平遥县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z1＝﹣3+i，z2＝1+4i，则z1+4z2的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（若三角形的三边长分别为20，30，40，则该三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定的
3．若向量＝（2，2），＝（x，x3），∥，则x的取值集合为（ ）
A．{﹣1，1} B．{﹣2，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，0，2}
4．已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△AOB的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，y′轴经过A'B'的中点，则AB＝（ ）
A．6 B．3 C．12 D．6
6．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2，CD＝3，，则＝（ ）
A． B． C． D．
7．若a＝lg0.8，b＝0.69，c＝0.490.40，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
8．财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼．为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B，C与O在同一水平面上，他测得米，∠BOC＝120°，在点B处测得点A的仰角为θ（tanθ＝2），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度OA＝（ ）
A．200米 B．202米 C．204米 D．206米
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数z＝1﹣i的实部为﹣1
B．半径为3的球的表面积为36π
C．正五棱台有7个面
D．“ x∈R，x﹣1＝3x”的否定是“ x∈R，x﹣1≠3x”
10．已知函数，则（ ）
A．
B．f（x）的图象关于点对称
C．f（x）在上的最大值为3
D．将f（x）的图象向左平移个单位长度，得到的新图象关于y轴对称
11．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，I是△ABC的内切圆圆心，内切圆的半径为r，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上。
12．如图，这是一件古代的青铜器，其盛酒部分可近似地视为一个圆台，该圆台的上底面、下底面的半径分别为6cm，5cm，高为6cm，则该青铜器的容积约为 cm3．
13．已知正方形ABCD的边长为6，，，则的值为 ．
14．在△ABC中，sinB+sinC＝4sinA，则sinA的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（13分）已知向量，满足，．
（1）若向量，的夹角为，求的值；
（2）若|+|＝4，求|﹣2|的值；
（3）若⊥（+），求向量，的夹角．
16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinA＝5asinB，b＝1．
（1）若，求△ABC外接圆的半径R；
（2）若△ABC的面积为，求A的大小及△ABC的周长．
17．（15分）已知复数z1，z2满足z1 z2∈R，．
（1）若纯虚数z3的虚部与z1的虚部互为相反数，求z3；
（2）求|2z1+z2|的最小值．
18．（17分）在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，，F是线段AD的中点，，λ∈[﹣1，1]．
（1）若，AE与BF交于点N，，求x﹣y的值；
（2）求的最小值．
19．（17分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，点F为△ABC的垂心，CF＝6，求AF+BF的取值范围平遥县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【分析】先求出复数z1+4z2，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义求解．
【解答】解：∵复数z1＝﹣3+i，z2＝1+4i，
∴z1+4z2＝﹣3+i+4（1+4i）＝1+17i，
∴z1+4z2的共轭复数为1﹣17i，
∴z1+4z2的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣17），位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查了复数的运算，考查了复数的几何意义，属于基础题．
2．【分析】结合余弦定理，即可求解．
【解答】解：设边长为20，30，40，对应的边长为a，b，c，
则cosC＝＝，
故角C为钝角，即该三角形的形状是钝角三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
3．【分析】利用向量平行的性质直接求解．
【解答】解：向量＝（2，2），＝（x，x3），∥，
∴＝，
解得x＝0或x＝1或x＝﹣1，
则x的取值集合为{﹣1，0，1}．
故选：C．
【点评】本题考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．【分析】由已知，求得，再根据投影向量的定义即可求得．
【解答】解：由单位向量，满足，
可得，解得，
则在上的投影向量为＝．
故选：A．
【点评】本题考查投影向量的求法，属基础题．
5．【分析】根据题意，在直观图中，过点B′，分别作x′轴和y′轴的平行线，与x′轴和y′轴分别交于点M、N，由斜二测画法分析原图中A、B的坐标，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，在直观图中，过点B′作x′轴的平行线，与x′轴交于点M，
过点B′作y′轴的平行线，与y′轴交于点N，
由于△OAB的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，则O′A′＝O′B′＝，A′B′＝6，
则A′的坐标为（，0），
则MB′＝A′B′＝6，B′N＝OM＝，
故原图中，B的坐标为（﹣，6），A的坐标为（，0），
故AB＝＝6．
故选：D．
【点评】本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
6．【分析】根据给定条件，结合图形，利用向量线性运算计算得解．
【解答】解：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，CD＝3，
＝+＝+＝+＝+＝．
故选：B．
【点评】本题考查向量的线性运算，属于基础题．
7．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解．
【解答】解：∵lg0.8＜lg1＝0，∴a＜0，
∵0.490.40＞0.490.5＝0.7＞0.69，
∴c＞b＞0，
∴a＜b＜c．
故选：A．
【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
8．【分析】根据仰角设出长度，再根据余弦定理列出△OBC的边长关系，解方程求解即可．
