内蒙古自治区兴安盟2023-2024学年高二下学期期中学业水平质量检测数学试题（含解析）

兴安盟2023-2024学年高二下学期期中学业水平质量检测
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一、二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数的最小正周期为，则图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的离心率为．则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知底面半径为r，高为2r的圆柱形容器（厚度忽略不计）内装有一半高度的水．现将一个半径为R的实心铁球放人容器中（铁球全部浸入水中），此时水面恰好上升至容器口齐平，则（ ）
A． B． C． D．
6．内蒙古某地引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物浓度N（单位：mg/L）与时长t（单位：h）的关系为（为最初污染物浓度）．如果前2h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的51.2%还需要（ ）
A．3h B．4h C．5h D．6h
7．已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，△MNF的面积为（ ）
A．7 B．5 C． D．
8．已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．一个不透明的袋中装有红色、黄色、白色小球各1个，3个小球除颜色外完全相同．从中有放回地任意取出1个小球，若取出红色小球，得2分，若取出黄色小球，得1分，若取出白色小球，得0分．记取出1个小球后得1分为事件A，取出2个小球后共得2分为事件B，取出3个小球后共得3分为事件C，则下列结论错误的是（ ）
A．事件A与事件B为互斥事件 B．事件A与事件C相互独立
C．事件B与事件C相互独立 D．事件A与事件B相互独立
10．已知，函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．某同学在研究“有一个角为弯的三角形中，如果这个角的正弦值或余弦值恰好是另外两个角的正弦值或余弦值的等差中项或等比中项，那么该三角形是否为等边三角形”的问题中，得出以下结论，其中正确的是（ ）
A．若这个角的正弦值是另外两个角正弦值的等差中项，则该三角形为等边三角形
B．若这个角的余弦值是另外两个角余弦值的等差中项，则该三角形不一定是等边三角形
C．若这个角的正弦值是另外两个角正弦值的等比中项，则该三角形不一定是等边三角形
D．若这个角的余弦值是另外两个角余弦值的等比中项，则该三角形是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，，若，则______；若，则______．
13．已知样本数据为1，a，b，7，9，该样本数据的平均数为5，则这组样本数据的方差的最小值为______．
14．如图，在矩形ABCD中，，，沿BD将△ABD折起至的位置．若点在平面BCD上的射影落在△BCD的内部（包含边界），则四面体体积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知数列的前n项和为，，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，若一对任意的都成立，求实数m的取值范围．
16．（15分）
如图，在三棱柱中，，，，在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点．
（1）证明：平面．
（2）求二面角的正弦值．
17．（15分）
在△ABC中，∠BCA与∠BAC的角平分线交于点D，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ACD面积的最大值．
18．（17分）
已知椭圆的焦距为4，圆与椭圆C有且仅有两个公共点．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由．
19．（17分）
已知函数，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程．
（2）若，证明：在上单调递增．
（3）当时，恒成立，求a的取值范围．
兴安盟2023-2024学年高二下学期期中学业水平质量检测
数学参考答案
1．B ．
2．A 因为，所以其对应的点位于第一象限．
3．D 由，得，所以．
令，，则，，
当时，，所以图象的一个对称中心为．
4．C 因为双曲线C的离心率为，所以，所以，
故双曲线C的渐近线方程为．
5．B 由题意知铁球的体积是圆柱体积的一半，所以，所以．
6．B 由题意知，可得．
设，则，解得，
因此，污染物消除至最初的51.2%还需要4h．
7．D 当MN与抛物线C的准线垂直时，取得最小值，此时，
则△MNF的面积为．
8．A 令，则．
当时，，所以在上单调递增．
又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数．
由，得，解得或．
9．ABC 由题可知，事件A与事件B可能同时发生，所以事件A与事件B不是互斥事件，A错误．
，，，
，
，
，B，C错误，D正确．故选ABC．
10．ABC 当，时，是定义在R上的奇函数，
当时，，，
则在上单调递增，在上单调递减，故A符合题意；
当，时，是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，
在上单调递减，故B符合题意；
当，时，是定义在上的偶函数，
当时，，则在上单调递减，故C符合题意；
对于D选项，当x趋近于时，的值趋近于0，故D不符合题意．
11．AD 设，对于A，因为，
所以，
所以，所以，故A正确；
对于B．因为，
所以，所以，故B错误；
对于C，因为，所以
，
所以，所以，所以，故C错误；
对于D，因为，
，
所以，所以，所以，故D正确．
12．； 若，则，所以．
若，则，
得，所以（舍去）或，
故．
13． 因为平均数为，所以．
因为方差，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以方差的最小值为．
14． 如图，在翻折中，由于底面积不变，所以当点在平面BCD上的射影M落在BC上时，高最小，此时四面体的体积最小，设，则，
由勾股定理得，
解得，，此时四面体的体积．
15．解：（1）当时，，
当时，，所以，得．
因为，所以对任意的，都有，
所以是以3为首项，9为公比的等比数列，
故，
b．
（2）因为，
所以．
因为对任意的都成立，所以，解得，
故实数m的取值范围是．
16．（1）证明：如图，设O为在底面的射影，连接，AO，OD，则平面ABC．
因为平面ABC，所以．
又O为BC的中点，，所以OA⊥BC．
因为，平面，平面，
所以AO⊥平面．
又D为的中点，所以，
所以平面．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．
在三棱柱中，，，，
所以，，，
则，，．
由（1）知AO⊥平面ABC，则是平面的一个法向量．
因为，且，所以．
设平面的法向量为，
则所以
设，得，
所以．则，
所以二面角的正弦值为
17．解：（1）因为，
所以，
，
所以，
．
因为，
所以．
因为，所以．
（2）因为，所以，所以，所以．
由余弦定理得，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立．
因为，
所以△ACD面积的最大值为．
18．解：（1）依题意，得，，
所以，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，
联立椭圆C的方程，可得，
则，．
设，则
，
若为定值，则，解得，
此时，
点R的坐标．
②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
代入，得
不妨设，，若，则，，
所以．
综上，在x轴上存在点，使得为定值．
19．（1）解：因为，所以，则．
又，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）证明：因为，所以，则．
令，，则，．
当时，，单调递增，故．
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，故，
从而在上恒成立．
则在上单调递增．
（3）解：在上恒成立等价于在上恒成立．
若，则，则显然恒成立．
若，则在上恒成立，令，
由（1）可知在上恒成立，
故由，得，
则，即．
令，则，
当时，，单调递减，当时，
，单调递增，则，则．
综上所述，a的取值范围为．