浙江省永康市第二中学2023-2024学年高三下学期第二次月考数学试卷（含答案）

永康市第二中学2023-2024学年高三下学期第二次月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝}，则A∪B＝(　　)
A．(0，2] B．[2，＋∞) C．[0，＋∞) D．
2．设复数z＝(其中i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z＋＝(　　)
A．－1 B．1 C．i D．
3．已知一组样本数据x1，x2，…，x10的平均数为a，由这组数据得到另一组新的样本数据y1，y2，…，y10，其中yi＝xi－2(i＝1，2，…，10)，则(　　)
A．两组样本数据的平均数相同 B．两组样本数据的方差不相同 C．两组样本数据的极差相同
D．将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为a－2
4．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为(cos 10° ≈ 0.985)(　　)
A.49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m
5．“a≥”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量，丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为(　　)
A．96 B．120 C．144 D．240
7．已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(x)的最小值为( )
A．e B．2 C．2 D．2e
8．已知a＝sin ，b＝，c＝(e为自然对数的底数)，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．b>a>c
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查．得到下表：
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的，则下列说法正确的是(　　)
列联表中q的值为120，p的值为180
B．随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能喜欢体育锻炼
C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好有关系，此推断犯错误的概率不超过0.01
D．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好无关
10．设函数的最小正周期为π，则(　　)
A．ω＝1 B．函数y＝f(x)的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
C．函数f(x)的图象关于点中心对称 D．函数f(x)在区间上单调递增
11．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球、一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球、一个3号球；3号盒子内装有三个1号球、两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是(　　)
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种
12．已知函数及其导函数的定义域均为R，记.若与均为偶函数，则(　　)
A．g(1)＝1 B．函数的图象关于点(0，1)对称
C．函数的周期为2 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.的展开式中常数项是________．
14．过点作曲线的切线，写出一条切线的方程________．
15．已知函数，若恒成立，则的最小值是________．
16．“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数为n的所有正因数之和，如σ( 6 )＝1＋2＋3＋6＝12，则σ( 20 )＝________；σ(6n )＝________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分10分)已知数列满足a1＝m(m∈N*)，且an＋1＝
(1)Sn为数列的前n项和，若a1＝32，求S30.
(2)若a6＝1，求m所有可能取值的和．
18．(本题满分12分)已知半圆O的直径AB＝2，点C为圆弧上一点(异于点A，B)，过点C作AB的垂线，垂足为D.
(1)若AC＝，求△ACD的面积．
(2)求的取值范围．
19.(本题满分12分)如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD为矩形且垂直于侧面SAB，O为AB的中点，SA＝SB＝AB＝2，AD＝.
(1)证明：BD⊥平面SOC.
(2)侧棱SD上是否存在点E，使得平面ABE与平面SCD夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20.(本题满分12分)我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x(单位：dm)与遥测雨量y(单位：dm)的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人工测雨量xi 5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23
遥测雨量yi 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49
|xi－yi| 0.05 0.08 0.2 0.57 0.42 0.03 0.09 0.11 0.02 0.26
并计算得＝353.6，＝361.7，＝357.3，≈33.62，≈34.42，≈34.02.
(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有线性相关关系．
(2)规定：数组(xi，yi)满足|xi－yi| < 0.1为“Ⅰ类误差”；满足0.1≤|xi－yi| < 0.3为“Ⅱ类误差”；满足|xi－yi|≥0.3为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望．
附：相关系数，≈17.4.
21.(本题满分12分)已知点是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，B与A关于原点对称，F是右焦点，∠AFB＝.
(1)求双曲线的方程．
(2)已知圆心在y轴上的圆C经过点P(－4，0)，与双曲线的右支交于点M，N，且直线MN经过F，求圆C的方程．
22．(本题满分12分)已知函数
(1)当时，求的单调区间．
(2)若函数有两个不同的零点，证明：.(其中e≈2.718 28是自然对数的底数)
永康市第二中学2023-2024学年高三下学期第二次月考数学答案
CBCBA DBA
ACD ACD ABD ABD
20， ， 1， 42；
17．解：(1)由题中递推式得a1＝32，a2＝16，a3＝8，a4＝4，a5＝2，a6＝1，a7＝4，a8＝2，a9＝1，
数列从a4，a5，a6开始，每三项出现一次4，2，1循环，
∴S30＝(32＋16＋8)＋9×(4＋2＋1)＝119.
(2)因为a6＝1，则a5＝2，a4＝4，则a3＝8或a3＝1，
若a3＝8，则a2＝16，a1＝5或a1＝32，即m＝5或m＝32；
若a3＝1，则a2＝2，a1＝4，即m＝4，
因此m的所有取值和为5＋32＋4＝41.
