常德市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学试卷
时量：120分钟 满分：150分
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1. 若三点共线，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量三点共线的坐标表示计算即可.
【详解】易知，
又三点共线，所以.
故选：B
2. 在△中，为边上的中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
3. 点E，F，G，H分别为空间四边形中，，，的中点，若，且与所成角的大小为，则四边形是
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
【答案】D
【解析】
【分析】由三角形中位线性质说明四边形是平行四边形，再根据以及与所成角的大小为，即可判断四边形形状.
【详解】，，分别为，，，的中点，
则有且，所以，
则四边形是平行四边形，同理，
所以是直线与所成的角（或其补角），
因为，则，平行四边形是菱形，
与所成角的大小为，所以，
所以平行四边形是正方形，
故选：D．
4. 若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用向量的数量积公式求出，，再代入向量夹角公式进行求解
【详解】因为向量，的夹角为，且，，
所以，
，
因为，所以
故选：A
5. 设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则是异面直线 D. 若，则或，是异面直线
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间中线、面的位置关系一一判定选项即可.
【详解】
对于A，可设为平面，显然，但，故A错误；
对于B，可设为平面，显然，但，故B错误；
对于C，可设分别为平面，平面，
显然，但，故C错误；
对于D，若，则两平面不会有交点，所以或，是异面直线，
故D正确.
故选：D
6. 如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等体积法，由求解即可.
【详解】由直三棱柱的体积为6，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得，
即到平面的距离为.
故选：B.
7. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，在由正弦定理求出，进而利用锐角三角函数求出高度.
【详解】如图由题意得：，，，
在中，，
在中，，
由正弦定理得：，即，
解得，
由于平面，平面，所以，
则.
故选：A
8. 在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件求得，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.
【详解】设，
因为，所以，①
因为，且，
所以，
由正弦定理可得，②
又，所以，③
由①，②，③解得，
由余弦定理，所以，
，
因为点三点共线，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C
二、多项选择题（每小题5分，共20分，多选错选不得分，少选得2分）
9. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则以下正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据展开图还原直观图，利用正方体的结构特征，平行的判定进行判断．
【详解】解：由展开图可得几何体的直观图如下：
所以与为异面直线，与为异面直线，故A、D错误；
由正方体的性质可得（），，
所以四边形为平行四边形，所以，故B、C正确；
故选：BC
10. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则为等腰三角形.
B. 若，则.
C. 若，，，则有两解.
D. 若，，则面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用正弦定理化边为角，结合二倍角公式即可判断A；
根据大角对大边及正弦定理即可判断B；
由已知结合正弦定理即可判断C；
结合余弦定理及基本不等式，三角形面积公式即可判断D.
【详解】对于A，因，由正弦定理得，
所以，即，
所以或，即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A错；
对于B，因为，所以，由正弦定理得，故B对；
对于C，由正弦定理，
所以，
所以或，
所以有两解，故C对；
对于D，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以面积的最大值为，故D对.
故选：BCD.
11. 已知正四棱台中，，则关于该正四棱台，下列说法正确的是（ ）
A. B. 高为 C. 体积为 D. 表面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正四棱台的结构特征逐项分析判断.
【详解】过分别作底面、的垂线，垂足分别为、，
则，
可得.
对于A：在Rt中，可得，
且为锐角，则，故A错误；
对于B：正四棱台的高即为，故B错误；
对于C：正四棱台的体积，故C正确；
对于D：四棱台的表面积，故D错误；
故选：BC.
12. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. 最大值为9 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断A，D；以点为原点建立平面直角坐标系，设，，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断B、C．
【详解】因为，AD的中点为O，所以，
则，故A项正确；
，
，
则，故D项正确；
如图，以点O为原点建立平面直角坐标系，
则，，，
因为点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，且在x轴的下半部分，
所以设，，则，，，
所以，
因，所以，所以当时，取得最大值9，故C项正确；
因为，所以，即，
所以，所以，因为，
所以当时，取得最大值，故B项错误．
故选：ACD．
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知复数满足，则的最大值是__________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据复数的几何意义和目标式的几何意义，即可求得结果.
