4角平分线
第1课时 角平分线的性质定理与判定定理
【学习目标】
1．角平分线的性质定理的证明；角平分线的判定定理的证明。
2、进一步发展自己的推理证明意识和能力，解决几何中的问题。
【学习策略】
采用“实验——猜想——验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．
【学习过程】
一、情境导入：
1、问题：（1）还记得角平分线的概念吗？
（2）还记得角平分线上的点有什么性质吗？
（3）以前我们用折纸的方法得到了这个结论，我们能进行严格意义的证明吗？
2.先利用10分钟阅读并思考P28—P29教材内容，先证明角平分线的性质定理的证明，然后写出它的逆命题，并尝试着证明，清楚用尺规作已知角的角平分线的方法及证明。
二.新课学习：
证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。（画图，写出已知、求证）
已知： .
求证：
证明：
定理：
几何语言：
逆命题：
已知：
求证：
证明：
由此得出定理：
三.尝试应用：
1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O
（1）如果∠1 =∠2，求证：OB=OC；
（2）如果，OB=OC求证：∠1 =∠2.
2、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
3.合作探究：如图，在△ABC中 ，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
（1）已知CD=cm，求AB的长；
（2）求证：AB=AC+CD。
四、课堂小结
1、角平分线的性质定理 ：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
2、角平分线的判定定理 ：在一个角的内部, 且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
五.达标测试
一．选择题（共3小题）
1．如图，已知点P到BE，BD，AC的距离相等，则下列说法不正确的是（ ）
A．P在∠B的角平分线上 B．P在∠ACE的角平分线上
C．P在∠DAC的角平分线上 D．P到A，B，C三点的距离相等
2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，下列结论错误的是（ ）
A．BD+DE=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．AC+DE＞AD
3．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD是角平分线，DE⊥AB，E为垂足，若△ADE的周长等于10cm，则AB的长是（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．20cm
二．填空题（共2小题）
4．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，若∠A=50°，则∠BDC= 度．
5．如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于 ．
三．解答题（共3小题）
6．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．
7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
8．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．
参考答案
达标测试答案：
一．选择题（共3小题）
1．【解析】选D．利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理可知A，B，C都对，只有D不对．
2．【解析】选B．A、∵CD=DE，∴BD+DE=BC，所以A是正确结论；B、缺少条件，不能得出，所以B是错误结论；
C、∴AC=AE又有AD=AD，可证△AED≌△ACD，∴∠ADE=∠ADC即AD平分∠EDC；
所以C是正确结论；D、在△ACD中，CD+AC＞AD，
所以ED+AC＞AD．所以D是正确结论．
3．【解析】：选C．∵BD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
易得△BCD≌△BED，∴CD=DE，BE=BC，
∴△ADE的周长=DE+AE+AD=CD+AD+AE=AC+AE=BC+AE=BE+EA=AB=10cm．
二．填空题（共2小题）
4．【解析】：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=130°．∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，∴∠DB=∠DCB=65°，∴∠BDC=115°．答案：115°
5．【解析】：过点O作FG⊥AB，∵AB∥CD，∴∠BFG+∠FGD=180°，∵∠BFG=90°，
∴∠FGD=90°，∴FG⊥CD，∴FG就是AB与CD之间的距离．
∵O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，
∴OE=OF=OG（角平分线上的点，到角两边距离相等），
∴AB与CD之间的距离等于2 OE=4．答案：4．
三．解析题（共3小题）
6．【解析】：方法一：连接BC，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠CFB=∠BEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BCF和△CBE中
∵
∴△BCF≌△CBE（AAS），
∴BF=CE，
在△BFD和△CED中
∵，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DF=DE，
∴AD平分∠BAC．
7．【解析】：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，
∴△ADB的面积为S△ADB=AB DE=×10×3=15．
8．【解析】解：分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，
∵AC为∠BAD的角平分线，∴CG=CH，
∵AB=AD，
∴△ABC面积=△ACD面积，
又∵AE=DF，
∴△AEC面积=△CDF面积，
∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积，
△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积，
∴△BCE面积=△ACF面积，
∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，
四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，
∴四边形AECF面积=△ABC面积，
又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，
又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积，
∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半．
14 角平分线
第2课时 三角形三个内角的角平分线
【学习目标】
1．证明三角形三个内角的平分线的性质定理；
2.综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题
【学习策略】
采用“实验——猜想——验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．
【学习过程】
一、知识回顾：
三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？
1、角平分线的性质定理：
2、角平分线的判定定理：
二.新课学习：
作三角形的三个内角的角平分线，你发现三条角平分线位置有什么关系？你能证明证明这个结论吗？
已知：
求证：
证明：
（本题基本思路提示）：两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.
（2）问题：在上面的证明过程中除了证明三角形的三条角平分线相交于一点外，还发现这个点到三边的距离关系怎样？
归纳：定理:
证明此定理.
已知：（自己动手作出图形）
求证：
证明：
证明：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三.尝试应用：
1、已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，
求证：P点在∠BAC的角平分线上。
2、已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD
求证：BE=BF.
四、课堂小结
三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．
五．达标测试
一．选择题（共1小题）
1.一到三角形三边距离相等的点是（ ）
A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条角平分线的交点 D.不能确定
二．填空题（共3小题）
2．在△ABC中，∠C=900, ∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D到AB的距离为 .
3．如图，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD PE PF．
三．解答题（共3小题）
4．如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是Rt△ABC的角平分线.求证：BD＝2CD.
5.如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.求证：
（1）OC＝OD；
（2）OP是CD的垂直平分线.
[
6.如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且BO=CO．求证：O在∠BAC的角平分线上．
参考答案
达标测试答案：
一．选择题（共1小题）
1．C．
二．填空题（共2小题）
2．9cm
3．【解析】：∵点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD=PE，同理可得PD=PF，∴PD=PE=PF．答案：=，=．
三．解析题（共3小题）
4.证明：∵∠C=90°,∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
又∵AD是Rt△ABC的角平分线,
∴∠B =∠BAD=∠DAC=30°，
即BD=AD,CD=1/2AD（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半），
∴BD=2CD.
5．证明：（1）∵P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB，
∴∠POC=∠POD，
∵PO=PO，∴△PCO≌△PDO(AAS)，
∴OC=OD，∠CPO=∠DPO，PC=PD；
(2)∵∠CPO=∠DPO，PC=PD，
∴△PCD是等腰三角形，
∴PO⊥CD,PO平分CD（等腰三角形三线合一），
∴OP是CD的垂直平分线.
6．证明： ∵CE相交BD于O，
∴∠BOE=∠COD，
又∵BD⊥AC,CE⊥AB，∴∠B=∠C，
∵BO=CO，∴△COD≌△BOE，
∴DO=EO，
依题BD⊥AC,CE⊥AB，
由角平分线定理的逆定理得O在∠BAC的角平分线上.
A
B
C
4
