青海省西宁市大通县朔山中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段检测数学试题（含解析）

大通县朔山中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段检测
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若向量，是两个单位向量，则
A． B． C． D．
2．复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，，则与夹角的余弦值为
A． B． C． D．
4．在中，，，，则
A．4 B． C．3 D．
5．如图所示，在直角坐标系中，已知A（1，0），B（-1，2），C（-1，0），D（1，-2），则四边形ABCD的直观图面积为
A． B． C． D．
6．若向量，，则在上的投影向量的坐标是
A． B． C． D．
7．已知正方形ABCD的边长为2，则
A． B． C． D．
8．在三棱锥A-BCD中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是
A．三棱锥 B．四棱台 C．六棱锥 D．六面体
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列对解的个数的判断正确的是
A．当，，时，有两解
B．当，，时，有一解
C．当，，时，无解
D．当，，时，有两解
11．关于平面向量，，，下列说法不正确的是
A． B．
C．若，且，则 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，其中x，y是实数，则________．
13．已知m、n是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给出下列命题：
①若，，，则；
②若，，，则；
③m，n是两条异面直线，若，，，，则．
上面的命题中，真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）
14．在边长为2的菱形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
如图，已知在正四棱锥S-ABCD中，，．
（1）求四棱锥S-ABCD的表面积；
（2）求四棱锥S-ABCD的体积．
16．（本小题满分15分）
已知向量，．
（1）当k为何值时，与垂直？
（2）当k为何值时，与平行？
17．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E是PC的中点，已知，，．
求：（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的度数．
18．（本小题满分17分）
如图，支座A受，两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力F的大小为100N，求以及F与的夹角的余弦值．
19．（本小题满分17分）
如图，在三棱锥A-BCD中，E是线段AD的中点，F是线段CD上的一点．
（1）若平面ABC，试确定F在CD上的位置，并说明理由；
（2）若，证明：．
大通县朔山中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段检测
数学
参考答案、提示及评分细则
1．A 由单位向量的定义可知，，即，且，，故A正确，B错误；因为，方向和夹角不确定，故CD错误．故选A．
2．D 因为，所以复数在复平面内对应的点为（13，-41），位于第四象限．故选D．
3．B 因为，，所以，，则，，，设与的夹角为，则．故选B．
4．C 由，，得，由正弦定理得，所以．故选C．
5．A 由题意知，四边形ABCD的面积为，所以直观图的面积为．故选A．
6．B 在上的投影向量为．故选B．
7．D ．故选D．
8．C 取BD中点G，连接AG，CG，在AG和CG上分别作点E和点F，使得，，过点E和点F分别作垂直平面ABD和平面BCD的直线交于点H，易得点H是该三棱锥外接球的球心．因为，所以，，在中，由余弦定理得，故，在中，，，所以，在中，，故外接球的半径，外接球的表面积．故选C．
9．BC 一个多面体的所有棱长都相等，三棱锥是正四面体时满足题意，选项A可能；棱台的上底面与下底面的边长不相等，所以选项B不可能；如果正六棱锥的棱长都相等，则正六棱锥的六个顶角都是60°，所以它们的和为360°，则正六棱锥的所有定点共面，显然不成立，则正六棱锥的底面边长与棱长不可能相等，所以C不可能；六面体是正方体时，满足题意，所以D有可能．故选BC．
10．AC 对于A，因为，所以，又因为，，所以或，有两解，故A正确；对于B，无解，故B错误；对于C，，无解，故C正确；对于D，，又，所以B为锐角，此三角形只有一解，故D错误．故选AC．
11．CD 对于A，由向量的运算法则知正确，故A正确；
对于B，向量数量积满足分配律，故B正确；
对于C，向量数量积不满足消去律，故C错误；
对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，故D错误．故选CD．
12．0 由，得，所以，，解得，，所以．
13．③ 若，，，则m与n平行或异面，故①错误；，，，但m与n不一定相交，不一定成立，故②错误；m，n是两条异面直线，若，，，，则过m的平面与平面相交于直线m'，有，过n的平面与平面相交于直线n'，有，m，n异面，m'，n'一定相交，，，，，如图所示，由面面平行的判定可知，故③正确．
14． 因为M，N分别为BC，CD的中点，所以，所以，所以．
15．解：（1）易知该四棱锥的侧面积为四个全等三角形的面积的和，
侧面三角形的高为，
所以四棱锥S-ABCD的表面积为．
（2）连接AC、BD，交于点O，连接SO，则SO为棱锥的高，
所以，
，
故四棱锥S-ABCD的体积．
16．解：（1）因为，
，
，
若可得，
即，得，
即时，与垂直．
（2）当时，有，
解得，
即时，与平行．
17．解：（1）如图，由平面ABCD，得，．
又，且，平面PAD，．
又，，，，
．
（2）如图，连接AC，ED，，（或其补角）为BC与AE所成的角．
在和中，E为PC的中点，．又，．
又，，，，
即BC与AE所成的角的大小为45°．
18．解：，
，
即，
，
解得．
，
，
即，
，
解得．
19．（1）解：F是CD的中点，
理由如下：
若平面ABC，由平面ACD，，
得．
又E是AD的中点，F在CD上，
F是CD的中点．
（2）证明：取CD的中点G，连接BG，AG，
，G为CD中点，
，，
，平面ABG，
平面ABG，
平面ABG，
．