湖南省2024届高考数学临门押题考试试卷（含解析）

湖南省2024届高考数学临门押题考试试卷
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。
3.本试题卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知抛物线的焦点为为上一点，为坐标原点，当时，，则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3.已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
4. 在矩形中，，为中点，为平面内一点，.则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是"”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6．已知定义在上的偶函数满足且，则
A．4049 B．2025 C．4048 D．2024
7.已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，平面平面PBC，和都是边长为的等边三角形，若M为三棱锥外接球上的动点，则点M到平面ABC距离的最大值为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ）
A．在样本数据中，根据最小二乘法求得线性回归方程为1，去除一个样本点后，得到的新线性回归方程一定会发生改变
B．具有相关关系的两个变量的相关系数为那么越大，之间的线性相关程度越强
C．若散点图中的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数
D．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
10.如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，，，点P是棱的中点，点M是侧面内的一点，则下列说法正确的是（ ）
A.直线与直线所成角的余弦值为
B.存在点，使得
C.若点是棱上的一点，则点M到直线的距离的最小值为
D.若点到平面的距离与到点的距离相等，则点M的轨迹是抛物线的一部分
11．一般地，对于复数为虚数单位，，，在平面直角坐标系中，设，经过点的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知，，因此，我们称此种形式为复数的三角形式，称为复数的模，称为复数的辐角．为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合的辐角的值叫做辐角的主值．已知复数满足，，为的实部，为的辐角的主值，则　　
A．的最大值为 B．的最小值为
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，，则__________.
13.已知随机变量，且，则的最小值为__________.
14.在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点和点，与x轴正半轴相交于点若在第一象限内的圆弧AB上存在点P，使，则圆C的标准方程为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列。
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前项和。
16．（15分）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围．
17.（15分） 已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，是线段上的点，且．
（1）证明：平面；
（2）点在直线上，求与平面所成角最大值．
18.本小题17分双曲线的焦点为，在下方，虚轴的右端点为A，过点且垂直于y轴的直线l交双曲线于点在第一象限，与直线交于点B，记的周长为m，的周长为n，
若C的一条渐近线为，求C的方程;
已知动直线与C相切于点T，过点T且与垂直的直线分别交x轴，y轴于M，N两点，Q为线段MN上一点，设，为常数.若为定值，求的最大值.
19. 本小题17分某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为（，均大于100），每一次试验均相互独立.
（1）求的分布列；
（2）记随机变量.已知，
（i）证明：，；
（ii）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值.
（已知随机变量服从超几何分布记为：（其中为总数，为某类元素的个数，为抽取的个数），则）
湖南省2024届高考数学临门押题考试试卷
数学（含解析）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。
3.本试题卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得，，故，故选D.
2. 已知抛物线的焦点为为上一点，为坐标原点，当时，，则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】如图，过作的准线的垂线，垂足为，作，垂足为，
由，得，
所以，
所以，即．故选：B．
3.已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
【答案】A
【解析】解：展开式中只有第3项的二项式系数最大，
即 最大，故，
故 的通项公式为，
令，求得，
可得展开式中的常数项为 故选
4. 在矩形中，，为中点，为平面内一点，.则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
则，
因为，可设，
则，
可得，
其中，
因为，所以.故选：A.
5.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是"”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为A，，
由正弦定理可得，，
故“”是"”的充要条件.故选
6．已知定义在上的偶函数满足且，则
A．4049 B．2025 C．4048 D．2024
【答案】A
【解析】由，令，得，又令得，
再令，又，
所以，
又，
所以为的一个周期，
．故选A．
7.已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：当时，，即，
当时，，即，
若数列是递增数列，则，，解得：，，即，因为，故选B．
8.在三棱锥中，平面平面PBC，和都是边长为的等边三角形，若M为三棱锥外接球上的动点，则点M到平面ABC距离的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设BC中点为T，的外心为，的外心为，
过点作平面ABC的垂线，过点作平面PBC的垂线，两条垂线的交点O即为三棱锥外接球的球心，
因为和都是边长为的正三角形，可得，
因为平面平面ABC，且，
所以四边形是边长为1的正方形，
所以外接球半径，
M到平面ABC的距离
故选
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ）
A．在样本数据中，根据最小二乘法求得线性回归方程为1，去除一个样本点后，得到的新线性回归方程一定会发生改变
B．具有相关关系的两个变量的相关系数为那么越大，之间的线性相关程度越强
C．若散点图中的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数
D．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
【答案】CD
【解析】对于B，越接近于1，则之间的线性相关程度越强，故B错误；
对于C，若散点图中的散点均落在一条斜率非的直线上，则变量与变量之间满足线性函数关系，决定系数故C正确；故选CD．
对于D，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故D正确．
10.如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，，，点P是棱的中点，点M是侧面内的一点，则下列说法正确的是（ ）
A.直线与直线所成角的余弦值为
B.存在点，使得
C.若点是棱上的一点，则点M到直线的距离的最小值为
D.若点到平面的距离与到点的距离相等，则点M的轨迹是抛物线的一部分
【答案】ACD
【解析】以点A为坐标原点，分别以、、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
所以，，，，，，
所以，，
所以，，
所以直线与直线所成角的余弦值为，故A正确；
由题意，设，
则，又，
若，则，解得，
所以不存在点M，使得，故B错误；
设，所以，
所以点到直线的距离
，
所以，此时，
所以点M到直线的距离的最小值为，故C正确；
设，
则点M到平面的距离为z，点M到点的距离为.
