重庆市永川中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

永川中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知△的内角的对边分别为，且，若内角的平分线交于点，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．向量，，，在正方形网格中的位置如右图所示，若，则（ ）
A．3
B．
C．
D．
4．已知，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，
则直线AP一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．若，，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．
7．在中，，，为线段上的动点不包括端点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知四棱锥的顶点都在体积为的球面上，底面为面积为32的正方形，则当四棱锥体积最大时，该四棱锥的表面积为（ ）
A．66 B．96 C． D．128
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。）
9．如右图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与是异面直线
B．直线与是平行直线
C．直线与是相交直线
D．平面截正方体所得的截面面积为
10．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．的相反向量是 B．若，则
C．在上的投影向量为 D．若，则
11．设的内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则满足条件的三角形只有1个
B．面积的最大值为
C．周长的最大值为
D．若为锐角三角形，则的取值范围是
三、填空题（本大题3小题，每小题5分，共15分）
12．写出一个与向量的夹角为45°的向量 ．（答案不唯一写出一个即可）
13.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为 ．
14．抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊．如图所示，为了测量抚仙湖畔M，N两点之间的距离，现取两点E，F，测得公里，，，，则M，N两点之间的距离为 公里．

四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（满分13分）已知向量，满足，且．
(1)求向量，的夹角；
(2)求．
16.（满分15分）在复平面内，点A，B对应的复数分别是，（其中是虚数单位），设向量对应的复数为.
(1)求复数；
(2)求；
(3)若，且是纯虚数，求实数的值.
17．（满分15分）在中，内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若为的中线，且，求的面积．
18．（满分17分）如图，正三棱柱内接于圆柱，圆柱底面半径为，圆柱高为4．若D，E分别为，中点．
(1)求证：D、E、B、C四点共面；
(2)若直线与直线交于点P，求证：点P在直线上；
(3)若从圆柱中把该正三棱柱挖掉，求剩余几何体的表面积.
19．（满分17分）在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.）
在锐角中，的面积为S，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且选条件：________.
(1)求角A的大小；
(2)作（A，D位于直线BC异侧），使得四边形ABDC满足，，求AC的最大值.
参考答案
1．D 2．C 3．D 4．D 5．C 6．A 7．A
8．D
【详解】设球的半径为，球心为，
则，解得：．
因为底面为面积为32，
所以.
所以要使四棱锥体积最大，只需使点到底面的距离最大.
根据四棱锥的结构特征分析得出：当四棱锥为正四棱锥且球心在四棱锥的内部时，该四棱锥的高最大，体积也最大.
设是线段的中点，是正方形的中心，连接.
设正方形的边长为，
则，解得，
所以正方形的外接圆半径， ，
球心到底面的距离．
当四棱锥的体积最大时，四棱锥的高，
因为四棱锥为正四棱锥，
所以，则，
所以.
此时该四棱锥的表面积为， 故选：D．
9．AD 10．AC 11．BCD
【详解】对于A，因为，，
所以满足条件的三角形有2个，故A错误；
对于B，由余弦定理得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以面积的最大值为，故B正确；
对于C，由余弦定理得，
即，所以，
当且仅当时取等号，
所以的周长，
所以周长的最大值为，故C正确；
对于D，由正弦定理得，
因为为锐角三角形，所以，，
即，，所以，故D正确．
故选：BCD
12．（1，0）（答案不唯一）设，则 故可取
13.【答案】
【解析】解：设圆柱的底面半径为，则其高为．
三棱柱的底面是正三角形，内接于圆，如图：
连接，，过作垂直于，垂足为，因为三角形为等边三角形，
所以，在直角三角形中，，，
三棱柱的体积为解得，
所以圆柱的侧面积为：．故填：．
14．
【详解】在中=
由正弦定理可得：
即
在中
所以，则,
中由余弦定理可得：
即
故答案为：.
15．【详解】（1）由，得到，又，
所以，得到，
所以，又，所以.
（2）由（1）知，又，
所以， 所以.
16【详解】（1）因为点A，B对应的复数分别是，，所以，
所以，故.
（2）因为，
所以.
（3）因为，
所以，
由是纯虚数，可知且，解得.
17．【详解】（1）解：由，可得，
因为，可知，所以，
又因为，联立方程组得，
所以．
（2）解：由（1）知，可得，
因为为的中线，且，所以，
两边平方得，
又由余弦定理得，即，
两式相减，可得，所以．
18．【详解】（1）由于D，E分别为，中点，所以，
又，所以，
所以D、E、B、C四点共面；
（2）由平面，即平面，
同理：平面，即平面 ，
又平面平面，
所以；
（3）令，则，
所以圆柱的侧面积为，圆柱的底面积为，
正三棱柱的侧面积为，正三棱柱的底面积为，
所以剩余几何体的表面积.
19【详解】（1）选①根据正弦定理可知：
，展开化简得，
故，即；
选②根据正弦定理可得：，
根据余弦定理可得：，即；
选③根据向量点乘运算可得：，即.
（2）如图，设，则，
在中，由正弦定理得可得，
，
在中，由正弦定理得：可得，
，
因为是锐角三角形，所以
所以，当时，可得的最大值是.