26.1.2 反比例函数的图像和性质教案（第2课时） 人教版数学九年级下册

第二十六章 反比例函数
26.1．2反比例函数的图象和性质
第二课时
一、教学目标
1．回顾反比例函数的性质，加深对反比例函数性质的理解，解决问题。
2．研究反比例函数图像上一点向两坐标轴作垂线围成的矩形面积，探究k的几何意义。
3．反比例函数与一次函数的交点问题。
二、教学重难点
重点：研究反比例函数图像上一点向两坐标轴作垂线围成的矩形面积，探究k的几何意义。
难点：反比例函数与一次函数的交点问题。
三、教学过程
【新课导入】
函数 正比例函数 反比例函数
解析式 y=kx（k≠0）
图像形状 直线 双曲线
K>0 位置 y x y x
增减性 y随x的增大而增大。 在每个象限内，y随x的增大而减小。
K<0 位置 y x y x
增减性 y随x的增大而减小。 在每个象限内，y随x的增大而增大。
【新知探究】
（一）反比例函数 中比例系数k的几何意义
探究一：如图①，在 的图像上，过任意一点P(x,y)作x轴，y轴的垂线PM，PN，分别交x轴，y轴于点M，N，则矩形PMON的面积S=PM·_____= · _____ =__________
y y
P N
O x
M O x
F E
②
探究二:如图②,在 的图像上任取一点E,作EF⊥y轴于点F,连接OE,
则 ,若点E的坐标为(a,b),则
归纳总结一：
1.过双曲线 上任意一点作x轴，y轴的垂线，所得的矩形面积为
2.过双曲线 上任意一点作一坐标轴的垂线，并连接该点与原点，
所得的三角形面积为
例1：如图③所示，A,C是函数 图像上的任意两点，过A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥y轴于点D，记△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则（ ）
A S1>S2 B S1y y
A
O B x O
C D
④
例2：如图④，请比较K1，K2，K3的大小_________________
（二）反比例函数与一次函数图像的交点问题
例3：如图⑤，已知A（-4,2），B（n，-4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数
y
图像的两个交点，
（1）求一次函数和反比例函数的解析式。 A
（2）求△AOB的面积。 C O x
（3） 观察图像，直接写出不等式 的解集。
B ⑤
解:（1）将A（-4,2）代入 中，
得m=-8
∴反比例函数是
将B（n，-4）代入 中，
得n=2
将A（-4,2）B（2，-4）代入y=kx+b中，
得：
解得：k=-1，b=-2
∴一次函数为y=-x-2
（2）当y=0时，-x-2=0
x=-2
∴C(-2,0)
∴
（3）
归纳总结二：反比例函数与一次函数综合问题的解题策略
求反比例函数和一次函数的解析式，关键是求出两者图像的交点，然后利用待定系数法列方程求解，这其中渗透了方程思想的应用。
涉及函数取值范围或不等式时，可以利用图像解决，体现了数形结合。
特别地，反比例函数和正比例函数图像都是中心对称图形，反比例函数与正比例函数的两个交点关于原点对称。
【课堂小结】
（一）1.过双曲线 上任意一点作x轴，y轴的垂线，所得的矩形面积为
2.过双曲线 上任意一点作一坐标轴的垂线，并连接该点与原点，
所得的三角形面积为
反比例函数与一次函数综合问题的解题策略
1．求反比例函数和一次函数的解析式，关键是求出两者图像的交点，然后利用待定系数法列方程求解，这其中渗透了方程思想的应用。
2. 涉及函数取值范围或不等式时，可以利用图像解决，体现了数形结合。
3. 特别地，反比例函数和正比例函数图像都是中心对称图形，反比例函数与正比例函数的两个交点关于原点对称。
【课堂训练】
1.如图⑥,A是反比例函数 的图像上一点,AB⊥y轴于点B,若 ABO的面积为2,则k的值为( )
A -4 B 1 C 2 D 4
Y y
M B
O x A O x
A B
⑦
2.如图⑦，在平面直角坐标系中，过点M（-3,2）分别作x轴，y轴的垂线与反比例函数 的图像交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为___________
3.在同一坐标系中，函数 和 y=kx+3 的图像大致是（ ）
y y y y
x x x x
A B C D
4.如图⑧，在平面直角坐标系中，y=kx+b与反比例函数 的图像相较于点A（2,3），
B(-6,-1),则不等式 的解集为( )
A x<-6 B-62 C x>2 D x<-6或0y y
A C B
D
O x O x
B A
⑧ ⑨
5. 如图⑨,已知一次y=x+m与x轴,y轴分别交于点A,B,与双曲线 分别交于点C,D,且C点的坐标为(-1,2)
(1)分别求出直线AB和双曲线的解析式。
(2)求出点D的坐标。
(3)利用图像直接写出:当x为何值时,
【教学反思】
学习了一次函数和二次函数后,学生从思维上能够类比出解决反比例函数的问题, ⑨重点突出数形结合，利用图像解决问题。