【解答】解：设OA＝h米，因为在点B处测得点A的仰角为θ，
所以，所以，
因为在点C处测得点A的仰角为45°，所以OC＝h米，
由余弦定理，可得BC2＝OB2+OC2﹣2OB OC cos∠BOC，
即，解得h＝204米．
故选：C．
【点评】本题考查了余弦定理的实际应用，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．【分析】根据命题真假的判断方法，结合复数的定义、球的表面积公式、台体的概念以及存在量词命题的否定方法逐项判断．
【解答】解：对于A，该复数的实部为1，A错误；
对于B，表面积为S＝4πR2＝36π，B正确；
对于C，正五棱台有五个侧面、上下两个底面，共7个面，C正确；
对于D，“ x∈R，x﹣1＝3x”的否定是：“ x∈R，x﹣1≠3x“，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查判断命题真假的方法，以及相关的概念、性质等，属于基础题．
10．【分析】先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性，最值求解及函数图象变换检验各选项即可判断．
【解答】解：由题意得，，
因为，所以A错误；
因为 ，
所以f（x）的图象关于点对称，B正确；
若，则，，
因为函数在上单调递增，所以，C正确；
，
则g（﹣x）＝g（x），所以 为偶函数，其图象关于y轴对称，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性，最值的求解，还考查了函数图象变换，属于中档题．
11．【分析】由已知结合三角形内心的性质检验选项A，B，C，结合向量的线性运算及平面向量基本定理检验选项D．
【解答】解：因为内心是三角形内角平分线的交点，在△IBC中，，A错误，C正确；
由余弦定理可得，
因为△ABC的面积S＝，
所以，B正确；
因为AI在∠BAC的平分线上，可设＝，
同理可设，则，
得＝，
根据平面向量基本定理得，，
解得x＝，即，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了三角形内心的性质，余弦定理，向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上。
12．【分析】利用圆台的体积公式，直接代入即可求解．
【解答】解：根据圆台的体积公式，其中圆台的上、下底面的半径分别是r，R，高是h，
由已知盛酒的部分可近似视为一个圆台，上、下底面的半径分别为6厘米，5厘米，高为6厘米，
所以该青铜器的容积为立方厘米，
所以该青铜器的容积约为182π立方厘米．
故答案为：182π．
【点评】本题考查中国古代数学文化与圆台的体积，考查应用意识，属于基础题．
13．【分析】由题意得到，利用平面向量数量积公式即可求解．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为6，，，
∴，
故．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属于基础题．
14．【分析】先由正弦定理将角的关系转化为边的关系，代入余弦定理求cosA，利用基本不等式求出其最小值即可得出sinA的最大值．
【解答】解：∵sinA+sinC＝4sinA，
由正弦定理得b+c＝4a，
由余弦定理得cosA＝＝﹣≥﹣＝，
当且仅当b＝c时，等号成立，
由同角三角函数关系式sin2A+cos2A＝1，且0＜A＜π，
可得sinA＝≤＝，
∴sinA的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．【分析】（1）由平面向量数量积的运算求解题．
（2）由平面向量数量积的运算，结合平面向量模的运算求解．
（3）由平面向量数量积的运算，结合及平面向量夹角的运算求解题．
【解答】解：（1）若向量，的夹角为，
又，，
则＝＝＝2；
（2）若|+|＝4，
则，
又，，
则，
即|﹣2|＝＝＝；
（3）若⊥（+），
则，
即，
则＝＝，
则，
即向量，的夹角．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算及平面向量夹角的运算，属中档题．
16．【分析】（1）直接利用正弦定理求出结果；
（2）利用三角形的面积公式求出A的值，进一步利用余弦定理求出三角形的周长．
【解答】解：（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinA＝5asinB，b＝1，
利用正弦定理：sinAsinC＝5sinAsinB，整理得：c＝5b，故c＝5，
由于sinC＝，利用正弦定理，解得2R＝40，故R＝20．
（2）由于，故sinA＝，所以A＝或，
①当A＝时，利用余弦定理＝，解得a＝，故，
②当A＝时，利用余弦定理，解得a＝，故．
【点评】本题考查的知识点：正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17．【分析】（1）由已知结合复数的四则运算进行化简先求出z1，然后结合复数的概念即可求解z3；
（2）结合复数的基本概念及四则运算求出z2，然后结合复数的几何意义及二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）＝＝，
又纯虚数z3的虚部与z1的虚部互为相反数，
则z3＝；
（2）设z2＝a+bi，（a，b为实数），
因为z1 z2＝（）（a+bi）＝∈R，
所以a+＝0，z2＝，
|2z1+z2|＝|（1﹣b）+（1+b）i|
＝＝，
故|2z1+z2|的最小值为．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数几何意义的应用，属于中档题．
18．【分析】（1）以向量、为基底，表示出、、，根据且建立关于x、y的方程组，解出x、y的值，即可得到本题的答案；
（2）根据题意算出＝12，将、表示为、的组合，利用平面向量数量积的运算性质，推导出＝[（λ﹣1）+] （+）＝16λ2+2λ+12，进而利用二次函数的性质，求出的最小值．
【解答】解：（1）当时，E为CD的中点，可得＝＝+，
若，则＝＝（x﹣1）+y，
因为F是AD的中点，所以＝+，结合，得…①，
由，得＝…②，将①②组成方程组，解得x＝，y＝，所以x﹣y＝；
（2）根据题意，可得＝|| ||cos＝12，
由＝，得＝+＝+，可得＝＝（λ﹣1）+，
由，得＝﹣＝+，
所以＝[（λ﹣1）+] （+）＝（λ2﹣λ）||2+（﹣）+||2
＝16（λ2﹣λ）+12（﹣）+62＝16λ2+2λ+12，
根据二次函数的性质，当λ＝时，的最小值为16×（）2+2×（）+12＝．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、平面向量数量积的定义与运算性质、二次函数的最值求法等知识，属于中档题．
19．【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
（2）延长AF交BC于D，延长BF交AC于E，则，设∠FCD＝α，且，分别求出AF，BF，再根据三角恒等变换化简，结合正弦函数的性质即可得解．
【解答】解：（1）因为，
所以，
由正弦定理得，
则，
因为C∈（0，π），所以；
（2）延长AF交BC于D，延长BF交AC于E，
根据题意可得BC⊥AD，BE⊥AC．因为，所以，
设∠FCD＝α，且，
则，
同理可得，
则
＝
＝，
因为，所以，
又，
所以，
所以AF+BF的取值范围是．
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角基本关系，和差角公式的应用，属于中档题
