课件29张PPT。3.2 立体几何中的向量法 (1)第三章 空间向量与立体几何——空间向量与平行、垂直的关系 本节课主要学习由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面等的平行、垂直关系 ．通过复习空间向量的共线、共面定理进行新课导入。学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论，强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法
例1与例2是关于平面的法向量问题；例3是证明两个平面平行问题；例4是证明两条直线平行问题；例5是证明直线与平面的平行问题，运用了一题多解，培养学生的思维的广阔性。因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系．研究 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.引入1、立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面
以及由它们组成的空间图形)引入2、思考
1.如何确定一个点在空间的位置？
2.在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？
3.给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
4.给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？AP１．直线的方向向量直线ｌ的向量式方程 换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量 方向向量与法向量2、平面的法向量?l平面 α的向量式方程 换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面
的法向量例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
直线OA的一个方向向量坐标为___________
平面OABC 的一个法向量坐标为___________
平面AB1C 的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)典例展示变式1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC
的中点， 求平面EDB的一个法向量.ABCDPE解：如图所示建立空间直角坐标系.设平面EDB的法向量为 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系. 用向量方法解决立体问题ml（一）平行关系：证明平行与垂直（二）、垂直关系lmlABCαβ已知 直线l与m相交, 例3.用向量方法证明
定理 一个平面内的两条相交直线与
另一个平面平行,则这两个平面平行 例4 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的中点， 求证：PA//平面EDB.ABCDPE解1 立体几何法证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG在 中，E，G分别为PC，AC的中点ABCDPE解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EGABCDPE解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1证明：设平面EDB的法向量为 证明： 设正方体棱长为1， 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，所以,E是AA1中点， 例6 正方体平面C1BD. 证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面EBD的一个法向量是平面C1BD. 平面EBD1.如图所示, 正方体的棱长为1
直线OA的一个方向向量坐标为___________.
平面OABC 的一个法向量坐标为___________.
平面AB1C 的一个法向量坐标为___________.(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)BB 1．如何认识直线的方向向量？
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个方向确定．在直线l上取点A和 ， 可以作为l的方向向量，借助点A和 即可确定直线l的位置，并能具体表示出直线l上的任意一点．2．如何理解平面的法向量？
(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．3．平行与向量方法（1）直线与直线平行（2）直线与平面平行（3）直线与平面平行课件33张PPT。3.2 立体几何中的向量法 (3)第三章 空间向量与立体几何——空间向量与空间角本节课主要学习利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.以学生探究为主，探讨如何利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等. 讲解二面角的平面角与两个半平面的法向量之间的关系，突破难点。
通过例1和例2巩固掌握二面角的求法，证明线面平行，线面垂直的方法。例3是证明线面平行及求异面直线所成的角，本题可以作为一道备用题，如果时间不许可，可以直接点击链接“课堂检测”，进入课堂检测部分。运用转化思想，将立体几何中的线线角、线面角、二面角转化为空间向量所成的角，再用数量积的定义求相应的角。http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=54260de45aa8a9cc1dd7292f动画展示面与面的夹角 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证.求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一.本节课主要是讨论怎样用向量的办法解决空间角问题.用空间向量解决立体几何问题的三步曲：1.（化为向量问题）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题.
2.（进行向量运算）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题.
3.（回到图形问题）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义..异面直线所成的角lmlm若两直线 所成的角为 , 则线面角ll 二面角注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角二面角的范围： 例1：如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算典例展示所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为于是，得设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。因此例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB.
(2)求证：PB⊥平面EFD.ABCDPEF(3)求二面角C-PB-D的大小.ABCDPEF解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1.(1)证明：连接AC,AC交BD于点G,连接EG.(3)(1)证明：直线MN∥平面OCD；
(2)求异面直线AB与MD所成角的大小．
例3.分析：建系→求相关点坐标→求相关向量坐标→向量运算→结论．解 作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示，
AAD 面面距离回归图形点面距离向量的模二面角平面角向量的夹角回归图形二、利用向量求空间角一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”课件25张PPT。3.2 立体几何中的向量法 (2)第三章 空间向量与立体几何——空间向量与空间距离本节课主要学习利用空间向量求空间距离.从复习一个向量在另一个向量上的射影入手，进行新课导入.以学生自主探究为主，探索用空间向量解决立体几何问题的三步曲. 接着探讨点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离及面面距离的求法. 例1探索两点之间距离的求法.例2是求物体的受力大小问题，而实质还是求两点间的距离问题.
例3是求点面距离，需要建立恰当的坐标系，利用向量法解决.运用转化思想，将面面距离转化为点面距离、点面距离转化为点点距离，运用运动变化思想探究.alaABB1A1 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉 及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题） 空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，
利用公式 或
(其中 )，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题.
点到直线的距离点P与直线l的距离为d , 则 设E为平面α外一点,F为α内任意一
点, 为平面α的法向量,则点E到平面的
距离为:点到平面的距离 a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上的点, 是a,b公垂线的方向向量,则a,b间距离为异面直线间的距离 平面与平面的距离问题A，P分别是平面a与b上任意一点，平面a与b的距离为d , 则mDCPA 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。典例展示（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?分析:分析:∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。 （3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）H 分析：面面距离回归图形点面距离向量的模解：∴ 所求的距离是如图所示，在120°的二面角α -AB-β中，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．
解：取CD的中点O，连结OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.
以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 例2.分析:1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.ABCC1EA1B1ABCC1取x=1,则y=-1,z=1,所以EA1B1二、利用向量求距离1.点到平面的距离：连接该点与平面上任意一点的
向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断
方向，可取其射影的绝对值）.
2.点到直线的距离：求出垂线段的向量的模.
3.直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离.一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。面面距离回归图形点面距离向量的模4.平行与平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离.
5.异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离.也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模.
