河北省唐山市2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试卷（含答案）

河北省唐山市2023-2024学年高一下学期期末模拟考试
一、单选题
1．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知，为单位向量，且，若，且与的夹角为θ，则（ ）
A． B． C． D．
3．树人中学国旗班共有50名学生，其中男女比例，平均身高174cm，用等比例分层随机抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，若样本中男生的平均身高为178cm，样本中女生人数与女生平均身高的估计值分别为( )
A．8人 168cm B．8人 170cm C．12人 168cm D．12人 170cm
4．已知两条不同直线与三个不同平面，则下列命题正确的个数是（ ）.
①若，，，则
②若，，则
③若，，则
④若，，则
A．0 B．1 C．2 D．3
5．的内角的对边分别为，已知，，，则的值为
A． B．
C． D．
6．如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的四等分点，则=（ ）
A． B． C． D．
7．银行定期储蓄存单的密码由6个数字组成，每个数字均是0~9中的一个，小王去银行取一笔到期的存款时，忘记了密码中某一位上的数字，他决定不重复地随机进行尝试，则不超过2次就按对密码的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，若此三棱锥外接球的表面积为，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．、、、、、、、、、的第百分位数是
B．已知一组数据、、、、的平均数为，则这组数据的方差是
C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D．若、、、的标准差为，则、、、的标准差是
10．对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．若，，且有两解，则的取值范围是
C．在锐角中，不等式恒成立
D．在中，若，，则必是等边三角形
11．已知四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面为等腰三角形，为棱上靠近的三等分点，点在棱上运动，则（ ）
A．平面
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．
D．点到平面的距离为
三、填空题
12．已知，，若，则实数的值是 ．
13．已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为 ．
14．已知甲 乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响.若按甲 乙 甲 乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲 乙共射击了四次的概率是 .
四、解答题
15．设三个内角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)设为锐角三角形，是边的中点，求的取值范围.
16．在直三棱柱中，点D，E分别为棱AB，的中点，点F在棱上.
(1)试确定点F的位置，使得平面平面CDE，并证明；
(2)若多面体的体积为直三棱柱体积的，求.
17．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
18．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．
(2)若有甲（年龄，乙（年龄两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．
19．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点 棱 面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数.
(1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；
(2)证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱；
(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.
答案
1．A
2．C
3．A
4．A
5．A
6．C
7．D
8．A
9．BD
10．ACD
11．BC
12．
13．
14．
15．（1）因为，
所以利用正弦定理可得，
又为三角形内角，，
所以，可得，
因为，所以；
（2）， ；
由正弦定理，
则，
又为锐角三角形，则，得，则，
故,,
，
即，二次函数的开口向下，对称轴为，
在，单调递减，故的取值范围,，即．
16．（1）证明：当点为棱的中点时，平面平面，
证明如下：由点分别为的中点，可得，
因为平面，平面，可得平面，
又因为，可得四边形是平行四边形，可得，
因为平面，平面，可得平面，
又因为，且，所以平面平面.
（2）解：设的面积为，，可得直三棱柱的体积为，
多面体的体积为直三棱柱体积的，即为，
由三棱锥的体积为，
可得四棱锥的体积为，
设，点到侧面的距离为，
则，解得，则.
17．（1）因为每组小矩形的面积之和为1，
所以，
则.
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，
由，得，故第75百分位数为84.
（3）由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故这两组成绩的总平均数为，
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：
.
18．（1）解：设这人的平均年龄为，
则（岁；
（2）由频率分布直方图可知各组的频率之比为，
第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙，
对应的样本空间为，，，甲），，乙），，，，甲），，乙），，，甲），乙），，（甲，乙），（甲，，（乙，，共15个样本点．
分设事件 “甲、乙两人至少一人被选上”，
则，甲），，乙），，甲），，乙），，甲），，乙），（甲，乙），（甲，，（乙，，共有9个样本点，
所以；
（3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为；
则，
，
因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10
19．（1）设足球有个正五边形，则有个正六边形，
足球的顶点，棱数，
由欧拉公式得，
解得，即此足球中有个面为正五边形，
所以此足球的棱数.
（2）由个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么相当于每一个面尽可能均为三角形，
当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此时，即，
又，即，解得，
故个顶点的凸多面体，至多有条棱.
（3）设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，
则此多面体棱数，，即，
由欧拉公式，得，
所以，即，即，
所以，
当时，，所以，，；
当时，，所以，，；
当时，，所以，，；
综上：棱数可能为.