【详解】由题意，复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
而表示复数对应的点到点的距离，
最大的距离为，
即的最大值是.
故答案为：.
14. 边长为的正，在斜二测画法下的直观图的面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】由斜二测画法中直观图与原图形的面积关系直接求解.．
【详解】因为正的边长为a，所以正的面积.
设直观图的面积为，
则.
故答案为：．
15. 正三棱柱的所有棱长均为，则直线与平面所成的角的正弦值为_______________．
【答案】##
【解析】
【分析】取中点，连接，则可证得是直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求解即可
【详解】取中点，连接，由于是等边三角形，所以，
又正三棱柱中平面平面，平面平面，
所以平面，
所以是直线与平面所成的角，
在直角三角形中，，，
所以．
故答案为：
16. 如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的数量积运算即可求解.
【详解】因为正方形的边长为4，取的中点，连接，
当在点或点时，，
当当在弧中点时，，
所以的取值范围为，
由于，，，
所以，
因为，所以，故，
所以，即的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（共6个大题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分）
17. 设实部为正数的复数z，满足，且复数为纯虚数．
（1）求复数z；
（2）若复数z是关于x的方程（m，的根，求实数m和n的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据复数模的公式，结合复数乘法的运算法则和纯虚数的概念即可得出答案.
（2）复数z是关于x的方程（m，的根，代入方程可得，解方程即可得出答案.
【小问1详解】
设，（a，，），则
因为为纯虚数，所以，
又，所以，
联立方程得，，故.
【小问2详解】
因为是关于的方程（m，）的根，
所以，即，
所以
解得，．
18. 如图所示，圆锥的底面半径为2，为母线的中点，侧面展开图是一个中心角为的扇形．
（1）求圆锥的表面积和体积；
（2）若圆锥的底面圆周和和顶点都在球的球面上，求球的表面积；
（3）若一只蚂蚁从点出发沿着圆锥侧面爬行，穿过母线，绕圆锥侧面爬行一周后来到母线的中点，试求蚂蚁爬行的最短路程．
【答案】（1）表面积为，体积为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求得圆锥的母线长和高，从而求得圆锥的表面积和体积.
（2）利用勾股定理计算出球的半径，从而求得球的表面积.
（3）利用余弦定理求得最短路程.
【小问1详解】
依题意，圆锥的底面半径为，
圆锥侧面展开图是一个中心角为的扇形，
设圆锥的母线长为，则，
所以圆锥的高，
所以圆锥的表面积为，
体积为.
【小问2详解】
设球的半径为，则,
所以球的表面积为.
【小问3详解】
依题意圆锥侧面展开图是一个中心角为的扇形，
,
所以蚂蚁爬行的最短路程为.
19. 在中，，直线为线段的垂直平分线，与交于点，为上异于的任意一点.
（1）求的值；
（2）判断的值是否为一个常数？若是，请证明并求出常数；若不是，请说明理由.
【答案】（1）14 （2）是，证明见解析，常数为14
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示计算即可；
（2）设点坐标为，由平面向量垂直的坐标表示得出E的横纵坐标等量关系，再求即可.
【小问1详解】
以A为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
如图，由题意可知.
为中点，点坐标为，
，
.
【小问2详解】
设点坐标为，其中.
由，得，
，
.
，
故的值为常数14.
20. 如图所示，在直三棱柱中，,,，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）由勾股定理计算得AC⊥BC，再由直棱柱性质得C1C⊥AC，最后根据线面垂直判定定理得AC⊥平面BCC1B1，即得AC⊥BC1；（2）设CB1与C1B的交点为E，由三角形中位线性质得DE∥AC1，再根据线面平行判定定理得结论；（3）因为DE∥AC1，所以∠CED为AC1与B1C所成的角．再根据解三角形得所成角的余弦值．
【详解】(1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.
