浙江省永康市第二中学2023-2024学年高三下学期第二次月考数学试卷(含答案)

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名称 浙江省永康市第二中学2023-2024学年高三下学期第二次月考数学试卷(含答案)
格式 docx
文件大小 457.5KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-05-19 21:23:52

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文档简介

永康市第二中学2023-2024学年高三下学期第二次月考数学试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A={x|y=},B={y|y=},则A∪B=(  )
A.(0,2] B.[2,+∞) C.[0,+∞) D.
2.设复数z=(其中i为虚数单位),是z的共轭复数,则z+=(  )
A.-1 B.1 C.i D.
3.已知一组样本数据x1,x2,…,x10的平均数为a,由这组数据得到另一组新的样本数据y1,y2,…,y10,其中yi=xi-2(i=1,2,…,10),则(  )
A.两组样本数据的平均数相同 B.两组样本数据的方差不相同 C.两组样本数据的极差相同
D.将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据,该样本数据的平均数为a-2
4.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作,也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度,已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点),地面上B,C两点与点A在同一条直线上,且在点A的同侧.若在B,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°,且BC=100 m,则该球体建筑物的高度约为(cos 10° ≈ 0.985)(  )
A.49.25 m B.50.76 m C.56.74 m D.58.60 m
5.“a≥”是“圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-a)2+(y+a)2=1有公切线”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.为推进体育教学改革和发展,提升体育教学质量,丰富学校体育教学内容,某市根据各学校工作实际,在4所学校设立兼职教练岗位.现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学,要求每名教练只能去一所中学,每所中学至少有一名教练,则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为(  )
A.96 B.120 C.144 D.240
7.已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)+ex是偶函数,y=f(x)-3ex是奇函数,则f(x)的最小值为( )
A.e B.2 C.2 D.2e
8.已知a=sin ,b=,c=(e为自然对数的底数),则(  )
A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.为了提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响,为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查.得到下表:
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.10 0.05 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的,女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的,则下列说法正确的是(  )
列联表中q的值为120,p的值为180
B.随机对一名学生进行调查,此学生有90%的可能喜欢体育锻炼
C.根据小概率值α=0.01的独立性检验,认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好有关系,此推断犯错误的概率不超过0.01
D.根据小概率值α=0.001的独立性检验,认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好无关
10.设函数的最小正周期为π,则(  )
A.ω=1 B.函数y=f(x)的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
C.函数f(x)的图象关于点中心对称 D.函数f(x)在区间上单调递增
11.已知编号为1,2,3的三个盒子,其中1号盒子内装有两个1号球、一个2号球和一个3号球;2号盒子内装有两个1号球、一个3号球;3号盒子内装有三个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球,将取出的球放入与球同编号的盒子中,第二次从该盒子中任取一个球,则下列说法正确的是(  )
A.在第一次抽到2号球的条件下,第二次抽到1号球的概率为
B.第二次抽到3号球的概率为
C.如果第二次抽到的是1号球,则它来自2号盒子的概率最大
D.如果将5个不同的小球放入这三个盒子内,每个盒子至少放1个,则不同的放法有150种
12.已知函数及其导函数的定义域均为R,记.若与均为偶函数,则(  )
A.g(1)=1 B.函数的图象关于点(0,1)对称
C.函数的周期为2 D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.的展开式中常数项是________.
14.过点作曲线的切线,写出一条切线的方程________.
15.已知函数,若恒成立,则的最小值是________.
16.“完全数”是一类特殊的自然数,它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”用到函数为n的所有正因数之和,如σ( 6 )=1+2+3+6=12,则σ( 20 )=________;σ(6n )=________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)已知数列满足a1=m(m∈N*),且an+1=
(1)Sn为数列的前n项和,若a1=32,求S30.
(2)若a6=1,求m所有可能取值的和.
18.(本题满分12分)已知半圆O的直径AB=2,点C为圆弧上一点(异于点A,B),过点C作AB的垂线,垂足为D.
(1)若AC=,求△ACD的面积.
(2)求的取值范围.
19.(本题满分12分)如图,在四棱锥S ABCD中,底面ABCD为矩形且垂直于侧面SAB,O为AB的中点,SA=SB=AB=2,AD=.
(1)证明:BD⊥平面SOC.
(2)侧棱SD上是否存在点E,使得平面ABE与平面SCD夹角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
20.(本题满分12分)我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x(单位:dm)与遥测雨量y(单位:dm)的关系,统计得到该地区10组雨量数据如下:
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人工测雨量xi 5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23
遥测雨量yi 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49
|xi-yi| 0.05 0.08 0.2 0.57 0.42 0.03 0.09 0.11 0.02 0.26
并计算得=353.6,=361.7,=357.3,≈33.62,≈34.42,≈34.02.
(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数(精确到0.01),并判断它们是否具有线性相关关系.
(2)规定:数组(xi,yi)满足|xi-yi| < 0.1为“Ⅰ类误差”;满足0.1≤|xi-yi| < 0.3为“Ⅱ类误差”;满足|xi-yi|≥0.3为“Ⅲ类误差”.为进一步研究,该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比,记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X,求X的概率分布与数学期望.
附:相关系数,≈17.4.
21.(本题满分12分)已知点是双曲线-=1(a>0,b>0)上一点,B与A关于原点对称,F是右焦点,∠AFB=.
(1)求双曲线的方程.
(2)已知圆心在y轴上的圆C经过点P(-4,0),与双曲线的右支交于点M,N,且直线MN经过F,求圆C的方程.
22.(本题满分12分)已知函数
(1)当时,求的单调区间.
(2)若函数有两个不同的零点,证明:.(其中e≈2.718 28是自然对数的底数)
永康市第二中学2023-2024学年高三下学期第二次月考数学答案
CBCBA DBA
ACD ACD ABD ABD
20, , 1, 42;
17.解:(1)由题中递推式得a1=32,a2=16,a3=8,a4=4,a5=2,a6=1,a7=4,a8=2,a9=1,
数列从a4,a5,a6开始,每三项出现一次4,2,1循环,
∴S30=(32+16+8)+9×(4+2+1)=119.
(2)因为a6=1,则a5=2,a4=4,则a3=8或a3=1,
若a3=8,则a2=16,a1=5或a1=32,即m=5或m=32;
若a3=1,则a2=2,a1=4,即m=4,
因此m的所有取值和为5+32+4=41.
18.解:(1)∠ACB=90°,AC=,AB=2 ∠CAB=30°,所以CD=,AD=,
所以S△ACD=××=.
(2)设∠CAB=θ,tan ∈,
在△ACD中,====∈.
19.解:(1)证明:设BD交OC于点M,
∵底面ABCD为矩形,∴在Rt△ABD中,BD===.
∵O为AB的中点,∴OB=AB=1.
在Rt△OBC中,OC===.
∵OB∥CD,OB=CD,∴==,
∴BM=BD=,∴OM=OC=.
∵OB=1,∴BM2+OM2=OB2,∴BM⊥OM,即BD⊥OC.
∵SA=SB=AB=2,∴△SAB为等边三角形.
∵O为AB的中点,∴SO⊥AB.
∵平面ABCD⊥平面SAB,SO 平面SAB,平面ABCD∩平面SAB=AB,SO⊥AB,
∴SO⊥平面ABCD.
∵BD 平面ABCD,∴SO⊥BD,即BD⊥SO.
又∵BD⊥OC,SO∩OC=O,SO,OC 平面SOC,
∴BD⊥平面SOC.
(2)设=λ,λ∈[0,1],
∵底面ABCD为矩形,∴AD⊥AB.
∵平面ABCD⊥平面SAB,平面ABCD∩平面SAB=AB,AD⊥AB,
∴AD⊥平面SAB.
以O为坐标原点,以过点O且平行于AD的直线为z轴,以OB和OS所在直线分别为x轴和y轴,建立空间直角坐标系,如图.
∵SA=SB=AB=2,∴△SAB为等边三角形.
∵O为AB的中点,
∴OB=AB=1,SO===.
S(0,,0),C(1,0,),D(-1,0,),
A(-1,0,0),B(1,0,0),
=(-1,-,),=(2,0,0),=(2,0,0),=(1,,0),
∴=λ=λ(-1,-,)=(-λ,-λ,λ),
∴=+=(1,,0)+(-λ,-λ,λ)=(1-λ,-λ,λ).
设平面SCD的法向量为m=(x1,y1,z1),
即令y1=,∴m=.
设平面ABE的法向量为n=,
由可得
令y2=λ,∴x2=0,y2=λ,z2=λ-,
∴n=.
∵平面ABE与平面SCD夹角的余弦值为,
∴===,
整理得20λ2-24λ+7=0,
∴λ=或λ=,均符合λ∈[0,1],
∴=或=,
∴侧棱SD上存在点E,使得平面ABE与平面SCD夹角的余弦值为,
=或=.
20.解:(1)代入已知数据,
得r≈=≈0.98.
所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.
(2)依题意,“Ⅰ类误差”有5组,“Ⅱ类误差”有3组,“Ⅲ类误差”有2组.
若从“Ⅰ类误差”和“Ⅱ类误差”数据中抽取3组,抽到“Ⅰ类误差”的组数X的所有可能取值为0,1,2,3.
则P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)===,P(X=3)===.
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
所以X的数学期望E(X)=1×+2×+3×=.
21.解:(1)由已知条件得
∴双曲线方程为-=1.
(2)若直线MN的斜率不存在,则圆C的圆心不在y轴上,因此不成立.设直线MN的方程为y=k(x-2),联立消元得x2-8k2x+=0

