郑州市优胜实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A. 1 B. C. 0 D. 1或
【答案】B
【解析】
【分析】由纯虚数的定义列式求解即可.
【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得.
故选：B.
2. 如果两条直线和没有公共点，那么这两条直线是（ ）
A. 平行 B. 平行或是异面直线
C. 是异面直线 D. 共面
【答案】B
【解析】
【分析】由空间中直线的位置关系即可得解.
【详解】如果两条直线和没有公共点，那么这两条直线是同一平面内的平行直线或是异面直线.
故选：B.
3. 点在线段上，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量的线性运算即可求解.
【详解】因为点在线段上，且，
所以，，，故A正确，BCD错误.
故选：A.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面
B. 如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线
C. 如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b
D. 如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，那么b∥α
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面平行的定义即可判断A；根据线面平行的性质定理可判断B；根据线面平行的定义即可判断C；根据线面平行的判定定理可判断D
【详解】如图，在长方体ABCD A′B′C′D′中，
AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面AB′内，故选项A不正确；
AA′∥平面B′C，BC平面B′C，但AA′不平行于BC，故选项B不正确；
AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以选项C不正确；
选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，
故b∥α，即选项D正确．
故选：D.
【点睛】本题考查了线面平行的定义、判定定理、性质定理，需理解定理与定义，属于基础题.
5. 若一个球体的体积与其表面积相等，则该球体的半径为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由球的体积公式、表面积公式列式即可求解.
【详解】设该球体的半径为，由题意，解得.
故选：C.
6. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
7. 如图，在三棱锥中，，分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.则下列结论中不一定成立的是（ ）
A. B.
C. 平面 D. 平面
【答案】D
【解析】
【分析】
利用线面平行的判定和性质对选项进行排除得解.
【详解】对于，，分别为，的中点，，EF与平面BCD平行
过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面，
，，故AB正确；
对于，，平面，平面，平面，故正确；
对于，的位置不确定，与平面有可能相交，故错误.
故选:D.
【点睛】熟练运用线面平行的判定和性质是解题的关键.
8. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设中点为，确定，为正三角形，再计算向量的投影得到答案.
【详解】设中点为，则，即，故边为圆的直径，
则，又，则为正三角形，
则有，
向量在向量上的投影向量，
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 下列结论不正确的是（ ）
A. 若与都是单位向量，则 B. 直角坐标平面上的轴，轴都是向量
C. 若与是平行向量，则 D. 海拔、温度、角度都不是向量
【答案】ABC
【解析】
【分析】由向量、单位向量、以及平行向量的定义即可逐一判断.
【详解】对于A，若与都是单位向量，则它们的模都是1，但方向不一定相同，即与不一定相等，故A符合题意；
对于B，直角坐标平面上的轴，轴都有方向，但是没有长度，即直角坐标平面上的轴，轴不是向量，故B符合题意；
对于C，若与是平行向量，则它们的方向可能相反，长度也不一定相等，即与不一定相等，故C符合题意；
对于D，海拔、温度、角度只有大小没有方向，故它们都不是向量，故D不符合题意.
故选：ABC.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 一个棱锥至少5个面
B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据柱体和锥体的体结构特征和基本性质对每一题进行逐一分析判断.
【详解】对于A，三棱锥只有4个面，故A错误；
对于B，由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确；
对于C，由棱锥的定义可知，侧面是三角形，底面的边数决定了它是几棱锥，从而有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确；
对于D，由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确.
故选：BCD.
11. 三角形 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断是钝角三角形的有（ ）
A. a＝2，b＝3，c＝4 B.
C D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据余弦定理、正弦定理，结合平面向量数量积的定义逐一判断即可.
【详解】A：因为a＝2，b＝3，c＝4，所以角C最大，
由，
所以是钝角三角形，因此本选项正确；
B：由，不能判断是钝角三角形，所以本选项不正确；
C：根据正弦定理，由，
由余弦定理可知：，所以是钝角三角形，因此本选项正确；
D：根据正弦定理，由
，
所以是直角三角形，不符合题意，
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在平行四边形中，，，用，表示向量，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由向量的减法即可得解.
【详解】由题意.
故答案：.
