拉萨市第三高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试
数学试卷
参考答案：
1-4 DCCD 5-8 BABA 9、BC 10、CD 11、BCD 12、BD
1．D
【分析】由并集和补集的定义求解即可.
【详解】因为，
故，所以.
故选：D.
2．C
【分析】利用复数的运算及复数模的计算公式即可求解.
【详解】,
所以.
故选：C.
3．C
【分析】可借助得到数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，再计算，亦可借助所给条件逐步计算出.
【详解】法一：
因为，所以，
又，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，即，
故.
法二：
由，，故，
，.
故选：C.
4．D
【分析】利用平面向量的数量积定义结合模的性质求解即可.
【详解】易知，
而向量与的夹角为，故，
故，故D正确.
故选：D
5．B
【分析】根据已知可得，然后由下标和性质可得.
【详解】，
.
故选：B．
6．A
【分析】根据平均变化率的概念即可求解.
【详解】由可得：，.
所以从1到的平均变化率为.
故选：A.
7．B
【分析】利用等比数列的性质，成等比数列，可解出.
【详解】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为，
所以成等比数列，则，
即，解得或.
设等比数列公比为，则，
，则，得.
故选：B
8．A
【分析】根据函数的性质，判断函数图象的形状.
【详解】因为，所以，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD，
又，，
设，，则，.
所以在上为增函数，又，
所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B.
故选：A
9．BC
【分析】利用选项所给通项公式一一求出前若干项即可求解.
【详解】对于A，数列的前若干项为故A错误；
对于B，数列的前若干项为，故B正确；
对于C，数列的前若干项为，故C正确；
对于D，数列的前若干项为，故D错误；
故选：BC.
10．CD
【分析】利用基本初等函数的导数公式可得答案.
【详解】对于A，因为，所以A不正确；
对于B，因为，所以B不正确；
对于C，因为，所以C正确；
对于D，因为，所以D正确.
故选：CD.
11．BCD
【分析】根据题意，归纳可得，由此求出数列的通项公式，据此分析选项，即可得答案.
【详解】根据题意，，
则有，
当时，
，
也满足，所以.
，A选项错误；
，B选项正确；
，， C选项正确；
，
，D选项正确.
故选：BCD
12．BD
【分析】利用导数研究函数单调性和极值点.
【详解】由题意，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
仅在处取得极值，且为极大值，无极小值.
故选：BD
13．
【分析】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是等差数列，且公差为，，设每层有环，则，，根据等差数列前项和公式求出，再求出即可.
【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是等差数列，且公差，，
设每层有环，则，，
所以，即，
即，解得或（舍去），
所以，则，
即上层有扇形石板块.
故答案为：．
14．-2
15．9
【分析】
根据等差数列下标和性质，结合对数运算法则可求得结果.
【详解】由等差数列性质知：，
所以，
故答案为：9.
16．
【分析】对求导，求出切线的斜率，然后利用点斜式求解即可.
【详解】因为，
所以，
的图象在处的切线斜率为，
又，所以切点为，
所以的图象在处的切线方程为：
，即．
故答案为：.
17．略
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义、通项公式进行求解即可；
（2）利用错位相减法，结合一次函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1），当时，，
当，时，，，
两式相减得：为非零定值，而，
即是以1为首项，公比的等比数列，所以；
（2），
所以，
，
两式相减：，
由得，，
即存在使成立，
随着增大，在减小，
当时，，
故求的取值范围是．
19．(1)；
(2)28
【分析】（1）根据题目条件得到是以13为首项，为公差的等差数列，求出通项公式；
（2）求出通项公式，解不等式，得到数列从第5项开始小于0，从而得到数列的前4项和最大，利用求和公式求出答案.
【详解】（1）由，可知，
所以数列是以13为首项，以为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）可知，
令，解得，
令，解得，
即数列从第5项开始小于0，所以数列的前4项和最大，
最大值为．
20．(1)8；
(2).
【分析】
（1）先对函数求导，根据求出，则，在区间上单调递增，即可得到答案.
（2）根据题意知，分参得，即可得到答案.
【详解】（1）
，因为，所以，所以
在上恒成立，所以函数在区间上单调递增
所以
（2）
因为函数在区间上为增函数，
所以在上恒成立
所以在上恒成立，所以
21．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.
【详解】（1）当时，
则，所以，
因为，即切点为，
所以切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，则当时，当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
综上可得：当时在上单调递增；
当时在上单调递增，在上单调递减.
22.(1)0；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数的最大值.
（2）构造函数，利用导数求出函数值集合即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
所以当时，函数取得最大值.
（2）令函数，求导得，即函数在上单调递增，
因此，，由（1）知，恒成立，
所以，即当时，.
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数学试卷
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。
2、作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。作答非选择题时，将答案用黑色签字笔写在答题卡上。写在试卷上无效。
3、试卷共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题40分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知全集，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知i是虚数单位，复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．0
3．已知数列满足，，则（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
4．平面向量，满足，，向量与的夹角为，则（ ）
A．2 B．4 C．12 D．
5．已知等差数列满足，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．已知函数，则从1到的平均变化率为（ ）
A． B．
C． D．
7．记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9．数列的通项公式可能等于（ ）
A． B． C． D．
10．以下求导运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”：“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．， D．
12．已知是函数的导函数，
其图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的有（ ）
A．在处取得极小值 B．在处取得极大值
C．在区间上单调递减 D．的单调递增区间是
第Ⅱ卷（90分）
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13．北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则上层有扇形石板 块．
14．若函数在处有极大值，则实数的值为 .
15．已知数列是等差数列，且，则 .
16．已知函数，则函数的图象在处的切线方程为 ．
四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（共6题，17题10分，其余每题12分，共70分）
17（10分）在等比数列中，
(1)已知，，求； (2)已知，，求．
18（12分）．已知数列的前项和满足．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，记数列的前项和为，若存在使得成立，求的取值范围．
19（12分）．已知数列．求：
(1)数列的通项公式； (2)数列的前项和的最大值．
20（12分）．已知函数
(1)若，求函数在区间上的最大值；
(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围．
21（12分）．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性.
22（12分）．已知函数．
(1)求的最大值；
(2)证明：当时，．
