第四章 因式分解
1 因式分解
【学习目标】
1、经历从分解因数到分解因式的类比过程．
2、了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系．
3、感受因式分解在解决相关问题中的作用．
【学习策略】
让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，让学生了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，感受分解因式在解决相关问题中的作用．
【学习过程】
一、情境导入：
计算(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a＋b)(a－b)＝a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2＝(a＋b)(a－b)是否成立呢？
a2－b2＝(a＋b)(a－b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题．
二.新课学习：
1．讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流．
93－99能被100整除．
因为993－99＝99×992－99＝99×(992－1)＝99×9800＝99×98×100，
其中有一个因数为100，
所以993－99能被100整除．
993－99还能被哪些正整数整除？（99，98，980，990，9702）
从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式．
2．议一议
你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．
大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式．
a3－a＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1)
3．做一做
（1）计算下列各式：
①(m＋4)(m－4)＝__________；
②(y－3)2＝__________；
③3x(x－1)＝__________；
④m(a＋b＋c)＝__________；
⑤a(a＋1)(a－1)＝__________．
（2）根据上面的算式填空：
①3x2－3x＝( )( )；
②m2－16＝( )( )；
③ma＋mb＋mc＝( )( )；
④y2－6y＋9＝( )2．
⑤a3－a＝( )( ).．
能分析一下两个题中的形式变换吗？
在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中从左边推右边是分解因式.
结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
三、尝试应用
1.下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a （2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a2–ab （4）a2–2ab+b2=(a–b)2
2.下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）.
A．a（a－b）＝a2－ab； B．a2－2a＋1＝a（a－2）＋1
C．x2－x＝x（x－1）； D．x2－＝（x＋）（x－）
3.连一连：
a2－1 (a+1)(a－1)
a2+6a+9 (3a+1)(3a－1)
a2－4a+4 a(a－b)
9a2－1 (a+3)2
a2－ab (a－2)2
四、课堂小结
（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；
（2）分解因式的结果要以积的形式表示；
（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；
（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．
五.达标测试
一．选择题（共3小题）
1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B．（x+2）（x+3）=x2+5x+6
C．x2+3x+5=x（x+3）+5 D．m2﹣n2+2=（m+n）（m﹣n）+2
2．对于算式20132﹣2013，说法不正确的是（ ）
A．能被2013整除 B．既能被2012整除又能被2013整除
C．能被2012整除 D．能被8整除
3．下列从左到右的变形：①5x2y=5yx2；②（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；③a2﹣2a+1=（a﹣1）2；④x2+3x=x（x+3），其中是因式分解的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共3小题）
4．（x+3）（2x﹣1）是多项式 因式分解的结果．
5．当k= 时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）．
6．如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小矩形拼接成矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式： ．
三．解答题（共3小题）
7．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．
8．将下面相对应的因式分解用线连起来．
9．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，
即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：（1）x2+4x+3=x2+（1+3）x+1×3=（x+1）（x+3）；
（2）x2﹣4x﹣5=x2+（1﹣5）x+1×（﹣5）=（x+1）（x﹣5）．
请你仿照上述方法，把多项式分解因式：x2﹣7x﹣18．
参考答案
达标测试答案：
一．选择题
1．【解析】选A．A、是因式分解，故本选项正确；B、不是因式分解，故本选项错误；
C、不是因式分解，故本选项错误；D、不是因式分解，故本选项错误；
2．【解析】选D．20132﹣2013=2013×（2013﹣1）=2013×2012，则结果能被2013及2012整除，不能被8整除．
3．【解析】选C．：③a2﹣2a+1=（a﹣1）2；④x2+3x=x（x+3）是因式分解，
二．填空题
4．【解析】：（x+3）（2x﹣1）=2x2+5x﹣3，
5．【解析】：∵（x﹣4）（x﹣3）=x2﹣7x+12，∴﹣k=﹣7，k=7．
6．【解析】：把图形分割成一个正方形，两个长方形计算面积，则有：a2+2ab=a（a+2b）；
把图形分割成两个长方形，一边长分别是a+b，b，宽都是a，则有：a（a+b）+ab=a（a+2b）；
用整个图形的面积减去一个边长为a，a+b的长方形，得到另外一个长方形，边长是a，b，即：a（a+2b）﹣a（a+b）=ab．
三．解析题（共3小题）
7．解：设原多项式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）．
∵2（x﹣1）（x﹣9）=2（x2﹣10x+9）=2x2﹣20x+18，
∴a=2，c=18；
又∵2（x﹣2）（x﹣4）=2（x2﹣6x+8）=2x2﹣12x+16，
∴b=﹣12．
∴原多项式为2x2﹣12x+18，将它分解因式，得
2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．
8．解：（1）a2﹣1=（a+1）（a﹣1）；
（2）a2+6a+9=（a+3）2；
（3）a2﹣4a+4=（a﹣2）2；
（4）4a2﹣1=（2a+1）（2a﹣1）；
（5）a2﹣ab=a（a﹣b）．
9．【解析】：x2﹣7x﹣18=x2+（﹣9+2）x+（﹣9）×2=（x﹣9）（x+2）．
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