数学：19.1-19.2 比例线段和黄金分割 学习指导（北京课改版九年级上）

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比例线段与黄金分割学习指导
在日常生产和生活中，人们经常要接触到比与比例．在本单元中，我们将系统地学习“线段的比”和“黄金分割”这两部分内容，它们既是本章内容中的一个重点，也是以后继续学习相关知识的基础．
一．知识结构
二．学习要点
1．经历现实生活中两条线段的比，了解“比”与“比例尺”的概念；
2．通过对实例的研究，初步体验“两条线段的比”与“比例线段”的相互关系；
3．“黄金分割”是《课程标准》重点提出的内容．学习“黄金分割”不仅实现了新课程对比例线段的基本要求，更体现了数学的文化价值和应用价值，“黄金分割”也是建筑、艺术等学科之间必然联系的纽带．
4．熟练掌握下列性质：
（1）如果，那么；
（2）如果（a、b、c、d都不等于0），那么；
（3）如果，那么；
（4）如果，那么．
（5）如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么．
三．边读边做
1．如果选用 量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么m∶n就叫做 比；由此可知，两条线段的长度比与所采用的 没有关系．
2．在地图或工程图纸上， 长度与 长度的比通常称为比例尺．
3．四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a、b、c、d叫做 ，简称 ．
4．如果点C是线段AB上的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC∶AB= ；有一种矩形，当宽与长的比等于黄金比时，这个矩形叫做黄金矩形，请你设计一个黄金矩形，使这个黄金矩形的长等于10cm，那么它的宽等于 ．
四．解题指导
例1．如图13-1，是南京路上的沙滩排球场地，它的长26米、宽18米，用塑料布垫底、木板铺盖的保护下，堆积了厚约40厘米的中沙约300吨．露天赛场将为步行街每日上百万人次免费观看比赛提供机会，这不但为都市广场文化注入了新颖时尚的元素，也为沙滩排球的发展提供了绝佳的宣传机会．求（1）沙滩排球场地的长与宽之比；（2）沙滩排球场地的宽与对角线长度之比．
解：（1）∵沙滩排球场地的长26米、宽18米，
∴；
（2）∵沙滩排球场地的长26米、宽18米，
∴对角线长度==（米），
∴．
答：沙滩排球场地的长与宽之比为，沙滩排球场地的宽与对角线长度之比为．
例2．1米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影子长0.8米，此时电视发射塔在阳光下的影子长100米，求这个电视塔的高度．
分析：在同一时刻下，直立在地面上的物体高度与该物体在阳光下的影子长度之比都相等．所以，根据物体高度与它在阳光下的影子长度之比相等，便可利用比例线段求得电视塔的高度．
解：根据题意，得
，即，
∴电视塔高度=米．
答：电视塔的高度是125（米）．
注意：“线段的比”与“比例线段”是两个不同的概念，解题时必须注意其细微的差别．例1中“长与宽之比”和“宽与对角线之比”都是指两条线段的比；例2是指两种物体高度与它们影子长度对应成比例．
例3．已知5a=4b，求：
（1）； （2）； （3）．
分析：由5a=4b，容易想到，再利用“如果，那么”便可使问题顺利获解．
解：由5a=4b，得．
∴（1）……①； （2）；……②；
（3）①÷②=．
注意：1．“如果，那么”是一个十分重要的性质，反指“如果，那么”亦成立．所以解题时可以根据需要，相互转化．
2．本例还可以“设元”求解（设a=4k，则b=5k），同学们不妨一试．
例4．已知 ，求k的值．
解：∵，且，
∴，即．
想一想：若将上例中“”这个条件去掉，会发生什么变化？
注意：“如果，那么”中的这个条件常常被某些同学忽视．如果去掉这个条件，就必须采用分类讨论进行解决．
①当时，上例已作出解答；②当时，有，此时；综上所述，如果去掉这个条件，k=2或-1．
例5．如图13-2，线段AB的长是为3厘米，求作以AB为长的黄金矩形．
分析：由于宽与长之比等于（或0.618）的矩形叫做黄金矩形，所以只要先求出矩形的宽即可．
解：根据题意得 ，矩形的宽=3×0.618≈1.9厘米．以3厘米为长，1.9厘米为宽作矩形ABCD（如图13-3），则矩形ABCD就是所示所求的黄金矩形．
注意：1．由于黄金矩形的宽与长之比等于黄金比（0.618），所以只要设法求出线段AB的黄金分割点，便可使问题顺利获解．
2．如果将题目中的“以AB为长”改为“以AB为一边”，那么解题时又要从两方面进行考虑（即①AB是黄金矩形的长；②AB是黄金矩形的宽）．
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