=EC，
∵∠AEB+∠BED=90°，
∴∠DEC+∠BED=90°，
∴∠BEC=90°，
即BE⊥EC．
1
