河南省信阳高级中学2023-2024学年高一下期测试（五）
数学试题
一、选择题
1.已知，则
A.3 B.1 C. D.i
2.在中，角所对的边分别为，，，若，，，则
A. B.1 C.2 D.
3.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题：
①；
③；
②；
④.
其中正确命题的个数有
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为
A. B. C. D.
5.计算
A.4 B. C. D.2
6.已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为
A. B. C. D.
7.某圆台的侧面展开是一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为
A. B. C. D.
8.辅助角公式是我国清代数学家李普兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为.已知函数（其中，，）.若，，则下列结论正确的是
A.
B.的图象关于直线对称
C.在上单调递增
D.过点的直线与的图象一定有公共点
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量是三个非零向量，则下列结论正确的有
A.若，则
B.若，，则
C.的充要条件是存在唯一的，使得
D.若，则
10.在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是
A.正四面体的体积为
B.正四面体外接球的表面积为
C.正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
D.正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为
11.已知的内角、、所对的边分别为、、，下列说法正确的是
A.若，则是锐角三角形
B.若，则
C.若，则是钝角三角形
D.若，，，则只有一解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，若，则 .
13.已知正四棱锥的底面边长为2，高为4，它的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 .
14.在中，角，，所对的边分别为，，，，若表示的面积，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知向量，.
（1）求；
（2）求向量与向量的夹角的余弦值，并求向量在向量上的投影向量（方向上的单位向量用表示）；
（3）若，且，求向量与向量的夹角.
16.如图，在中，，E是AD的中点，设，.
（1）试用，表示，；
（2）若，与的夹角为，求.
17.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，且.
（1）求角C；
（2）若，的面积为，求的周长.
18.法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在中，内角A，B，C的对边分别为，且.以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的面积.
19.已知球内接正四棱锥的高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.河南省信阳高级中学2023-2024学年高一下期测试（五）
数学答案
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