因为点M到平面的距离与到点的距离相等，所以，
整理得（其中，），
即点M的轨迹方程为，是抛物线的一部分，故D正确.
故选ACD.
11．一般地，对于复数为虚数单位，，，在平面直角坐标系中，设，经过点的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知，，因此，我们称此种形式为复数的三角形式，称为复数的模，称为复数的辐角．为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合的辐角的值叫做辐角的主值．已知复数满足，，为的实部，为的辐角的主值，则　　
A．的最大值为 B．的最小值为
C． D．
【答案】ABD
【解析】由复数满足，的几何意义知，点在以为圆心、以为半径的圆上或圆内，如图所示：
对于、，的几何意义是点与点的距离，其最大值为．
的最小值为，所以选项、正确．
对于，因为图中辐角的余弦值不小于，所以选项错误．
对于，设，有（其中是的辐角的主值），
因为，所以，选项正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，，则__________.
【答案】
【解析】因为
故答案为：
13.已知随机变量，且，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】，可得正态分布曲线的对称轴为，
又，，即
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则的最小值为故答案为：
14.在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点和点，与x轴正半轴相交于点若在第一象限内的圆弧AB上存在点P，使，则圆C的标准方程为__________.
【答案】
【解析】根据题意作图，如图所示：
则，
所以，
由题意可知，，
，
又，则AB为圆的直径，设为2R，
则，
则，所以，
所以，又，则C为AB的中点，所以，
所以圆C的标准方程为：，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列。
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前项和。
【解析】（1）由题意知
即，
因为，所以，
所以．
（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，则
所以．
16．（15分）已知函数
（I）讨论的单调性；
（Ⅱ）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围．
【解析】（I）．若则恒成立在上单调递增
若由得或
当时当时
当时0，故在和上单调递增，
在上单调递减．
（Ⅱ）由题意知
根据题意知在上有2个不等的变号根．
由得令则
当时，单调递减，当时单调递增，
所以又当且时，当时，，所以，得．故的取值范围是．
17.（15分） 已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，是线段上的点，且．
（1）证明：平面；
（2）点在直线上，求与平面所成角最大值．
【解析】(1)连结，交于点，连，
由，
知，
又平面
又底面为菱形，所以
以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，边长为4，则，
在直角三角形中，所以
所以点
，则
所以，
所以，
，
所以，
所以，
又，平面，
所以平面，
(2)设，
所以，
故，
所以
平面的一个法向量是，
设与平面所成角为，则
当时，平面，；
当时，
，
当且仅当时取等号，
又所以，
故与平面所成角的最大值为
18.本小题17分双曲线的焦点为，在下方，虚轴的右端点为A，过点且垂直于y轴的直线l交双曲线于点在第一象限，与直线交于点B，记的周长为m，的周长为n，
若C的一条渐近线为，求C的方程;
已知动直线与C相切于点T，过点T且与垂直的直线分别交x轴，y轴于M，N两点，Q为线段MN上一点，设，为常数.若为定值，求的最大值.
【解析】因为
，；
又因为双曲线的一条渐近线为，
所以，即，
所以双曲线的方程为；
根据得，所以双曲线方程为，
设，过的直线则的方程为，即，
令，
联立得
因为，所以
因为直线与双曲线只有一个公共点，
所以
化简得，
代入得
由于直线与双曲线相切，所以，
因为，所以，
过点T且与垂直的直线的直线斜率为，方程为，
令，得，即
令，得，即
设，因为，
所以即，
代入得，
依题意，该双曲线与双曲线共焦点，
所以，
化简得，所以，
等号成立当且仅当，，
故的最大值为
19. 本小题17分某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物，统计其中种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为（，均大于100），每一次试验均相互独立.
（1）求的分布列；
（2）记随机变量.已知，
（i）证明：，；
（ii）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值.
（已知随机变量服从超几何分布记为：（其中为总数，为某类元素的个数，为抽取的个数），则）
【解析】(1)依题意，均服从完全相同的超几何分布，
且，均大于100，
故的分布列为.
0 1 99 100
(2)（i）均服从完全相同的超几何分布，故
，
，
故，
（ii）由（ⅰ）可知的均值
利用公式计算的方差，
所以
依题意有
解得，．
所以可以估计，．