河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下期五一测试
数学答案05.02
1．B【详解】由题意知：，所以，故，令得所有项系数之和为.
2．B【详解】令，解得，故切点为或，
而，所以或.
3．A【详解】解：设平面的法向量为，，，则，
，令可得，，即，2，，
，
设与平面所成角为，则，
于是到平面的距离为，即四棱锥的高为．
4．A【详解】，该二项式的通项公式为：，
当时，常数项为；
当时，二项式的通项公式为，
令，
当时，，当时，，
所以常数项为；
综上常数项为.
5．C【详解】由题意可得：，
所以.
6．B【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种
所以每位同学的不同选修方式有种，
7．C【详解】设分别是的中点，连接，
设分别是正三角形和正三角形的中心，
则，且，
由于平面平面，所以，
由于平面，
所以平面，由于平面，
所以，所以是棱台的侧面与底面所成的二面角的平面角，
所以，过作，垂足为，则，
所以，所以三棱台的表面积为.
8．【详解】解：，
①当为偶数时，，，，
，，，
.
②当为奇数时，，，，
，，…，，，
9．B【详解】∵，
∴，
设切点为，则，切线斜率，
∴切线方程为，
∵切线过原点，
∴，整理得：
∵存在过坐标原点的切线，
∴，解得或，
∴实数的取值范围是.
10．【详解】令，
则恒成立，即在上单调递增，且，
故，取，则，即，
可得，即；
令，
则恒成立，即在上单调递减，且，
故，取，则，即，
可得，即；
综上可得：的大小关系为
11【详解】对B，，B正确；
对A，，，A错误；
对C，，，C正确；
对D，
，D正确.故选：BCD.
12．ACD【详解】，令，
得，故A正确
，
，令得，得，
故在上为减函数，在上为增函数．
当时，；当时，且
的大致图象为
只有一个零点，故B错．
记，则在上为减函数，
对恒成立
对恒成立
．
故C正确．
，
，设，
只有一个极值点， 只有一个解，即直线与的图象只有一个交点．
，
在上为增函数，令，得，
当时，；当时，．
在上为减函数，在上为增函数，
，
时，，即，且时，，又时，，因此的大致图象如下（不含原点）：
直线与它只有一个交点，则．故D正确．故选：ACD．
13．ABD【详解】由题意，第一次得到数列：1，3，2，此时；
第二次得到数列：1，4，3，5，2，此时；
第三次得到数列：1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时；
第四次得到数列：1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时.
所以，故A对；
因为.
故，又，
所以是以为首项，以3为公比的等比数列，
所以，故C错误；
所以，故D正确；
设有个数相加，有个数相加，有个数相加，……， 有个数相加，
所以，，，……，，
各式相加得：，
所以，所以，故B正确.故选：ABD
14．ACD【详解】
因为为正方形，连接与，相交于点，连接，则，，两两垂直，
故以为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，为的中点，则.
当为的中点时， ，，，
设异面直线与所成角为，，，故，A正确；
设为的中点，为的中点，则∥，平面，平面，
则∥平面， 又∥平面，又，设，
故平面∥平面，平面平面，
平面平面，则∥，则为的中点，
点在四边形内（包含边界）运动，则，
点的轨迹是过点与平行的线段，长度为4，B不正确；
当时，设，，，
，得，即，
即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如下图），到的距离为，弧上的点到的距离最小值为，
因为，所以存在点到的距离为，C正确；
由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积，
设圆柱底面半径为，高为，为的中点，为的中点, ，，
根据相似，得，即，，
则圆柱体积，
设，求导得，
令得，或，因为，所以舍去，即，
当时，，当时，，
即时有极大值也是最大值，有最大值，
，故
所以存在一个体积为的圆柱体可整体放入内，D正确.故选：ACD.
15．5【详解】由题意可知：，且，解得，
所以，所以,故答案为：5
16．330【详解】展开式中含有项的系数为
，故答案为：330.
