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分课时教学设计
第一课时《21.1 二次根式》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本章属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“数与式”.主要内容有二次根式、二次根式的性质和运算。本单元首先以平方根及平方根的性质复习回顾为导入探究二次根式的概念，让学生经历二次根式概念的发生过程，要求学生根据算术平方根的意义会求二次根式根号内字母的取值范围。再通过合作学习体验并理解二次根式的性质，进而通过二次根式的性质探究二次根式的运算，经过整式运算的某些法则在二次根式四则运算中的应用,使学生体验迁移、化归等数学思想，学习二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则.经过本章的学习，有助于学生初步形成抽象能力、推理能力，是学生感悟数学的语言表达现实世界的重要载体，有利于提升运算能力.
学习者分析 《二次根式》这一章是在学生已经学方根，知道平方根的性质及算术平方根的意义的基础上进行构建的。本章知识是在此基础上，全面研究常二次根式、二次根式的性质和运算。二次根式的学习有利于发展学生的迁移、化归等数学思想，有助于提高学生的抽象能力、推理能力和运算能力，在教材中有着重要的地位。
教学目标 1.了解二次根式的定义.? 2.会求二次根式被开方数中字母的取值范围.? 3.会利用二次根式的非负性解题.? 4.理解二次根式的基本性质：,并能利用它们进行化简或计算.
教学重点 二次根式的概念，二次根式性质的应用.
教学难点 1.利用二次根式的非负性解决具体问题.? 2.二次根式性质的应用.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课复习引入 1.什么是平方根、算术平方根？? 2.你能举出几个这样的代数式，并说明其意义吗？? 思考课本引入图片：如课本P1中实际的问题以及所收集的有关事例． 学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课. 本节课从解决实际问题出发，通过人造地球卫星围绕地球运行的事例引入课题，概括出二次根式定义，并明确的意义，认识二次根式的性质． 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题环节二：新知探究教师活动2： 二次根式的概念? （1）引导学生概括二次根式的定义：像这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式大于等于0，这样的式子叫做二次根式.为了方便，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式.因此我们把形如的式子叫做二次根式.?? (2)思考：根据你已有知识，说说你对二次根式的认识.（学生分组讨论、回答，最后教师总结）? ①表示a的算术平方根；②a可以是数，也可以是代数式；③从形式上含有二次根号；≥0；⑤表示开平方运算，也可表示运算结果.?? 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ (1)；(2) 6；(3)；(4)（m≤0）； (5)（x,y异号）；(6) ；(7). 【分析】看一个式子是否含二次根号，看被开方数是不是非负数，如果是非负数，式子是二次根式，否则不是二次根式. 【解】(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)是整数，(3)-120，(5)xy0 ，(7)根指数是3，所以(2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 学生活动2： 学生自学、互动。 学生思考 引导学生形成二次根式的概念．活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，从形式上看，一个代数式是二次根式必须具备以下两个条件：（1）必须有二次根号；（2）被开方数不能小于0.? .环节三：典例精析教师活动3： 例3 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义 【解】由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 活动：（师生互动） 的性质： a≥0，即二次根式的被开方数非负； ≥0，即二次根式的值非负. 的性质：＝|a|＝ 【方法总结】 (学生总结，老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.当二次根式的被开方数是一个完全平方数时，＝|a|＝ 在第（2）小题中先运用积的乘方的性质，再计算. 学生活动3： 参与教师分析和讲例．理解二次根式的涵义，懂得为什么被开方数必须为非负数． 活动意图说明：由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须满足被开方数大于等于0，因此求二次根式被开方数中字母取值范围可列不等式求解.?
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. x 取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？ 选做题： 2.化简下列各式 【综合拓展类作业】 3.已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且a，b 满足 ，求此三角形的周长．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各式： . 一定是二次根式的有 ( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 选做题： 若 ，求 a - b + c 的值. 【综合拓展类作业】 已知|3x - y - 1|和 互为相反数，求 x + 4y 的平方根．
教学反思 本节课先给出了二次根式的定义，然后讨论简单的二次根式中字母取值范围问题，接着又从算术平方根的意义出发，学习了二次根式简单性质：一是（a≥0）是一个非负数；二是（）2＝a（a≥0）；三是＝a（a≥0），=-a（a<0）．
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（华师大版）九年级
上
21.1 二次根式
二次根式
第21章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1. 理解二次根式的概念；
2. 会确定二次根式有意义时字母的取值范围； (重点)
3. 探索二次根式的性质； (难点)
4. 运用二次根式的性质进行化简计算. (难点)
新知导入
人造地球卫星要冲出地球，围绕地球运行，发射时就必须达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度．计算第一宇宙速度的公式是： ，
其中 g 为重力加速度，R 为地球半径．
本章我们就来学习带有”“的式子.