13. 在复数范围内，方程的一个解为，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】由复数的根的定义运算即可得解.
【详解】由题意，所以，所以.
故答案为：1.
14. 已知复数，，并且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由复数相等，可用含的二次式子表示出，进一步结合的值域即可求解.
【详解】由题意，所以，
从而，
注意到的取值范围是，所以的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算（1）；（2）；（3）
【答案】（1）13；（2）（3）
【解析】
【分析】（1）由复数乘法运算即可求解；
（2）由复数乘法运算即可求解；
（3）由复数乘法、除法运算即可求解.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
16. （1）求证：；
（2）已知在中，是的中点，证明：；
（3）已知，，且与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？
【答案】（1）证明过程见解析（2）证明过程见解析（3）
【解析】
【分析】（1）由数量积的运算律即可得证；
（2）先得出，，进一步结合（1）中结论即可得证；
（3）由向量垂直得数量积为0，由此列式即可求解.
【详解】（1）；
（2）由题意，
，
；
（3）向量与互相垂直当且仅当，
解得，
所以当时，向量与互相垂直.
17. （1）在中，已知，，，求.
（2）在中，已知，，，解这个三角形
【答案】（1）（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）直接由余弦定理即可求解；
（2）首先由正弦定理求出或，再结合三角形内角和、余弦定理即可求解.
【详解】（1）由余弦定理有，即，故；
（2）由正弦定理有，即，解得，
由可知，，而，，所以，
结合，可知或，
当时，有，由余弦定理有，
即，
解得或（舍去）；
当时，有，由余弦定理有，
即，
解得或（舍去）；
综上所述，或.
18. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）平面EFA1平面BCHG.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用中位线定理与空间平行线的传递性，推得，由此得证；
（2）利用线面平行的判定定理证得EF平面BCHG，A1E平面BCHG，从而利用面面平行的判定定理即可得证.
【小问1详解】
∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点
∴GH是的中位线，∴GHB1C1，
又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，
∴B，C，H，G四点共面．
【小问2详解】
∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EFBC，
∵平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF平面BCHG，
∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，
∴A1GEB，，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB，
∵平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E平面BCHG，
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1平面BCHG.
19. 在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若向量，，求取值范围；
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理进行边化角化简可求出，从而得出角的范围；
（2）利用向量的坐标运算代入化简，由，可化简为，由三角函数的值域求出的取值范围；
（3）由正弦定理转化为三角函数，利用三角函数的值域求解即可.
小问1详解】
由正弦定理可知：等价于
，即，
因为，所以有，
又，所以.
【小问2详解】
，，
，
则
，
因为，所以，则有，
所以，
则的取值范围为.
【小问3详解】
由，所以，
所以
，
因为，所以，则有，
所以，
即的取值范围为.郑州市优胜实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A. 1 B. C. 0 D. 1或
2. 如果两条直线和没有公共点，那么这两条直线是（ ）
A. 平行 B. 平行或是异面直线
C. 是异面直线 D. 共面
3. 点在线段上，且，则下列选项正确是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面
B. 如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线
C. 如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b
D 如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，那么b∥α
5. 若一个球体体积与其表面积相等，则该球体的半径为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
6. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在三棱锥中，，分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.则下列结论中不一定成立的是（ ）
A. B.
C. 平面 D. 平面
8. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 下列结论不正确的是（ ）
A. 若与都是单位向量，则 B. 直角坐标平面上的轴，轴都是向量
C. 若与是平行向量，则 D. 海拔、温度、角度都不是向量
10. 下列命题正确的是（ ）
A 一个棱锥至少5个面
B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
11. 三角形 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断是钝角三角形的有（ ）
A. a＝2，b＝3，c＝4 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在平行四边形中，，，用，表示向量，则______．
13. 在复数范围内，方程的一个解为，则______．
14. 已知复数，，并且，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算（1）；（2）；（3）
16 （1）求证：；
（2）已知在中，是的中点，证明：；
（3）已知，，且与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？
17. （1）在中，已知，，，求.
（2）在中，已知，，，解这个三角形
18. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）平面EFA1平面BCHG.
19. 在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若向量，，求的取值范围；
（3）若，求的取值范围．
