数学：17．2一元二次方程的解法教案（根的判别式）（北京课改版八年级下）

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教学课题 §17．2一元二次方程根的判别式（一） 课时 2
教学目标 1．能正确说出一元二次方程根的判别式定理
2．会根据根的判别式，不解方程，判断数字系数的一元二次方程根的情况
3．会根据方程根的情况，求方程中待定系数的取值范围
能力目标：培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力，并进一步提高学生计算能力
教学重点：一元二次方程根的判别式的应用
教学难点：根据方程根的情况，求方程中待定系数的取值范围
教学方法：启发引导、讲练结合
教学过程：
（1） 复习引入
1． 一元二次方程的一般形式是什么？它的求根公式是什么？
ax2＋bx＋c=0 (a≠0) ; x=
2． 用公式法解下列一元二次方程：
(1)3x2－4x－2=0 (2) x2－2x＋2=0 (3) x(x＋1)=-2
引导学生观察一元二次方程根的情况有几种？分别是怎样的？
通过这组练习，我们发现一元二次方程根的情况有3种。即有两个不等实根，有两个相等实根，无实根。为什么会有这三种情况呢？方程的根的情况是由求根公式中哪一部分条件决定的？能不能不解方程就判别根的情况呢？
（2） 讲授新课
1．讲解根的判别式的定义、符号
我们知道，任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0)用配方法可将其变形为
(x＋)2=
∵a≠0 ∴4a2＞0，∴b2－4ac的符号直接影响着方程的根的情况。
（1） 当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数，故方程有两个不相等的实数根。
x1=, x2=,
（2） 当b2－4ac=0时，方程右边是0，显然有两个相等的实数根。
x1= x2=
（3） 当b2－4ac＜0时，方程右边是一个负数，而方程左边的(x＋)2不可能是一个负数，因此方程也就没有实数根。
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0) 的根的情况可由b2－4ac来判定。我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0)的根的判别式，通常用符号“△”来表示。
即△=b2－4ac
2．讲解一元二次方程根的判别式定理
一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0)的根的情况是：
1 当△＞0时，有两个不相等的实数根。
2 当△=0时，有两个相等的实数根。
3 当△＜0时，没有实数根
④当△0时，方程有实数根。
反过来也成立。
3．例题分析
例1． 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1） 2x2＋3x－4=0
（2） 16y2＋9=24y
（3） 5(x2＋1)－7x=0
解：（1）∵△=b2－4ac= 32－4×2×(-4)=9+32=41＞0
∴原方程有两个不相等的实数根。
（2）原方程可变形为16y2－24y ＋9=0
∵△=b2－4ac=（-24）2－4×16×9=576－576=0
∴原方程有两个相等的实数根。
(3)原方程可变形为5x2－7x＋5=0
∵△=b2－4ac= (-7)2－4×5×5=49－100＜0
∴原方程没有实数根。
小结：①将方程化为一元二次方程的一般形式，正确找出a、b、c
②只需判断△值的符号，而不必算出具体数值
③根的判别式可以判断一元二次方程根的情况
例2.已知：关于x的方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1=0
当k取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根
解：△=[- (4k＋1)] 2－4×2(2k2－1)=16 k2＋8k＋1－16 k2＋8=8k＋9
（1）∵方程有两个不相等的实数根
∴△＞0 即8k＋9＞0 ∴k＞
∴当k＞时，方程有两个不相等的实数根
（2）∵方程有两个相等的实数根
∴△=0 即8k＋9=0 ∴k=
∴当k=时，方程有两个相等的实数根
（3）∵方程没有实数根
∴△＜0 即8k＋9＜0 ∴k＜