新知讲解
当a是正数时， 表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.
当a是0时， 等于0，表示0的平方根，也叫做0的算术平方根.
当a是负数时， 没有意义.
( a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说， (a ≥0)是一个非负数，它的平方等于a，即有:
(1) ≥0 ( a≥0); (2)( )2 =a(a ≥0).
在第 11 章我们学方根和算术平方根的意义，引进了一个记号 .
新知讲解
二次根式的定义：
形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
2.二次根式实质上是非负数的算术平方根.
3. a 既可以是一个数，也可以是一个式子.
注意：
典例精析
例1 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义
解：由 x - 2≥0，得
当 x≥2 时， 在实数范围内有意义.
新知讲解
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零。(2)(3)(5)(7)均不是二次根式。
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
新知讲解
思考
等于什么
我们不妨取a的一些值，如2、-2、3、-3 等,
分别计算对应的的值，看看有什么规律：
==2；
==2;
==3;
==3;
这里a的取值有没有限制？取a的一些值,分别计算的值. 从中你能发现什么
新知讲解
这里a的取值没有限制，因为a 是非负数，所以a既可以取正数或0,也可以取负数如当a=3时, ==3；当a=0时, =0；当a=-3时, ==3……从中可以发现：当a取任意实数时，=|a|.
新知讲解
概括归纳
当a≥0时, =a;
当a<0时, =-a.
这是二次根式的又一重要性质. 如果二次根式的被开方数是一个完全平方数，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的。
新知讲解
=∣a∣
2.从取值范围来看，
a≥0
a 取任何实数
1.从运算顺序来看，
先开方，后平方
先平方，后开方
3.从运算结果来看:
=a
a (a≥0)
-a (a＜0)
=
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1. x 取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) ；
解：由 -2x - 6 ≥ 0，得
x ≤ -3
当 x ≤ -3 时， 有意义.
(2) ；
解：由 ，得
当x > 时， 有意义.
x > .
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
解：
2.化简下列各式
【综合拓展类作业】
课堂练习
3.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴ a = 3.
∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11．
课堂总结
二次根式
定义
性质
（a≥0）
（即 表示一个非负数）
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.下列各式： . 一定是二次根式的有( )
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
B
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
2. 若 ，求 a - b + c 的值.
解：由题意可知
所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3.
a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 = 0，
解得 a = 2，b= 3 ，c= 4.
【综合拓展类作业】
作业布置
3.已知|3x - y - 1|和 互为相反数，求 x + 4y 的平方根．
解：由题意得
3x - y - 1 = 0
2x + y - 4 = 0．
解得 x = 1，y = 2．
∴ x + 4y = 1 + 2×4 = 9.
∴ x + 4y 的平方根为 ±3.
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第二十一章
课标要求 1.了解二次根式、最简二次根式的概念，2.理解二次根式何时有意义，何时无意义.会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围.3.会求二次根式的值.4.了解二次根式 (根号下仅限于数) 加，减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算.
内容分析 本章内容“二次根式”是《课程标准》中“数与代数”领域的重要内容。本章是在之前学习的基础上，进一步研究二次根式的概念和运算.在本章中，将学习二次根式的概念、性质、运算法则和化简的方法.通过对二次根式的概念和性质的学习，学生将对实数的概念有更深刻的认识，通过对二次根式的加、减、乘、除运算的学习，学生将对实数的简单四则运算有进一步的了解.
学情分析 初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展.但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性.