18．解：(1)∠ACB＝90°，AC＝，AB＝2 ∠CAB＝30°，所以CD＝，AD＝，
所以S△ACD＝××＝.
(2)设∠CAB＝θ，tan ∈，
在△ACD中，＝＝＝＝∈.
19．解：(1)证明：设BD交OC于点M，
∵底面ABCD为矩形，∴在Rt△ABD中，BD＝＝＝.
∵O为AB的中点，∴OB＝AB＝1.
在Rt△OBC中，OC＝＝＝.
∵OB∥CD，OB＝CD，∴＝＝，
∴BM＝BD＝，∴OM＝OC＝.
∵OB＝1，∴BM2＋OM2＝OB2，∴BM⊥OM，即BD⊥OC.
∵SA＝SB＝AB＝2，∴△SAB为等边三角形．
∵O为AB的中点，∴SO⊥AB.
∵平面ABCD⊥平面SAB，SO 平面SAB，平面ABCD∩平面SAB＝AB，SO⊥AB，
∴SO⊥平面ABCD.
∵BD 平面ABCD，∴SO⊥BD，即BD⊥SO.
又∵BD⊥OC，SO∩OC＝O，SO，OC 平面SOC，
∴BD⊥平面SOC.
(2)设＝λ，λ∈[0，1]，
∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB.
∵平面ABCD⊥平面SAB，平面ABCD∩平面SAB＝AB，AD⊥AB，
∴AD⊥平面SAB.
以O为坐标原点，以过点O且平行于AD的直线为z轴，以OB和OS所在直线分别为x轴和y轴，建立空间直角坐标系，如图．
∵SA＝SB＝AB＝2，∴△SAB为等边三角形．
∵O为AB的中点，
∴OB＝AB＝1，SO＝＝＝.
S(0，，0)，C(1，0，)，D(－1，0，)，
A(－1，0，0)，B(1，0，0)，
＝(－1，－，)，＝(2，0，0)，＝(2，0，0)，＝(1，，0)，
∴＝λ＝λ(－1，－，)＝(－λ，－λ，λ)，
∴＝＋＝(1，，0)＋(－λ，－λ，λ)＝(1－λ，－λ，λ).
设平面SCD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
即令y1＝，∴m＝.
设平面ABE的法向量为n＝，
由可得
令y2＝λ，∴x2＝0，y2＝λ，z2＝λ－，
∴n＝.
∵平面ABE与平面SCD夹角的余弦值为，
∴＝＝＝，
整理得20λ2－24λ＋7＝0，
∴λ＝或λ＝，均符合λ∈[0，1]，
∴＝或＝，
∴侧棱SD上存在点E，使得平面ABE与平面SCD夹角的余弦值为，
＝或＝.
20．解：(1)代入已知数据，
得r≈＝≈0.98.
所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系．
(2)依题意，“Ⅰ类误差”有5组，“Ⅱ类误差”有3组，“Ⅲ类误差”有2组．
若从“Ⅰ类误差”和“Ⅱ类误差”数据中抽取3组，抽到“Ⅰ类误差”的组数X的所有可能取值为0，1，2，3.
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝.
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
所以X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
21．解：(1)由已知条件得
∴双曲线方程为－＝1.
(2)若直线MN的斜率不存在，则圆C的圆心不在y轴上，因此不成立．设直线MN的方程为y＝k(x－2)，联立消元得x2－8k2x＋＝0

∴MN的中点Q的坐标为，
设C(0，m)，直线CQ：y＝－x＋m，由＝－，
得C，
又|MN|＝·＝，
根据勾股定理有|CN|2＝|CP|2＝|CQ|2＋，
∴＋42＝＋，
化简得2k4－5k2＋2＝0，
解得k2＝2或k2＝(舍)，
∴C(0，±2)，∴圆C的方程为x2＋(y±2)2＝40.
22．解：(1)由题意得f(x)＝＋ln x－x－1，求导得f′(x)＝，
所以当00；当x>1时，f′(x)<0，
因此f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)证明：先证明x1＋x2>，
因为f′(x)＝，
所以当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在上单调递增，不满足题意，故a>0.
可知f(x)在上单调递增．在上单调递减．
又当x→0＋时，f(x)→－∞；当x→＋∞时，f(x)→－∞，故f＝－ln a－2>0，
解得0f(x)＝＋ln x－ax－1＝eln x－ax＋－1.
设t＝ln x－ax，则由于g＝et＋t－1单调递增，
则ln x1－ax1＝ln x2－ax2，则＝<，可证得x1＋x2>.
所以要证明x1＋x2>2eln ，只要证明＋2eln a>0.
设φ＝＋2eln a，
则φ′＝－＋＝<0，
所以φ在上单调递减，则φ>φ＝0.
因此有x1＋x2>2eln .