∴当k＜时，方程没有实数根
小结：给出了方程的根的情况的结论,求a、b、c中所含字母的取值或取值范围的方法是：
计算△
由方程根的情况转化为解△＞0，△=0，△＜0
求出待定系数的取值范围
思考：假设二次项系数不是2，而是k还需要考虑什么呢？如何解答呢？
(三)巩固练习
（1）不解方程，判别下列方程根的情况
1) 2x2＋x－11=0
2) 3x2－2x＋2=0
3) 3x－ 2x2－18=0
4) x2－2mx＋4(m－1)=0 (m为常数)
（2）a取什么值时，关于x的方程x2＋2(a－1)x＋a2－2=0①有两个不相等的实数根？②有两个相等的实数根？③没有实数根？
（3）m取什么值时，关于x的方程(m＋2)x2＋2x－1=0有两个不相等的实数根？
（四）小结：
（1） 根的判别式是用来判别一元二次方程根的情况
（2） 只有当方程是一元二次方程时，才有根的判别式，所以使用时应注意二次项系数不为0这个条件
（五）作业：
判断方程kx2－4x＋4=0的根的情况
（六）课后记
教学课题 §17．2 一元二次方程根的判别式（二）
教学目标：1.能熟练应用根的判别式判断一元二次方程根的情况
2.会根据一元二次方程根的情况，求待定系数的取值范围
能力目标：培养学生的计算能力和解决问题的能力
教学重点：一元二次方程根的判别式的应用
教学难点：一元二次方程根的判别式的应用
教学方法：启发引导、讲练结合
教学过程
（1） 复习引入
不解方程，判断下列方程根的情况：
1.3x2＋6x=5 2. x (x＋2)=-1
(二)讲授新课
例1．k取什么值时，方程（k－2）x2－4x＋3=0有两个实数根？
解：△=(-4)2－4(k－2)×3=16－12k＋24=-12k＋40
∵方程有两个实数根
∴△0 -12k＋400 ∴k
∵二次项系数k－2≠0, ∴k≠2
综上所述，当k且k≠2时，方程有两个实数根。
小结：
当二次项系数含有字母时，要注意字母的取值范围
注意数形结合的思想
△≧0 方程有实数根
练习：m取什么值时，方程mx2－3mx＋m＋5=0有两个相等的实数根？并求出这时方程的根。
解：∵方程mx2－3mx＋m＋5=0有两个相等的实数根
m≠0
∴ △=(-3m)2－4m×(m＋5)=0
∴△=9m2－4m2－20m=5m2－20m=0
5m(m－4)=0
m1=0, m2=4
∴当m2=4时，方程mx2－3mx＋m＋5=0有两个相等的实数根。
例2．方程(k－1)x2－2x＋3=0有两个不相等的实数根，求非负整数k的值.
解：∵方程(k－1)x2－2x＋3=0有两个不相等的实数根
∴△=(-2)2－4(k－1)×3=4－12k＋12=16－12k＞0
∴k＜
又∵k－1≠0 ∴k≠1
综上所述 ∴k=0时，方程(k－1)x2－2x＋3=0有两个不相等的实数根.
小结：首先利用根的判别式，求出方程中字母系数k的取值范围，再取符合题意的特殊解，然后再代入方程进行检验，以决定取舍。
练习：（1）已知方程(k－3)x2－2x＋3=0有两个不相等的实数根，求正整数k的值.
（2）已知方程(k－3)x2－2x＋3=0有两个不相等的整数根，求正整数k的值.
（3）已知m是正整数,关于x的方程x2－2(5－m)x＋m2＋1=0的两个根都是正整数, 求m的值.
解：（1）△=-12k＋40
∵方程(k－3)x2－2x＋3=0有两个不相等的实数根
∴-12k＋40＞0
∴k＜ 又∵k－3≠0 ∴k≠3
∴k=1,2
(2) 前面解法同（1）
当k=1时,原方程是-2 x2－2x＋3=0
即2 x2＋2x－3=0
此方程的根不是整数根，故舍去。
当k=2时, 原方程是-x2－2x＋3=0
即x2＋2x－3=0
∴x1=-3, x2=1
∴当k=2时，原方程(k－3)x2－2x＋3=0有两个不相等的整数根。
（3）此题与（2）题的不同之处是两个整数根可能相同，也可能不同。故
△≧0 即 △=-40m＋96≧0
∴m≦2.4 又m是正整数
∴m=1,2
当m=1时, 此方程的根不是整数根，故舍去。
当m=2时, x1=5, x2=1
∴当m=2时，方程x2－2(5－m)x＋m2＋1=0的两个根都是正整数
(三)课堂小结：
（1） 含有字母系数的一元二次方程根的情况由字母系数决定，而字母系数的取值范围由△的不同情况求得。要特别注意二次项系数不等于0的条件。
（2） 注意数形结合、配方法的使用。
（四）作业：
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