又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.
∵BC1 平面BCC1B，∴AC⊥BC1.
(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，
又四边形BCC1B1为正方形．
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.
∵DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
(3)∵DE∥AC1，
∴∠CED为AC1与B1C所成的角．在△CED中，ED＝AC1＝，
CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，∴cos∠CED＝＝.
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
21. 已知向量.
（1）求的取值范围；
（2）记，在中，角对边分别为且满足，求函数的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）根据题意，求得，再由，利用正弦定理求得，得到，得到，进而求得的取值范围.
【小问1详解】
（1）因为，
可得
，
因为，所以.
【小问2详解】
解：由题意得
，可得，
因为，由正弦定理得，
所以，所以，
又因为，则，且，所以，
因为，所以，所以，则，
则，所以函数的值域是.
22. 如图，四边形是边长为2的正方形，与均为正三角形，将，与向上折起，使得三点重合于点，得到三棱锥．
（1）证明：平面平面．
（2）设为棱上一点，二面角为，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明，，得平面，从而可证平面平面；
（2）分别求出三棱锥，的体积，然后相减，即可得到本题答案.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，，则，
依题意可得，，，
所以，所以，
又，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
【小问2详解】
解：如图，作交于，作于，连接，
因为平面，所以平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
所以，则是二面角的平面角，则，
因此是等腰直角三角形，设，
则，得，
由，得，得，
，
，
故．常德市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学试卷
时量：120分钟 满分：150分
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1. 若三点共线，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
2. 在△中，为边上中线，为的中点，则
A. B.
C. D.
3. 点E，F，G，H分别为空间四边形中，，，的中点，若，且与所成角的大小为，则四边形是
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
4. 若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则是异面直线 D. 若，则或，是异面直线
6. 如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. 2 D.
7. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度为（ ）.
A. B. C. D.
8. 在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（每小题5分，共20分，多选错选不得分，少选得2分）
9. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则以下正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A. 若，则为等腰三角形.
B. 若，则.
C. 若，，，则有两解.
D. 若，，则面积的最大值为
11. 已知正四棱台中，，则关于该正四棱台，下列说法正确的是（ ）
A. B. 高为 C. 体积为 D. 表面积为
12. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. 最大值为9 D.
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知复数满足，则的最大值是__________.
14. 边长为正，在斜二测画法下的直观图的面积是________．
15. 正三棱柱的所有棱长均为，则直线与平面所成的角的正弦值为_______________．
16. 如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为_____.
四、解答题（共6个大题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分）
17. 设实部为正数的复数z，满足，且复数为纯虚数．
（1）求复数z；
（2）若复数z是关于x方程（m，的根，求实数m和n的值．
18. 如图所示，圆锥的底面半径为2，为母线的中点，侧面展开图是一个中心角为的扇形．
（1）求圆锥的表面积和体积；
（2）若圆锥的底面圆周和和顶点都在球的球面上，求球的表面积；
（3）若一只蚂蚁从点出发沿着圆锥侧面爬行，穿过母线，绕圆锥侧面爬行一周后来到母线的中点，试求蚂蚁爬行的最短路程．
19. 在中，，直线为线段的垂直平分线，与交于点，为上异于的任意一点.
（1）求的值；
（2）判断的值是否为一个常数？若是，请证明并求出常数；若不是，请说明理由.
20. 如图所示，在直三棱柱中，,,，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）求异面直线与所成角的余弦值．
21. 已知向量.
（1）求取值范围；
（2）记，在中，角对边分别为且满足，求函数的值域.
22. 如图，四边形是边长为2的正方形，与均为正三角形，将，与向上折起，使得三点重合于点，得到三棱锥．
（1）证明：平面平面．
（2）设为棱上一点，二面角为，求三棱锥的体积．
