11.5.2 可化为一元一次方程的分式方程及其应用 教案（北京课改版八年级上）

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§11.5.2可化为一元一次方程的分式方程的应用
教学目标：使学生掌握合理设置未知数，确立等量关系，列出方程的一般步骤；
培养学生应用多种方法分析数量关系，从多种角度思考问题的意识.
能力目标：使学生进一步理解方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，从而提高学生分析问题和解决问题的能力，提高学生应用数学的意识.
情感目标：结合实际问题的探究和学习，使学生经历“实际问题——数学问题——解决、应用与拓展”的过程，体验学习的乐趣和数学的价值。通过研究、讨论、交流，提高学生的学习能力与人合作、交流的能力.
教学重点：合理设置未知数，确立等量关系，列出方程.
教学难点：将实际问题转化为数学问题.
教学建议：在讲解时，应加强分析，采用多种方式引导学生思考问题，启发学生把方程列出.
教学方法：小组讨论与自主探索相结合.
教学过程
(1) 提出问题，导入新课
在以前我们学习解应用题时，总结了解应用题的一般步骤，你知道是什么？
[教学处理]：让学生思考后回答，复习解应用题的一般步骤：[板书]
（1） 认真审题 （2）合理设未知数 （3）找出相等关系，列方程
（4）解方程并检验 （5）写答案
(2) 精选讲例，探求新知
根据这一般步骤分析下面的一道应用题：
例：远大中学组织学生到离学校15千米的郊区进行社会调查，一部分同学骑自行车前往，另一部分同学在骑自行车的同学出发40分钟后，乘汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的与乘汽车的同学同时到达目的地。已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度.
[教学处理]: 1.分小组进行合作探索，充分发挥小组团结合作的精神.
2.教师在这个过程中下面巡视，为小组的分析过程进行一定的指导.
3.每一个小组汇报自己解决问题的方法.
通过全班性的讨论交流,师生共同归纳总结此题的不同解决方案.
比如:方案1：（利用列表进行分析）[学生板演]
解决行程的问题，应关注研究速度、时间、路程三个物理量.它们之间的关系是：速度×时间=路程
设自行车的速度为x千米/时，则汽车的速度为3x千米/时。
路程（千米） 速度（千米/时） 时间（小时）
骑自行车 15 x
乘汽车 15 3x
（用速度来设未知数，就用时间来列方程）
根据题意得： = －
去分母得： 15=45－2x
解方程得： x=15
经检验，x=15是所列方程的解，并且符合实际问题的意义。
答：[略]
说明：强调与以往解应用题的不同就是要进行双重检验。
方案2：（列相等关系式） [学生板演]
通过分析得到：1、汽车速度是自行车速度的3倍
相等关系1：汽车速度=3×自行车速度
2、乘汽车出发的比骑自行车的晚出发40分钟，但同时到达目的地。
相等关系2：乘汽车的时间=骑自行车的时间－
设自行车用的时间为x小时，汽车所用的时间为(x－)小时
（用时间来设未知数，就用速度来列方程）
根据题意得：=3· 解：（略）
方案3：（画图进行分析）[学生板演]
设汽车所用的时间x小时，自行车所用的时间是(x+)小时
根据题意得：=3 · 解：（略）
[小结] 学生可能还有其它不同的想法，但只要是合理的教师就应当鼓励与肯定.对于学生不同的解决方案，教师要引导学生进行对比，明确它们的优劣，提高选择解题方案的能力.比如：用列表法不易混淆不同量，用画图法易观察各部分的关系等.
(三)变题训练，激发学生思维
（只解设列方程，求解课下完成）
将例题中改变两处：
“另一部分同学在骑自行车的同学出发40分钟后”变为“另一部分同学在骑自行车的同学出发25分钟后”
“结果骑自行车的与乘汽车的同学同时到达目的地.”变为“结果乘汽车的同学反而先到15分钟”
其他不变.
[教学处理]：1.让学生自己独立完成，任意选方法.
2.教师到下面进行巡视，反馈学生的情况.
3.这道题是对上面一道题的变形，实际上本质没有发生变化，骑自行车与乘汽车的时间差怎么算，这个地方可借助画图进行演示，帮助学生进行理解，我们可以将其转化到简单的问题中进行解决.
4.提出问题：“除此以外，还可以进行怎样的改变也可以编写并解出可化为一元一次方程的分式方程的应用题.”留给有能力的同学课下完成，在下一节课反馈.
解：设自行车的速度为x千米/时，汽车的速度是3x千米/时(学生板演)
根据题意，得 = －－ 解：（略）
说明：通过学生亲身经历的活动，引出数学问题，进一步激发学生学习解应用题的兴趣
(四)课堂练习，巩固新知识
为了缓解交通拥挤现象，某市决定修一条轻轨铁路，为使工程提前2个月完成，在保证质量的前提下，必须把工程效率提高10%，问原计划完成这项工程用多少个月？
[教学处理] 让学生自己独立完成，任意选方法.
通过教师引导，使学生认识到，虽然这是一道工程问题，涉及到：工作效率、工作时间、工作总量.它们之间的关系是：工作效率 ×工作时间 = 工作总量.这与行程问题有相似之处.因此，我们也可以通过列表清楚地看到它们的关系.除此以外，还可以让学生总结与之类似的其它关系.例如：单价×数量=总价 等都可以用列表法进行分析.
设原计划完成这项工程用x 个月，
工作时间 工作效率 工作总量
原计划 x 1
实际 x－2 1
用工作时间来设未知数，就要用工作效率来列方程
已知 实际的工作效率要比原计划的工作效率提高10%，所以
(1+10%) ·= 解：（略）
说明：这道题训练的目的，是使学生进一步掌握分析应用题的方法，特别是列表法在辅助列方程时的作用，有利于学生突破难点.
(五) 拓展知识 （机动处理，可安排课后作业）
小组合作 ，交流 编题
要求：联系实际，编写并解出可化为一元一次方程的分式方程的应用题.
说明：此题设置的目的在于使学生经历从“实际问题——数学问题——解决、应用与拓展”的过程，从中体验学习的乐趣与数学的价值.
课堂小结：
1、本节课我们学习了可化为一元一次方程的分式方程的应用，请同学们谈谈你有了哪些收获或感想？
2、通过今天的学习，对解应用题的每一个环节你有哪些认识？
课后作业：1、完成书上p27的练习
2、总结做应用题时每一个环节要达到目标或要注意的问题
3、请你改编例题的内容，使其仍为分式方程的应用.
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