3 线段的垂直平分线
第1课时 垂直平分线的性质定理与判定定理
【学习目标】
1、能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理。
2、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力。
【学习策略】
老师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学压想方法的强化和渗透．
【学习过程】
一、情境导入：
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的
距离相等，码头应建在什么位置
其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．
“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗
二.新课学习：
线段垂直平分线的判定定理
1、把定理“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写成“如果…，那么…”的形式。
2、写出上面定理的逆命题，它是真命题吗？如果是请证明它。
3、线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线的判定定理：
三.尝试应用：
1、如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC．
2、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2，求AB与BC的长.
3、如图，Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠BAC=600,DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE，试探究图中相等的线段。
四、课堂小结
1．线段垂直平分线的性质。 2．线段平分线的判定。
五.达标测试
一．选择题（共3小题）
1．如图所示的仪器中，OD=OE，CD=CE．小州把这个仪器往直线l上一放，使点D、E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，他这样判断的理由是（ ）
A．到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
2.如图，△ABC中，AB的线段的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若AC=5cm,BC=4cm,则△ADE的周长为（ ）。
A．9cm B.8cm C.7cm D.6cm
XXK]
3．如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，连接AC、BD、DC，若∠A=35°，∠ABD=44°，则∠DCA的度数为（ ）
A．10° B．18° C．15° D．9°
二．填空题（共3小题）
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为 ．
5．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC= °．
6．如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．则△AEG的周长为 ．
三．解答题（共2小题）
7．如图，若AB是CD的垂直平分线，E，F是AC，AD的中点，连结BE，BF．
（1）请写出图中任意两对相等线段： ， ；
证明：BE=BF．
8.如图在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E.求证：
（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF∥AC.
参考答案
达标测试答案：
一．选择题（共3小题）
1．【解析】选C．∵OD=OE，∴O点在线段DE的垂直平分线上，
∵CD=CE，∴C点在线段DE的垂直平分线上，
∴CO是线段DE的垂直平分线上，
∴OC⊥l．
2．【解析】选A．根据题意得DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴AE+AC+EC=AC+BC=4+5=9(cm)，
∴△AEC的周长为9cm．
3．【解析】选D．连接AD，∵点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，
∴DA=DB，DB=DC，∴∠DAB=∠ABD=44°，DA=DC，
∴∠DCA=∠DAC=∠DAB﹣∠CAB=9°，
二．填空题（共3小题）
4．【解析】：设CE=x，连接AE，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE=BC+CE=3+x，
∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，
解得x=．
答案：．
5．【解析】：连接OA，
∵∠BAC=82°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣82°=98°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴OB=OA，OC=OA，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，
∴∠OBC+∠OCB=98°﹣（∠OBA+∠OCA）=16°，
∴∠OBC=8°，
答案：8．
6．【解析】：如图．∵DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，
∴BE=AE，AG=GC，∴BE+GC=AE+AG，
∴C△AEG=AE+AG+EG，=BE+GC+EG，
=BC，又∵BC=7，∴C△AEG=7．
答案：7．
三．解析题（共2小题）
7．【解析】：（1）∵AB是CD的垂直平分线，
∴AC=AD，BC=BD，
答案：AC=AD；BC=BD；
（2）∵AC=AD，E，F是AC，AD的中点，
∴AE=AF，
∵AC=AD，AB⊥CD，
∴∠CAB=∠DAB，
在△ACB和△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB，
∴BE=BF．
【解析】（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∵AD是∠BAC平分线，
∴∠FAD=∠CAD，
∴∠FDA=∠CAD，
∴DF∥AC.
13 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线
【学习目标】
1、能够证明三角形三边垂直平分线交于一点。
2、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知底边及底边上的高作出等腰三角形。
3、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力。
【学习策略】
从尺规作图，逻辑推理多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。老师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学压想方法的强化和渗透．
【学习过程】
知识回顾
1、线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 。
2、线段垂直平分线的判定定理 到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的 上。
二.新课学习：
1.三角形三条边的垂直平分线交于一点 ，并且这一点到三个顶点的距离相等.
证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点 ，并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知：
求证：
证明：
2.已知三角形的一边及这边上的高做三角形
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗 能作几个
3、已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形．
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法：
4.用尺规作线段的垂直平分线
已知：线段
求作：线段AB的垂直平分线.
作法：
三.尝试应用：
1、如图，有A、B、C三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置.
（要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）
2、已知：线段a和h（如图）
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h。
作法：
四、课堂小结
与线段平分线有关的尺规作图.
五.达标测试
一．选择题（共2小题）
1．下列命题：①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④过线段上任一点可以作这条线段的中垂线；⑤点P在线段AB外且PA=PB，过点P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线.真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
二．解答题（共2小题）
3．电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
4．如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内的一点，且OB=OC。求证：AO⊥BC.
参考答案
达标测试答案：
一．选择题（共2小题）
1．【解析】选A．∵②③④⑤说法错误，①说法正确，∴真命题只有一个.
2．【解析】选D．∵CD=AC，∠A=50°，∴∠ADC=∠A=50°，
根据题意得：MN是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，∴∠BCD=∠B，
∴∠B=∠ADC=25°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°．
二．解析题（共2小题）
3．【解析】：设两条公路相交于O点．P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即P、P′．
【解析】：延长AO交BC于D，
在△ABO和△ACO中,AB=AC,OB=OC,AO=AO，
∴△ABO≌△ACO(SSS)，
∴∠BAO=∠CAO，
即∠BAD=∠CAD(全等三角形的对应角相等)，
∴AD⊥BC,
即AO⊥BC(等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合).
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