17．【详解】根据题意，存在，使得成立，
即成立，
令，，
则，当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，，
，所以，故，
则，
，故.故答案为：.
18．【详解】（1）对式子两边求导得：
，
令可得
（2）①令可得，
令可得，
所以
②令可得，，
所以．
19．【详解】（1）因为，当时，
所以，即，
所以，
所以，即是常数数列，又，所以，则.
（2）因为，
当为偶数时，
；
当为奇数时，
；
综上可得.
20．【详解】（1）在中，，，，
由余弦定理得，
所以，所以，
在中，，，，
所以，所以，
又因为，、平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）可知，，，两两互相垂直，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设，又，，
则，
因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，
即，解得，则.
（3）设，又，，
则，
易得平面的法向量，
因为平面，所以，
即，解得，此时.
21【详解】（1）解：因为定义域为，
所以，因为函数的两个极值点，
有2个不同的根，
令，则 有2个不同的正根，所以且，解得；
（2）解：由（1）知，当且仅当时有两个极值且，因为，所以，
所以，
又，，，则，
设，
则.
函数在上单调递减，
，
.
22．【详解】（1）易知焦点，设过焦点的直线的方程为；
联立直线与抛物线方程可得，
易知，
可得，
解得，
所以抛物线的方程为
（2）由（1）可得，所以直线的方程为，如下图所示：
联立抛物线方程可得，此时；
易知，直线的方程为，可得；
同理可得；
所以
；
所以为定值；
（3）设，，
联立可得，则；
则，
由可得，
设的重心为，
而，即；
由重心恰在抛物线上可得，整理可得；
即；
联立可得，
又，则，
又，且；
当时，，不合题意；
当时，可得或，经检验不合题意，所以；
又易知时，且，
因此.河南省信阳高级中学2023-2024学年高二下期五一测试
数学试题05.02
一、单选题
1．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为
A． B． C． D．
2．直线是曲线的一条切线，则实数b=
A．-1或1 B．-1或3 C．-1 D．3
3．四棱锥中，，则这个四棱锥的高为
A． B． C． D．
4．展开式中的常数项为
A．70 B． C．16 D．64
5．已知事件A，B满足，则
A． B． C． D．
6．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有
A．种 B．种 C．种 D．种
7．已知正三棱台的上 下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的表面积为
A． B． C． D．
8．已知数列满足，为的前项和，则
A． B． C． D．
9．已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是
A．
C．
B．
D．
10．已知，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知，.若随机事件A，B相互独立，则
A． B． C． D．
12．已知，，是的导函数，则下列结论正确的是
A．在上单调递增．
B．在上两个零点
C．当 时，恒成立，则
D．若函数只有一个极值点，则实数
13．在数列的相邻两项之间插入此两项的和形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．将数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列，记，数列的前项和为，则
A． B．
C． D．
14．如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则
A．当为的中点时，异面直线与所成角为
B．当∥平面时，点的轨迹长度为
C．当时，点到的距离可能为
D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入内
三、填空题
15．已知两个离散型随机变量，满足的分布列如下：
当时， .
0 1 2
a
16．在的展开式中，含项的系数为 ．（用数字作答）
17．设函数，，若存在，使得成立，则实数的最大值为 ．
四、解答题
18．设．
(1)求的值；（用数字作答）
(2)若，试求下列的值．
①（用数字作答）
②．（用数字作答）
19．已知数列的前项和满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
20．如图1，是边长为3的等边三角形，点，分别在线段，上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2，
(1)求证：平面平面；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求；
(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21．已知函数有两个极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数的两个极值点分别为，且，证明：.
22．已知抛物线，，过焦点的直线交抛物线于，两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若线段交轴于，两点，判断是否是定值，若是，求出该值，否则说明理由．
(3)若直线交抛物线于C，D两点，为弦的中点，，是否存在整数，使得的重心恰在抛物线上．若存在，求出满足条件的所有的值，否则说明理由．