单元目标 教学目标1.了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由;2.理解二次根式的性质;3.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则、会用它们进行四则运算;4.用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，并运用规定进行计算.利用逆向思维，得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.5.通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.（二）教学重点、难点教学重点：二次根式的运算和运算法则.教学难点：在理解二次根式的性质和运算法则的基础上、养成良好的运算习惯.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数21.1 二次根式121.2.1二次根式的乘法121.2.2积的算术平方根121.2.3二次根式的乘法121.3 二次根式的加减1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务221.1 二次根式1.理解二次根式的概念.2.掌握二次根式有意义的条件.3.掌握二次根式的性质.4.运用二次根式的性质进行化简计算.1.掌握二次根式有意义的条件；掌握二次根式的性质.2.运用二次根式的性质进行化简计算.任务1：回顾在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.任务2：二次根式有意义的条件.任务3：二次根式的性质 任务4：巩固例题.21.2.1二次根式的乘法1、使学生掌握二次根式乘法法则2、使学生掌握积的算术平方根的性质：（a≥0，b≥0）。3、使学生会用积的算术平方根的性质对式子进行化简。4、使学生掌握=a（a≥0）,并能加以初步应用以化简二次根式。1.会利用积的算术平方根的性质及简单的二次根式的乘法运算公式对一些式子进行化简.2.二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.任务1：创设情境任务2：体验（操作、探究）组织学生计算，验证猜想：（分组尝试，讨论交流）任务3：化简二次根式的一般有哪些步骤？引导学生总结：把被开方数分解因式(或因数) ；任务4：巩固例题.21.2.2积的算术平方根1.理解=（a≥0,b≥0）；2.运用=（a≥0,b≥0）..1.利用逆向思维，得出=（a≥0,b≥0），并运用它解题和化简.2.让学生推导=（a≥0,b≥0）以训练逆向思维,通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.任务1：通过复习，引出新问题，提高学生学习的积极性.任务2：学生进行计算，找出规律，并归纳出二次根式除法的法则.21.2.3二次根式的乘法1．掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质．2．熟练进行二次根式的乘法运算及化简．掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质2.正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简．任务1：写出二次根式的乘法规定及逆向公式.任务2：利用二次根式的乘法、除法规定来化简，要求最后结果化成最简二次根式.任务3：巩固例题21.3 二次根式的加减1.理解和掌握二次根式加减的方法． 2.先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．1.二次根式化简为最简根式．2.会判定是否是最简二次根式．任务1：掌握法则．任务2：掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．任务3：巩固例题
《二次根式》单元教学设计
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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 21.1 二次根式
教科书 书 名：义务教育教科书数学九年级上册 出版社：华东师范大学出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1.了解二次根式的定义.? 2.会求二次根式被开方数中字母的取值范围.? 3.会利用二次根式的非负性解题.? 4.理解二次根式的基本性质：,并能利用它们进行化简或计算.
课前学习任务
复习引入 1.什么是平方根、算术平方根？? 2.你能举出几个这样的代数式，并说明其意义吗？? 思考课本引入图片：如课本P1中实际的问题以及所收集的有关事例．
课上学习任务
【学习任务一】 环节1 自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P2～P3的内容，互相交流． 二次根式的概念? （1）引导学生概括二次根式的定义：像这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式大于等于0，这样的式子叫做二次根式.为了方便，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式.因此我们把形如的式子叫做 .?? 【学习任务二】 (2)思考：根据你已有知识，说说你对二次根式的认识.（学生分组讨论、回答，最后教师总结）? ①表示a的算术平方根；②a可以是数，也可以是代数式；③从形式上含有二次根号；≥0；⑤表示开平方运算，也可表示运算结果.?? 思考：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ (1)；(2) 6；(3)；(4)（m≤0）；(5)（x,y异号）；(6) ；(7). 【学习任务三】 例：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义 活动：（师生互动） 的性质： a≥0，即二次根式的被开方数非负； ≥0，即二次根式的值非负. 的性质：＝|a|＝ 【学习任务五】课堂练习 必做题： 1. x 取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？ 选做题： 2.化简下列各式 【综合拓展类作业】 3.已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且a，b 满足 ，求此三角形的周长． 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各式： . 一定是二次根式的有 ( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 选做题： 若 ，求 a - b + c 的值. 【综合拓展类作业】 已知|3x - y - 1|和 互为相反数，求 x + 4y 的平方根．
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