参考答案：
1．C
【分析】利用复数的乘法运算及复数模的计算得解.
【详解】依题意，复数，所以.
故选：C
2．B
【分析】利用单位向量的定义，即可判断出选项ABD的正误；选项C，利用共线向量的定义，即可判断出选项C的正误.
【详解】对于选项A，向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定，
故向量和不一定相同，故选项A错误；
对于选项B，单位向量的长度相同均为，所以，故选项B正确；
对于选项C，任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误；
对于选项D，因为所有单位向量的模为，且共起点，
所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D错误；
故选：B.
3．C
【分析】利用向量的平行四边形法则可知点在的中线上，且，从而可得，根据即可求解.
【详解】
因为，
所以，即，
取中点为点，
则，即，
所以在中线上，且
过，分别作边上的高，垂足为，
则，
所以，，
所以，
所以，
故选：C.
4．C
【分析】由题意得四边形与四边形相似，求出相似比即可得解.
【详解】由题意可知，四边形与四边形相似，
且，
所以四边形的面积为．
故选：C.
5．B
【分析】根据异面直线的定义逐项判断.
【详解】根据已知，可得，而，所以，A错误；
平面，平面，，
所以与是异面直线，B正确；
因为，所以四点共面，C错误；
，D错误.
故选：B
6．A
【分析】根据简单随机抽样的等可能性，即可判断和选择.
【详解】总体有10个个体，从中抽取第一个，若为，则其可能性为，若不为，则其可能性为；
抽取第二个，若其为，则第一次一定不是，再从9个个体中抽取1个，且为，则其可能性为.
综上所述，某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是.
故选：A.
7．D
【分析】先由正弦定理求出直观图的，再由斜二测画法规则求出到轴的距离即可.
【详解】
如图，过点作′轴，交′轴于点，
在中，，，，
由正弦定理得，
于是得，且原图中即为到轴的距离，
由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点到轴的距离是.
故选：D.
8．C
【分析】本题考查正弦定理的运用，首先在中，由正弦定理得，再求出，最后解出即可.
【详解】由题意可得，
在中，，，，
由正弦定理得，
同理可得，，，
所以.
故选：C.
9．ACD
【分析】由一组数据的极差、平均数、百分位数、方差公式计算即可.
【详解】对于A项，极差为，故A项正确；
对于B项，平均数为，故B项错误；
对于C项，因为，所以这组数据的第分位数为7，故C项正确；
对于D项，，故D项正确.
故选：ACD.
10．AC
【分析】根据题意，利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及三角形内角和可判断A；利用正弦定理得到，结合余弦定理可判断B；利用正弦定理换边为角，结合等边三角形的判定可判断C；利用正弦定理化边为角，结合二倍角的正弦公式可判断D.
【详解】对于A，因为所以
即，所以，
结合，可得或（舍去），
所以是等腰三角形，故A正确；
对于B，由正弦定理可得，则，
所以为锐角，但无法判断两角是否为锐角，故B错误；
对于C，因为，所以，
即，
又因为，可得，即是等边三角形，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，所以或，
即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故D错误.
故选：AC.
11．ABD
【分析】A选项，证明出，得到平行关系；B选项，作出辅助线，得到BM⊥AM，AM⊥BC，从而证明出线面垂直；C选项，将侧面展开，设中点为Q，连接AQ，则为点A到中点的最短距离，求出，假设，由余弦定理求出点A到中点的最短距离为3，故C错误；D选项，画出图形，找到内切球球心，求出半径，得到内切球表面积.
【详解】因为是底面圆的内接正三角形，为底面圆的直径，
所以，，又，
所以，故，A正确；
因为为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，
所以MO⊥平面ABC，
因为平面ABC，所以MO⊥BC，
又AO⊥BC，，平面MOA，
所以BC⊥平面AMO，
因为平面AMO，
所以AM⊥BC，
因为，所以，
由勾股定理得：，则，
故，同理可得：，
因为，所以BM⊥AM，
因为平面MBC，且，
所以⊥平面，B正确；
将侧面展开，如下：
设中点为Q，连接AQ，则为点A到中点的最短距离，
其中，故底面周长为，
故，则，
若，由，
由余弦定理得：，
因为，所以在圆锥侧面上，点A到中点的最短距离不为3，C错误；
由对称性可知，圆锥内切球球心在OP上，作出图形，如下：
设内切球球心为T，设内切球半径为，
TU=R，，则，
其中，故，
在Rt△PUT中，由勾股定理得：，
即，
解得：，故圆锥内切球的表面积为，D正确.
故选：ABD.
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．
12．
【分析】先解出底面半径，求出底面圆周长即为侧面展开正方形的边长，然后求出侧面积.
【详解】由得圆柱的底面半径，
故侧面展开图的边长为，所以圆柱的侧面积是．
故答案为：.
【点睛】本题考查圆柱的侧面积计算，较简单.
13．12
【分析】根据给定条件，利用方差的定义直接计算作答.
【详解】设数据的平均数为，则，，
则数据的平均数为：
，
方差为：
.
故答案为：12
14．
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，由平面向量坐标运算及辅助角公式可得：，利用正弦函数的性质可得最值.
【详解】解：由已知可建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
则，，
所以，
当，即时，取最大值，
故答案为：.
【点睛】本题考查了平面向量数量积运算及平面向量坐标运算，属中档题.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由纯虚数定义可直接构造方程组求得结果；
（2）根据对应点位于第四象限可直接构造不等式组求得结果.
【详解】（1）为纯虚数，，即，解得：.
（2）对应的点在第四象限，，即，解得：，
的取值范围为.