∴MN的中点Q的坐标为,
设C(0,m),直线CQ:y=-x+m,由=-,
得C,
又|MN|=·=,
根据勾股定理有|CN|2=|CP|2=|CQ|2+,
∴+42=+,
化简得2k4-5k2+2=0,
解得k2=2或k2=(舍),
∴C(0,±2),∴圆C的方程为x2+(y±2)2=40.
22.解:(1)由题意得f(x)=+ln x-x-1,求导得f′(x)=,
所以当00;当x>1时,f′(x)<0,
因此f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)证明:先证明x1+x2>,
因为f′(x)=,
所以当a≤0时,f′(x)≥0,f(x)在上单调递增,不满足题意,故a>0.
可知f(x)在上单调递增.在上单调递减.
又当x→0+时,f(x)→-∞;当x→+∞时,f(x)→-∞,故f=-ln a-2>0,
解得0f(x)=+ln x-ax-1=eln x-ax+-1.
设t=ln x-ax,则由于g=et+t-1单调递增,
则ln x1-ax1=ln x2-ax2,则=<,可证得x1+x2>.
所以要证明x1+x2>2eln ,只要证明+2eln a>0.
设φ=+2eln a,
则φ′=-+=<0,
所以φ在上单调递减,则φ>φ=0.
因此有x1+x2>2eln .
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