3 公式法
第1课时
【学习目标】
（1）了解运用公式法分解因式的意义；
（2）会用平方差公式进行因式分解；
（3）了解提公因式法是分解因式，首先考虑方法，再考虑用平方差公式分解因式．
（4）在引导学生逆用乘法公式的过程中，发展学生的观察能力培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法．
【学习策略】
让学生经历通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，发展学生的观察能力和逆向思维能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．
【学习过程】
一、情境导入：
1.填空：
（1）（x+3）（x–3） = ；
（2）（4x+y）（4x–y）= ；
（3）（1+2x）（1–2x）= ；
（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．
2.根据上面式子填空：
（1）9m2–4n2= ；
（2）16x2–y2= ；
（3）x2–9= ；
（4）1–4x2= ．
二.新课学习：
观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？
结论：a2–b2=（a+b）（a–b）
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16x2;
（2）9a2－b2.
解：（1）25－16x2=52－（4x）2
=（5+4x）（5－4x）;
（2）9a2－ b2=（3a）2－（b）2
=（3a+b）（3a－b）.
［例2］把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2;
（2）2x3－8x.
解：（1）9（m +n）2－（m－n）2
=［3（m +n）］2－（m－n）2
=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］
=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）
=（4 m +2n）（2 m +4n）
=4（2 m +n）（m +2n）
（2）2x3－8x=2x（x2－4）
=2x（x+2）（x－2）
三.尝试应用：
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）(x–y) ( )
（2）–x2+y2=–（x+y）(x–y) ( )
（3）x2–y2=（x+y）(x–y) ( )
（4）–x2–y2=–（x+y）(x–y) ( )
2、把下列各式因式分解：
（1）4–m2 （2）9m2–4n2
（3）a2b2－m2 （4）(m－a)2－(n＋b)2
（5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
3、如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
四.达标测试
一．选择题（共3小题）
1．多项式x2﹣4分解因式的结果是（ ）
A．（x+2）（x﹣2） B．（x﹣2）2 C．（x+4）（x﹣4） D．x（x﹣4）
2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9
3．若a+b=3，a﹣b=7，则b2﹣a2的值为（ ）
A．﹣21 B．21 C．﹣10 D．10
二．填空题（共3小题）
4．分解因式：9﹣b2= ．
5．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= ．
6．已知a2﹣b2=5，a+b=﹣2，那么代数式a﹣b的值 ．
三．解答题（共3小题）
7．因式分解：25（m+n）2﹣（m﹣n）2．
8.分解因式：（x+5）2﹣4．
9.已知：A=4x+y，B=4x﹣y，计算A2﹣B2．3 公式法
第2课时 用完全平方公式因式分解
【学习目标】
（1）会用完全平方公式进行因式分解；
（2）清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．
（3）通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，感受事物间的因果联系．
【学习策略】
整式乘法中的完全平方公式从左到右转换为从右到左就形成因式分解的完全平方公式，这样的转换正是由正向思维转到逆向思维的体现．
【学习过程】
一、复习回顾
填空：
（1）（a+b）（a-b） = ；
（2）（a+b）2= ；
（3）（a–b）2= ；
根据上面式子填空：
（1）a2–b2= ；
（2）a2–2ab+b2= ；
（3）a2+2ab+b2= ；
结 论：形如a2+2ab+b2 与a2–2ab+b2的式子称为完全平方式．
二.新课学习：
观察下列哪些式子是完全平方式？如果是，请将它们进行因式分解．
（1）x2–4y2 （2）x2+4xy–4y2 （3）4m2–6mn+9n2 （4）m2+6mn+9n2
结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；
用完全平方公式可以进行因式分解，
a2–2ab+b2=（a–b）2 a2+2ab+b2=（a+b）2
例题讲解
［例1］把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49; （2）（m+n）2－6（m +n）+9.
先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.
［例2］把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2; （2）－x2－4y2+4xy.
一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.
三.尝试应用：
1．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．m2－mn+n2 B．（a+b）2－4ab C．x2－2x+ D．x2+2x－1
2．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是（ ）
A．8 B．16 C．2 D．4
3．下列各式不是完全平方式的是（ ）
A．x2+4x+1 B．x2－2xy+y2 C．x2y2+2xy+1 D．m2－mn+n2
4.如果x2+6x+k 是一个完全平方式，那么k的值是__________；
5.把下列各式因式分解：
（1）x2–4x+4 （2）9a2+6ab+b2 （3）m2–
（4）3ax2+6axy+3ay2 （5）–x2–4y2+4xy
四、课堂小结
多项式同时具备条件：①含字母a和b；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.
五.达标测试
一．选择题（共6小题）
1．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．x2+x+1 B．x2+2x+1 C．x2+2x﹣1 D．x2﹣2x﹣1
2．下列代数式变形正确的是（ ）
A．﹣a+b=（a+b） B．﹣4a2+b2=（2a﹣b）（2a+b）
C．（﹣x﹣y）2=（x+y）2 D．x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣3
3．若多项式x2+2ax+4能用完全平方公式进行因式分解，则a值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
二．填空题（共6小题）
4.分解因式：4a2﹣4a+1= ．
5.．若多项式x2﹣2（m﹣3）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m的值应为 ．
6.分解因式：（a+b）2﹣12（a+b）+36= ．
三．解答题（共6小题）
7．分解因式：ax2﹣2ax+a．
8．已知x﹣y=﹣1，xy=3，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．
9.（1）实验与观察：（用“＞”、“=”或“＜”填空）
当x=﹣5时，代数式x2﹣2x+2 1；
当x=1时，代数式x2﹣2x+2 1；…
（2）归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么？请写出来并证明它是正确的；
（3）拓展与应用：求代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值．
参考答案
达标测试答案：
一．选择题（共3小题）
1.【解析】选B．A、x2+x+1，无法分解因式，故此选项错误；B、x2+2x+1=（x+1）2，故此选项错误；C、x2+2x﹣1，无法分解因式，故此选项错误；D、x2﹣2x﹣1，无法分解因式，故此选项错误；
2.【解析】选C．A、﹣a+b=﹣（a﹣b），故此选项错误；B、﹣4a2+b2=（b﹣2a）（2a+b），故此选项错误；C、（﹣x﹣y）2=（x+y）2，正确；D、x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣7，故此选项错误；
3.【解析】选C．：∵多项式x2+2ax+4能用完全平方公式进行因式分解，∴2a=±4，解得：a=±2．
二．填空题（共3小题）
4.【解析】：4a2﹣4a+1=（2a﹣1）2．
5．【解析】：∵x2﹣2（m﹣3）x+16能用完全平方公式进行因式分解，∴﹣2（m﹣3）=±8，
解得m=﹣1或7．
6.．【解析】解：原式=（a+b﹣6）2．
三．解析题（共3小题）
7.解：ax2﹣2ax+a，
=a（x2﹣2x+1），
=a（x﹣1）2．
8.解：原式=xy（x2﹣2xy+y2）
=xy（x﹣y）2，
把x﹣y=﹣1，xy=3代入得：原式=3．
9.解：（1）把x=﹣5代入x2﹣2x+2，得25+10+2=37＞1；
把x=1代入x2﹣2x+2，得1﹣2+2=1，
答案：＞，=；
（2）∵x2﹣2x+2=x2﹣2x+1+1=（x﹣1）2+1，
X为任何实数时，（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1≥1；
（3）a2+b2﹣6a﹣8b+30=（a﹣3）2+（b﹣4）2+5．
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+5≥5，
∴代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值是5．
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