16．(1)或
(2)5
【分析】（1）设，根据向量平行的坐标关系列方程求解即可得的坐标：
（2）根据平面向量数量积的定义求，利用数量积的几何意义确定投影向量的模公式，即可得结论.
【详解】（1）设，则解得或
∴)或，
（2）∵，，与的夹角为120°，．，
∴在向量上的投影向量的模为
．
17．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理结合勾股定理的逆定理证明，再利用线面垂直的性质、判定推理作答.
（2）取中点，作出二面角的平面角，再在直角三角形中求解作答.
【详解】（1）在中，，则，
即，因此，又平面平面，
则，而，平面，于是平面，又平面，
所以.
（2）取中点，连接、，如图，
由（1）知，，而，则，又，
于是，且，
因此是二面角的平面角，由（1）知平面，而平面，
因此，，
所以二面角的余弦值为.
18．(1)，350
(2)
(3)64.3
【分析】（1）结合概率之和等于1可以求出的值，进而可以求出样本中成绩不低于70分的频率，从而可以得出结果；
（2）分别求出样本中男生人数与女生人数，即可得出结果；
（3）利用频率分布直方图中求平均值的公式即可求出结果.
【详解】（1）．解得．
样本中成绩不低于70分的频率为．
估计全校学生中成绩不低于70分的学生人数为．
（2）由题意可知，样本中分数不低于70的学生人数为．
所以样本中分数不低于70的男生人数为．
又因为样本中分数不低于70的男生占样本中全部男生人数的，
所以样本中全部男生人数为60，女生人数为．
所以样本中男生人数与女生人数之比为．
从而，总体中男生和女生人数之比为．
（3）估计该校1000名学生成绩的平均值为
．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三棱锥的侧面展开图即可求解；
（2）求出底面三角形内切圆的半径，圆锥的高和母线，利用圆锥的侧面积和体积公式即可求解；
（3）利用表示与，进而可用表示，再利用基本不等式求最值即可求解.
【详解】（1）如图沿侧棱将三棱锥的侧面展开如图，则即为质点移动路程的最小值，
由题意可得：，所以，，
由余弦定理得，
则，
所以质点移动路程的最小值为.
（2）设三棱锥的高为，内切圆的半径为，外接圆半径为,圆锥的母线为，
则，解得：，
，所以，
，
所以圆锥的侧面积为，
圆锥的体积为.
（3）依题意得，为点在底面的投影，点到的距离为，于点，
则，连接，则，
所以，，
因为是等边三角形，所以，，
因为，所以 ，
侧面积为，
所以三棱锥的表面积，
因为，所以，
所以棱锥的体积，
所以，
所以
，
令，则，又，所以
所以
，
当且仅当即，时等号成立，
取得最小值，取得最小值，此时，
所以体积一定时，该三棱锥侧面与底面所成的二面角余弦值时其表面积最小.
答案第10页，共13页曙光学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试
数学试题卷
试卷总分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题
1．已知复数，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．下列关于向量的描述正确的是（ ）
A．若向量，都是单位向量，则
B．若向量，都是单位向量，则
C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线
3．点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．2
4．如图，棱锥的高，截面平行于底面与截面交于点，且．若四边形的面积为36，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．16
C．4 D．8
5．已知正方体，、、分别为、、的中点，则图中与直线异面的直线是（ ）
A． B．
C． D．
6．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．莫利定理，也称为莫雷角三分线定理，是由英国数学家法兰克·莫利于1899年左右发现的一个几何定理．该定理的内容如下：将任意三角形的三个内角三等分，则靠近某边的两条三分角线相交得到3个交点，这样的三个交点可以构成一个等边三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．如图，在等腰直角中，，，是的莫利正三角形，则的边长为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．幸福指数是某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度指标，常用内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取8位小区居民，他们的幸福指数分别是3，4，5，6，6，7，8，9，则（ ）
A．这组数据的极差是6 B．这组数据的平均数是5
C．这组数据的第70%分位数是7 D．这组数据的方差是3.5
10．在中，角的对边分别为，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若则是等腰三角形
B．若，则为锐角三角形
C．若，则一定是等边三角形
D．若，则一定是等腰三角形
11．已知为圆锥的顶点，为圆锥底面圆的圆心，为线段的中点，为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．⊥平面
C．在圆锥侧面上，点A到中点的最短距离为3
D．圆锥内切球的表面积为
三、填空题
12．圆柱的底面积为，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积为 ．
13．若数据的方差为3，则的方差为 ．
14．在中，，，则的最大值为 .
四、解答题
15．实数分别取什么数值时，复数
(1)为纯虚数；
(2)对应点在第四象限．
16．已知，．
(1)若，求的坐标：
(2)若与的夹角为120°，求在向量上的投影向量的模．
17．在四棱锥中，底面，为等腰梯形，，，.
(1)求证；
(2)求二面角的余弦值.
18．某学校1000名学生参加信息技术学分认定考试，用按性别比例分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生的成绩，记录他们的分数，并将数据分成8组：，，整理得到如下频率分布直方图：
(1)求图中的值，并估计全校学生中成绩不低于70分的学生人数；
(2)已知样本中分数不低于70的男生占样本中全部男生人数的，且样本中分数不低于70的男生与女生人数之比为，求总体中男生人数和女生人数之比；
(3)估计该校1000名学生成绩的平均值．
19．已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形．
(1)若该三棱锥的侧棱长为1.且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至画到出发点，求质点移动路程的最小值:
(2)若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积；
(3)若该锥体的体积为定值，设为点在底面的投影，点到的距离为，于点，连接得．求出当三棱锥的表面积最小时，角的余弦值.
